中考壓軸題突破幾何最值問題大全將軍飲馬造橋選址胡不歸阿波羅尼斯圓等

1、中考壓軸題突破：幾何最值問題大全（將軍飲馬、造橋選址、胡不歸、阿波羅尼斯圓等）一、基本圖形最值問題在幾何圖形中分兩大類：定點(diǎn)到定點(diǎn)：兩點(diǎn)之間，線段最短；定點(diǎn)到定線：點(diǎn)線之間，垂線段最短。由此派生：定點(diǎn)到定點(diǎn)：三角形兩邊之和大于第三邊；定線到定線：平行線之間，垂線段最短；定點(diǎn)到定圓：點(diǎn)圓之間，點(diǎn)心線截距最短（長）；定線到定圓：線圓之間，心垂線截距最短；定圓到定圓：圓圓之間，連心線截距最短（長）。舉例證明：定點(diǎn)到定圓：點(diǎn)圓之間，點(diǎn)心線截距最短（長）。已知O半徑為r，AO=d，P是O上一點(diǎn)，求AP的最大值和最小值。證明：由“兩點(diǎn)之間，線段最短”得APAO+PO，AOAP+PO，得d-rAPd+r，A

2、P最小時點(diǎn)P在B處，最大時點(diǎn)P在C處。即過圓心和定點(diǎn)的直線截得的線段AB、AC分別最小、最大值。(可用“三角形兩邊之和大于第三邊”，其實(shí)質(zhì)也是由“兩點(diǎn)之間，線段最短”推得）。上面幾種是解決相關(guān)問題的基本圖形，所有的幾何最值問題都是轉(zhuǎn)化成上述基本圖形解決的。2、 考試中出現(xiàn)的問題都是在基本圖形的基礎(chǔ)上進(jìn)行變式，如圓與線這些圖形不是直接給出，而是以符合一定條件的動點(diǎn)的形式確定的；再如過定點(diǎn)的直線與動點(diǎn)所在路徑不相交而需要進(jìn)行變換的。類型分三種情況：（1）直接包含基本圖形；（2）動點(diǎn)路徑待確定；（3）動線（定點(diǎn)）位置需變換。（一）直接包含基本圖形例1.在O中，圓的半徑為6，B=30°，AC

3、是O的切線，則CD的最小值是         。簡析：由B=30°知弧AD一定，所以D是定點(diǎn)，C是直線AC上的動點(diǎn)，即為求定點(diǎn)D到定線AC的最短路徑，求得當(dāng)CDAC時最短為3。（二）動點(diǎn)路徑待確定例2.，如圖，在ABC中，ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB邊上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），將BCP沿CP所在的直線翻折，得到BCP，連接BA，則BA長度的最小值是        。簡析：A是定點(diǎn)，B'是動點(diǎn)，但題中未明確告知B'點(diǎn)

4、的運(yùn)動路徑，所以需先確定B'點(diǎn)運(yùn)動路徑是什么圖形，一般有直線與圓兩類。此題中B'的路徑是以C為圓心，BC為半徑的圓弧，從而轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)到定圓的最短路徑為AC-B'C=1。 例3.在ABC中，AB=AC=5，cosABC=3/5，將ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)，得到A'B'C，點(diǎn)E是BC上的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段AB上的動點(diǎn)，在A'B'C繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)是F'，求線段EF'長度的最大值與最小值的差。簡析：E是定點(diǎn)，F(xiàn)'是動點(diǎn)，要確定F'點(diǎn)的運(yùn)動路徑。先確定線段A'B'的運(yùn)動軌跡是圓環(huán)，外

5、圓半徑為BC，內(nèi)圓半徑為AB邊上的高，F(xiàn)'是A'B'上任意一點(diǎn)，因此F'的運(yùn)動軌跡是圓環(huán)內(nèi)的任意一點(diǎn)，由此轉(zhuǎn)化為點(diǎn)E到圓環(huán)的最短和最長路徑。E到圓環(huán)的最短距離為EF2=CF2-CE=4.8-3=1.8，E到圓環(huán)的最長距離為EF1=EC+CF1=3+6=9，其差為7.2。（三）動線（定點(diǎn)）位置需變換線段變換的方法：（1）等值變換：翻折、平移；（2）比例變換：三角、相似。【翻折變換類】典型問題：“將軍飲馬”例4.如圖，AOB=30°，點(diǎn)M、N分別是射線OA、OB上的動點(diǎn)，OP平分AOB，且OP=6，當(dāng)PMN的周長最小值為    

6、0;。簡析：動線段（或定點(diǎn)）應(yīng)居于動點(diǎn)軌跡的兩側(cè)，本題的三條動線段PM、MN、PN在OA、OB的內(nèi)側(cè)。所以本題的關(guān)鍵是把定線段變換到動點(diǎn)軌跡的兩側(cè)，從而把三條動線段PM、MN、PN轉(zhuǎn)化為連接兩點(diǎn)之間的路徑。如圖，把點(diǎn)P分別沿OA、OB翻折得P1、P2，PMN的周長轉(zhuǎn)化為P1M+MN+P2N，這三條線段的和正是連接兩個定點(diǎn)P1、P2之間的路徑，從而轉(zhuǎn)化為求P1、P2兩點(diǎn)之間最短路徑，得PMN的周長最小值為線段P1P2OP6。例5.如圖，在銳角ABC中，AB=4，BAC=45°，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動點(diǎn)，則BM+MN的最小值是   

7、      。簡析：本題的問題也在于動線段BM、MN居于動點(diǎn)軌跡AD的同側(cè)，同樣把點(diǎn)N沿AD翻折至AC上，BM+MNBM+MN'，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)B到直線AC的最短路徑，即BN'AC時，最小值為2?！酒揭谱儞Q類】典型問題：“造橋選址”例6.如圖，m、n是小河兩岸，河寬20米，A、B是河旁兩個村莊，要在河上造一座橋，要使A、B之間的路徑最短應(yīng)該如何選址（橋須與河岸垂直）？簡析：橋長為定值，可以想像把河岸m向下平移與n重合，同時把點(diǎn)A向下平移河寬，此時轉(zhuǎn)化成n上的一點(diǎn)到A、B的路徑之和最短，即轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)A'到定點(diǎn)B的最短路徑。如下圖：思路是

8、把動線AM平移至A'M，A'N+BN即轉(zhuǎn)化為求定點(diǎn)A'與定點(diǎn)B之間的最路徑。本題的關(guān)鍵是定長線段MN把動線段分隔，此時須通過平移把動線段A'N、BN變?yōu)檫B續(xù)路徑，也可以把點(diǎn)B向上平移20米與點(diǎn)A連接。例7.如圖，CD是直線y=x上的一條定長的動線段，且CD=2，點(diǎn)A（4，0），連接AC、AD，設(shè)C點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，求m為何值時，ACD的周長最小，并求出這個最小值。解析：兩條動線段AC、AD居于動點(diǎn)所在直線的兩側(cè)，不符合基本圖形中定形（點(diǎn)線圓）應(yīng)在動點(diǎn)軌跡的兩側(cè)。首先把AC沿直線CD翻折至另一側(cè)，如下圖：現(xiàn)在把周長轉(zhuǎn)化為A'C+CD+AD，還需解決一個問題：動

9、線段A'C與AD之間被定長線段CD阻斷，動線段必須轉(zhuǎn)化成連續(xù)的路徑。同上題的道理，把A'C沿CD方向平移CD的長度即可，如下圖?，F(xiàn)在已經(jīng)轉(zhuǎn)化為A''D+AD的最短路徑問題，屬定點(diǎn)到定點(diǎn)，當(dāng)A''D與AD共線時A''D+AD最短，即為線段AA''的長。【三角變換類】典型問題：“胡不歸”例8.如圖，A地在公路BC旁的沙漠里，A到BC的距離AH23，AB219，在公路BC上行進(jìn)的速度是在沙漠里行駛速度的2倍。某人在B地工作，A地家中父親病危，他急著沿直線BA趕路，誰知最終沒能見到父親最后一面，其父離世之時思念兒子，連連問

10、：“胡不歸，胡不歸！”（怎么還不回來），這真是一個悲傷的故事，也是因?yàn)椴欢當(dāng)?shù)學(xué)而導(dǎo)致的。那么，從B至A怎樣行進(jìn)才能最快到達(dá)？簡析：BP段行駛速度是AP段的2倍，要求時間最短即求BP/2+AP最小，從而考慮BP/2如何轉(zhuǎn)化，可以構(gòu)造含30°角利用三角函數(shù)關(guān)系把BP/2轉(zhuǎn)化為另一條線段。如下圖，作CBD=30°，PQBD，得PQ=1/2BP，由“垂線段最短”知當(dāng)A、P、Q共線時AP+PQAQ'最小?！鞠嗨谱儞Q類】典型問題：“阿氏圓”“阿氏圓”：知平面上兩點(diǎn)A、B，則所有滿足PA/PB=k且不等于1的點(diǎn)P的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱阿氏圓

11、，如下圖所示，其中PO：BOAO：POPA：PBk。例9.已知A(-4，-4)、B(0, 4)、C(0, -6)、 D(0, -1)，AB與x軸交于點(diǎn)E，以點(diǎn)E為圓心，ED長為半徑作圓，點(diǎn)M為E上一動點(diǎn)，求 1/2AM+CM  的最小值。簡析：本題的主要問題在于如何轉(zhuǎn)化1/2AM，注意到由條件知在M的運(yùn)動過程中，EM：AE1：2保持不變，從而想到構(gòu)造相似三角形，使之與AEM的相似比為1：2，這樣便可實(shí)現(xiàn)1/2AM的轉(zhuǎn)化，如下圖取EN：EM1：2，即可得EMNEAM，再得MN=1/2AM，顯然，MN+CM的最小值就是定點(diǎn)N、C之間的最短路徑。之后便是常規(guī)方法先求N點(diǎn)坐標(biāo)，再求CN的長?！窘夥ù笠唤y(tǒng)】萬法歸宗：路徑成最短，折線到直線。（所求路徑在一般情況下是若干折線的組合，這些折線在同一直線上時即為最短路徑）基本圖形：動點(diǎn)有軌跡，動線居兩邊。（動點(diǎn)軌跡可以是線或圓，動線指動點(diǎn)與定點(diǎn)或定線、定圓的連線，動線與折線同指）核心方法：同側(cè)變異側(cè)，分散化連續(xù)。（動線在同側(cè)進(jìn)，要變?yōu)楫悅?cè)，一般用翻折、三角、相似的