曲線積分與曲線積分

1、六、曲線積分與曲面積分1 設(shè)曲線L是上半圓周x2 y2 2x，則 xdl _。L解法由于L關(guān)于直線x 1對(duì)稱，所以(x 1)dlL0，從而解法令L：xdlL(x 1)L1dl(x 1)dlLdl 0Lcost,sint (0 txdl 0 (1Lcost) ,( sint)2 (cost)2dt 。解法設(shè)曲線L的質(zhì)量分布均勻，則其重心的橫坐標(biāo)為x1。又因?yàn)樗詘dlL上半橢圓周xdlLdlLxdlLx24y21,y 0，Li是四分之一橢圓周x24y21,x0, y 0，則(A)l(x y)di2l1(x y)dl。(B) L xydl2 L1 xydl。(C)Lx2dl 2l y2dl。(D)

2、 l(x y)2dl 2l1(x2 y2)dl。解由于L關(guān)于y軸對(duì)稱，所以L xdlL xydl注意到Lx2dll ydl2 l, ydl，2 L x2dl 2LiLx2dl2Li x2dl，2y2dl，從而可以排除LY2dl 2 l1 y2dl。(A), (B), (C)三個(gè)選項(xiàng)，或直接選出正確選項(xiàng)(D)。3 計(jì)算I xdl，其中L是圓周x2 y2 a2上從點(diǎn)A(0, a)經(jīng)點(diǎn)C(a,0)到點(diǎn) La aB(,)的段。解法1取y為自變量,則L的方程為x *：a2 y2，其中專 ya，所以x(y)2dyaa2公 y2 ：1(2y)；dy 2 G。v a2 y2乜 2解法2取L的參數(shù)方程為acos

3、t, »亠其中一t ,所以asi nt,42xdlLcost ( a sin t)2 (a cost)2dt、2 1、2a2。解法3由于n2x, y是圓周x2 y2 a2的外向單位發(fā)向量,a所以此圓周的正向單位切向量為丄ay,x。根據(jù)兩類曲線積分之間的關(guān)系,其中L的方程為I2a dy，Lx .a2 y2，終點(diǎn)為A(O,a)。因此4 計(jì)算 I “(xLy)x2 y2解由于圓周L關(guān)于y軸對(duì)稱，所以2 12.2 a。x2 y2dl，其中L是圓周x2 (y 1)21。匚x,x2 y2dlLy). x2I訂(xLI_y2y 2ydlL2 2x2 y2dl因?yàn)長(zhǎng)的參數(shù)方程為ycost, 01 s

4、int.，所以I (2 2)* ydl（2 顯）：（12sin)d5 .已知曲線 L是平面x y z(x2Ly2 z)dl。解法1由于曲線L的方程中的變量因此* (x2L)dl從而(xL解法2直接化成定積分進(jìn)行計(jì)算。橢圓，其方程是2 RCOSt,x y2 2 2(2 .2)。0與球面x2z2R2的交線，計(jì)算曲線積分x, y,z具有輪換對(duì)稱性，所以、x2dlLy2dlLz2dl，LxdlL zdl，L3lz2)dl2R2V34r3，x3lz)dl曲線x2xyRsint ,z)dl 1 0dl3ly2)dl“ zdlLR3。x2x yy2r22 ，zz2r2在x y平面的投影曲線R2。，則曲線L的

5、參數(shù)方程為2Rcost,3R . . R ._._y sint cost, 0 t 2 ， V2v 6z sint cost,v 2v' 6所以dl 22Rsin t2-cost R si ntR +6SintR +2 cost2dtRdt o從而2dl2 R2(cost)23RdtR2"y2dlL(Rsi ntR cost)2-2 - 6Rdt zdlLRRsint cost) Rdt.2 - 6因此z)dl“ x2dlL-y2dl LR36 .求柱面2x32y 31被球面x2y2R3z21包圍部分的面積S 。解根據(jù)第一型曲線積分的幾何意義及對(duì)稱性,S 8 .1 x2Ly2

6、di，2其中L是平面曲線 x31,在第一象限中的部分。x取L的參數(shù)方程為ycos3sin3-，則2,'2 2 2 2dl ( 3cos sin )(3sincos ) d 3sin cos所以S 81 x2 y2dlL802 . 1 cos6sin6 3sin cos dQQAQQA24 02 1 (cos sin )(cos cos sin sin ) sin cos d42. 2. 424 02 (cos sin ) cos cos sin sin ) sin cos d24 J3 乍 sin2 cos2 d643 q2 sin2(2 )d#J3 。7 計(jì)算IL 3x2 ydx x

7、3dy，其中L是從點(diǎn)(0,0)經(jīng)過點(diǎn)(1,0)到點(diǎn)(0,0)的折線段。解設(shè)L1: y 0, x從0到1 ； L2: x 1, y從0到1。根據(jù)路徑可加性，得232311IL13x ydx x dyL2 3x ydx x dy 00dx 0( 1)dy 1。8 設(shè)L是圓周x2y22x,則“Lydx xdy2 。解1根據(jù)格林公式，得ydxxdy1 (1)dxdy 2Lx2 y2 2x解2由于n x 1, y是L的外向單位法向量，所以 y,x 1就是L的正向單位法向量。根據(jù)兩類曲線積分之間的關(guān)系，得*ydx xdy =ydx (x 1)dy * dy*(y)2dl(x 1)2dl 02。LLLL9

8、.計(jì)算 I " y2xdy x2ydx， 其中L是圓周x2 y2 a2，順時(shí)針方向?yàn)檎?。Lx a cost,解1取L的參數(shù)方程為t從0到 2 ，則y asi nt,2 2I 、y xdy x ydxL2220 (asi nt) a cost acost (a cost) asi nt( asi nt)dt1 42214a4 02 (sin2t)2dta4 。2 0 2解2由于y2x, x2 y具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并注意到L的方向，根據(jù)格林公式得Iy2xdy x2ydxLy2 ( x2)dxdyx2 y2 a22a 2 sin140 d 0r rdr 2a 。10 .計(jì)算1(12xy

9、ey)dx (cosy xey)dy，其中 L 從點(diǎn)(1,1)沿曲線 y x2到點(diǎn)L設(shè)L1從點(diǎn)(1,1)沿曲線y x2到點(diǎn)(0,0);L2從點(diǎn)(0,0)沿直線y 0到點(diǎn)(2,0)。則由于I (12xy ey)dx (cosyL101(12x3 ex (cosx20 x22 x21(e 2x e )dx220(ex2x2ex )dx12 v2x2°2x2ex dx xexxey)dy(12xy ey )dx (cos y xey)dyL22xex )2xdxodxsinlsin 11,0edx，所以2x2exdx e,從而(0,0)，再沿直線y 0到點(diǎn)(2,0)。設(shè)L1從點(diǎn)(2,0)沿

10、直線x 2到點(diǎn)(2,1)；L2從點(diǎn)(2,1)沿直線y 1到點(diǎn)(1,1) , L與L1和L2圍成的區(qū)域記為 D。根據(jù)格林公式得I (12xy ey)dx (cosy xey)dyL L1 L2(12xy ey)dx (cosy xey)dyL1(12xy ey)dx (cosy xey)dyL2(ey 12x ey)dxdy ；(cosy 2ey)dy 21 (12x e)dxD21 (sin1 2 2e) ( 3e 18) sin1 e 1。(x y)dx (x y)dy i211 .計(jì)算I22，其中L是曲線y x22從點(diǎn)A( 2,2)到點(diǎn)B(2,2)l x2 y的一段。”、x y解 i 記

11、X(x, y) p 2,Y(x,y)x yx y r “二 2，當(dāng)(x,y)(0,0)時(shí)，有x y丫(x, y)x2y_(x2 y2)2x2 2xy2 2X(x, y)。y令Li是折線段A( 2,2) C( 2,2)D(2, 2)B(2,2)，則根據(jù)格林公式易知(x y)dx (xy)dyx2 y2 IL(x y)dx (x y)dyLi22 y4 y2 12廠2 x 2 dx2 x243 。2解2 令L1是直線段A(2,2)B(2,2) , L2是圓周x2 y2 r2 , r足夠小。由于當(dāng)(x, y)(0,0)時(shí)，有2 2y x 2xy(2 2(x y)2所以根據(jù)格林公式得(xy)dx(x

12、y)dyIL(x y)dx (x y)dy(xLix22 _x_272 dx42yi訂(xr L2y)dxy)dx (x y)dy2 2x y(x y)dy，記Cx12 .設(shè)u(x, y), v(x, y)在全平面內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),為包圍原點(diǎn)的正向簡(jiǎn)單閉曲線，計(jì)算i C(xv yu)dx ();u yv)dy。x yC CrX(x,y)dxY(x, y)dy0,故ICrX(x,y)dx Y(x,y)dy。xrcos令Cr :r sin ':0 2則yI 2丄0 r2r cos vr si nu)(sin )r (r cos u r sin v)r cos d=0 u(r cos,r

13、 sin)d2 u(r cos ,r sin ), 02 。任取r 0充分小，記Cr為圓周2 xy2 r2，并取逆時(shí)針方向，根據(jù)格林公式可知,由于I與r的值無關(guān)，令r0 ，得 I 2 u(0,0) o”、亠xvyuxuyv ,解記 I*CX(x, y)dx丫(x, y)dy，其中X(x,y) 22，丫(x,y)22。由于x yx yX(x,y)y(xVy22yuy u)(x y ) 2y(xv yu)(x(xVy2 2 2 2yuy)(xy ) (y x )u 2xyv272(x y )Y(x, y) (xuxyvx)(x2 2 2 2y2) (y2 x2)u 2xyv(222，(x y )2

14、 且 ux Vy,uyvx，所以當(dāng) x0時(shí)，X(x,y)丫(x, y)。yx13 .計(jì)算 Iey cosx aydx ey sinx b(x y)dy，其中 L 為 4x2 9y2 36 在L第一象限中的部分，方向?yàn)閺狞c(diǎn)（3,0）到（0,2） o解1由于曲線積分I1 ey cosx bydx ey sinx b(x y)dy與路徑無關(guān)，所以 L3所以I1 fcosxdx (2( by)dysin3 2b。又 ydx022sint ( 3sint)dtL3I I1 (b a) ydx (a b) 2b sin3。L2解2取L1是從點(diǎn)（0,2）經(jīng)點(diǎn)（0,0）到點(diǎn)（3,0），根據(jù)格林公式，得I ey

15、 cosx aydx ey sinx b(x y)dyL Liey cosx aydx ey si nx b(x y)dy03(a b)dxdy 2( by)dy 0cosxdx D1-3 2 (a b) 2b sin343(a b) 2b sin3。214 .設(shè)L是右半平面（x 0）內(nèi)的有向分段光滑曲線，起點(diǎn)為（a,b），終點(diǎn)為（c, d）。證明曲線積分I 丄1 x2sin（xy）dy 2x2sin（xy） 1dx與路徑無關(guān)，并求I的值。 LXx2解1因?yàn)閬A1x2 sin(xy)sin (xy)x2y 2xycos(xy)x sin(xy) 1y x2在右半平面內(nèi)處處成立，所以曲線積分I在右

16、半平面內(nèi)與路徑無關(guān)。取L為從點(diǎn)（a,b）經(jīng)過點(diǎn)（c,b）到點(diǎn)（c,d）的折線段，得I 丄1 x2 sin(xy)dy -x2sin(xy) 1dxLxx2；¥x2sin(bx) 1dx ：丄1 c2 sin(cy)dy x2ccos(bx)dby cos(cy)c cos(ab) cos(cd)。 c a解2因?yàn)?2y 21 x2si n(xy)dy2【x2si n(xy) 1dxxx2xdy ydxsin (xy)(ydx xdy)2 xsin (xy)d(xy) d()xyd cos(xy)，xy12y 2所以 cos(xy)是 1 x2 si n(xy)dy2x2si n(xy

17、) 1dx在右半平面上的一個(gè)原函xxx2數(shù)，所以曲線積分I在右半平面內(nèi)與路徑無關(guān)，且15 .計(jì)算 I L ydx11 x2si n(xy)dy Lxy x2sin(xy) 1dxx2丫xd(x2cos(xy)(c,d)(a,b)b cos(ab) cos(cd) ay2z2)dz, L是曲線x2y 1在第一卦限中的部分，從點(diǎn)2x 4(0,1,4)到點(diǎn)(1,0,6).解1 取L的參數(shù)方程為x.x2，參數(shù)x從0變到1，則2x 42ydx (xL0占y2z2)dzx2(1(2x 4)2)2dx83158 。43163216 .計(jì)算 I : ydx zdyLxdz，其中L是球面2 2 2x y z 4

18、z與平面x z 2的交線，從z軸正向看去為逆時(shí)針方向。解1曲線L在xOy平面上的投影的方程為2x2y24，這是一個(gè)橢圓。取 L的參數(shù)方程為x2 cost,y2si nt,z 2,2 cost,參數(shù)t從0到2 ，從而I < ydx zdy xdzL0 2sint( . 2sint) (2 、2cost)2cost一 2 cost .2 sintdt4 2。解2由于曲線L在xOy平面上的投影曲線為L(zhǎng). : 2x 2 2I x ydx y zdy z xdzL0 2 cos2 r 2 si nt(2 si nt)22l 2 y2 4，所以V24解3取S為曲線L在平面x z上圍成的半徑是2圓盤，

19、上側(cè)為正。根據(jù)斯托克斯公式17 .計(jì)算I2* x ydxL“ ydxL(0 1)dydzSs(；2y zdyzdyxdz(0 1)dzdx(0 1) dxdy線，方向?yàn)閺那蠼鈞2 cost2 si nt01 )dS2z2xdz，其中2 dSSL 為 z x2y2與x2 y2 z26的交Z軸的正向往負(fù)向看去是順時(shí)針。2 2x yy2z26，得z 2，所以z 0L的方程為z 2x2y22，其參數(shù)方程為，參數(shù)t從0變到2 。因此、ydLx zdy xdzydx(2x)dyx(dx(yx)dx(2x)dy( k2 y21 ;41)dxdy4sin2t 2cost 0dt0 ( sin 2t 4 2 s

20、in t cost)dt2 2z 2x2y22z x y解2求解x2y2z26，得z 2，所以L的方程為z 0z 22，上側(cè)為正，根據(jù)斯托克斯公式，得取 S:22x y2 2 2I “ x ydx y zdy z xdzL(0 y2)dydz (0 z2)dzdx (0 x2)dxdySx2dxdy 1 (x2 y2)dxdyx2 y2 22 x2 y2 22 o d 02r2rdr 。222222_ ,Q18 .計(jì)算 I (y z )dx (z x )dy (x y )dz,其中 L是用平面 x y z 2 a切立方體(x, y, z) 0 x, y,za所得的切痕，從ox軸正向看去為逆時(shí)針

21、方向解取S為平面x y zfa上由L圍成的邊長(zhǎng)是-a的正六邊形,2方向向上。根據(jù)斯托克斯公式，得I -L (y2 z2 )dx (z2 x2 )dy (x2 y2)dz(2y 2z)dydz ( 2z 2x)dzdx ( 2x 2y)dxdyS1 1 12 (y z) (z x) (x y)dSs、3332、3a dS 2、3a. 6a26-2a3。S19 .計(jì)算 I 7 (y2 z2)dx (2z2 x2)dy (3x2 y2)dz，其中 L 是平面 x y z 2L與柱面x y 1的交線，從z軸正向看去，L為逆時(shí)針方向。解1 記L1、L2、L3、L4分別為L(zhǎng)在第一、第二、第三和第四卦限中的

22、部分，則L(y2z2)dx(2z2x2)dy(3x2y2)dzL1(y2z2)dx(2z2x2)dy(3x2y2)dzL2(y2z2)dx(2z2x2)dy(3x2y2)dzL3(y2z2)dx(2z2x2)dy(3x2y2)dzL4(y22 z)dx(2z2x2)dy(3x2y2)dz01(1x)2x23dx13(10x)2 (12x)27x2 dx0(11x)2x227 dx113(x1)：2 (32x)27x2 dx0733793324解2 記L為L(zhǎng)在xOy平面上的投影，則 L的方程是x y 1，所以1 y2 (2 x y)2dx 2(2 x y)2 x2dyL2 23x2 y2( dx

23、 dy)2 2 2 2 2 2:2y2(2 x y)23x2dx2(2 x y)24x2y2dyLy)dxdy (Green公式)解3取S為x y z 2上由L圍成的平面區(qū)域，上側(cè)為正。根據(jù)斯托克斯公式，得I ( 2y 4z)dydz (2z 6x)dzdx ( 2x 2y)dxdyS(4x 2y 3z)dS- 3 s2(6 x y)dxdyx y 112 dxdy 24。x y 1解4根據(jù)斯托克斯公式，得I ( 2y 4z)dydz (2z 6x)dzdx ( 2x 2y)dxdy 。S而(y 2z)dydzS(y 2z)dydz(Dyz是s在y z平面上的投影)Dyz3(3 z)/21dz

24、 (y 2z)dy (化二重積分為二次積分)(1 z)/28 ；(z 3x)dzdxS(z 3x)dzdx(Dxz是s在x z平面上的投影)Dxz3(3 z)/2；dz(z 3x)dx(1 z)/24 ；(x y)dxdyS(x y)dxdyx y 10。(對(duì)稱性、奇偶性)所以I -2 (8 40)-24。20 .已知曲線積分2 2 2 2 2 2I (xz ay bz )dx (xy az bx )dy (yz ax by )dzL與路徑無關(guān)，求a,b的值，并求從A(0,0,0)到B(1,1,1)的積分值。解因?yàn)楹瘮?shù)X(x, y,z)xz ay2bz2,丫 (x,y,z)xy az2bx2,

25、Z(x,y,z)2yz axby2所以IX(x,y,z)dx 丫(x,y,z)dy Z(x,y,z)dz與路都在整個(gè)空間上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),L徑無關(guān)的充要條件是ZYXZYXyJzzJxxy即z2by2az0,x2bz2ax0,y2bx2 ay0對(duì)任意的x,y,z都成立。因此必有a0。2取L是由平行于坐標(biāo)軸直線構(gòu)成的折線段，則2)2)dz(1,1,1) 1 2(xz -y )dx (xyL(0,0,0)1111oOdx °ydy °(z )dz 2。21 .判斷(ex cosy 2xy2)dx (2x2y ex siny)dy是否是全微分式，若是，求它的原函數(shù)。解 因?yàn)楹瘮?shù)ex

26、cosy 2xy2,2x2yex sin y在R2上存在一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且(ex cosy 2xy2)4xy ex sin y(小航心)所以微分形式(excosy 2xy2)dx(2x2y exsin y)dy是一個(gè)全微分式。它的所有原函數(shù)是(x，y) x22u(x, y) (e cosy 2xy )dx (2x yex sin y)dy C(0,0)Odx 0(2x2y ex sin y)dy Cx22 xxe 1 x y e cosy e Cx2y2 ex cosy C。另解利用不定積分法求原函數(shù)的過程如下：設(shè)du(x, y) (ex cosy 2xy2)dx (2x2yex sin y)

27、dy，u(x, y)ex cos y 2xy2,u(x, y)2x2x y e sin y ,由第一式得x22u(x, y) e cosy x y g(y),所以叢型2x2y exsiny g (y),y比較u(x, y)的兩個(gè)表達(dá)式，得g (y) 0 ,即g(y) C，故yx22x22u(x, y) e cosy x y g(y) e cosy x y C。22 已知曲線積分l xy解2 因?yàn)榍€積分 xy dx yf (x)dy故Lxyyf (x) 2xy，考慮到 f(0)0，得 f(x) x2。從而(o,0)xy2dx yf (x)dyyx2dy。2dx yf(x)dy與路徑無關(guān)，其中f

28、 (x)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且(1,1) 2f (0)0。求(00)xy dx yf (x)dy 的值。2解1根據(jù)曲線積分L xy dx yf (x)dy與路徑無關(guān)，取積分路徑為從點(diǎn)(0,0)經(jīng)過點(diǎn)(0,1)到點(diǎn)(1,1)的折線段，得(0：0)xy2dx yf(x)dy0yf (0)dy 0xdx1。(0,0)xy2dx(1,1)(0,0)23 設(shè)函數(shù)f(x, y)在R2內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(t,1)關(guān)，且對(duì)任意的t恒有 2xydx f (x,y)dy(0,0)曲線積分L2xydxf (x, y)dy與路徑無(1,t)(0 0)2xydx f (x, y)dy，求 f (x, y)的表2達(dá)式。

29、解因?yàn)榍€積分 l 2xydx f (x, y)dy與路徑無關(guān)，所以2因此 f (x, y)x2g(y)。從而f(x,y)x(0,0) 2xydx f (x, y)dy 00dx 0(t ，f(x) y2 g(y)dy t20g(y)dy,(0,t0)2xydx f(x, y)dy00dx 0(1 g(y)dyt °g(y)dy.所以t210g(y)dyt 0g(y)dy對(duì)任意t成立。由此得g(t) 2t 1，所以24 .已知2f (x, y) x g(y)x2 2y1。2 (xdyL f(x) yydx) A，其中 fC1,f(1)1,L是繞原點(diǎn)一周的任意正向閉曲線，試求f (x)

30、及A.解根據(jù)題中條件，可以證明C f(x)12(xdy yydx) 0，其中C是任意一條不包圍原點(diǎn)的封閉曲線。因此x f(x) yy從而2f (x) xf (x)0，f(x)考慮到 f(1)1，得 f(x) x2。取L為x2y21，得Xxdyydydxy xd d X.7 1xdyyd25 .設(shè)在變力F (x, y, z) yz, zx, xy的作用下，質(zhì)點(diǎn)由原點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到橢球面x2y2z2a2 b2 c21上第一掛限中的點(diǎn)P(u,v,w)處，問當(dāng)點(diǎn)P(u,v,w)在何處時(shí)，力F(x,y,z)作的功W最大，并求出功的最大值。解 設(shè)從原點(diǎn)到點(diǎn)P(u,v, w)的直線的參數(shù)方程為x ut,y v

31、t, t：01，則z wtW yzdx zxdyLxydz120(vwut22wuvt uvwt )dt uvw。考慮條件極值問題令 L(u,v,w,)uvwu22a2u_a2maxuvwH v2必1c2 ,2 v b22w 121 ，求解cLuvw0,LvuwLwuv22uv722abb2 w c2 w2T20,0,得 u a,v b, c(3V3* 3根據(jù)實(shí)際情況可知，當(dāng)點(diǎn)P(u, v, w)在處時(shí)，力F(x,y,z)對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作abc的功W最大，功的最大值是一3/326 設(shè)函數(shù)f (x, y)在有界閉域D上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，n是D的外向單位法向量。(1) 證明f(x,y) 2f(x,y)

32、Dx2(2 )當(dāng)2 f (x, y)2xf(x, y)0, (x,y)2f(x,y)2 f (x, y)2ydxdyf (x, y) x2 位山dxdy;y0, (x, y)D，且 f (x, y) 0,(x,y) D 時(shí)，證明證明(1)根據(jù)方向?qū)?shù)的計(jì)算公式,f(x,y)Df(x,y)±0Dx4?ndl , y利用格林公式，得Df(xf皿?ndl y3 dxdy, y所以f(x,y)S2didnf(x,y) 2f(x,y)Dx2屮dxdyf (x, y) 2f(x,y)y2dxdy。(2 )當(dāng)2 f (x, y)2x知 0,(x,y)y，且f(x,y)O,(x,y)D時(shí)，根據(jù)(1)

33、的結(jié)果得f(x, y) 2 Df (x, y)y2dxdy由于f (x, y) 2xf(x, y)y2在D上式非負(fù)連續(xù)函數(shù)，所以f(x,y) 22皿 0,(x,y)y從而 f (x, y) C,(x, y) D?？紤]到函 數(shù)f(x, y)在D上的連 續(xù)性 和f (x, y) 0, (x, y) D ,f (x, y) 0, (x, y) D。27 .設(shè)函數(shù)f(x,y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明對(duì)上半平面y 0中的任意封閉曲線 c都有，座_型0成立的充要條件是： f(tx,ty) t2 f (x, y)對(duì)任意的t 0及上半平面中的c f(x,y)任意點(diǎn)(x, y)都成立。證明設(shè)c是上半平面y0中的

34、任意一條封閉曲線，記Dc是c為成的平面域。根據(jù)格林公ydx xdyc f (x, y)Dcf (x, y) xfx (x, y)f(x,y)2f(x,y) yfy2(x,y)dxdy f(x, y)2Dcxfx (x, y)yfy(x, y) 2f(x,y)2 dxdy,f(x,y)2因此” ydy o c f(x,y)Xfx(x,y) yfy(X：)2f(X,y)dxdy 0。Def (x, y)考慮到上述積分域的任意性和被積函數(shù)的連續(xù)性，可得ydx xdy6 e f(x, y)ydx xdy南 e f (x, y)xfx(x, y)yfy(x, y) 2 f (x, y)f(x, y)2-

35、f (xt, yt)-g(t)，所以 g(t) Ct2。由于 g(1) f (x, y)，所以 C f (x, y)，故 g(t) f (x,y)t2，從而f (xt,yt) t2f (x, y)。這樣就證明了xfx(x,y) yfy (x, y) 2f (x, y) 0 f (xt, yt) t2 f (x, y)， t 0。綜上，結(jié)論得證。28 .計(jì)算I xdS，其中S為柱面x2 y21與平面z 0, z x 2所圍空間區(qū)域的表面。xfx (x, y)yfy (x, y) 2 f (x, y) 0。當(dāng)f(tx,ty) t2 f (x, y)對(duì)任意的t 0及上半平面中的任意點(diǎn)(x, y)都成

36、立時(shí)，在等式兩端關(guān)于t求導(dǎo)，得xfi(tx,ty)yf2 (tx,ty)2tf (x, y)，故txfi(tx,ty) tyf2(tx,ty) 2t2f(x, y) 2 f (tx,ty)，所以xfx(x, y) yfy(x,y) 2f (x, y) 0。當(dāng) xfx(x,y) yf y (x, y) 2f (x,y) 0 時(shí)，令 g(t) f(xt, yt), t 0,則g (t)xfi(xt, yt) yf2(xt,yt)1Jxtfi(xt, yt)ytf2(xt,yt)22解記S： x y z 0,2, (x, y) D (x,y) x2y2 1 , S3 為柱面2 2x y1介于平面z2

37、之間的部分。根據(jù)第一型曲面積分的計(jì)算公式，并利用爾充積分的性質(zhì)，得xdSSxdSS3x. 10 0dxdyDx.11 0dxdyD對(duì)于S3，由于其方程為x2y21，所以不能寫成z z(x,y)的形式，故只能考慮其在xOz或yOz坐標(biāo)面上的投影。為了簡(jiǎn)單起見，考慮S3在xOz坐標(biāo)面上的投影域 D ,根據(jù)題中條件易知D(x, z)1 x 1,0 z x2，且S3可以分成S31與S32兩部分，其中S31： y<1 x2,(x,z)D ； S32: y.1x2 , (x, z) D。因?yàn)閤dSx. 1S32D .2x 0dxdz 1 x2所以從而29 .計(jì)算f(x, y,z)D <1=dx

38、dz x2xdS xdSS3S31xdS xdSSS1xdS 。S32xdSS2f (x, y, z)dS，其中S為球面x2xdS 。S32 2 2y z a ,0,zx2y2,z22y。2 y2解記S!為球面x2 y2z2a2在錐面zx2 y2內(nèi)的部分，貝y S的參數(shù)方程為所以xa sin cos ,y a sin sin , 0 z a cos ,才02f(x,y,z)dS(x2 y2)dSSS1 2 2-2 20 d 0 a sin a si nd2 a4fsin2sin da(35 2)12)另解 本題在直角坐標(biāo)下的計(jì)算如下:30 .計(jì)算f (x, y, z)dSx2ao(x2 y2)

39、dSS1(x22 !a22y2) 1xa2x2 y2ydxdy2 2 2a x ya4(2x2a2ar202甘5.2)12 )(xS2y2xdxdy一 rdrr2a)2dS ,其中S為球面(x a)2(ya)2 (za)2a2。解由于I (x y z a)2 dSS(x a) (y a) (z a) 4a2dS,S(x a)dS (y a)dS (z a)dS 0,SSS(x a)(y a)dS (y a)(z a)dS (x a)(z a)dS 0,SSS所以I(xa)2(ya)22(z a) 16a2dSS17a24a268aD。31 .計(jì)算1/ 2 2 2 xyz( y z z2 x2

40、2x y)dS ,2其中S是球面x2 2 2y z a在第一卦限S中的部分。解1直接化為二重積分計(jì)算。由于z a2 x2 y2，所以dS記 D (x, y) x2x2y2dxdy。a2 ,x 0, y 0，則2y2dSdxdy2 y,2 2 2 2 xyz( y z z xSx2y2)dS 3 xyzxS2aya x3a x3y3dxdyDQ a8 1 3a8 12a9。32fr 3 cos3r3 sin3 rdr解2記D1(x,y)x2y2a2,x0,yD2( x, z)x2 z2axy . a2 x2,x0,zQ ,D3 (y, z)y2z2a2,y0, z0。取 Sf z 0,(x, y

41、)D1，方向向下；S2： y0，O,(x,z)D2，方向向左;I a y3z3dydz z3x3dzdx x3y3dxdySay3z3dydz z3x3dzdx x3 y3dxdyS Si S2 S3333333.a y z dydz z x dzdx x y dxdy51a y3z3dydz z3x3dzdx x3y3dxdy52a y3z3dydz z3x3dzdx x3y3dxdy53a 0dV a x3y3dxdy a x3z3dxdz a y3z3dydDi3a x3y3dxdyDia9D2D3其中是球體在第一掛限中的部分。32 .計(jì)算1n(z ySn )COS(xn zn) cos

42、(yn xn)cos dS ,22 22其中xS:y zRn(cos a, cos , cos)是S向上的法向量。z0解i由于ni(x,y,z)，所以o32)Rds。yn)R *I (znS(yn xn根據(jù)曲面S關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱性，得I(znSn、x7)R0,/ n n、 (x z )同樣的理由，得ynzdSxnSzdS,因此I 0 o解 2 記 Si: z0, x2y2R2，方向向下;x2z2R2,o根據(jù)高斯公式,(zn yn) cosS Si(zn yn)cosSi(xn zn) cos (yn xn)cos dS(xn zn)cos(yn xn)cos dS33計(jì)算R, z記S1:(0

43、0O)dV(yn xn)dxdyR2曲面積分I2xdy dz z dx dy其中S是由x2 y2R2及R(R 0)圍成的圓柱體的表面,外側(cè)為正。S2：S3：S4:R,(x, y) Di (x,y) X2R,(x, y) Di，方向向下;PR2 x2, (x,z) D2(x, z). R2 x2,(x, z)D2，方向向左。y2R2，x R,方向向上;R z R，方向向右;222Sxyzxdydzz2dxdyxdy dzz2dxdy222c222xyzs2xyzxdydzz2dxdyxdy dzz2dxdy222222xyzS4xyzSiS32I xdy dz z dx dyr2r2_22dxdy _-2dxdyD1x2 y2 R2d1 x2 y2 R2、 X2 x 2 dxdz x 2 x 2 dxdzD2R2x2R2z2d2r2x2R2z2x22 dxdzD2(R2 z2) - R2 x2dx x22 r dz rx2R.r2Rr.R2x2dx)-(RR£dxR R R2 x2-(R2x2dydzS(2