線性代數(shù)總復(fù)習(xí)

1、u行列式行列式u矩陣矩陣u線性方程組線性方程組u矩陣相似對(duì)角化矩陣相似對(duì)角化知識(shí)要點(diǎn)：知識(shí)要點(diǎn)：u行列式定義行列式定義u行列式性質(zhì)行列式性質(zhì)u行列式展開行列式展開u“Crammer”法則法則行列式定義：行列式定義：一、一、n級(jí)排列（逆序數(shù)、奇偶性）級(jí)排列（逆序數(shù)、奇偶性）二、二、n階行列式的定義階行列式的定義 nnnpppnnppppppaaaD2121)2121()1(級(jí)級(jí)排排列列 nnnnjijijijjjiiiaaa22112121)()() 1( 特別注意行列式各項(xiàng)的特征特別注意行列式各項(xiàng)的特征項(xiàng)的一項(xiàng)的一般形式般形式行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)u換行（換列）反號(hào)換行（換列）反號(hào)u倍乘增倍

2、性倍乘增倍性u(píng)倍加不變性倍加不變性u(píng)轉(zhuǎn)置不變性轉(zhuǎn)置不變性u(píng)分拆原則，相加原則分拆原則，相加原則行列式的展開行列式的展開按行展開按行展開且且按列展開按列展開 ;0,;0,11jijiDAajijiDAajknkikkjnkki掌握：掌握：1、選取零元素較多的行（列）展開；、選取零元素較多的行（列）展開；2、將消元和展開結(jié)合起來，迅速降階、將消元和展開結(jié)合起來，迅速降階.行列式的計(jì)算（重點(diǎn)）行列式的計(jì)算（重點(diǎn)）常用方法常用方法：u三角化法三角化法u加邊法加邊法u歸納法歸納法u化為已知行列式（一些有固定形式的行列化為已知行列式（一些有固定形式的行列式，如：各行元素之和相等、三角形、爪型、式，如：各行

3、元素之和相等、三角形、爪型、“范德蒙范德蒙”行列式等）行列式等）Crammer法則法則 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111方程的個(gè)數(shù)未知數(shù)個(gè)數(shù)方程的個(gè)數(shù)未知數(shù)個(gè)數(shù))., 2 , 1(njDDxjj若系數(shù)行列式不等于零，則方程組有唯一解若系數(shù)行列式不等于零，則方程組有唯一解特別注意方程組為齊次特別注意方程組為齊次的情況的情況u行列式計(jì)算行列式計(jì)算（重點(diǎn)）（重點(diǎn)）1、具體階數(shù)行列式計(jì)算、具體階數(shù)行列式計(jì)算2、較簡單的、較簡單的n階行列式計(jì)算階行列式計(jì)算u與行列式定義、性質(zhì)有關(guān)的問題與行列式定義、性質(zhì)有關(guān)的問題u需利用行列式進(jìn)行判定

4、的問題需利用行列式進(jìn)行判定的問題如：如：1、“Crammer”法則判定方程組的解法則判定方程組的解2、矩陣可逆性、矩陣可逆性3、向量組相關(guān)性（向量個(gè)數(shù)向量維數(shù)）、向量組相關(guān)性（向量個(gè)數(shù)向量維數(shù)）4、兩個(gè)矩陣相似的必要條件、兩個(gè)矩陣相似的必要條件知識(shí)要點(diǎn)：知識(shí)要點(diǎn)：u矩陣的基本定義和相關(guān)概念矩陣的基本定義和相關(guān)概念u矩陣的關(guān)系、運(yùn)算和變換矩陣的關(guān)系、運(yùn)算和變換u分塊矩陣分塊矩陣u可逆矩陣（分塊矩陣求逆的方法）可逆矩陣（分塊矩陣求逆的方法）u初等矩陣初等矩陣和初等變換，逆矩陣的求法和初等變換，逆矩陣的求法矩陣的基本定義和相關(guān)概念矩陣的基本定義和相關(guān)概念u矩陣的形狀，行數(shù)，列數(shù)，方陣；矩陣的形狀，行

5、數(shù)，列數(shù)，方陣；u常見的特殊矩陣：常見的特殊矩陣：行、列矩陣，零矩陣（非零矩陣），三行、列矩陣，零矩陣（非零矩陣），三角陣，對(duì)角陣，單位陣，數(shù)量陣，對(duì)稱陣，角陣，對(duì)角陣，單位陣，數(shù)量陣，對(duì)稱陣，反對(duì)稱陣、正交陣等；反對(duì)稱陣、正交陣等；u方陣的行列式方陣的行列式矩陣的關(guān)系、運(yùn)算和變換矩陣的關(guān)系、運(yùn)算和變換u矩陣的運(yùn)算：矩陣的運(yùn)算：1. 加法、減法、乘法、除法（乘于逆矩加法、減法、乘法、除法（乘于逆矩陣），乘方（只適用于方陣）特別注意矩陣運(yùn)陣），乘方（只適用于方陣）特別注意矩陣運(yùn)算中的反常情況算中的反常情況（交換律、消去律、和數(shù)運(yùn)算（交換律、消去律、和數(shù)運(yùn)算的區(qū)別與聯(lián)系）的區(qū)別與聯(lián)系）.2. 矩陣

6、的求逆運(yùn)算矩陣的求逆運(yùn)算.u矩陣的關(guān)系矩陣的關(guān)系 同型、相等、互逆；同型、相等、互逆；u矩陣的分塊處理矩陣的分塊處理1. 分塊的合理性要求，保證運(yùn)算可行；分塊的合理性要求，保證運(yùn)算可行；2. 分塊運(yùn)算原則：分塊運(yùn)算原則：“子塊視如元素子塊視如元素”、“大轉(zhuǎn)小轉(zhuǎn)大轉(zhuǎn)小轉(zhuǎn)”3. 一些特殊的分塊矩陣一些特殊的分塊矩陣（行（列）向量（行（列）向量組、準(zhǔn)對(duì)角陣（其逆矩陣）、階梯型矩陣）組、準(zhǔn)對(duì)角陣（其逆矩陣）、階梯型矩陣） 4. 特殊的分塊矩陣特殊的分塊矩陣求其逆矩陣求其逆矩陣可逆矩陣可逆矩陣u伴隨矩陣的定義及特性伴隨矩陣的定義及特性EAAAAA *)()()()(TTnAAAAAAAA 1111u逆矩

7、陣的求法：逆矩陣的求法：1. 二階矩陣用伴隨矩陣法；二階矩陣用伴隨矩陣法；2. 三階以上一般用初等變換法三階以上一般用初等變換法.u證明矩陣可逆的常用思路：證明矩陣可逆的常用思路：1. 利用定義構(gòu)造矩陣?yán)枚x構(gòu)造矩陣B，使得，使得ABE；2. 證明矩陣的行列式不等于零；證明矩陣的行列式不等于零；3. 證明方陣滿秩；證明方陣滿秩；u矩陣的基本運(yùn)算及運(yùn)算性質(zhì)矩陣的基本運(yùn)算及運(yùn)算性質(zhì)u較為簡單的分快矩陣運(yùn)算和求逆較為簡單的分快矩陣運(yùn)算和求逆u伴隨矩陣、可逆矩陣伴隨矩陣、可逆矩陣1、與伴隨矩陣性質(zhì)相關(guān)的問題、與伴隨矩陣性質(zhì)相關(guān)的問題2、矩陣可逆性的證明、矩陣可逆性的證明3、逆矩陣的求法（初等變換法）

8、，求簡單的、逆矩陣的求法（初等變換法），求簡單的矩陣方程矩陣方程4、初等矩陣的運(yùn)算性質(zhì)、初等矩陣的逆矩陣、初等矩陣的運(yùn)算性質(zhì)、初等矩陣的逆矩陣知識(shí)要點(diǎn)：知識(shí)要點(diǎn)：u向量的基本定義和相關(guān)概念向量的基本定義和相關(guān)概念u向量的線性關(guān)系向量的線性關(guān)系（1 1）一個(gè)向量和向量組的關(guān)系；）一個(gè)向量和向量組的關(guān)系；（2 2）向量組內(nèi)部的關(guān)系；）向量組內(nèi)部的關(guān)系；（3 3）向量組與向量組的關(guān)系）向量組與向量組的關(guān)系. .u向量組的秩、矩陣的秩向量組的秩、矩陣的秩重點(diǎn)要求的幾項(xiàng)技能：重點(diǎn)要求的幾項(xiàng)技能：u判定或證明向量組的線性相關(guān)性（行列式，秩，判定或證明向量組的線性相關(guān)性（行列式，秩，利用性質(zhì)）利用性質(zhì)）u求

9、向量組的秩、矩陣秩、極大線性無關(guān)組及線求向量組的秩、矩陣秩、極大線性無關(guān)組及線性表示性表示線性表示線性表示可被向量組可被向量組向量向量m ,21(*)22112222212111212111 nmnmnnmmmmbxaxaxabxaxaxabxaxaxa線性方程組線性方程組有解有解特別當(dāng)表出向量組的特別當(dāng)表出向量組的“向量個(gè)數(shù)向量維數(shù)向量個(gè)數(shù)向量維數(shù)”時(shí)，則有：時(shí)，則有：;0,21”向向量量組組唯唯一一表表出出可可被被“時(shí)時(shí) n對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換化階梯對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換化階梯1、利用定義，特別注重線性無關(guān)判定的邏輯過程；、利用定義，特別注重線性無關(guān)判定的邏輯過程；2、利用判定方程組

10、（齊次線性方程組）、利用判定方程組（齊次線性方程組）,特別注特別注重一些特殊情形下的判定；重一些特殊情形下的判定；3、利用一些相關(guān)性質(zhì)、利用一些相關(guān)性質(zhì).1、線性相關(guān)和線性表示的關(guān)系；、線性相關(guān)和線性表示的關(guān)系；2、線性相關(guān)、線性表示、極大線性無關(guān)組和向量、線性相關(guān)、線性表示、極大線性無關(guān)組和向量組秩的關(guān)系組秩的關(guān)系.3、線性表出（或等價(jià)）和向量組、線性表出（或等價(jià)）和向量組“大小大小”或或“秩秩”的關(guān)系的關(guān)系.4、向量組秩和矩陣秩的關(guān)系、向量組秩和矩陣秩的關(guān)系.5、方陣秩、行列式、可逆性、行（列）向量組相、方陣秩、行列式、可逆性、行（列）向量組相關(guān)性、線性方程組（齊次、非齊次）的解況關(guān)性、線

11、性方程組（齊次、非齊次）的解況.(*)000221122221211212111 mnmnnmmmmxaxaxaxaxaxaxaxaxa齊次線性方程組齊次線性方程組有非零解有非零解判定方程判定方程線線性性相相關(guān)關(guān)m ,21特別當(dāng)向量組的特別當(dāng)向量組的“向量個(gè)數(shù)向量維數(shù)向量個(gè)數(shù)向量維數(shù)”時(shí)，則有：時(shí)，則有：.0,;0,2121”向向量量組組線線性性相相關(guān)關(guān)“”向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)“ nn當(dāng)當(dāng)向量維數(shù)向量維數(shù)向量個(gè)數(shù)向量個(gè)數(shù)”時(shí)，則有向量組必時(shí)，則有向量組必線性相關(guān)線性相關(guān).,212121表表示示形形式式唯唯一一線線性性表表示示，且且必必可可由由線線性性相相關(guān)關(guān)，則則有有，線線性性無無關(guān)關(guān)

12、，而而若若向向量量組組定定理理：mmm 定理：定理： 向量組線性相關(guān)的充要條件是至少有一個(gè)向量向量組線性相關(guān)的充要條件是至少有一個(gè)向量可以被其余向量線性表出可以被其余向量線性表出.定理：定理： 向量組線性無關(guān)的充要條件是任何一個(gè)向量均向量組線性無關(guān)的充要條件是任何一個(gè)向量均不能被其余向量線性表出不能被其余向量線性表出.u“短短”向量組無關(guān)必有向量組無關(guān)必有“長長”向量組無關(guān)向量組無關(guān)u“長長”向量組相關(guān)必有向量組相關(guān)必有“短短”向量組相關(guān)向量組相關(guān)u “多多”向量組無關(guān)必有向量組無關(guān)必有“少少”向量組無關(guān)向量組無關(guān)u “少少”向量組相關(guān)必有向量組相關(guān)必有“多多”向量組相關(guān)向量組相關(guān)u“等價(jià)無關(guān)

13、組等價(jià)無關(guān)組”具有相同的具有相同的“多、少多、少”任何一個(gè)向量組都與其極大線性無關(guān)組任何一個(gè)向量組都與其極大線性無關(guān)組等價(jià)等價(jià).一個(gè)向量組的極大線性無關(guān)組不唯一，一個(gè)向量組的極大線性無關(guān)組不唯一，且彼此等價(jià)，且含有相同個(gè)數(shù)的向量且彼此等價(jià)，且含有相同個(gè)數(shù)的向量（秩）（秩）.1、向量組線性無關(guān)、向量組線性無關(guān) 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)其其“秩秩”等于等于向量組所含向量組所含向量個(gè)數(shù)向量個(gè)數(shù).2、向量組線性相關(guān)、向量組線性相關(guān) 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)其其“秩秩”小于小于向量組所含向量組所含向量個(gè)數(shù)向量個(gè)數(shù).兩個(gè)兩個(gè)等價(jià)等價(jià)的向量組必定具有相同的的向量組必定具有相同的秩秩. （反之不正確）（反之不正確）u初等變換

14、不改變矩陣的初等變換不改變矩陣的秩秩.u等價(jià)矩陣具有相同的等價(jià)矩陣具有相同的秩秩.u矩陣轉(zhuǎn)置，矩陣轉(zhuǎn)置，秩秩不變不變.u任何矩陣與可逆矩陣相乘，任何矩陣與可逆矩陣相乘，秩秩不變不變.1. 不改變列部分組的線性相關(guān)性不改變列部分組的線性相關(guān)性.2. 將列極大無關(guān)組變?yōu)榱袠O大無關(guān)組將列極大無關(guān)組變?yōu)榱袠O大無關(guān)組.3. 不改變矩陣列向量組的線性表出方式不改變矩陣列向量組的線性表出方式. m 21將向量組按列排放將向量組按列排放初等行變換初等行變換 rmrrrrmrrmrrAAAAAAAAAAAA121222211111211R 1i 2i ri 一個(gè)極大無關(guān)組一個(gè)極大無關(guān)組riii ,21原向量組一

15、個(gè)極大無關(guān)組原向量組一個(gè)極大無關(guān)組（滿秩）（滿秩）nAR )(）可逆（非奇異、非退化可逆（非奇異、非退化A0 A關(guān)關(guān)個(gè)個(gè)行行（列列）向向量量線線性性無無的的nA只有零解只有零解齊次線性方程組齊次線性方程組oAX 有唯一解有唯一解非齊次線性方程組非齊次線性方程組bAX （不滿秩）（不滿秩）nAR )(不可逆（奇異、退化）不可逆（奇異、退化）A0 A關(guān)關(guān)個(gè)個(gè)行行（列列）向向量量線線性性相相的的nA有非零解有非零解齊次線性方程組齊次線性方程組oAX 線線性性相相關(guān)關(guān)n ,21211121221121),(,max),(,)()(),(min)()()()()()(000)()(,)()()()(,m

16、in)(RRRRRRRRRBRARABRnBRARBRARBARkifkifARkARBAifBRARARARnmARtstsT 則：則：，若：若：為等價(jià)矩陣為等價(jià)矩陣u向量組線性相關(guān)性的判定或證明向量組線性相關(guān)性的判定或證明u向量組線性表示的判定或證明向量組線性表示的判定或證明u求向量組的秩、極大線性無關(guān)組、將其余向量求向量組的秩、極大線性無關(guān)組、將其余向量用極大無關(guān)組表示用極大無關(guān)組表示u與向量組或矩陣秩有關(guān)的問題與向量組或矩陣秩有關(guān)的問題) 1 . 1 . 4(22112222212111212111 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa重點(diǎn)：重點(diǎn)：利用增廣矩陣

17、的初等變換判定方程組利用增廣矩陣的初等變換判定方程組的解況，并求出解（或通解）的解況，并求出解（或通解）AX=b有解有解 R(A)=R(A,b)Rn 無窮解無窮解無解無解 R(A) R(A,b)R=n 唯一解唯一解n-r個(gè)自由未知量個(gè)自由未知量一般（非齊次）線性方程組解況判定：一般（非齊次）線性方程組解況判定：AX=0Rn 無窮多解無窮多解（有非零解）（有非零解）R =n 唯一解唯一解（只有零解）（只有零解）n-r個(gè)自由未知量個(gè)自由未知量必有零解必有零解特別，當(dāng)特別，當(dāng)方程個(gè)數(shù)方程個(gè)數(shù) 變?cè)獋€(gè)數(shù)變?cè)獋€(gè)數(shù)時(shí)，方程必時(shí)，方程必有非零解有非零解. .齊次線性方程組解況判定：齊次線性方程組解況判定：齊

18、次方程組和非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)：齊次方程組和非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)：u齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系特征（特別所含解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系特征（特別所含解向量個(gè)數(shù)）以及通解表示，求法；向量個(gè)數(shù)）以及通解表示，求法；u非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)，通解表示以及求非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)，通解表示以及求法法u含參數(shù)線性方程組解況以及求解含參數(shù)線性方程組解況以及求解u與齊次方程組的基礎(chǔ)解系特征，通解特征，與齊次方程組的基礎(chǔ)解系特征，通解特征，非齊次線性方程組通解特征有關(guān)的問題非齊次線性方程組通解特征有關(guān)的問題u需利用線性方程組的解況判定的相關(guān)問題，需利用線性方程組的解況判定的相關(guān)問題，如向量組的線性相關(guān)性，線性表示等等如向量組的線性相關(guān)性，線性表示等等u與特征值、特征向量有關(guān)的問題與特征值、特征向量有關(guān)的問題1、特征問題、特征多項(xiàng)式、特征矩陣，特征值、特征問題、特征多項(xiàng)式、特征矩陣，特征值、特征向量的求法；特征向量的求法；2、由矩陣運(yùn)算或變型所演化出來的特征值、特、由矩陣運(yùn)算或變型所演化出來的特征值、特征向量（逆矩陣、伴隨矩陣、矩陣多項(xiàng)式等）征向量（逆矩陣、伴隨矩陣、矩陣多項(xiàng)式等）3、方陣、實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值、特征向量性質(zhì)、方陣、實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值、特征向量性質(zhì)u相似矩陣相似矩陣1、相似矩陣的一些性質(zhì)、相似矩陣的一些性質(zhì)2、矩陣可相似對(duì)角化