混凝土徐變次內(nèi)力計(jì)算的換算彈性模量法

1、第三節(jié)混凝土徐變次內(nèi)力計(jì)算的換算彈性模量法、徐變次內(nèi)力概念（一）名詞定義1 、徐變變形在長(zhǎng)期持續(xù)荷載作用下，混凝土棱柱體繼瞬時(shí)變形e （彈性變形）以后，隨時(shí)間 t長(zhǎng)而持續(xù)產(chǎn)生的那一部分變形量，稱之為徐變變形c,如圖2-4-16所示。棱柱體的徐變變形圖 2-4-162、徐變應(yīng)變單位長(zhǎng)度的徐變變形量稱為徐變應(yīng)變c,它可表示為徐變變形量c與棱柱體長(zhǎng)度I比值，即(2-4-15)3 、瞬時(shí)應(yīng)變瞬時(shí)應(yīng)變又稱彈性應(yīng)變e，它是指初始加載的瞬間所產(chǎn)生的變形量e與棱柱體長(zhǎng)度之比，即(2-4-16)4、徐變系數(shù)徐變系數(shù)是自加載齡期0后至某個(gè)t時(shí)刻，在棱柱體內(nèi)的徐變應(yīng)變值與瞬時(shí)應(yīng)變（彈性應(yīng)變）值的比值，可表示為(t,

2、0) c / e(2-4-17a)(2-4-17)c e (t,0)（二）徐變次內(nèi)力超靜定混凝土結(jié)構(gòu)的徐變變形當(dāng)受到多余約束的制約時(shí)，結(jié)構(gòu)截面內(nèi)將產(chǎn)生附加內(nèi)力，工程上將此內(nèi)力稱為徐變次內(nèi)力?，F(xiàn)舉一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明。設(shè)圖2-4-17a中的兩條對(duì)稱于中線的懸臂梁，在完成瞬時(shí)變形后，懸臂端點(diǎn)均處于水 平位置，此時(shí)，懸臂根部的彎矩均為M也。隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，該兩個(gè)懸臂梁的端部，2將發(fā)生隨時(shí)間t而變化的下?lián)狭縯和轉(zhuǎn)角t （圖2-4-17a），盡管如此，直到徐變變形終止,該梁的內(nèi)力沿跨長(zhǎng)方向是不發(fā)生改變的。圖2-4-17徐變變形與徐變次內(nèi)力現(xiàn)在再考察圖2-4-17C的情況，當(dāng)兩懸臂端完成瞬時(shí)變形后，立即

3、將合攏段的鋼筋焊接和澆筑接縫混凝土，以后雖然在接縫處仍產(chǎn)生隨時(shí)間變化的下?lián)狭縯，但轉(zhuǎn)角t始終為零，這意味著兩側(cè)懸臂梁相互約束著角位移，從而使結(jié)合截面上的彎矩從0 Mt，而根部ql22截面的彎矩逐漸卸載，這就是所謂的內(nèi)力重分布（或應(yīng)力重分布），直到徐變變形終止。結(jié) 合截面上的Mt就是徐變次內(nèi)力，但它與根部截面彎矩的絕對(duì)值之和仍為由此可見(jiàn)，靜定結(jié)構(gòu)只產(chǎn)生徐變變形，而不產(chǎn)生次內(nèi)力，但當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生體系轉(zhuǎn)變而成 為超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，由于徐變變形受到了約束才會(huì)產(chǎn)生隨時(shí)間t變化的徐變次內(nèi)力。、徐變系數(shù)表達(dá)式（一）三種理論為了計(jì)算結(jié)構(gòu)徐變變形和徐變次內(nèi)力，就需要知道徐變系數(shù)變化規(guī)律的表達(dá)式。根據(jù)一些學(xué)者的長(zhǎng)期觀察和

4、研究，一致認(rèn)為徐變系數(shù)與加載齡期和加載持續(xù)時(shí)間兩個(gè)主要因素有 關(guān)。所謂加載齡期是指結(jié)構(gòu)混凝土自養(yǎng)護(hù)之日起至加載之日之間的時(shí)間間距，它用i表示,i=0, 1, 2，單位以天計(jì)；所謂持續(xù)荷載時(shí)間是指自加載之日t起至所欲觀察之日t的時(shí)間間距，即t。但是，在采用具體的表達(dá)式時(shí)，卻提出了三種不同的觀點(diǎn)，即三種理論。1老化理論該理論認(rèn)為：不同加載齡期的混凝土徐變曲線在任意時(shí)刻t(t )，其徐變?cè)鲩L(zhǎng)率相同。如圖2-4-18a所示。其中任意加載齡期的混凝土在t時(shí)刻的徐變系數(shù)計(jì)算公式為(t, )(t, 0)( , o)式中:(2-4-18)(t, 0)加載齡期°時(shí)的混凝土至t(t )時(shí)刻的徐變系數(shù)；(

5、,°)加載齡期°時(shí)的混凝土至(°)時(shí)的徐變系數(shù)。圖2-4-18三種徐變理論曲線2、先天理論2-4-18b所示。其中該理論認(rèn)為：不同齡期的混凝土徐變?cè)鲩L(zhǎng)規(guī)律都是一樣的，如圖任意加載齡期的混凝土在t時(shí)刻的徐變系數(shù)計(jì)算公式為(t, )°(t )( 2-4-19 )式中： 0(t) 以 0為原點(diǎn)的徐變基本曲線上，加載持續(xù)時(shí)間為 t 的徐變系數(shù)。3、混合理論 兼有上述兩種理論特點(diǎn)的理論稱混合理論，試驗(yàn)研究表明，老化理論比較符合初期加 載情況，先天理論比較符合后期加載情況，如圖 2-4-18c 所示。(二)徐變系數(shù)的表達(dá)式1、按老化理論的狄辛格表達(dá)式 狄辛格在 20

6、 世紀(jì) 30 年代提出了表達(dá)徐變變化規(guī)律的基本曲線為(t,0)( ,0)(1 e t) (2-4-20 )當(dāng)該式與老化理論結(jié)合起來(lái)，便得到(t, )( , ) 1 e (t ) ( 2-4-21 )式中：(t,o)加載齡期0的混凝土在t ( t >T )時(shí)的徐變系數(shù)；( ,0) 加載齡期0 的混凝土在 t 時(shí)的徐變系數(shù)終值；徐變?cè)鲩L(zhǎng)系數(shù)，在冬季零下溫度較長(zhǎng)地區(qū)取=12,常溫地區(qū) =2 -4；( , ) 加載齡期 的混凝土在 t 時(shí)的徐變系數(shù)終值, ( , ) ( ,0)e 。該式曾在我國(guó)幾座大橋的設(shè)計(jì)中得到了應(yīng)用。2、按先天理論的狄辛格表達(dá)式 當(dāng)式( 2-4-20 )與先天理論結(jié)合起來(lái),

7、便得到(t, )( ,0) 1 e (t )( 2-4-22 )該式由于缺乏實(shí)測(cè)資料印證,故在工程上較少應(yīng)用。三、結(jié)構(gòu)混凝土的徐變變形計(jì)算(一)基本假定 當(dāng)計(jì)算由混凝土徐變引起的結(jié)構(gòu)徐變變形時(shí),一般采用下列基本假定：1 、不考慮結(jié)構(gòu)內(nèi)配筋的影響；2、混凝土的彈性模量假定為常值；3、采用徐變線性理論,即徐變應(yīng)變與應(yīng)力成正比關(guān)系的假定,由此可以應(yīng)用“力的獨(dú) 立作用原理”和“應(yīng)力與應(yīng)變的疊加原理” 。(二)靜定結(jié)構(gòu)在恒定荷載條件下的徐變變形計(jì)算現(xiàn)用圖 2-4-19 所示的等截面懸臂梁作為例子進(jìn)行闡明。圖2-4-19不變荷載作用下的徐變變形設(shè)e和e分別為懸臂梁端部作用有恒定垂直力P和恒定彎矩M時(shí)的彈性

8、(瞬時(shí))撓度和端轉(zhuǎn)角，c(t,)和c(t,)分別為相應(yīng)的加載齡期為且持續(xù)到t時(shí)刻的徐變撓度和徐變端轉(zhuǎn)角(圖2-4-19 )。于是便有下列關(guān)系式，即c(t, ) (t, ) e p e (t,) c(t, ) (t, ) e M - (t,)式中：e 單位力P=1時(shí)，在其作用方向上的位移；： 單位力矩 M=1時(shí)，在作用方向上的轉(zhuǎn)角。按照結(jié)構(gòu)力學(xué)中的虛功原理，一e和：可以表示為：1Ldx o El 1 Mjd dx O El(2-4-23)e11e22(2-4-24)式中的M1和M2分別為P=1和M=1時(shí)懸臂梁的內(nèi)力分布圖(圖2-4-19c,d )。將式(2-4-24)代入式(2-4-23 )便有

9、c(t, ) Pc(t, ) M應(yīng)dxO Elo El(t,)(t,)(2-4-25)(三) 靜定結(jié)構(gòu)在隨時(shí)間t變化的荷載作用下之徐變變形計(jì)算本節(jié)前面介紹了隨時(shí)間 t變化的徐變次內(nèi)力概念。現(xiàn)在以圖2-4-20所示先簡(jiǎn)支后連續(xù)的兩等跨連續(xù)梁作為例子來(lái)闡明靜定結(jié)構(gòu)在隨時(shí)間t變化的荷載作用下之徐變變形。從中支點(diǎn)截開(kāi)，取兩跨簡(jiǎn)支梁(靜定結(jié)構(gòu))作為基本結(jié)構(gòu)，如圖2-4-20b所示。由于該結(jié)構(gòu)是采用先分兩跨有支架施工而后合攏的體系轉(zhuǎn)換方法，故在此切口處的初始恒載彎矩M0 0,基本結(jié)構(gòu)上只有垂直恒載q和隨時(shí)間變化的贅余次力矩M(t)的作用。為了分析上的簡(jiǎn)單起見(jiàn)，暫假定左、右簡(jiǎn)支梁的徐變系數(shù)(t,)相同，這樣

10、，參照?qǐng)D2-4-20，M(t)便可以應(yīng)用兩種方法求解：一個(gè)是建立微分方程式的狄辛格法；另一個(gè)是建立代數(shù)方程式的特勞斯德巴曾法。cC)圖2-4-20變化荷載下的徐變變形應(yīng)用狄辛格法時(shí)，在時(shí)間增量dt內(nèi)，切口兩側(cè)變形增量的協(xié)調(diào)方程則為M(t) 22 d dM(t) 22 2qd 0( 2-4-26)應(yīng)用巴曾法時(shí)，在任意時(shí)刻t時(shí)，切口兩側(cè)的變形協(xié)調(diào)方程則為M(t) 22(1) 2q 0( 2-4-27)式中：22, 2q 在切口處分別由單位力矩M 1和恒載q引起截面兩側(cè)的相對(duì)彈性角位移;（t,）老化系數(shù)，又稱時(shí)效系數(shù)，它是考慮結(jié)構(gòu)次內(nèi)力的徐變因混凝土的老化而逐漸衰減的一個(gè)折減系數(shù)，其值小于1。d 時(shí)

11、間增量dt內(nèi)的徐變系數(shù)增量從以上二式不難看出，式（2-4-26 ）在理論上是比較精確的，但當(dāng)結(jié)構(gòu)為高次超靜定， 且各梁段的徐變系數(shù)（t,）又不相同時(shí)，必須建立龐大的微分方程組，求解十分困難。式（2-4-27）中的第二項(xiàng)是代表在t時(shí)刻由恒載q在切口處產(chǎn)生的相對(duì)徐變角位移，而第一項(xiàng)是代表同一時(shí)刻由徐變次內(nèi)力M（t）在切口處產(chǎn)生的總的相對(duì)角位移，它可表為c（t, ） M（t） 22（1）（ 2-4-28）它是將M（t）假想地視為不隨時(shí)間t變化的贅余力，通過(guò)老化系數(shù) （t,）修正徐變系數(shù) （t,） 以后，求得該次內(nèi)力產(chǎn)生的總變形。但是在該式中卻有兩個(gè)未知量，即M（t）和（t,），故不能求解。為此，我國(guó)

12、的金成棣教授采取聯(lián)立混合求解的方法，具體的思路是應(yīng)用式（2-4-26）求解M（t），再將它代入式（2-4-27），便得到關(guān)于 （t,）的一般表達(dá)式，解得這個(gè)未知量后，再求解線性代數(shù)方程組就不成問(wèn)題了。則得F面簡(jiǎn)單介紹關(guān)于式（2-4-26）的求解。首先用22除全式，且令MedM(t) M(t) Med注意到dMe=0,則上式可以寫成dM（t） MeM（t） Me此微分方程的解為lnM( t) Me（常數(shù)）利用圖2-4-20e，f中的邊界條件，當(dāng)t時(shí)，貝y M(t)=0，(t, )=0便解得常數(shù)C為ln(M e)再將式（d）代入式（c）后，則得M(t)(1 e )Me式（2-4-27）也可以改寫成

13、如下的形式M(t)Me聯(lián)立解式（e），（ f），便得到老化系數(shù)(t,(t,)）的一般表達(dá)式為:1(a)(b)(c)(d)(e)(f)(2-4-29)最后，參照式（2-4-24）,則完全可以應(yīng)用式（2-4-28）計(jì)算出在隨時(shí)間t變化的M（t）荷載下切口處的徐變變形1 m22t c(t, ) M(t) (2 odx)1(t, )(t, )(2-4-30)(四) 換算彈性模量概念為了便于應(yīng)用結(jié)構(gòu)力學(xué)中的力法來(lái)求解超靜定結(jié)構(gòu)的徐變次內(nèi)力問(wèn)題，引入兩個(gè)廣義 換算彈性模量：1、應(yīng)用在不變荷載下徐變變形的換算彈性模量(t,)(2-4-31)2、應(yīng)用在隨t變化荷載下徐變變形的換算彈性模量E1 (t, ) (t

14、,)(2-4-32)曰是,式( 2-4-25 )和式(2-4-30c(t,)可以寫成：1 Mi2.-dx 0 E I(2-4-33)c(t，c(t,M(t) 2(2-4-34)以上各式中，E為混凝土的彈性模量，其余符號(hào)意義同前。四、超靜定梁的徐變次內(nèi)力計(jì)算(一) 計(jì)算方法目前，計(jì)算超靜定梁的徐變次內(nèi)力的方法有以下幾種：1、狄辛格方法；2、擴(kuò)展狄辛格方法；3、換算彈性模量法；4、以上述理論為基礎(chǔ)的有限元法等。本節(jié)重點(diǎn)介紹換算彈性模量法計(jì)算徐變次內(nèi)力的原理和步驟，其余方法可參閱有關(guān)專 著。(二) 換算彈性模量法1、原理上面已經(jīng)介紹了關(guān)于按換算彈性模量計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)的徐變變形問(wèn)題。對(duì)于超靜定結(jié)構(gòu)所選取

15、的基本結(jié)構(gòu)，其被截開(kāi)的截面或者被移去的多余支點(diǎn)(簡(jiǎn)稱贅余聯(lián)系)處，除了加上荷載產(chǎn)生的贅余力 X夕卜，還要施加隨時(shí)間t變化的徐變贅余力 Xt，然后根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件， 將所有外荷載及贅余力(X和Xt)在贅余力處產(chǎn)生的徐變變形之和使之為零，即i 0( 2-4-35)便可求得徐變次內(nèi)力，只是在計(jì)算外荷載以及贅余聯(lián)系處的內(nèi)力X所引起的徐變變形時(shí)，其換算彈性模量應(yīng)取 E 按式(2-4-31)，在計(jì)算由待定的徐變贅余力Xt所引起的徐變變形時(shí)，其換算彈性模量應(yīng)取E 按式(2-3-32)，其余計(jì)算同一般力法原理。2、計(jì)算步驟對(duì)于同樣一座連續(xù)梁，可以按照一次現(xiàn)澆成橋的方式施工，也可以采用先簡(jiǎn)支后連續(xù)或者懸臂澆筑法

16、等多種施工方式成橋。施工方法的不同，各節(jié)段的加載齡期就不相同， 因此 其徐變次內(nèi)力也就不相同。不論采用哪種成橋方式，其一般計(jì)算步驟可以大致歸納如下:(1) 選取基本結(jié)構(gòu)的計(jì)算圖式。(2 )按不同施工階段計(jì)算贅余聯(lián)系處的恒載內(nèi)力(3) 在贅余聯(lián)系處施加以下的作用力：Xi ；(t,)按式(2-4-29 ) 、E 按式a. 按第(2)步驟算得的恒載內(nèi)力的總和b. 待定的徐變次內(nèi)力 Xit 。(4) 根據(jù)已知條件分別計(jì)算各梁段的老化系數(shù)(2-4-31 )和 E 按式(2-4-32 )。(5) 按換算彈性模量和圖乘法分別計(jì)算所有恒定外力及徐變贅余力在贅余聯(lián)系處產(chǎn)生的變位，即iitMi2 li E Idx

17、常變位：載變位：(6)解力法方程組iit Xit21t X2tijtiP12tX2t22tX2tMiM ,-jdx E IMPMi dxE I1P 02P 0(2-4-36 )(2-4-37 )(7)按解得的徐變次內(nèi)力 Xt分別計(jì)算各梁段的內(nèi)力及變位。(8 )將各施工階段的恒載內(nèi)力和變形與第7步驟的計(jì)算結(jié)果迭加，便得整個(gè)結(jié)構(gòu)總的 受力和變形狀態(tài)。3、計(jì)算示例例2-4-3兩等跨等截面連續(xù)梁每跨跨長(zhǎng)I =48m采用先預(yù)制吊裝后合攏固結(jié)的施工方法，左半跨的徐變系數(shù)i（ , ） 1，右半跨的徐變系數(shù)2（ , ）2，作用于橋上的均布恒載q=10kN/m（預(yù)制梁自重），如圖2-4-21所示，試求t時(shí)中支點(diǎn)

18、截面的徐變次力矩。*圖2-4-21 示例2-4-3的計(jì)算圖式解：計(jì)算步驟如下：（1）選取從跨中斷開(kāi)的兩跨簡(jiǎn)支梁作為基本結(jié)構(gòu)，由于合攏時(shí)，該截面的彎矩和剪力 均為零，即X1 X20 。Mt (圖 2-4-21b )。（2）在贅余聯(lián)系處僅施加一個(gè)贅余力，即待定的徐變次內(nèi)力（3）計(jì)算時(shí)效系數(shù)及換算彈性模量1(，）111e 112(，）111e 22E 1EE,E 21(,)EE111（,)1(,)EE212(7)2(,)11c “c1 e 11u.uoz.1 10.6571 e22EE0.5E2(,)2E0.632E10.5821E-0.432E1 0.657 2（4）常變位和載變位計(jì)算（圖乘法）2

19、2t1-1 1 48 21 1 1 48 2162.35丄EIE 1IE 2I 2 '3231211 2112P482880 -482880 -138240E 1I32E 2I 32EI(5)解力法方程62.35Mt 1382400Mt2217kN m彎矩M即為徐變完成后中支點(diǎn)的最終彎矩，此算例表明對(duì)于先簡(jiǎn)支后連續(xù)結(jié)構(gòu)，徐變 將引起支點(diǎn)負(fù)彎矩增大，而跨中正彎矩減小。例2-4-4兩等跨等截面連續(xù)梁，跨長(zhǎng)為2X20m,按圖2-4-22a,c的圖式分兩階段施工，中支點(diǎn)兩側(cè)采用對(duì)稱懸澆法，兩端采用在支架上進(jìn)行合龍，設(shè)中間梁段的徐變系數(shù)1( , ) 1，兩端梁段的徐變系數(shù)2( , ) 2，自重均布荷載q =10kN/m, E, I分別為該結(jié)構(gòu)的彈性模量和截面抗彎慣矩，試求t時(shí)在中支點(diǎn)截面的總彎矩。解：計(jì)算步驟如下：(1) 取圖2-4-22e所示的兩跨簡(jiǎn)支梁作為基本結(jié)構(gòu)，應(yīng)用結(jié)構(gòu)力學(xué)的方法計(jì)算出兩個(gè)施工階段在中支點(diǎn)截面產(chǎn)生的初始彎矩M 01280 39.21319.2 kN m。(2) 由于徐變系數(shù)與例 2-4-3相同，故換算彈性模量也相同，即E 1 E E 20.5EE 10.632E E 20.432E圖2-4-22 例2-4-4的計(jì)算圖式(3)常變位與載變位計(jì)算由于結(jié)構(gòu)及荷載均為對(duì)稱的，故常變位和載變位可取其中一跨進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算中部分利