含參變量的積分

1、* *第五節(jié)第五節(jié)一、被積函數(shù)含參變量的積分一、被積函數(shù)含參變量的積分 二、積分限含參變量的積分二、積分限含參變量的積分 含參變量的積分 第十章 )().(, bxadyyxfx 一、含參變量積分的連續(xù)性一、含參變量積分的連續(xù)性是變量是變量 在在 上的一個(gè)一元連續(xù)函數(shù)上的一個(gè)一元連續(xù)函數(shù),設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 是在矩形是在矩形 ),(yxf),( bbxaR dyyxf),(, 上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù). 在在 上任意確定上任意確定 的一個(gè)值的一個(gè)值, 于是于是),(x x,bax),(yxfy從而積分從而積分xx,ba存在存在, 這個(gè)積分的值依賴于取這個(gè)積分的值依賴于取定的定的 值值. 當(dāng)當(dāng) 的值改

2、變時(shí)的值改變時(shí),一般來說這個(gè)積分的值也一般來說這個(gè)積分的值也跟著改變跟著改變. 這個(gè)積分確定一個(gè)定義在這個(gè)積分確定一個(gè)定義在上的上的 的函的函數(shù)數(shù), 我們把它記作我們把它記作即即定理定理1 1 如果函數(shù)如果函數(shù) 在矩形在矩形 ),(yxf),( bbxaR )(),()(bxadyyxfx,ba上連續(xù)，那么由積分上連續(xù)，那么由積分確定的函數(shù)確定的函數(shù) 在在 上也連續(xù)上也連續(xù). . )(x 證證設(shè)設(shè) 和和 是是 上的兩點(diǎn)，則上的兩點(diǎn)，則xxx ,ba)1(.),(),()()( dyyxfyxxfxxx這里變量這里變量 在積分過程中是一個(gè)常量，通常稱它為在積分過程中是一個(gè)常量，通常稱它為參變量參

3、變量.x由于由于 在閉區(qū)域在閉區(qū)域 上連續(xù)，從而一致連續(xù)上連續(xù)，從而一致連續(xù).),(yxfR因此對(duì)于任意取定的因此對(duì)于任意取定的 ,存在存在 ,使得對(duì)于使得對(duì)于 內(nèi)內(nèi)的任意兩點(diǎn)的任意兩點(diǎn) 及及 ,只要它們之間的距離只要它們之間的距離小于小于 ,即即0 0 R),(11yx),(22yx ,)()(212212 yyxx就有就有.),(),(1122 yxfyxf因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn) 與與 的距離等于的距離等于 ,所以當(dāng)所以當(dāng)),(yxx ),(yxx 時(shí)時(shí),就有就有 x.),(),( yxfyxxf于是由（于是由（1）式有）式有).(),(),()()( dyyxfyxxfxxx所以所以 在在 上連續(xù)

4、上連續(xù). 定理得證定理得證)(x ,ba注注 既然函數(shù)既然函數(shù) 在在 上連續(xù)上連續(xù),那么它在那么它在 上上的積分存在的積分存在,這個(gè)積分可以寫為這個(gè)積分可以寫為)(x ,ba,ba.),(),()( bababadyyxfdxdxdyyxfdxx 右端積分式函數(shù)右端積分式函數(shù) 先對(duì)先對(duì) 后對(duì)后對(duì) 的二次積分的二次積分.),(yxfyx定理定理1 表明表明,定義在閉矩形域上的連續(xù)函數(shù),其極限運(yùn) 算與積分運(yùn)算的順序是可交換的. , ,0bax 即對(duì)任意yyxfxxd),(lim0yyxfxxd),(lim0同理可證, 上連在矩形域若,),(baRyxf續(xù), baxyxfyd),()(則含參變量的積

5、分.,上連續(xù)也在由連續(xù)性定理易得下述可積性定理: 定理定理2 2 如果函數(shù)如果函數(shù) 在矩形在矩形),(yxf),( ybxaR上連續(xù)上連續(xù), ,則則)2(.),(),(dydxyxfdxdyyxfbaba 公式（公式（2）也可寫成）也可寫成)2(.),(),( babadxyxfdydyyxfdx下面考慮由積分下面考慮由積分(*)確定的函數(shù)確定的函數(shù) 的微分問題的微分問題.)(x xyxf ),(定理定理3 3 如果函數(shù)如果函數(shù) 及其偏導(dǎo)數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù) 都在都在),(yxf),( ybxaR)(x ,ba)5(.),(),()( dyxyxfdyyxfdxdx矩形矩形 上連續(xù)上連續(xù), ,那么由積

6、分那么由積分( (* *) )確定的函數(shù)確定的函數(shù) 在在 上可微分上可微分, ,并且并且證證因?yàn)橐驗(yàn)?)()(lim)(0 xxxxxx 為了求為了求 ，先利用公式，先利用公式(1)作出增量之比作出增量之比)(x .),(),()()(dyxyxfyxxfxxxx 由拉格朗日中值定理，以及由拉格朗日中值定理，以及 的一致連續(xù)性，我們有的一致連續(xù)性，我們有xf )6(),(),(),(),(),(xyxxyxfxyxxfxyxfyxxf 其中其中 ， 可小于任意給定的正數(shù)可小于任意給定的正數(shù) ，只要，只要 10 x 小于某個(gè)正數(shù)小于某個(gè)正數(shù) . 因此因此),()(),( xdydyxyx這就是說

7、這就是說. 0),(lim0 dyxyxx綜上所述有綜上所述有,),(),()()( dyxyxdyxyxfxxxx令令 取上式的極限，即得公式（取上式的極限，即得公式（5）.0 x此定理說明, 被積函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)在閉矩形域上連續(xù) 時(shí), 求導(dǎo)與求積運(yùn)算是可以交換順序的 . 我們?cè)趯?shí)際中還會(huì)遇到對(duì)于參變量我們?cè)趯?shí)際中還會(huì)遇到對(duì)于參變量 的不同的值，的不同的值，積分限也不同的情形，這時(shí)積分限也是參變量積分限也不同的情形，這時(shí)積分限也是參變量 的函的函數(shù)數(shù).這樣這樣,積分積分xx 3,dyyxfxxx 也是參變量也是參變量 的函數(shù)的函數(shù).下面我們考慮這種更為廣泛地下面我們考慮這種更為廣泛地依賴于參變

8、量的積分的某些性質(zhì)依賴于參變量的積分的某些性質(zhì).x定理定理4 4 如果函數(shù)如果函數(shù) 在矩形在矩形),(yxf),( ybxaR)(x )(x ,ba,ba),()(,)(bxaxx )(x 上連續(xù)，又函數(shù)上連續(xù)，又函數(shù) 與與 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)，上連續(xù)，并且并且則由積分（則由積分（3 3）確定的函數(shù)）確定的函數(shù) 在在 上也連續(xù)上也連續(xù). .證證設(shè)設(shè) 和和 是是 上的兩點(diǎn)，則上的兩點(diǎn)，則,baxxx .),(),()()()()()()(dyyxfdyyxxfxxxxxxxxx ,),(),(),(),()()()()()()()( xxxxxxxxxxxxdyyxxfdyyxxfdyyxxf

9、dyyxxf )4(.),(),(),(),()()()()()()()()( xxxxxxxxdyyxfyxxfdyyxxfdyyxxfxxx 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，上式右端最后一個(gè)積分的積分限不變，時(shí)，上式右端最后一個(gè)積分的積分限不變，0 x根據(jù)證明定理根據(jù)證明定理1時(shí)同樣的理由，這個(gè)積分趨于零時(shí)同樣的理由，這個(gè)積分趨于零.又又. )()(),(, )()(),()()()()(xxxMdyyxxfxxxMdyyxxfxxxxxx 其中其中 是是 在矩形在矩形 上的最大值上的最大值. 根據(jù)根據(jù) 與與 在在 上連續(xù)的假定，由以上兩式可見，上連續(xù)的假定，由以上兩式可見， 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，（時(shí)，（4）式右端的前兩

10、個(gè)積分都趨于）式右端的前兩個(gè)積分都趨于零零. 于是，當(dāng)于是，當(dāng) 時(shí)，時(shí)，M),(yxfR)(x )(x ,ba0 x0 x),(0)()(bxaxxx ,ba)(x 所以函數(shù)所以函數(shù) 在在 上連續(xù)上連續(xù). 定理得證定理得證定理定理5 5 如果函數(shù)如果函數(shù) 及其偏導(dǎo)數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù) 都在都在),(yxf),( ybxaR)(x )(x ,ba,ba),()(,)(bxaxx )(x 則由積分則由積分(3)(3)確定的函數(shù)確定的函數(shù) 在在 上可微，并且上可微，并且xyxf ),(矩形上矩形上 連續(xù)，又函數(shù)連續(xù)，又函數(shù) 與與 在區(qū)間在區(qū)間 上可微，并且上可微，并且)7().()(,)()(,),(),(

11、)()()()()(xxxfxxxfdyxyxfdyyxfdxdxxxxx 三、萊布尼茨公式三、萊布尼茨公式證證由由(4)式有式有)8(.),(1),(1),(),()()()()()()()()(dyyxxfxdyyxxfxdyxyxfyxxfxxxxxxxxxxxx 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，上式右端的第一個(gè)積分的積分限時(shí)，上式右端的第一個(gè)積分的積分限不變，則不變，則0 x.),(),(),()()()()(dyxyxfdyxyxfyxxfxxxx 對(duì)于對(duì)于(8)右端的第二項(xiàng)，應(yīng)用積分中值定理得右端的第二項(xiàng)，應(yīng)用積分中值定理得),()()(1),(1)()( xxfxxxxdyyxxfxxxx 其中其中

12、在在 與與 之間之間. 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),)(x )(xx 0 x),(,),(),()()(1xxfxxfxxxxx 類似地可證類似地可證,當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0 x).()(,),(1)()(xxxfdyyxxfxxxx 因此，令因此，令 ，取，取(8)式的極限便得公式式的極限便得公式(7). 0 x公式公式(7)稱為稱為萊布尼茨公式萊布尼茨公式.于是于是).()(,),(1)()(xxxfdyyxxfxxxx 應(yīng)用萊布尼茨公式，得應(yīng)用萊布尼茨公式，得1sin2sincos)(2222 xxxxxxydyxxx例例1 1 2,sin)(xxdyyxyx).(x 設(shè)設(shè)求求xxxxxxyxx23sinsin

13、2sin2 .sin2sin323xxx 解解例例2 2 求求).0(ln10badxxxxIab 解解 ,lnlnxxxyxdyxabbaybay .10 baydyxdxI這里函數(shù)這里函數(shù) 在矩形在矩形yxyxf ),()0 , 10(byaxR 上連續(xù)，根據(jù)定理上連續(xù)，根據(jù)定理2，可交換積分次序，由此有，可交換積分次序，由此有 baydyxdyI10.11ln11 abdyybadyyxbay1011 例例3 3 計(jì)算定積分計(jì)算定積分.1)1ln(102 dxxxI 考慮含參變量考慮含參變量 的積分所確定的函數(shù)的積分所確定的函數(shù) .1)1ln()(102 dxxx 顯然，顯然， 根據(jù)公式

14、根據(jù)公式(5)得得.)1(, 0)0(I .)1)(1()(102 dxxxx 解解把被積函數(shù)分解為部分分式把被積函數(shù)分解為部分分式,得到得到.11111)1)(1(2222xxxxxxx 11111)(102102102 xdxxxdxxdx 于是于是,42ln21)1ln(112 上式在上式在 上對(duì)上對(duì) 積分積分,得到得到1 , 0 ,1412ln211)1ln()0()1(102102102 ddd即即.22ln422ln4422ln III從而從而. 2ln8 I例4.,0)(的某鄰域內(nèi)連續(xù)在設(shè)xxf充驗(yàn)證當(dāng) x分小時(shí), 函數(shù)xnttftxnx01d)()(! ) 1(1)(的 n 階

15、導(dǎo)數(shù)存在, 且. )()()(xfxn證證: 令 , )()(),(1tftxtxFn),(),(,txFtxFx及顯然在原點(diǎn)的某個(gè)閉矩形鄰域內(nèi)連續(xù), 由定理5 可得xnttftxnnx02d)()(1(! ) 1(1)()()(! ) 1(11xfxxnnxnttftxnx02d)()(! )2(1)(即同理,d)()(! )3(1)(03 xnttftxnxxnttfx0) 1(d)()()()()(xfxn于是1、含參變量的積分所確定的函數(shù)的定義、含參變量的積分所確定的函數(shù)的定義 ；四、小結(jié)四、小結(jié)2、含參變量的積分所確定的函數(shù)的連續(xù)性；、含參變量的積分所確定的函數(shù)的連續(xù)性；3、含參變量的積分所確定的函數(shù)的微分；、含參變量的積分所確定的函數(shù)的微分；4、萊布尼茨公式及其應(yīng)用、萊布尼茨公式及其應(yīng)用.練習(xí)題練習(xí)題.)cos(lim2;1lim120201220 dyxyyyxdyxxxx限：限：積分所確定的函數(shù)的極積分所確定的函數(shù)的極一、求下列含參變量的一、求