流體力學(xué)第三章(7)動(dòng)量方程及其應(yīng)用及動(dòng)量矩方程1

1、本次課主要內(nèi)容本次課主要內(nèi)容 動(dòng)量方程式及其應(yīng)用動(dòng)量方程式及其應(yīng)用一、動(dòng)量方程能解決運(yùn)動(dòng)流體中的什么問(wèn)題N-S方程根據(jù)牛頓第二定律導(dǎo)出FmaN-S方程是微分形式，積分可以得到流場(chǎng)中的壓強(qiáng)、速度分布，進(jìn)而得到流體受力F。很難得到把牛頓第二定律改寫(xiě)dtdvzvyvxvzpfdtdvzvyvxvypfdtdvzvyvxvxpfzzzzzyyyyyxxxxx111222222222222222222)( vmdvmddtF并用之于具有一定質(zhì)量的流體質(zhì)點(diǎn)系，由于各個(gè)質(zhì)點(diǎn)速度不盡相同，故質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理為dtvmdF)(作用在質(zhì)點(diǎn)系上的總外力就不必通過(guò)分布?jí)簭?qiáng)的積分，而是通過(guò)求質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量變化率的辦法計(jì)算出

2、來(lái)，開(kāi)辟了求解流體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的新途徑。dtvmdF)(由于各個(gè)質(zhì)點(diǎn)速度不盡相同，似乎要計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量變化由于各個(gè)質(zhì)點(diǎn)速度不盡相同，似乎要計(jì)算質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量變化率采用拉格朗日法比較適宜，由于運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜性，很困難。率采用拉格朗日法比較適宜，由于運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜性，很困難。質(zhì)點(diǎn)系占據(jù)一定的空間，取這個(gè)空間為控制體，把拉質(zhì)點(diǎn)系占據(jù)一定的空間，取這個(gè)空間為控制體，把拉格朗日法表示的動(dòng)量變化率改換成用歐拉法表示，這格朗日法表示的動(dòng)量變化率改換成用歐拉法表示，這樣就容易求的作用在控制體內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)系上的外力。樣就容易求的作用在控制體內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)系上的外力。取控制體的時(shí)候注意：取控制體的時(shí)候注意：控制表面一部分與固體壁

3、面重合，按照作用力與反作用力大小相等控制表面一部分與固體壁面重合，按照作用力與反作用力大小相等方向相反的原則，也就求出了流體質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固體壁面的作用力。方向相反的原則，也就求出了流體質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固體壁面的作用力。二、用歐拉方法表示的動(dòng)量方程式在流場(chǎng)中，選擇控制體（固定）如圖中虛線所示,一部分與固體邊界重合固體邊界重合,（為什么這么選？） 在某一瞬時(shí)t,控制體內(nèi)包含的流體是我們要討論的質(zhì)點(diǎn)系，設(shè)控制體內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的速度為v, 密度為。在t瞬時(shí)的初動(dòng)量為： tVvdV經(jīng)過(guò)t，質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)到實(shí)線位置，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)系在t+t 瞬時(shí)的末動(dòng)量為： AVttAAVttdAvvtvdVdAvvtdAvvtvdV)()()(

4、21原來(lái)質(zhì)點(diǎn)系尚留在控制體中的部分及新流入控制體的總動(dòng)量。（I）部分通過(guò)A1面非原質(zhì)點(diǎn)系的流入動(dòng)量（II）部分通過(guò)A2面流出的動(dòng)量對(duì)于控制體的全部控制面A： AVVtAVtttdAvvvdVtvdVdAvvtvdVtdtmvdF)()(1lim)(0這就是用歐拉方法表示的動(dòng)量方程式，這個(gè)方程式既適用于控制體固定的情況，也適用于控制體運(yùn)動(dòng)的情況。在運(yùn)動(dòng)時(shí)需將速度v換成相對(duì)速度，并在控制體上加上虛構(gòu)的慣性力。動(dòng)量方程式中，需注意動(dòng)量方程式中，需注意 是作用在控制體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)系上的所有外力的矢量和，既包括是作用在控制體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)系上的所有外力的矢量和，既包括控制體外部流控制體外部流體及固體對(duì)控制體內(nèi)流體的作

5、用力體及固體對(duì)控制體內(nèi)流體的作用力（壓力、摩擦力），也包括（壓力、摩擦力），也包括控制體內(nèi)流控制體內(nèi)流體的重力體的重力。2. 控制體內(nèi)流體動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率，當(dāng)流動(dòng)為定常時(shí)，此項(xiàng)為零?？刂企w內(nèi)流體動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率，當(dāng)流動(dòng)為定常時(shí)，此項(xiàng)為零。是由于控制體內(nèi)流體動(dòng)量隨時(shí)間變化而產(chǎn)生的一種力。是由于控制體內(nèi)流體動(dòng)量隨時(shí)間變化而產(chǎn)生的一種力。1. 3. 是單位時(shí)間內(nèi)控制體流出、流入的凈動(dòng)量，即流出、流入動(dòng)量之是單位時(shí)間內(nèi)控制體流出、流入的凈動(dòng)量，即流出、流入動(dòng)量之差，是流出動(dòng)量與流入動(dòng)量不等而產(chǎn)生的力。差，是流出動(dòng)量與流入動(dòng)量不等而產(chǎn)生的力。末動(dòng)量初動(dòng)量FVvdVtAdAvv)(特例：常見(jiàn)的特例：常

6、見(jiàn)的定常、不可壓縮、一元流動(dòng)定常、不可壓縮、一元流動(dòng)時(shí)，方程式可以簡(jiǎn)化的很簡(jiǎn)單。時(shí)，方程式可以簡(jiǎn)化的很簡(jiǎn)單。如圖所示，把流線方向取為自然坐標(biāo)如圖所示，把流線方向取為自然坐標(biāo)s s，取如圖控制體，則總控制面上只有，取如圖控制體，則總控制面上只有A A1 1，A A2 2上有動(dòng)量流入流出，假設(shè)斷面上平均速度為上有動(dòng)量流入流出，假設(shè)斷面上平均速度為v v1 1,v,v2 2, ,則在定常不可壓縮情況下，則在定常不可壓縮情況下， )()()(1212112212vvqvvqdAvvdAvvdAvvFvvAAAs)()()(121212zzvzyyvyxxvxvvqFvvqFvvqF為0在三個(gè)坐標(biāo)軸上的

7、投影式為1取本書(shū)應(yīng)用的公式式中 為用平均速度計(jì)算動(dòng)量而引起的動(dòng)量修正系數(shù)，AVdAvvvdVtF)(1 1、受力對(duì)象：、受力對(duì)象：動(dòng)量方程式的受力對(duì)象是流體質(zhì)點(diǎn)系。對(duì)于遇到的問(wèn)題：方程左邊的外力一般只包括(1)(1)管壁對(duì)流體的作用力管壁對(duì)流體的作用力F;F;(2)(2)截面上流體的表面力截面上流體的表面力p p1 1A A1 1,p,p2 2A A2 2。（3）控制體內(nèi)流體的重力（重力經(jīng)?？梢院雎裕┛刂企w內(nèi)流體的重力（重力經(jīng)常可以忽略）對(duì)（1）（2）（3）在坐標(biāo)方向求合力即可對(duì)于方程右側(cè)的動(dòng)量變化率：只要知道兩截面上的平均速度和流量就可以計(jì)算出來(lái)。)()()(121212zzvzyyvyxx

8、vxvvqFvvqFvvqFF是外界作用在流體上的力。如果實(shí)際問(wèn)題要求流體對(duì)固體的作用力，則相應(yīng)的應(yīng)加以負(fù)號(hào)。使用時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：2 2、外力和速度的方向問(wèn)題。、外力和速度的方向問(wèn)題。與坐標(biāo)相同時(shí)為正，與坐標(biāo)相反時(shí)為負(fù)。公式右邊的減號(hào)是固定的。 三 、動(dòng)量方程式的應(yīng)用（重點(diǎn)）1、流體對(duì)管道的作用力問(wèn)題2、自由射流的沖擊力問(wèn)題1、流體對(duì)管道的作用力問(wèn)題動(dòng)量方程式的應(yīng)用之RyRxvFFq，的流體對(duì)彎管的作用力，流量為要求密度為2211,APAPFFRyRx控制體內(nèi)流體的作用力過(guò)流斷面上外界流體對(duì)和作用力彎管對(duì)控制體內(nèi)流體的取取1-1、2-2斷面及彎管內(nèi)表面為流管控制體，作用在流體質(zhì)點(diǎn)系的總外力包

9、括斷面及彎管內(nèi)表面為流管控制體，作用在流體質(zhì)點(diǎn)系的總外力包括假定管道在水平平面內(nèi)或者重力可以不加考慮，動(dòng)量修正系數(shù)為假定管道在水平平面內(nèi)或者重力可以不加考慮，動(dòng)量修正系數(shù)為1X X方向：方向：111222cossinp Ap A 管壁對(duì)流體的作用力管壁對(duì)流體的作用力RxF則，則，X X方向上流體所受合力為方向上流體所受合力為111222cossinRxp Ap AF1112222211sinsincoscossinRyVp Ap AFqvv2211sincosvv對(duì)于y方向同樣得到X X方向上流體速度合分量為方向上流體速度合分量為1112222211cossinsincosRxVp Ap AF

10、qvv表面力表面力:根據(jù)動(dòng)量定理，得到x方向的動(dòng)量方程)()()(121212zzvzyyvyxxvxvvqFvvqFvvqF1112222211sinsincoscossinRyVp Ap AFqvv1112222211cossinsincosRxVp Ap AFqvv解方程組得到這是流體對(duì)任意變徑彎管的作用力的計(jì)算公式，流體對(duì)任意變徑彎管的作用力的計(jì)算公式，對(duì)其求合力得到22RRxRyFFF要注意力的方向。要注意力的方向。11122211222221112211cossin(cos)(sin)cossin(cos)(sin)RxVRyVFp Ap AqvvFp Ap AqvvRxRyFFa

11、rctan彎管多種多樣，下面介紹幾個(gè)特例【特例1】直角變徑彎管1211220,Vqv Av A11122211222221112211cossin(cos)(sin)cossin(cos)(sin)RxVRyVFp Ap AqvvFp Ap Aqvv代入公式得：121111111111)(AvPvAvAPvqAPFvRx222222222222)(AvPvAvAPvqAPFvRy【特例2】直角等徑彎管AvpFAvpFRyRx)()(222112120,VAAA qvA【特例3】:反向等徑彎管0)2(221RyRxFAvppF1212120,90 ,VAAA vvv qvA 1112221122

12、2221112211cossin(cos)(sin)cossin(cos)(sin)RxVRyVFp Ap AqvvFp Ap Aqvv【特例4】逐漸收縮管1211220,90 ,Vqv Av A22111222()()0RxRyFpvApvAF11122211222221112211cossin(cos)(sin)cossin(cos)(sin)RxVRyVFp Ap AqvvFp Ap Aqvv【特例5】等徑直管1212120,90 ,AAA vvv12()0RxRyFppAF等徑直管中流體對(duì)管道的作用力FRx實(shí)質(zhì)上就是作用在管壁上的摩擦力，用力FRx處以管壁面積 ,可得管壁上的平均切應(yīng)力

13、2 Rl21212()()22224RxFppRpp RpRpdRlRllll說(shuō)明：只有測(cè)出相距為L(zhǎng)的兩斷面上的壓強(qiáng)差，切應(yīng)力和摩擦力都可以計(jì)算出來(lái) 管壁上的摩擦力導(dǎo)致管中的壓強(qiáng)沿流動(dòng)方向逐漸下降。對(duì)1，2兩斷面列伯努利方程：121212,4fzz vvpplhggd由于可得說(shuō)明：管路中由于摩擦引起的沿程阻力損失hf與管長(zhǎng)成正比，與管直徑成反比。221211221122fppzvzvhgggg11122211222221112211cossin(cos)(sin)cossin(cos)(sin)RxVRyVFp Ap AqvvFp Ap Aqvv【特例6】突然擴(kuò)大管120,9022111222

14、()()0RxRyFpvApvAF11122211222221112211cossin(cos)(sin)cossin(cos)(sin)RxVRyVFp Ap AqvvFp Ap Aqvv突然擴(kuò)大處流線不能折轉(zhuǎn)，在突然擴(kuò)大處流線不能折轉(zhuǎn)，在“死角死角”處產(chǎn)生渦旋，渦旋區(qū)中的流體沒(méi)有主流處產(chǎn)生渦旋，渦旋區(qū)中的流體沒(méi)有主流方向的運(yùn)動(dòng)，因而流體對(duì)突然擴(kuò)大管的作用力不是作用在大管管壁上的摩擦力，方向的運(yùn)動(dòng)，因而流體對(duì)突然擴(kuò)大管的作用力不是作用在大管管壁上的摩擦力，而是作用在突然擴(kuò)大臺(tái)肩圓環(huán)斷面而是作用在突然擴(kuò)大臺(tái)肩圓環(huán)斷面A2A1上的靜壓力，方向向左。上的靜壓力，方向向左。)(121AApFRx（1

15、）（2）連續(xù)方程連續(xù)方程2112AAvv （3）式（式（1） 、（、（2）、）、 （3）聯(lián)立，解得聯(lián)立，解得)(1212221vvvggpp2221111222222221122122ffAvvhAggAvvhAgg或2112222111AAAA2122fvvhg此公式雖然由突然擴(kuò)大管推出，但適用于一切局部阻力損失的普遍公式稱為局部阻力系數(shù)式中此式稱為（Borda）包達(dá)定理包達(dá)定理，即突然擴(kuò)大的水頭損失等于差速（v1-v2)的速度水頭。利用連續(xù)性方程v1A1=v2A2代入包達(dá)定理得到：可得，突然擴(kuò)大管的局部水頭損失可得，突然擴(kuò)大管的局部水頭損失hf221211221122fppzvzvhggg

16、g)(1212221vvvggpp在列在列1、2斷面上的伯努利方程斷面上的伯努利方程 從有壓噴管或孔口射入大氣的一股流束叫作自由射流自由射流，自由射流的特點(diǎn)是流束上的流體壓強(qiáng)到處是大氣壓流體壓強(qiáng)到處是大氣壓，速度和射程可按伯努利方程計(jì)算，射流對(duì)擋板或葉片的沖擊力可按動(dòng)量方程計(jì)算。 如圖，假設(shè)速度為v, 流量為qv的自由射流沖擊到固定的二向曲面后，左右對(duì)稱的分為兩段，兩股流量均為原流量之半原流量之半。假設(shè)射流在同一水平面上，動(dòng)量修正系數(shù)為1，求求射流對(duì)曲面的沖擊力射流對(duì)曲面的沖擊力FRx： 2cos(cos1)2(1 cos )vxvvRxxvqFvq vq vFFq v 2、自由射流的沖擊力為

17、射流對(duì)曲面的沖擊力為射流對(duì)曲面的沖擊力)()()(121212zzvzyyvyxxvxvvqFvvqFvvqF則曲面作用在流體上的力則曲面作用在流體上的力Fx為為【特例1】射流對(duì)平面擋板的沖擊力vqFvRx 90【特例2 】vqFvRx2180 這種反向曲面受到的沖擊力是平面擋板的兩倍，為了充分發(fā)揮射流的動(dòng)力平面擋板的兩倍，為了充分發(fā)揮射流的動(dòng)力性能，性能，在沖擊式水輪上就是采用這種反向曲面作為其葉片形狀的。為了回水方便，其反向的角不是180度，而是160-170度。 平面擋板是實(shí)際中最常見(jiàn)的。)cos1 (vqFvRx射流對(duì)曲面的沖擊力射流對(duì)曲面的沖擊力動(dòng)量方程求解步驟動(dòng)量方程求解步驟:建立

18、坐標(biāo)系, 選定控制體分析控制體所受到的力分析動(dòng)量的變化 (流出減流進(jìn), 速度投影有正負(fù))，列動(dòng)量方程。對(duì)于實(shí)際問(wèn)題，還要借助于伯努利方程和連續(xù)方程。例例1 1 一股水平方向上的射流沖擊一斜置的光滑平板。已知射流來(lái)流速度為v，流量為Q，密度為p，平板傾角為 。不計(jì)重力及流動(dòng)損失，求射流對(duì)斜置平板的作用力F。解解 取控制體如圖。因射流處于大氣之中，射流中壓強(qiáng)都近似等于大氣壓。又由伯努利方程知 V1 = V2 = V。因忽略流動(dòng)損失，液流與平板間的摩擦力略去不計(jì)，則F必垂直于板面x 方向動(dòng)量方程： y 方向動(dòng)量方程： 0cos2211QVVQVQFQVsin11 cos2QQ21 cos2QQ由連續(xù)

19、性條件 Q = Q1 + Q2 和 x 方向的動(dòng)量方程還可以解出2.2.射流對(duì)平板的作用力射流對(duì)平板的作用力)()()(121212zzvzyyvyxxvxvvqFvvqFvvqFv如圖所示，流股以45角自一窄縫射出沖擊在一平板上，若出流的流量為，不計(jì)阻力及重力，求平面上流體流量與的比值。 例 2 有一沿鉛垂放置的彎管如圖3所示，彎頭轉(zhuǎn)角為90，起始斷面1-1與終止斷面2-2間的軸線長(zhǎng)度L為3.14m，兩斷面中心高差z為2m，已知斷面1-1中心處動(dòng)水壓強(qiáng) 為117.6 ，兩斷面之間水頭損失為0.1m，管徑d為0.2m。試求當(dāng)管中通過(guò)流量Q為0.06 時(shí)，水流對(duì)彎頭的作用力。 2kN/m/sm31p解題步驟（2 2）求斷面）求斷面2-22-2中心處水的壓強(qiáng)中心處水的壓強(qiáng)解：解： （1 1）求管中流速）求管中流速 m/s911420143060406022.d.AQv以斷面以斷面2-22-2為基準(zhǔn)面，對(duì)斷面為基準(zhǔn)面，對(duì)斷面1-11-1與與2-22-2寫(xiě)能量方程寫(xiě)能