橢圓定義與性質(zhì)(全)

1、如何精確地設(shè)計(jì)、制作、建造出現(xiàn)實(shí)生活中這些橢圓形的如何精確地設(shè)計(jì)、制作、建造出現(xiàn)實(shí)生活中這些橢圓形的物件呢？物件呢？生生活活中中的的橢橢圓圓仙女座星系星系中的橢圓星系中的橢圓“傳說中的傳說中的”飛碟飛碟思思考考數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) (1)取一條細(xì)繩，取一條細(xì)繩， (2)把它的兩端固定在板把它的兩端固定在板上的兩個(gè)定點(diǎn)上的兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2 (3)用鉛筆尖（用鉛筆尖（M）把細(xì)）把細(xì)繩拉緊，在板上慢慢移繩拉緊，在板上慢慢移動(dòng)看看畫出的動(dòng)看看畫出的 圖形圖形1.1.在橢圓形成的過程中，細(xì)繩的兩端的位置是固定的還是運(yùn)動(dòng)在橢圓形成的過程中，細(xì)繩的兩端的位置是固定的還是運(yùn)動(dòng)的？的？2.2.在畫橢圓的過程中，繩

2、子的長度變了沒有？說明了什么？在畫橢圓的過程中，繩子的長度變了沒有？說明了什么？3.3.在畫橢圓的過程中，繩子長度與兩定點(diǎn)距離大小有怎樣的關(guān)在畫橢圓的過程中，繩子長度與兩定點(diǎn)距離大小有怎樣的關(guān)系？系？請你歸納出橢圓的定義請你歸納出橢圓的定義, ,它應(yīng)該包含幾個(gè)要素它應(yīng)該包含幾個(gè)要素? ?F2F1M(1)(1)由于繩長固定，所以點(diǎn)由于繩長固定，所以點(diǎn)M M到兩到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和是個(gè)定值個(gè)定點(diǎn)的距離和是個(gè)定值（2 2）點(diǎn)）點(diǎn)M M到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和要大到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和要大 于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離（一）橢圓的定義（一）橢圓的定義 平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之

3、和等于常數(shù)的距離之和等于常數(shù) （2a） （大于（大于|F1F2 |）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓。）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓。 定點(diǎn)定點(diǎn)F1、F2叫做橢圓的焦點(diǎn)。叫做橢圓的焦點(diǎn)。 兩焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距（兩焦點(diǎn)之間的距離叫做焦距（2C）。）。橢圓定義的文字表述：橢圓定義的文字表述：橢圓定義的符號表述：橢圓定義的符號表述：aMFMF221(2a2c)MF2F1小結(jié)：橢圓的定義需要注意以下幾點(diǎn)小結(jié)：橢圓的定義需要注意以下幾點(diǎn)1.1.平面上平面上-這是大前提這是大前提2.2.動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M M到兩定點(diǎn)到兩定點(diǎn)F F1 1，F(xiàn) F2 2的距離之和是常數(shù)的距離之和是常數(shù)2a 2a 3.3.常數(shù)常數(shù)2a2a要大于焦距要大于焦距

4、2C2C思考：思考：1.當(dāng)當(dāng)2a2c時(shí)時(shí),軌跡是（軌跡是（ ）橢圓橢圓2.當(dāng)當(dāng)2a=2c時(shí)時(shí),軌跡是一條線段軌跡是一條線段, 是以是以F1、F2為端為端 點(diǎn)的線段點(diǎn)的線段 3.當(dāng)當(dāng)2a0)，M與與F1和和F2的距離的和等于正的距離的和等于正常數(shù)常數(shù)2a (2a2c) ，則，則F1、F2的坐的坐標(biāo)分別是標(biāo)分別是( c,0)、(c,0) .xF1F2M0y（問題：下面怎樣（問題：下面怎樣化化簡？）簡？）122MFMFa222212(),()MFxcyMFx cyaycxycx2)()(2222 得方程由橢圓的定義得，由橢圓的定義得，限限制條件制條件：代代入坐標(biāo)入坐標(biāo)2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)2222

5、22bayaxb 22ba兩邊除以兩邊除以 得得).0(12222babyax設(shè)所以即,0,2222cacaca),0(222bbca由橢圓定義可知由橢圓定義可知整理得整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx 222)(ycxacxa 2222222222422yacacxaxaxccxaa 兩邊再平方，得兩邊再平方，得)()(22222222caayaxca移項(xiàng)，再平方移項(xiàng)，再平方) 0( 12222babxay總體印象：對稱、簡潔，總體印象：對稱、簡潔，“像像”直線方程的截距直線方程的截距式式012222babyax焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y軸：軸：焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x軸：軸：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

6、程1oFyx2FMaycxycx2)()(2222axcyxcy2)()(22221 12 2yoFFMx0 12222babyax 0 12222babxay圖圖 形形方方 程程焦焦 點(diǎn)點(diǎn)F( (c，0)0)F(0(0，c) )a,b,c之間的關(guān)系之間的關(guān)系c2 2= =a2 2- -b2 2MF1+MF2=2a (2a2c0)定定 義義1 12 2yoFFMx1oFyx2FM兩類標(biāo)準(zhǔn)方程的對照表注注: : 共同點(diǎn)：共同點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示的一定是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示的一定是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓；中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓；方程的左邊是平方和，右邊是方程的左邊是平方

7、和，右邊是1.2x2y不同點(diǎn)：焦點(diǎn)在不同點(diǎn)：焦點(diǎn)在x軸的橢圓軸的橢圓 項(xiàng)分母較大項(xiàng)分母較大. 焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y軸的橢圓軸的橢圓 項(xiàng)分母較大項(xiàng)分母較大. 練習(xí)1：判定下列橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸，并指 明a2、b2，寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)2212516xy+=答：在答：在 X 軸（軸（-3，0）和（）和（3，0）221144169xy+=答：在答：在 y 軸（軸（0，-5）和（）和（0，5）222211xymm+=+答：在答：在y 軸。（軸。（0，-1）和（）和（0，1）判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上的準(zhǔn)則：判斷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上的準(zhǔn)則： 焦點(diǎn)在分母大的那個(gè)軸上。焦點(diǎn)在分母大的那個(gè)軸上。11625)2

8、(22yx11)3(2222mymx11616)1(22yx0225259)4(22yx123)5(22yx11624)6(22kykx1.口答：下列方程哪些表示橢圓？口答：下列方程哪些表示橢圓？22,ba 若是若是,則判定其焦點(diǎn)在何軸？則判定其焦點(diǎn)在何軸？并指明并指明 ，寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)，寫出焦點(diǎn)坐標(biāo).?2222xy1.1xa3a( )xy2.1yb9b( )方程表示焦點(diǎn)在 軸上的橢圓，則 的范圍為。方程表示焦點(diǎn)在 軸上的橢圓，則 的范圍為。0b3a3練習(xí)：練習(xí)：1.方程4x2+ky2=1的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則k的范圍是 . 2.橢圓mx2+ny2=-mn(mnba( 1=by+ax22

9、22192522 yx)0y（ yoBCAx 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為: 注意：求出曲線的方程后，要注意檢查一下注意：求出曲線的方程后，要注意檢查一下 方程的曲線方程的曲線上的點(diǎn)是否都是符合題意。上的點(diǎn)是否都是符合題意。例例2、寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1) a =4，b=1，焦點(diǎn)在，焦點(diǎn)在 x 軸軸上上； (2) a =4，b=1，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上；，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上； (3) 兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是（ 0 ，-2）和（）和（ 0 ，2），并且經(jīng)），并且經(jīng)

10、 過點(diǎn)過點(diǎn)P（ - -1.5 ，2.5）.解解： 因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，軸上， 設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 )0(12222babxay c=2，且 c2= a2 - b2 4= a2 - b2 又又橢圓經(jīng)過點(diǎn)橢圓經(jīng)過點(diǎn)2523， 1)()(22232225ba聯(lián)立聯(lián)立可求得：可求得：6,1022ba11622 yx橢圓的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為標(biāo)準(zhǔn)方程為 161022xy(法一法一)xyF1F2P11622yx11622 yx或(法二法二) 因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為標(biāo)準(zhǔn)方程為由橢圓的定義知，由橢圓的定義知，.6410,2.1

11、0,10210211023)225()23()225()23(22222222cabcaa又所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.161022xy)0(12222babxay練習(xí)：練習(xí)：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)焦點(diǎn)為焦點(diǎn)為F1(0,3),F2(0,3),且且a=5.22(2) 1251 6yx22(1)16 xy答案：(1)a= ,b=1,焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x x軸上軸上; ;(3)兩個(gè)焦點(diǎn)分別是兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1(2,0)、F2(2,0),且過且過P(2,3)點(diǎn)；點(diǎn)； (4)經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)P(2,0)和和Q(0,3).22(3 ) 11 6

12、1 2xy22(4 ) xy+= 149小結(jié)：求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：小結(jié)：求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：定位：定位：確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸；確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸；定量：定量：求求a, b的值的值.6例例1 ： 已知一個(gè)運(yùn)油車上的貯油罐橫截面的外輪廓線是一已知一個(gè)運(yùn)油車上的貯油罐橫截面的外輪廓線是一 個(gè)橢圓，個(gè)橢圓， 它的焦距為它的焦距為2.4m，外輪廓線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離的和為，外輪廓線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離的和為 3m，求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：解：以兩焦點(diǎn)以兩焦點(diǎn)F1、F2所在直線為所在直線為x軸，線段軸，線段F1F2的垂直平分線為的垂直平分線為 y 軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系

13、軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy，則這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)，則這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為方程可設(shè)為222210 xyabab 根據(jù)題意有根據(jù)題意有23a ，22.4c 1.5a ，1.2c 即即222221.51.20.81bac因此，這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為因此，這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2212.250.81xy xyOF1F2求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一種方法：一種方法：二類方程二類方程: 12222byax0 12222babxay解：解：例例1 ：將圓將圓x x2 2+y+y2 2 = 4 = 4上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话耄笏那€的方程，縱坐

14、標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?，求所的曲線的方程，并說明它是什么曲線？并說明它是什么曲線？yxo設(shè)所的曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）,圓 上的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），由題意可得：22yx yyxx2/22yx因?yàn)樗?422yx即1422 yx1 1）將圓按照某個(gè)方向均勻地壓縮）將圓按照某個(gè)方向均勻地壓縮（拉長），可以得到橢圓（拉長），可以得到橢圓。2 2）利用中間變量求點(diǎn)的軌跡方程）利用中間變量求點(diǎn)的軌跡方程的方法是解析幾何中常用的方法；的方法是解析幾何中常用的方法；練習(xí)練習(xí)(1)到到F1(-2,0)、F2(2,0)的距離之和為的距離之和為6的點(diǎn)的軌跡。的點(diǎn)的軌跡。(2)到到F1(0,-2)、F2(0,

15、2)的距離之和為的距離之和為4的點(diǎn)的軌跡。的點(diǎn)的軌跡。(3)到到F1(-2,0)、F2(0,2)的距離之和為的距離之和為3的點(diǎn)的軌跡。的點(diǎn)的軌跡。解解 (1)因因|MF1|+|MF2|=6|F1F2|=4，故點(diǎn)，故點(diǎn)M的軌跡為橢圓。的軌跡為橢圓。(2)因因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故點(diǎn)，故點(diǎn)M的軌跡不是橢的軌跡不是橢圓圓(是線段是線段F1F2)。，故點(diǎn)M的軌跡為橢圓，故點(diǎn)M的軌跡為橢圓2 22 2| |F FF F| |3 3| |MFMF| | |MFMF| |因因2 21 12 21 1 (3)116422yx222212(2 / 3)xy12)3/2(2222yx1

16、1、已知一個(gè)圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為、已知一個(gè)圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2 2，從這，從這個(gè)圓上個(gè)圓上任意一點(diǎn)任意一點(diǎn)P向向x軸作垂線段軸作垂線段PP，延長，延長PP至至M,使使PM=2 PP，求點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡。的軌跡。2 2、已知一個(gè)圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為、已知一個(gè)圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2 2，從這個(gè)，從這個(gè)圓上圓上任意一點(diǎn)任意一點(diǎn)P向向x軸作垂線段軸作垂線段PP。求線段。求線段PP上使上使PM=2MP的點(diǎn)的點(diǎn)M的軌跡。的軌跡。3 3、已知一個(gè)圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為、已知一個(gè)圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2 2，從這個(gè)，從這個(gè)圓上圓上任意一點(diǎn)任意一點(diǎn)P向向y軸作垂線段軸作垂線段P

17、P。求求PP上上PP=-3PM的點(diǎn)的點(diǎn)M的軌跡。的軌跡。練習(xí)練習(xí) 例例2 已知圓已知圓A：(x3)2y2100，圓，圓A內(nèi)一內(nèi)一定點(diǎn)定點(diǎn)B(3，0)，圓，圓P過過B點(diǎn)且與圓點(diǎn)且與圓A內(nèi)切，求圓心內(nèi)切，求圓心P的軌跡方程的軌跡方程2解解：設(shè)：設(shè)PBr圓圓P與圓與圓A內(nèi)切，圓內(nèi)切，圓A的半徑為的半徑為10兩圓的圓心距兩圓的圓心距PA10r，即即PAPB10(大于大于AB)點(diǎn)點(diǎn)P的軌跡是以的軌跡是以A、B兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓2a10，2cAB6，a5，c3b2a2c225916即點(diǎn)即點(diǎn)P的軌跡方程為的軌跡方程為 1222516xy171622yx4、三角形三角形ABC的三邊的三邊a、b、c 成等差數(shù)列，成等差數(shù)列，A、C的坐標(biāo)分別為（的坐標(biāo)分別為（-1，0），（），（1，0），），求頂點(diǎn)求頂點(diǎn)B的軌跡。的軌跡。)0( 13422yyx5、一動(dòng)圓過點(diǎn)一動(dòng)圓過點(diǎn)B（-3，0），），64)3( :22yxC內(nèi)切，求該動(dòng)圓圓心內(nèi)切，求該動(dòng)圓圓心M 的軌跡方程。的軌跡方程。而且與圓而且與圓3-3xyMABC221201212715430 ,yxPFFFPFFPF、已知點(diǎn) 是橢圓上的一點(diǎn)， 、