車輛隨機振動(上)

1、 車輛隨機振動第1章 緒論前期基礎(chǔ)課程概率論n1.何為隨機振動？n2.車輛與隨機振動有何關(guān)系？ 大方面：學(xué)習(xí)隨機振動有何用處？ 學(xué)科方面：學(xué)習(xí)隨機振動能解決車輛工程中的哪些問題？n3.如何利用隨機振動理論分析相應(yīng)問題？1.1 振動的描述n振動是宇宙普遍存在的一種現(xiàn)象，總體分為宏觀振動(如地震、海嘯)和微觀振動(基本粒子的熱運動、布朗運動)。n振動原理廣泛應(yīng)用于音樂、建筑、醫(yī)療、制造、建材、探測、軍事等行業(yè)，有許多細(xì)小的分支，對任何分支的深入研究都能夠促進(jìn)科學(xué)的向前發(fā)展，推動社會進(jìn)步。 1.1 .1振動（vibration）系統(tǒng)產(chǎn)生振動的原因：n質(zhì)量n彈性n動力載荷1.振動：物體在平衡位置附件的

2、往復(fù)運動。n研究主要方面：振動對象的力、位移（速度、加速度）等物理量的變化規(guī)律。1.1 .1振動（vibration）2. 振動的條件（vibration condition）（1）初始激勵（internal excitation）n力、位移（速度、加速度）等物理量（2）外界激勵（external excitation） F（t）=0 or notX1.1 .1振動（vibration）3.振動規(guī)律（regularity）建模（建立系統(tǒng)的微分方程，再求解）當(dāng)f(t)有規(guī)律時，規(guī)則振動；當(dāng)f(t)無規(guī)律時，隨機振動；X22( )( )( )( )d x tdx tmfKx tf tdtdt1.1

3、 .2隨機振動（random vibration）當(dāng)f(t)無規(guī)律時，隨機振動n它的規(guī)律不能用時間的確定函數(shù)來描述，但卻能幾概率論和統(tǒng)計動力學(xué)的方法來描述。 n在這大量的振動現(xiàn)象的集合中，就單個現(xiàn)象來看似乎是雜亂的、無規(guī)則的，但從總體來看，它們之間卻存在著一定的統(tǒng)計規(guī)律性.X22( )( )( )( )d x tdx tmfKx tf tdtdt1.1 .2隨機振動（random vibration）n汽車方面的典型例子是路面的隨機凹凸不平使行駛的汽車產(chǎn)生隨機振動；n被切削工件表層軟硬不均使車刀及刀架產(chǎn)生隨機振動；n風(fēng)對建筑結(jié)構(gòu)的隨機激勵；n地震對結(jié)構(gòu)的隨機激勵；n浪使船舶產(chǎn)生隨機振動；n大氣

4、湍流使機翼產(chǎn)生隨機振動等等。1.1 .2隨機振動（random vibration）隨機振動的特點：n（1）隨機振動沒有固定的周期，既不能用簡單函數(shù)的線性組合來表述其運動規(guī)律； n（2）對確定的時間t，振動的三要素（振幅、頻率、相位角）不可能事前知道，且它們本身也是隨機的；n（3）在相同的條件下，進(jìn)行一系列測試，各次記錄結(jié)果不可能一樣。1.1 .2隨機振動（random vibration）隨機振動的產(chǎn)生：確定性系統(tǒng)+確定性激勵 確定性響應(yīng) 確定性系統(tǒng)+隨機激勵 隨機響應(yīng) 隨機系統(tǒng)+任何激勵 隨機響應(yīng)11隨機振動與確定性振動的本質(zhì)區(qū)別在于它一般指的不是單個現(xiàn)象，而是一個包含著大量現(xiàn)象的集合；從

5、集合中的單個現(xiàn)象來看似乎是雜亂的，但從總體來看卻存在著一定的統(tǒng)計規(guī)律性。因此，它雖然不能用時間的確定函數(shù)來描述，但能用統(tǒng)計特性來描述。 在確定性振動中，系統(tǒng)的激勵與響應(yīng)之間有著確定的函數(shù)關(guān)系，而在隨機振動中，只能滿足于確定它們的統(tǒng)計特性之間的關(guān)系。1.1 .2隨機振動（random vibration）1.2 振動的研究問題1.2.1 振動分析與設(shè)計（design and analysis）n 已知系統(tǒng)輸入和系統(tǒng)特性（結(jié)構(gòu)、參數(shù)），確定輸出特性；再通過優(yōu)化方法選擇適合的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)，使輸出響應(yīng)最佳。n如：需要使得某汽車的平順性優(yōu)良n（1）控制汽車座椅垂直方向的加速度、振幅n（2）控制汽車座椅振

6、動的頻率1.2 振動的研究問題1.2.2 參數(shù)識別（parameters identification）n 已知系統(tǒng)輸入和輸出，確定系統(tǒng)參數(shù)。n如：需要對某汽車中一些復(fù)雜的結(jié)構(gòu)（部件）確定參數(shù)。n（1）汽車輪胎n（2）汽車車架的整體剛度等。1.2 振動的研究問題1.2.3 環(huán)境識別（environment identification）n 已知系統(tǒng)參數(shù)和輸出，確定系統(tǒng)輸入。n如：需要確定何種路面對汽車某部件（如車軸）的振動損傷最厲害，從而針對不同環(huán)境使用不同的部件。1.3 振動的研究方法確定性系統(tǒng)+隨機激勵 隨機響應(yīng)（1）對確定性系統(tǒng)進(jìn)行研究（2）對輸入、輸出（信號）進(jìn)行研究1.3.1 系統(tǒng)建

7、模n 明確系統(tǒng)結(jié)構(gòu)組成，將系統(tǒng)簡化，用數(shù)學(xué)關(guān)系式把輸入和輸出表示出來。一、機械系統(tǒng)的建模一、機械系統(tǒng)的建模 （微分方程）（微分方程）1 1、機械平動系統(tǒng)、機械平動系統(tǒng) 平動即直線運動，其主要元件為質(zhì)量、彈簧、平動即直線運動，其主要元件為質(zhì)量、彈簧、阻尼器。阻尼器。機械系統(tǒng)分為機械系統(tǒng)分為平動平動系統(tǒng)和系統(tǒng)和旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型的建立主要應(yīng)用牛頓定理來列寫。型的建立主要應(yīng)用牛頓定理來列寫。dttxdmmatf22)()(mf(t)x(t)質(zhì)量質(zhì)量Kx2(t)x1(t)f(t)彈簧彈簧dttdxdttdxCtf)()()(21)()()(21txtxKtfCx2(t)x1(t)f

8、(t)阻尼器阻尼器預(yù)預(yù)備備知知識識圖圖2-1 2-1 機械移動系統(tǒng)機械移動系統(tǒng)XXCC解：取解：取f(t)為輸入量為輸入量, x(t)為輸出量為輸出量22( )( )( )( )d x tdx tmCKx tf tdtdt22( )( )( )( ) Kfd x tf tftf tmdt( )( )KftKx t( ) ( )fdx tf tCdtXC注：注：1、受力分析時分割點選擇在蓄能器的兩端；、受力分析時分割點選擇在蓄能器的兩端；2、可假定為輸出（位移、速度、加速度）與輸入的方向相同，大小小于輸入的大小。、可假定為輸出（位移、速度、加速度）與輸入的方向相同，大小小于輸入的大小。2 2、機

9、械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)、機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng) 旋轉(zhuǎn)機械系統(tǒng)用途極其廣泛，其建模方法旋轉(zhuǎn)機械系統(tǒng)用途極其廣泛，其建模方法與平移系統(tǒng)非常相似。只是將平移的質(zhì)量、彈與平移系統(tǒng)非常相似。只是將平移的質(zhì)量、彈簧、阻尼器分別變成了轉(zhuǎn)動慣量、扭轉(zhuǎn)彈簧和簧、阻尼器分別變成了轉(zhuǎn)動慣量、扭轉(zhuǎn)彈簧和旋轉(zhuǎn)阻尼。旋轉(zhuǎn)阻尼。BJ J-粘性液體圖 機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)KJ JJT例：下圖為在扭矩例：下圖為在扭矩T T作用下的機械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)，包含有慣量、扭轉(zhuǎn)作用下的機械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)，包含有慣量、扭轉(zhuǎn)彈簧、回轉(zhuǎn)粘性阻尼。試寫出其微分方程。其中轉(zhuǎn)動慣量為彈簧、回轉(zhuǎn)粘性阻尼。試寫出其微分方程。其中轉(zhuǎn)動慣量為J J，轉(zhuǎn)角為轉(zhuǎn)角為，回轉(zhuǎn)粘性阻尼系數(shù)為，回轉(zhuǎn)粘性阻尼系數(shù)

10、為B BJ J ，扭轉(zhuǎn)彈簧剛度為，扭轉(zhuǎn)彈簧剛度為K KJ J 。22kBkJBJdJTTTd tTkdTBd t 消去中間變量，整理得微分方程：( )( )JJJtBtkT 解：二、建立微分方程模型的步驟：二、建立微分方程模型的步驟：n 分析系統(tǒng)的工作原理，分析系統(tǒng)的工作原理，確定輸入量和輸出量確定輸入量和輸出量； n 將系統(tǒng)分解為各環(huán)節(jié)，建立將系統(tǒng)分解為各環(huán)節(jié)，建立各環(huán)節(jié)輸入量、輸各環(huán)節(jié)輸入量、輸 出量之間的動態(tài)聯(lián)系出量之間的動態(tài)聯(lián)系。n 消去中間變量消去中間變量，求出系統(tǒng)的微分方程。，求出系統(tǒng)的微分方程。n 標(biāo)準(zhǔn)化微分方程標(biāo)準(zhǔn)化微分方程。輸入量輸入量右右端，輸出端，輸出左左端；端； 降冪排

11、列。降冪排列。作業(yè)1： 推導(dǎo)汽車的二自由度模型 為懸掛質(zhì)量（車身質(zhì)量）， 為非懸掛質(zhì)量（車輪質(zhì)量）， 為懸掛剛度， 懸掛阻尼系數(shù)， 為車輪剛度mtmktkcmtmkctkztzqmtmkctkztzq2222()() ()()() ttttttttd zk zzc zzmdtd zk qzk zzc zzmdt具體受力分析圖見黑板，比較教材上1-6.1.3 振動的研究方法確定性系統(tǒng)+隨機激勵 隨機響應(yīng)（1）對確定性系統(tǒng)進(jìn)行研究（2）對輸入、輸出（信號）進(jìn)行研究1.3.1 振動分析中常見信號及處理方法（1）常見信號n周期信號可以看作一均值（階躍信號）與一系列諧波（基波角頻率的整數(shù)倍）線性之和-諧

12、波分析法確定性系統(tǒng)+隨機激勵 隨機響應(yīng)確定性系統(tǒng)+隨機激勵 隨機響應(yīng)確定性系統(tǒng)+隨機激勵 隨機響應(yīng)確定性系統(tǒng)+隨機激勵 隨機響應(yīng)1.3.1 振動分析中常見信號及處理方法（1）周期信號諧波信號)sincos()(0100tnbtnaatxnnn220)(1TTdttxTa 220cos)(2TTntdtntxTa 220sin)(2TTntdtntxTb 式中 -周期； -基頻, 。002T1.3.2 振動分析中常見信號及處理方法（1）周期信號方波信號 奇函數(shù)：00naa 為偶數(shù)為奇數(shù)nnnAnnAttnATttntxTbTTTn04cos12dsin4dsin)(2200220 t 的偶函數(shù)

13、t x(t) -A A T 非對稱周期方波 周期方波 1.3.1 振動分析中常見信號及處理方法（1）周期信號三角波信號1.3.1 振動分析中常見信號及處理方法（2）非周期信號階躍信號與脈沖信號上述信號中如：則為階躍信號，階躍信號求導(dǎo)，則為脈沖信號。000nnaab1.3.1 振動分析中常見信號及處理方法（3）隨機信號（random signal）1.3.2 隨機信號的處理方法n隨機信號的共同特征是激勵和響應(yīng)事先不能用時間的確定函數(shù)描述。這種具有不確定性的振動過程稱作隨機振動。n隨機振動雖不具有確定性，但仍可利用統(tǒng)計的方法研究其規(guī)律性。n總結(jié)：通過處理，找信號中的必然性結(jié)果。（如何找？概率）n處

14、理方法：n1、幅值分析（amplitude analysis）n計算均值、方差等。n如分析汽車在路上行駛時的振動幅度。1.3.2 隨機信號的處理方法n2、頻域分析（frequency analysis）n通過傅里葉變換等，分析振動的頻率特性。n如分析汽車在路上行駛時的共振頻率、平順性相關(guān)頻率等。n3、相關(guān)分析（correlation analysis）n用自相關(guān)、互相關(guān)分析兩個物理量之間的關(guān)系。n如評判兩段信號之間的相關(guān)性，從而確定一段信號能否和另一段信號同樣適用。第2章 隨機變量的分布及數(shù)字特征n隨機振動的研究內(nèi)容是分析系統(tǒng)受到隨機激勵時系統(tǒng)響應(yīng)的統(tǒng)計特性。n對某振動運動，其規(guī)律顯示出相當(dāng)?shù)?/p>

15、隨機性而不能用確定性的函數(shù)來表達(dá)，使得只能用概率和統(tǒng)計的方法來描述，這種振動被稱為隨機振動。 隨機激勵 確定性系統(tǒng) 隨機響應(yīng)第2章 隨機變量的分布及數(shù)字特征（2）引入隨機變量的目的：）引入隨機變量的目的：用隨機變量的取值范圍表示隨機事件，利用高等數(shù)用隨機變量的取值范圍表示隨機事件，利用高等數(shù)學(xué)的工具研究隨機現(xiàn)象。學(xué)的工具研究隨機現(xiàn)象。2.1.1 隨機變量的表示：隨機變量的表示：常用字母常用字母X,Y,Z，.表示表示; 2.1 隨機變量及其分布（隨機過程基礎(chǔ)）隨機變量的取值具有一定的概率隨機變量的取值具有一定的概率：如扔骰子。(4)隨機變量的類型：隨機變量的類型： 這兩種類型的隨機變量因其取值方

16、式的不同這兩種類型的隨機變量因其取值方式的不同各有特點，學(xué)習(xí)時注意它們各自的特點及描述方各有特點，學(xué)習(xí)時注意它們各自的特點及描述方式的不同。式的不同。具有隨機性具有隨機性:在一次試驗之前不知道它取哪一個在一次試驗之前不知道它取哪一個值，但事先知道它全部可能的取值。值，但事先知道它全部可能的取值。 隨機變量的特點隨機變量的特點:離散型與連續(xù)型隨機變量離散型與連續(xù)型隨機變量。2.1 隨機變量及其分布（隨機過程基礎(chǔ)）2.1.2 隨機變量的概率分布函數(shù)對于一個隨機試驗，我們關(guān)心下列兩件事情： （1）試驗會發(fā)生一些什么事件？（2）每個事件發(fā)生的概率是多大？ 引入隨機變量后, 上述說法相應(yīng)變?yōu)橄铝斜硎龇绞?/p>

17、： （1）隨機變量X可能取哪些值？（2）隨機變量X取某個值的概率是多大？ 對一個隨機變量X，若給出了以上兩條，我們就說給出了隨機變量X的概率分布(也稱分布律）。 如果隨機變量如果隨機變量X X所有可能的取值是有限個或無所有可能的取值是有限個或無窮可列個，則窮可列個，則稱稱X X為離散型隨機變量。為離散型隨機變量。2.1.2 隨機變量的概率分布函數(shù)隨機變量的概率分布函數(shù)一、離散型隨機變量的離散型隨機變量的2.離散型隨機變量離散型隨機變量的分布律的分布律 要掌握一個離散型隨機變量的分布律，必須要掌握一個離散型隨機變量的分布律，必須且只需知道以下兩點：且只需知道以下兩點： (1) X所有可能的取值所

18、有可能的取值: :(2)(2)X取每個值時的概率取每個值時的概率:, 3 , 2 , 1,)(,21 kpxXPxxxXkkk稱稱 (1) 式為式為離散型隨機變量離散型隨機變量X X的分布律的分布律.)1(, 3 , 2 , 1)( kpxXPkk離散型離散型隨機變量隨機變量X的分布律可用公式法和表格的分布律可用公式法和表格法描述。法描述。1)1)公式法公式法:2)2) 表格法表格法:, 3 , 2 , 1)( kpxXPkk21kpppxxX21 例例1：將一枚硬幣連擲兩次，求將一枚硬幣連擲兩次，求“正面出現(xiàn)的次正面出現(xiàn)的次數(shù)數(shù)X ”的分布律。的分布律。解：解：在此試驗中，所有可能的結(jié)果有：

19、在此試驗中，所有可能的結(jié)果有：e1=（正，正）；（正，正）；e2=（正，反）；（正，反）；e3=（反，正（反，正) ；e4=（反，反）。（反，反）。于是，正面出現(xiàn)的次數(shù)于是，正面出現(xiàn)的次數(shù)X ”的分布律：的分布律：離散型隨機變量分布律的性質(zhì)離散型隨機變量分布律的性質(zhì) 例例: 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X的分布律為：的分布律為：1)2, 3 , 2 , 1,0) 1kkkpkp.10, 2 , 1,10)( kakXP試求常數(shù)試求常數(shù)a. 11101apkk解：由在實際應(yīng)用中，關(guān)心的不是某個變量值的出現(xiàn)概率，而是某個變量值出現(xiàn)在某個區(qū)間的概率（發(fā)布函數(shù)）3 3 （離散型）隨機變量的分布函數(shù)（離散型）隨

20、機變量的分布函數(shù)引例：設(shè)引例：設(shè)X=“擲一顆骰子時擲出的點數(shù)擲一顆骰子時擲出的點數(shù)”，記，記PX1= F(1）PX2= F(2）PX3= F(3）一般地：對任意的實數(shù)一般地：對任意的實數(shù)記記, x)()(xFxXP 我們把我們把 稱為稱為)(xF設(shè)設(shè)X X為一隨機變量為一隨機變量, , 為任意實數(shù)為任意實數(shù), ,稱稱為為定義域為：定義域為：值域為：值域為：x)()(xXPxF xa函數(shù)函數(shù)F(a)的值等于的值等于X的取值落入?yún)^(qū)間的取值落入?yún)^(qū)間(-,a內(nèi)的概率值。如何求？內(nèi)的概率值。如何求？),( x1 , 0)( xF 3）)()()()()()2(aFbFaXPbXPbXaP )()()1(

21、bFbXP 0（ab)(1)(1)()3(bFbXPbXP )(xF)(xF()( )( )P aXbF bF a()P aXb( )( )()F bF aP Xa()P aXb( )( )()()F bF aP XaP Xb()P aXb( )( )()F bF aP Xb ； 0 0 01 0 0 aFaXaFbFbXaaFaXaFbFbXaaFaFaXaFbFbXaPPPPPP例1：已知隨機變量X的分布律為:)23()23()1( : XPF解解),(),()2( xxF求求.23)(處的值處的值在在 xxF.),(并作圖并作圖xF(1)求求X的分布函數(shù)的分布函數(shù)(2)求求X的分布函數(shù)的

22、分布函數(shù)43)1()0( XPXP0)()(0 xXPxFx時時，當(dāng)當(dāng))()(10 xXPxFx 時時，當(dāng)當(dāng))()(21xXPxFx 時時，當(dāng)當(dāng))()(2xXPxFx 時時，當(dāng)當(dāng) 2, 121, 4/310, 4/ 10, 0)(xxxxxF41) 0( XP43) 1() 0( XPXP1) 2() 1() 0( XPXPXPP(0 x 1)=F(1)-F(0)=?nP(0 x 1)=F(1)-F(0)+P(x=0)n =3/4-1/4+1/4n =3/4書本例2-1：隨機抽取兩件產(chǎn)品，沒有廢品的概率為0.5，一個為廢品的概率為0.3，兩個均為廢品的概率為0.2，求廢品率的分布函數(shù)。解：依據(jù)

23、題意，有因在坐標(biāo)上可以表示出3個點，將坐標(biāo)分為4段。所以需求4段上的分布函數(shù)。則其分布函數(shù) 01200.510.320.2P xpP xpP xp則其分布函數(shù) 000.501( )0.81212xxF xP Xxxx 例例 在區(qū)間在區(qū)間 0，a 上任意投擲一個質(zhì)點，以上任意投擲一個質(zhì)點，以 X 表示這個質(zhì)表示這個質(zhì)點的坐標(biāo)點的坐標(biāo). 設(shè)這個質(zhì)點落在設(shè)這個質(zhì)點落在0, a中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比個小區(qū)間的長度成正比，試求，試求 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù).設(shè)設(shè) F(x) 為為 X 的分布函數(shù)，的分布函數(shù)，當(dāng)當(dāng) x a 時，時，F(xiàn)(x) =1 解：解： 例

24、例 在區(qū)間在區(qū)間 0，a 上任意投擲一個質(zhì)點，以上任意投擲一個質(zhì)點，以 X 表示這個質(zhì)表示這個質(zhì)點的坐標(biāo)點的坐標(biāo). 設(shè)這個質(zhì)點落在設(shè)這個質(zhì)點落在0, a中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比個小區(qū)間的長度成正比，試求，試求 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù). 例例 在區(qū)間在區(qū)間 0，a 上任意投擲一個質(zhì)點，以上任意投擲一個質(zhì)點，以 X 表示這個質(zhì)表示這個質(zhì)點的坐標(biāo)點的坐標(biāo). 設(shè)這個質(zhì)點落在設(shè)這個質(zhì)點落在0, a中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比個小區(qū)間的長度成正比，試求，試求 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù).當(dāng)當(dāng) 0 x a 時，時， P(0

25、X x) = kx (k為常數(shù)為常數(shù) ) 由于由于 P(0 X a) = 1 ka=1，k =1/a0a F(x) = P(X x) = P(X0) + P(0 X x)=x / a設(shè)設(shè) F(x) 為為 X 的分布函數(shù)，的分布函數(shù)，解解: 例例 在區(qū)間在區(qū)間 0，a 上任意投擲一個質(zhì)點，以上任意投擲一個質(zhì)點，以 X 表示這個質(zhì)表示這個質(zhì)點的坐標(biāo)點的坐標(biāo). 設(shè)這個質(zhì)點落在設(shè)這個質(zhì)點落在0, a中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比個小區(qū)間的長度成正比，試求，試求 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù).axaxaxxxF, 10,0, 0)( 這就是在區(qū)間這就是在區(qū)間 0，a上服

26、從均勻分布上服從均勻分布的隨機變量的分布函數(shù)的隨機變量的分布函數(shù). 是右連續(xù)函數(shù)，即是右連續(xù)函數(shù)，即0)(lim)( xFFx是一個單調(diào)不減函數(shù)是一個單調(diào)不減函數(shù)且且, 1)(0)2( xF)() 1 (xF)()3(xF1)(lim)( xFFx)()(lim0 xFxFxx 右連續(xù)可理解為數(shù)對應(yīng)的值與其靠右數(shù)對應(yīng)的值同。 試說明試說明F(x)能否作為某個隨機變量能否作為某個隨機變量X的的分布函數(shù)分布函數(shù)其他, 00,sin)(xxxF例：例：設(shè)有函數(shù)設(shè)有函數(shù)求求: (1) 常數(shù)常數(shù)A，B的值；的值； (2) P(0X1)例例2：設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為：xBarct

27、gxAxF,)( 1)(0)()1(FF由性質(zhì)由性質(zhì)解：解： 1)2(0)2( BABA 121BA)0()1()10()2(FFXP 41 0,10,0)()(xxxxxFC例例3:下列函數(shù)中可作為隨機變量分布函數(shù)的是下列函數(shù)中可作為隨機變量分布函數(shù)的是 ( )arctgxxFBxxFA2143)()(11)()(212)()(arctgxxFD10)()(FA 說明：021)()(FB 12)()(FD ) 0()(lim)1)(, 0)()()(00FxFiiiFFiixFiCx單增為正確答案易證C2.2 （連續(xù)型）隨機變量概率密度函數(shù)n在一個產(chǎn)品設(shè)計中，如果需要知道隨機變量的一個界限值

28、（如最大或最小），則知道其分布函數(shù)就可以了。n例：研究汽車平順性時，只要保證（汽車在路面行駛時）座椅的垂向振幅小于某個值的概率不大于90%就可以了。這時候知道分布函數(shù)就可以了。n在一個產(chǎn)品設(shè)計中，如需要知道隨機變量在不同區(qū)間時概率大小，則需要知道概率密度函數(shù)。n例：要改善平順性，需知道振幅所在的最密集區(qū)間。2.2.1連續(xù)型隨機變量及其概率密度定義： 對于隨機變量X的分布函數(shù) 若存在 非負(fù)的函數(shù) 使對于任意實數(shù) 有： ( ),f x()( )( )xP XxF xf t dt( ),F x, x( )f x其中 稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度概率密度。 則稱X為連續(xù)型隨機變量， 連續(xù)型隨機變

29、量的取值充滿一個區(qū)間，對這種類型的隨機變量主要用概率密度描述。 與物理學(xué)中的質(zhì)量線密度的定義相類似()( )P xXxxfxx00()( )()( )( )xxF xxF xP xXxxf xF xlimlimxx( )f x 的性質(zhì)：1) ( )0f x +2) ( )1f x dx2112211221 () ( ) ()( )xxxx xxP xXxf t dtF xF x3) 對于任意的實數(shù) ，4) ( ) ( )( )f xx F xf x在連續(xù)點 ，( )f x即在的連續(xù)點( )f xXx表示 落在點 附近的概率的多少( )yf x1面積為1x2x12 P xXx5）連續(xù)型隨機變量連

30、續(xù)型隨機變量X取任一實數(shù)的概率值取任一實數(shù)的概率值為零為零.)(0)(:為任一實數(shù)即aaXP注意注意: 5)表明求表明求連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量落在一個落在一個區(qū)間上的概率值時，不必考慮區(qū)間端點的區(qū)間上的概率值時，不必考慮區(qū)間端點的情況。即情況。即)()()(bXaPbXaPbXaP例例1、已知連續(xù)型隨機變量已知連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為：1, 110,0, 0)(2xxxxxF求求(1) P(0. 3 X 0.7) ; (2)X的概率密度的概率密度f(x).)7 . 03 . 0() 1 ( XP解：4 . 0)3 . 0()7 . 0(FF)()()2(xFxf其它,

31、010,2xx2.2.2概率密度、分布函數(shù)和概率之間的關(guān)系n 例：設(shè)X的概率密度為 (1)求常數(shù)c的值； (2) 寫出X的概率分布函數(shù)； (3) 要使 求k的值。 解：2()3P Xk， 01( )2 9 360 cxf xx其他 1( )f t dt1 ( )( )xF xP Xxf t dt2160329cdtdt23c13c010103 0 01 0131 13312 3639 1 6xxxdtxdtxdtdtxx000101013013 0 010 013100 1331200 3639 1 xxxxdtxdtdtxdtdtdtxdtdtdtdtx 6x0 1 3 6 2 ()( )4

32、.53P XkF kk3 使0 03 011 3 13(23)/9 361 6xxxxxxx幾個重要的連續(xù)量（參考內(nèi)容，不講） 均勻分布 定義：X具有概率密度 稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布均勻分布， 記為XU(a,b) 1()c lcacclblP cXcldtcbaba 設(shè) -與 無關(guān)0 ( ) 1 xaxaF xaxbbaxb1 ( , )( )0 xa bf xba其他 f x0bxa1b a F x0bxa1例例1 1 某站點從某站點從8 8點到點到1010點有一班車隨機到達(dá)點有一班車隨機到達(dá), , 一一乘客乘客9 9點到達(dá)車站。問他能坐上該班車的概率。點到達(dá)車站。問他能坐上該班

33、車的概率。)9(XP9)(dxxf乘客乘客9點到達(dá)能坐上班車的概率為點到達(dá)能坐上班車的概率為:2121109dx解：設(shè)解：設(shè)X X班車到達(dá)車站的時刻，班車到達(dá)車站的時刻，則則XU（8，10）, 故故2.2.3 隨機變量的函數(shù)分布問題：已知隨機變量X的概率分布， 且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。一維隨機變量函數(shù)的分布一維隨機變量函數(shù)的分布1. X離散離散,:)(21kyyyXgY離離散散 )()(kkyXgPyYP )(關(guān)關(guān)鍵鍵反反解解GX )(GXP miiixxxG,21 如如加法加法使使 對應(yīng)的對應(yīng)的X的那些可能值的那些可能值,其概率之和其概率之和kyXg )(1)先求出先求出Y的分布

34、函數(shù)與的分布函數(shù)與X的分布函數(shù)之間的關(guān)系：的分布函數(shù)之間的關(guān)系：)()Y()(yXgPyPyFY)()(11ygFygXPX (2)再兩邊同時對再兩邊同時對y求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)yXYygygfyf) )()()(11）的的一一般般步步驟驟是是：（則則求求的的概概率率密密度度為為：設(shè)設(shè)yfXgYxfXY),(),( 小小結(jié)結(jié) X連續(xù)連續(xù) 1.當(dāng)當(dāng)X、Y為單值對應(yīng)時為單值對應(yīng)時n例：設(shè) Y=2X,Z=X2,求Y,Z的概率分布。13X-110p131323Z01p1313Y-220p1313解：Y的可能取值為-2,0,2 Z的可能取值為0,1(Y=-2)的等價事件為(X=-1)(Z=1)的等價事件為(X=

35、1)(X=-1)故得：n例： 2( ) ( )YXf xxYXYfy 設(shè) 的概率密度為，求 的概率密度( )YYFy解：設(shè) 的概率分布函數(shù)為 0( )YyFy當(dāng)時，()P Yy2()P Xy( )yyf t dt00( )( )yyf t dtf t dt( )( )YYfyFy1 ()(), 02 0 , 0fyfyyyy 0( )YyFy當(dāng)時，()0P Yy( ),( )0 ( )0)() XXfxxg xg xYg XY 定理：設(shè)，或。， 則 具有概率密度為：( ( )( ) , ( ) 0, XYfh yh yyfy其他min( (),() max( (),()( )( )ggggh

36、yxyg x其中，( )0,g x 證明：不妨設(shè)( )0h y 且：( )( ( ) ( )( ( )( )YXXfyfh y h yfh yh y( )0 g x 同理可證：當(dāng)時，定理為真xh(y),yy0y=g(x)y g x則為單調(diào)增函數(shù), ( )()( ()()0YyFyP YyP g XyP X 當(dāng)時，； y當(dāng)時，( )1YFy ； y當(dāng)時，( )()YFyP Yy( ()P g Xy( )P Xh y( )( )h yXft dt( ),( )0,( )0 ( )0)() ( ( )( ) , ( ) 0, min( ( ), ( ) max( ( ), ( )( )( )XXYX

37、fxx f xa bxa bg xg xYg XYfh yh yyfyg a g bg a g bh yxyg x推論：設(shè)當(dāng)時或。， 則 具有概率密度為：其他其中，3, 04( ) ( )80, YxxXf xYXfy。若， 求 其他3( ) yg xx，131, 064( )24 0 , Yyyfy其他13 ( )xyh y2( )30g xx ，21331( )()3YXfyyfy 例： 解：n 1 2,0,1XF xXF xYF XYU例：設(shè) 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，為 的分布函數(shù)。求；設(shè)試證即均勻分布 。 ,01 0 , 0 xexXfxx解：由前知, 1,0 0 ,0 xexF xx

38、 1,02 0 ,0XeXYF XX 01Y YFyY記為 的概率分布函數(shù), 00YyFyP Yy當(dāng)時， 11YyFyP Yy當(dāng)時， 011XYyFyPey當(dāng)時，1XP ey 11P Xlny 0, 0 , 01 , 0,11, 1YyFyyyYUy即111lnyey n例：設(shè)有一正弦函數(shù)x(t)=x0sinwt。若隨機任選一時間t，且時間t的選取是等可能的，求其（正弦函數(shù)值）概率密度函數(shù)p(x)和分布函數(shù)F(x)。n解法一：將x(t)=x0sinwt在一個周期內(nèi)進(jìn)行（單調(diào)）區(qū)間劃分，按上述步驟進(jìn)行求解。n解：在一個周期（0，T）內(nèi)，即000000000( )Y sinsin330arcsin

39、 arcsin2arcsin 2213113arcsin(arcsin) (2arcsin)24 22411arcsin2YF yPyP xtxxPtxxxxPtPtPtxxxxxxxxxxx000(0,2 )sin(,)txxtx x 2201( )( )YYpyFyxx解：在一個周期（0，T）內(nèi)，即000000000( )Ysinsin330arcsinarcsin2arcsin2213113arcsin(arcsin)(2)2422211arcsin2( )YsinarcsinYYFyPyP xtxxPtxxxxPtPtPtxxxxxxxxxFyPyP xtxxP0002arcsin11

40、arcsin2xtxxxx000(0,2 )sin(,)txxtx x n解法二：在一個周期（0，T）內(nèi)，x(t)落在（x,x+dx）所占有的時間為2dt，概率為n所以，有2( )( ) ( ) ( )()( )( )( )dtP xx txdtTP xx txdtP x txdxP x txF xdxF xF xdxp xdx2( )dtp xTdxn解法二：因n得n又n得0220020022200022000sincos1 sin1 ( /)cos22( )1 ( /)2/211( )1 ( /)1( )( )sin ,cosxxxxtttx xdxxtdtdtp xTdxTxx xTdt

41、p xTdxxx xxxF xp x dxdxxxxxt dxxtdt 例：已知求解：00sin ,cosxxt dxxtdt0arcsin(/ )0/2111( )arcsin(/ )2xxF xdtxx令則( )cos (0)4p xAxx,( )A F x/4/4000()( )cossin/ 412( )2cos2sinxFp x dxAxdxAAF xxdxx 2.3 隨機變量的數(shù)字特征n在一個產(chǎn)品設(shè)計中，如果已知道某隨機變量的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)。如還要整體評價該隨機變量表現(xiàn)出的特征如何，則需研究隨機變量的數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望、方差等。q在評定某地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時，最關(guān)心的是平均

42、產(chǎn)量；q 在檢查一批棉花的質(zhì)量時，既需要注意纖維的平均長度，又需要注意纖維長度與平均長度的偏離程度；q 考察居民的家庭收入情況，我們既知 家庭的年平均收入，又要研究貧富之間的差異程度；n要評價整體垂向振動量的大小。2.3.1 根據(jù)概率密度計算數(shù)字特征（1）已經(jīng)統(tǒng)計了隨機變量的概率，在概率的基礎(chǔ)上可以計算分布函數(shù)、概率密度等。（2）在上述基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)字特征計算。1 1 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望n 例例1 1：甲、乙兩人射擊比賽，各射擊：甲、乙兩人射擊比賽，各射擊100100次，其中甲、乙的成績次，其中甲、乙的成績 如下：如下： 評定他們的成績好壞。評定他們的成績好壞。8 109 8010 1010801

43、089109100100100100 甲次數(shù)1080108910乙次數(shù)206515891082096510 1520651589108.95100100100100 1080108910100100100對于甲來說,、分別是 環(huán)、環(huán)、 環(huán)的概率；2065158910100100100對于乙來說,、分別是 環(huán)、環(huán)、 環(huán)的概率；數(shù)學(xué)若用期望它們相應(yīng)的概率表示，就得到了，也稱為均值(加權(quán)均值)。 解：計算甲的平均成績： 計算乙的平均成績： 所以甲的成績好于乙的成績。定義：定義：定義：定義：111() 1,2,kkkkkkkkkkkXP Xxpkx pXE Xx pE Xx p絕對收設(shè)離散型隨機變量

44、的分布律為：若級數(shù)則稱級數(shù)的和為隨機變量的，數(shù)學(xué)期記望為即 斂， , 0, D(Y)0, 的的協(xié)協(xié)方方差差),(Cov YX, ,稱稱為為X與與Y的的相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù), , 記記為為XY , ,即即 ),(Cov YXXY 計算公式：計算公式：)(D)(D),(CovYXYXXY 1| XY 性質(zhì)性質(zhì)1 1證證),(Cov2)(D)(D)(D YXYXYXXY 22 ，0 ，11 XY .1| XY 即即得得性質(zhì)性質(zhì)2若若bXaY ，則則1 XY , )(E)(EXbaY , )(D)(D2XbY )(E)(EbXaXXY 證證, )(E)(E2XbXa )0( b相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：相關(guān)系數(shù)的性

45、質(zhì)：性質(zhì)性質(zhì)2若若bXaY ，則則1 XY , )(E)(EXbaY , )(D)(D2XbY )(E)(EbXaXXY 證證, )(E)(E2XbXa )(D)(D),(CovYXYXXY )(D)(D)(E )(E)(EYXYXXY )(D)(D)(E)(E)(E)(E22XbXXbaXXbXa bXXXb )(D)(E)(E22 0 10 1 bbbb)0( b 相關(guān)系數(shù)是隨機變量之間相關(guān)系數(shù)是隨機變量之間線性關(guān)系線性關(guān)系強弱的一個強弱的一個度量度量(參見如下的示意圖參見如下的示意圖).1 XY XY1 XY XY10 XY 01 XY XY| |的值越接近于的值越接近于1, Y與與X的

46、線性相關(guān)程度越高的線性相關(guān)程度越高; | |的值越接近于的值越接近于0, Y與與X的線性相關(guān)程度越弱的線性相關(guān)程度越弱. 4.3 4.3 隨機變量的線性相關(guān)性隨機變量的線性相關(guān)性定義定義如如果果0 XY ，稱稱X與與Y不不相相關(guān)關(guān)。 下列事實彼此等價：下列事實彼此等價： (1) X與與Y不不相相關(guān)關(guān)( (即即0 XY ) )； ；）（0),(Cov 2 YX；）（)(E)(E)(E 3YXXY . )(D)(D)(D 4YXYX ）（若若X與與Y 相互獨立，則相互獨立，則X與與Y 不相關(guān)。不相關(guān)。 定理定理注意：注意：(2) (2) 在在正態(tài)分布正態(tài)分布的場合的場合, ,獨立性與不相關(guān)性是一致

47、的。獨立性與不相關(guān)性是一致的。 (1) (1) 逆命題不成立逆命題不成立, ,即即X與與Y 不相關(guān)時不相關(guān)時, ,不一定獨立不一定獨立. . 二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布. ),(),(22212 1NYX),(yxf221121 2222212121212)(2)(2)()1(21e yyxx前面已證前面已證: : X, ,Y 相互獨立相互獨立.0 可以計算得可以計算得. XY 于是，對二維正態(tài)隨機變量于是，對二維正態(tài)隨機變量( (X, ,Y ) )來說來說, , X和和Y 不相關(guān)與不相關(guān)與X和和Y 相互獨立是等價的相互獨立是等價的. .4.4 相關(guān)函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)n4.4 .1自相關(guān)函數(shù)n自相

48、關(guān)函數(shù)反映了隨機過程在兩個不同時刻取值的依賴性。一般來說，間隔越大，相關(guān)性越小。相關(guān)程度越高，說明過程越平穩(wěn)，該隨機變量出現(xiàn)的程度（概率）越高。( ,)( ( ) ()xR t tE x t x t補充：平穩(wěn)隨機過程的相關(guān)時間相關(guān)時間1904.4.2 自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)： 自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù) xxRE X t X tE X tX tR 周期平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)也是周期函數(shù)， 其周期與過程的周期相同。 xxRTE X t X tTE X t X tR=0時的自相關(guān)函數(shù)就是均方值 20 xxxRE X t X tRE X t X t191 如果隨機過程不是周期過程，則： 22222222 01000 xxxxxxxxxxxxxxCRRRR 時，隨機變量與它自身是完全相關(guān)的時，兩個隨機變量之間將不再相關(guān) 前提：不是周期函數(shù)若，則 2limxxR192 自相關(guān)函數(shù)是一個