高等代數(shù)課件第4章多項式 4.4最大公因式

1、2022-2-2高等代數(shù)一、兩個多項式的最大公因式定義1： ,f xg xh xF x若 ,h x g xh xfx則 h x是 ,f xg x的一個公因式。的一個公因式。定義2：設 d x是 ,f xg x的一個公因式。若 ,f xg x的任一個公因式 h x均有 ,h x d x則稱 d x是 ,f xg x的最大公因式。332,1fxx gxxx1hx是 例如2022-2-2高等代數(shù)問題：1、如何求兩個多項式的最大公因式？2、最大公因式是否唯一？引理：若 ,f xg x q xr x與 公因式和最大公因式。證： 1、設 h x是 ,f xg x的公因式 h x是 ,g xr x的公因式。

2、 反之，設 h x是 ,g xr x的公因式 h x是 ,f xg x的公因式。則兩對多項式 f x與 g x， g x r x有相同的2022-2-2高等代數(shù)2、設 d x是 ,f xg x的最大公因式 d x是 ,g xr x的公因式，對 ,g xr x的任一公因式 m x m x是 ,f xg x的公因式 m x d x故 d x是 ,g xr x的最大公因式。反之同樣成立。 ,f xg x的最大公因式可以由引理知，要求轉(zhuǎn)化為求 g x與 r x的最大公因式。由于 r xg x 根據(jù)這種思想，我們可以對2022-2-2高等代數(shù) ,f xg x進行如下的輾轉(zhuǎn)相除： 111122211233

3、32211111,0,0.kkkkkkkkkkf xg x qxr xr xg xg xr x qxrxrxr xr xrx qxrxrxrxrxrx qxrxrxrxrxrx qxrx （1.4.1）當進行到某一步時，余式為0。例如 10,krx則上一個式子的余式 krx就是 ,f xg x的最大公因式。2022-2-2高等代數(shù) 10,krx于是得定理1.4.1： ,f xg x若兩個多項式經(jīng)輾轉(zhuǎn)相除后得一系列等式（1.4.1），則 f xg x與的最大公因式為 。 krx定理1.4.2： F x中任意兩個多項式 f xg x與的最大公因式必存在，且若 d x是 ,f xg x ,u xv

4、xF x的最大公因式， 則必存在，使由于余式的次數(shù)不斷降低，而 g x的次數(shù)是有限的，故經(jīng)過有限次輾轉(zhuǎn)相除之后，必然有余式 .d xf x u xg x v x2022-2-2高等代數(shù)證明： 1、若 0,f xg x則 ,f xg x的最大公因式是0。顯然有 ,d xf x u xg x v x ,u xv x任意。2、若 0,0,f xg x則 ,f xg x的最大公因式是 1.f xf xg x v x v x任意。3、若 0,0,f xg x使 kd xrxf x u xg x v x則由定理1.4.1知，經(jīng)輾轉(zhuǎn)相除后可求出它們的最由（1.4.1）可求得 ,u xv x大公因式為 krx

5、2022-2-2高等代數(shù)設 12,dxdx都是 ,f xg x的最大公因式，則有 122121,dx dxdx dxdxc dx即兩個最大公因式之間僅差一個零次因子。若用 ,f xg x表示 ,f xg x中首項系數(shù)為1的最大公因式，則 ,f xg x唯一確定。2022-2-2高等代數(shù)例1.4.1： 設 432343,f xxxxx 3231023.g xxxx求 ,f xg x，和 ,u xv x使 ,f xg xu x f xv x g x 解：（利用輾轉(zhuǎn)相除法）二、兩個多項式互素 ,f xg xF x若 ,1,f xg x定義3：則稱 ,f xg x互素。定理1.4.5： ,1f xg

6、x ,u xv xF x的充要條件是存在 1f x u xg x v x使 2022-2-2高等代數(shù)多項式互素的性質(zhì)。性質(zhì)性質(zhì)1： 若 ,1,1,f xh xg xh x則 ,1.f x g xh x證：1,fuhvfguhgvg( )( ) ( ),( )( )d xf x g xd x h x( )( )( )1.d x g xd x性質(zhì)性質(zhì)2：若 ,h xfx g x且 ,1,h xf x則 .h x g x證：1,.hufvhgufgvgh g2022-2-2高等代數(shù)性質(zhì)性質(zhì)3： 若 ,g xfxh xfx又 ,1,g xh x則 .g x h xfx證：1,guhvgfufhvf11

7、,fggfhh代入上式即知三、多個多項式的情況定義4： 設 1,1,nifxfxF xh xfxin則稱 h x是這組多項式的公因式， 若 d x是 1,nfxfx的公因式， 且這組多項式的任一公因式 d x都能整除。則稱 d x是的最大公 1,nfxfx因式。2022-2-2高等代數(shù)則稱 d x是 1,nfxfx的最大公因式。用 12,nfff表示首一的最大公因式，則 1211,nnnffffffd x性質(zhì)1、若12,nfffd則 12,nu uuF x使 。 1 122nnf uf uf ud性質(zhì)2、若12,1,nfff則稱12,nfff互素。性質(zhì)3、若,1,1,ijffiji jn則稱12,nfff兩兩互素。性質(zhì)4、互素12,nfff12,nfff兩兩互素。2022-2-2高等代數(shù)例1.4.2 設22212343,68,310