數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解課件

1、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解第六講 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解（下） 概率分布與偽隨機(jī)數(shù)生成 統(tǒng)計(jì)量分析 數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析方法及計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn) 統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn) 方差分析及計(jì)算機(jī)求解數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 8.1概率分布與偽隨機(jī)數(shù)生成 8.1.1 概率密度函數(shù)與分布函數(shù)概述數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解通用函數(shù)計(jì)算概率密度函數(shù)值 函數(shù) pdf格式 P=pdf(name，K，A) P=pdf(name，K，A，B) P=pdf(name，K，A，B，C)說(shuō)明 返回在X=K處、參數(shù)為A、B、C的概率密度值，對(duì)于不同的分布，參數(shù)個(gè)數(shù)是不同；name為分布函數(shù)名。 例如二項(xiàng)

2、分布：設(shè)一次試驗(yàn)，事件Y發(fā)生的概率為p，那么，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件Y恰好發(fā)生K次的概率P_K為：P_K=PX=K=pdf(bino，K，n，p) 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解例: 計(jì)算正態(tài)分布N（0，1）的隨機(jī)變量X在點(diǎn)0.6578的密度函數(shù)值。解： pdf(norm,0.6578,0,1) ans = 0.3213例:自由度為8的卡方分布，在點(diǎn)2.18處的密度函數(shù)值。 解： pdf(chi2,2.18,8) ans = 0.0363數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 隨機(jī)變量的累積概率值(分布函數(shù)值) 通用函數(shù)cdf用來(lái)計(jì)算隨機(jī)變量的概率之和（累積概率值）函數(shù) cdf

3、格式 cdf(name，K，A) cdf(name，K，A，B) cdf(name，K，A，B，C)說(shuō)明 返回以name為分布、隨機(jī)變量XK的概率之和的累積概率值，name為分布函數(shù)名.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解例: 求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量X落在區(qū)間(-，0.4)內(nèi)的概率。 解： cdf(norm,0.4,0,1) ans = 0.6554例：求自由度為16的卡方分布隨機(jī)變量落在0，6.91內(nèi)的概率。 解： cdf(chi2,6.91,16) ans = 0.0250數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解隨機(jī)變量的逆累積分布函數(shù) MATLAB中的逆累積分布函數(shù)是已知，求x。命令

4、 icdf icdf 計(jì)算逆累積分布函數(shù)格式 icdf(name，K，A) icdf(name，K，A，B) icdf(name，K，A，B，C) 說(shuō)明 返回分布為name，參數(shù)為a1,a2,a3，累積概率值為P的臨界值，這里name與前面相同。如果F= cdf(name，X，A，B，C) ，則 X = icdf(name，F(xiàn)，A，B，C) 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解例:在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中，若已知F=0.6554,求X解： icdf(norm,0.6554,0,1) ans = 0.3999例：公共汽車門的高度是按成年男子與車門頂碰頭的機(jī)會(huì)不超過(guò)1%設(shè)計(jì)的。設(shè)男子身高X（單位：c

5、m）服從正態(tài)分布N（175，6），求車門的最低高度。解：設(shè)h為車門高度，X為身高。求滿足條件 FXh=0.99，即 FX=0.01故 h=icdf(norm,0.99, 175, 6)h = 188.9581數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解8.1.2 常見分布的概率密度函數(shù)與分布函數(shù) 8.1.2.1 Poisson分布其要求x是正整數(shù)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解其中：x為選定的一組橫坐標(biāo)向量， y為x各點(diǎn)處的概率密度函數(shù)值。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 例：繪制 l l =1,2,5,10 時(shí) Poisson 分布的概率密度函數(shù)與概率分布函數(shù)曲線。 x=0:1

6、5; y1=; y2=; lam1=1,2,5,10; for i=1:length(lam1) y1=y1,poisspdf(x,lam1(i); y2=y2,poisscdf(x,lam1(i);end plot(x,y1), figure; plot(x,y2)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解8.1.2.2 正態(tài)分布正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為:數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 例： x=-5:.02:5; y1=; y2=; mu1=-1,0,0,0,1; sig1=1,0.1,1,10,1; sig1=sqrt(sig1); for i=1:length(mu1) y1=

7、y1,normpdf(x,mu1(i),sig1(i); y2=y2,normcdf(x,mu1(i),sig1(i); end plot(x,y1), figure; plot(x,y2)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解8.1.2.3 分布數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 例： x=-0.5:.02:5; x=-eps:-0.02:-0.5,0:0.02:5; x=sort(x);替代 y1=; y2=; a1=1,1,2,1,3; lam1=1,0.5,1,2,1; for i=1:length(a1) y1=y1,gampdf(x,a1(i),lam1(i); y2=y2

8、,gamcdf(x,a1(i),lam1(i);end plot(x,y1), figure; plot(x,y2)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解8.1.2.4 分布（卡方分布）其為一特殊的 分布 ，a=k/2, l l =1/2。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 例： x=-eps:-0.02:-0.5,0:0.02:2; x=sort(x); k1=1,2,3,4,5; y1=; y2=; for i=1:length(k1) y1=y1,chi2pdf(x,k1(i); y2=y2,chi2cdf(x,k1(i);end plot(x,y1), figure; plot

9、(x,y2)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解8.1.2.5 分布概率密度函數(shù)為:其為參數(shù)k的函數(shù)，且k為正整數(shù)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 例： x=-5:0.02:5; k1=1,2,5,10; y1=; y2=; for i=1:length(k1) y1=y1,tpdf(x,k1(i); y2=y2,tcdf(x,k1(i); end plot(x,y1), figure; plot(x,y2)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解8.1.2.6 Rayleigh分布數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 例： x=-eps:-0.02:-0.5,0:0.02:

10、5; x=sort(x); b1=.5,1,3,5; y1=; y2=; for i=1:length(b1) y1=y1,raylpdf(x,b1(i); y2=y2,raylcdf(x,b1(i); end plot(x,y1), figure; plot(x,y2)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解8.1.2.7 F 分布其為參數(shù)p,q的函數(shù)，且p,q均為正整數(shù)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 例：分別繪制（p,q）為（1,1),(2,1),(3,1)(3,2),(4,1)時(shí)F分布的概率密度函數(shù)與分布函數(shù)曲線。 x=-eps:-0.02:-0.5,0:0.02:1; x=

11、sort(x); p1=1 2 3 3 4; q1=1 1 1 2 1; y1=; y2=; for i=1:length(p1) y1=y1,fpdf(x,p1(i),q1(i); y2=y2,fcdf(x,p1(i),q1(i); end plot(x,y1), figure; plot(x,y2)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解8.1.3 概率問題的求解圖4-9數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 例： b=1; p1=raylcdf(0.2,b); p2=raylcdf(2,b); P1=p2-p1P1 = 0.8449 p1=raylcdf(1,b); P2=1-p1P2

12、 = 0.6065數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 例： syms x y; f=x2+x*y/3; P=int(int(f,x,0,1/2),y,0,1/2)P =5/192 syms x y; f=x2+x*y/3; P=int(int(f,x,0,1),y,0,2)P =1數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解8.1.4 隨機(jī)數(shù)與偽隨機(jī)數(shù)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 例： b=1; p=raylrnd(1,30000,1); xx=0:.1:4; yy=hist(p,xx); hist()找出隨機(jī)數(shù)落入各個(gè)子區(qū)間的點(diǎn)個(gè)數(shù)，并由

13、之?dāng)M合出生成數(shù)據(jù)的概率密度。yy=yy/(30000*0.1); bar(xx,yy), y=raylpdf(xx,1); line(xx,y)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解8.2 統(tǒng)計(jì)量分析 8.2.1 隨機(jī)變量的均值與方差數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 例：均值 syms x; syms a lam positive p=lama*x(a-1)/gamma(a)*exp(-lam*x); m=int(x*p,x,0,inf) m =1/lam*a 方差 s=simple(int(x-1/lam*a)2*p,x,0,inf) s =a/lam2數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)

14、計(jì)問題的求解已知一組隨機(jī)變量樣本數(shù)據(jù)構(gòu)成的向量:求該向量各個(gè)元素的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差、中位數(shù)medianmedian數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 例：生成一組 30000 個(gè)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)，使其均值為 0.5，標(biāo)準(zhǔn)差為1.5，分析數(shù)據(jù)實(shí)際的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，如果減小隨機(jī)變量個(gè)數(shù)，會(huì)有什么結(jié)果？ p=normrnd(0.5,1.5,30000,1);mean(p),var(p),std(p)ans = 0.4879 2.2748 1.5083300個(gè)隨機(jī)數(shù) p=normrnd(0.5,1.5,300,1);mean(p),var(p),std(p)ans = 0.4745 1.91

15、18 1.3827可見在進(jìn)行較精確的統(tǒng)計(jì)分析時(shí)不能選擇太小的樣本點(diǎn)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 例： m,s=raylstat(0.45)m = 0.5640s = 0.0869數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解8.2.2 隨機(jī)變量的矩?cái)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 例：求解原點(diǎn)矩 syms x; syms a lam positive; p=lama*x(a-1)/gamma(a)*exp(-lam*x); for n=1:5, m=int(xn*p,x,0,inf), endm =1/lam*a m =1/lam2*a*(a+1)m =1/lam3*a*(a+

16、1)*(a+2)m =1/lam4*a*(a+1)*(a+2)*(a+3)m =1/lam5*a*(a+1)*(a+2)*(a+3)*(a+4) 有規(guī)律數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 syms n; m=simple(int(x)n*p,x,0,inf) 直接求出m =lam(-n)*gamma(n+a)/gamma(a) for n=1:6, s=simple(int(x-1/lam*a)n*p,x,0,inf), end 中心距s =0s =a/lam2 s =2*a/lam3s =3*a*(a+2)/lam4s =4*a*(5*a+6)/lam5s =5*a*(3*a2+26*

17、a+24)/lam6 好像無(wú)規(guī)律數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 例：考慮前面的隨機(jī)數(shù)，可以用下面的語(yǔ)句得出隨機(jī)數(shù)的各階矩。 A=; B=; p=normrnd(0.5,1.5,30000,1); n=1:5; for r=n, A=A, sum(p.r)/length(p); B=B,moment(p,r); end A,BA = 0.5066 2.4972 3.5562 18.7530 41.5506B = 0 2.2405 0.0212 15.1944 0.0643數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解求各階距的理論值： syms x;

18、A1=; B1=; p=1/(sqrt(2*pi)*1.5)*exp(-(x-0.5)2/(2*1.52); for i=1:5 A1=A1,vpa(int(xi*p,x,-inf,inf),12); B1=B1,vpa(int(x-0.5)i*p,x,-inf,inf),12); end A1, B1A1 = .5, 2.50000000000, 3.50000000001, 18.6250000000, 40.8125000000 B1 = 0, 2.25000000000, 0, 15.1875000000, 0數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解8.2.3 多變量隨機(jī)數(shù)的協(xié)方差分析

19、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 例： p=randn(30000,4); cov(p)ans = 1.0033 0.0131 0.0036 0.0020 0.0131 1.0110 0.0061 -0.0154 0.0036 0.0061 1.0055 -0.0004 0.0020 -0.0154 -0.0004 0.9881數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解8.2.4 多變量正態(tài)分布的聯(lián)合概率密度即分布函數(shù)2,X為向量，為協(xié)方差矩陣。11212211( ,)exp()()2(2 )nnp x xxxx數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的

20、求解 例： mu1=-1,2; Sigma2=1 1; 1 3; % 輸入均值向量和協(xié)方差矩陣 X,Y=meshgrid(-3:0.1:1,-2:0.1:4); xy=X(:) Y(:); % 產(chǎn)生網(wǎng)格數(shù)據(jù)并處理(兩列2501*2 ） p=mvnpdf(xy,mu1,Sigma2); % 求取聯(lián)合概率密度 P=reshape(p,size(X); Change size(2501*161*41) surf(X,Y,P)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 對(duì)協(xié)方差矩陣進(jìn)行處理，可計(jì)算出新的聯(lián)合概率密度函數(shù)。 Sigma2=diag(diag(Sigma2); % 消除協(xié)方差矩陣的非對(duì)角元素

21、 p=mvnpdf(xy,mu1,Sigma2); P=reshape(p,size(X); surf(X,Y,P)R為m行n列。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 例： mu1=-1,2; Sigma2=1 1; 1 3; R1=mvnrnd(mu1,Sigma2,2000); plot(R1(:,1),R1(:,2),o) Sigma2=diag(diag(Sigma2); figure; R2=mvnrnd(mu1,Sigma2,2000); plot(R2(:,1),R2(:,2),o)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解8.3數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析方法及計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn) 8.3.1 參數(shù)估

22、計(jì)與區(qū)間估計(jì) 無(wú)論總體X的分布函數(shù)F（x； ）的類型已知或未知，我們總是需要去估計(jì)某些未知參數(shù)或數(shù)字特征，這就是參數(shù)估計(jì)問題.即參數(shù)估計(jì)就是從樣本（X1，X2，Xn）出發(fā)，構(gòu)造一些統(tǒng)計(jì)量 X1，X2，Xn）（i=1，2，k）去估計(jì)總體X中的某些參數(shù)（或數(shù)字特征） （i=1，2，k）.這樣的統(tǒng)計(jì)量稱為估計(jì)量估計(jì)量.12,k (ii數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解1、點(diǎn)估計(jì)、點(diǎn)估計(jì)：構(gòu)造（X1，X2，Xn）的函數(shù) (X1，X2，Xn） 作為參數(shù) 的點(diǎn)估計(jì)量，稱統(tǒng)計(jì)量 為總體X參數(shù) 的點(diǎn)估計(jì)量.2. 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)：構(gòu)造兩個(gè)函數(shù) (X1，X2，Xn）和 (X1，X2， Xn）做成區(qū)間，把這

23、 （ ）作為參數(shù) 的區(qū)間估計(jì).iiii2i1i12,iii數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解區(qū)間估計(jì)的求法區(qū)間估計(jì)的求法 設(shè)總體X的分布中含有未知參數(shù) ，若對(duì)于給定的概率 ，存在兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量 (X1，X2，Xn）和 (X1，X2，Xn）,使得 則稱隨機(jī)區(qū)間 為參數(shù) 的置信水平為 的置信區(qū)間置信區(qū)間,稱 為置信下限置信下限,稱 為置信上限置信上限.1(01)1212()1P 12( ,) 112數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 由極大擬然法估計(jì)出該分布的均值、方差 及其置信區(qū)間。置信度越大，得出的置信區(qū)間越小，即得出的結(jié)果越接近于真值。 還有g(shù)amfit(), raylfit(),

24、poissfit() ，unifit()（均勻分布） 等參數(shù)估計(jì)函數(shù)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 例： p=gamrnd(1.5,3,30000,1); Pv=0.9,0.92,0.95,0.98; A=; for i=1:length(Pv) a,b=gamfit(p,Pv(i); A=A; Pv(i),a(1),b(:,1),a(2),b(:,2)end AA = 0.9000 1.5137 1.5123 1.5152 2.9825 2.9791 2.9858 0.9200 1.5137 1.5126 1.5149 2.9825 2.9798 2.9851 0.9500 1.5

25、137 1.5130 1.5144 2.9825 2.9808 2.9841 0.9800 1.5137 1.5135 1.5140 2.9825 2.9818 2.9831數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 num=300,3000,30000,300000,3000000; A=; for i=1:length(num) p=gamrnd(1.5,3,num(i),1); a,b=gamfit(p,0.95); A=A;num(i),a(1),b(:,1),a(2),b(:,2); end A(:,2,3,4,5,6,7)ans = 1.4795 1.4725 1.4865 2.91

26、29 2.8960 2.9299 1.4218 1.4198 1.4238 3.1676 3.1623 3.1729 1.4898 1.4891 1.4904 3.0425 3.0409 3.0442 1.4998 1.4996 1.5000 3.0054 3.0049 3.0059 1.5006 1.5005 1.5007 2.9968 2.9966 2.9969 要達(dá)到參數(shù)估計(jì)效果良好，隨機(jī)數(shù)不能選得太少，也不能選得太多，此例中為30000為好。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解8.3.2 多元線性回歸與區(qū)間估計(jì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問

27、題的求解數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 例： a=1 -1.232 2.23 2 4 3.792; X=randn(120,6); y=X*a; a1=inv(X*X)*X*y;a1ans = 1.0000 -1.2320 2.2300 2.0000 4.0000 3.7920 a,aint=regress(y,X,0.02);a,aintans = 1.0000 -1.2320 2.2300 2.0000 4.0000 3.7920ans = 1.0000 -1.2320 2.2300 2.0000 4.0000 3.7920 1.0000 -1.2320 2.2300 2.000

28、0 4.0000 3.7920數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 yhat=y+sqrt(0.5)*randn(120,1); a,aint=regress(yhat,X,0.02); a,aint a=1 -1.232 2.23 2 4 3.792ans = 1.0576 -1.3280 2.1832 2.0151 4.0531 3.7749ans = 0.8800 -1.5107 2.0284 1.8544 3.8788 3.6221 1.2353 -1.1453 2.3379 2.1757 4.2274 3.9276數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 errorbar(1:6

29、, a, aint(:,1)-a, aint(:,2)-a) errorbar()用圖形繪制參數(shù)估計(jì)的置信區(qū)間。 yhat=y+sqrt(0.1)*randn(120,1);a,aint=regress(yhat,X,0.02); errorbar(1:6, a, aint(:,1)-a, aint(:,2)-a)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解8.3.3 非線性函數(shù)的最小二乘參數(shù)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)r為參數(shù)下的殘差構(gòu)成的向量。J為各個(gè)Jacobi行向量構(gòu)成的矩陣。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 例： f=inline(a(1)*exp(-a(2)*x)+a(3)*exp(-a(4

30、)*x).*sin(a(5)*x),a,x); x=0:0.1:10; y=f(0.12,0.213,0.54,0.17,1.23,x); a,r,j=nlinfit(x,y,f,1;1;1;1;1); a數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解ans = 0.11999999763418 0.21299999458274 0.548 0.175 1.22999999996315 ci=nlparci(a,r,j) 0.12,0.213,0.54,0.17,1.23ci = 0.11999999712512 0.11999999814323 0.21299999340801 0.2129999

31、9575747 0.544 0.541 0.177 0.172 1.22999999978603 1.238數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 y=f(0.12,0.213,0.54,0.17,1.23,x)+0.02*rand(size(x); a,r,j=nlinfit(x,y,f,1;1;1;1;1); aans = 0.12655784086874 0.17576593556541 0.54363873794463 0.17129712329146 1.237 ci=nlparci(a,r,j)ci =0.12240417108574 0.1740.16754837168468

32、0.6140.53737093469422 0.549906541195040.16845014477426 0.174144101808661.22983289563708 1.23295974640145 errorbar(1:5,a,ci(:,1)-a,ci(:,2)-a)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 例： a=1;1;1;1;1;1; f=inline(a(1)*x(:,1).3+a(2).*sin(a(3)*x(:,2) ，.*x(:,3)+(a(4)*x(:,3).3+a(5)*x(:,3)+a(6),a,x); X=randn(120,3); y=f(a,X)+sqr

33、t(0.2)*randn(120,1); ahat,r,j=nlinfit(X,y,f,0;2;3;2;1;2); ahatahat = 0.99166464884539 1.943 0.97668595800756 1.541 0.88639528713563 1.891數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 ci=nlparci(ahat,r,j); ci 置信區(qū)間ci = 0.894 1.455 0.86664749663205 1.22888304282680 0.83628948119418 1.117 0.98466523279168 1.914 0.733 1.984 0.99

34、932407018303 1.478 errorbar(1:6,ahat,ci(:,1)-ahat,ci(:,2)-ahat) y1=f(ahat,X);plot(y y1) 繪制曲線數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解8.4 統(tǒng)計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)8.4.1 正態(tài)分布的均值假設(shè)檢驗(yàn) H為假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)論，當(dāng)H0時(shí)表示不拒絕H0假設(shè)，否則表示拒絕該假設(shè)。 s為接受假設(shè)的概率值， 為其均值的置信區(qū)間。 若未知正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差時(shí)，可用此函數(shù)。ci數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 例：設(shè)某車間用一臺(tái)包裝機(jī)包裝葡萄糖，包得的袋裝糖重量是一個(gè)隨機(jī)數(shù)，它服從正態(tài)分布。當(dāng)機(jī)器正常時(shí)，其均值為0.5公斤，標(biāo)準(zhǔn)

35、差為0.015。某日開工后檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常，隨機(jī)地抽取它所包裝的的糖9袋，稱得凈重為（公斤）0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.498, 0.511, 0.52, 0.515, 0.512,問機(jī)器是否正常？解： （分析）總體均值、標(biāo)準(zhǔn)差已知，則可設(shè)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差為0.015，于是 問題就化為根據(jù)樣本值來(lái)判斷 還是 。為此提出假設(shè)： 2( ,0.015 )XN0.50.50010 0.5 H H原假設(shè)： 備擇假設(shè)：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 x=0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.498, 0.511, 0.52, 0.515, 0.

36、512; H,p,ci=ztest(x,0.5,0.015,0.05)H = 1p = 0.0248 %樣本觀察值的概率 ci = 0.5014 0.5210 %置信區(qū)間，均值0.5在此區(qū)間之外 結(jié)果H1，說(shuō)明在0.05的水平下，拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為這天包裝機(jī)工作不正常。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 例：某種電子元件的壽命X（以小時(shí)計(jì)）服從正態(tài)分布，均值、方差均未知?，F(xiàn)測(cè)得16只元件的壽命如下： 159 280 101 212 224 379 179 264 222 262 168 250 149 260 485 170 , 問是否有理由認(rèn)為元件的平均壽命大于225（小時(shí)）：解：按題

37、意需做如下假設(shè)： 取001H2 2 5:2 2 5H：0.05數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 x=159 280 101 212 224 379 179 264 222 262 168 250 149 260 485 170; H,p,ci=ttest(x,225,0.05)H = 0p = 0.6677ci = 185.3622 285.1378 %均值225在該置信區(qū)間內(nèi) 結(jié)果表明，H0，即在顯著水平為0.05的情況下，不能拒絕原假設(shè)。即認(rèn)為元件的平均壽命不大于225小時(shí)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解8.4.2 正態(tài)分布假設(shè)檢驗(yàn) 由隨機(jī)樣本判定分布是否為正態(tài)分布，可用

38、下面兩個(gè)假設(shè)算法的函數(shù)。 s為接受假設(shè)的概率值，s越接近于0，則可以拒絕是正態(tài)分布的原假設(shè).數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 例： X=216,203,197,208,206,209,206,208,202,203,206,213,218,207,208,. 202,194,203,213,211,193,213,208,208,204,206,204,206,208,209,. 213,203,206,207,196,201,208,207,213,208,210,208,211,211,214,. 220,211,203,216,224,211,209,218,214,219,21

39、1,208,221,211,218,. 218,190,219,211,208,199,214,207,207,214,206,217,214,201,212,. 213,211,212,216,206,210,216,204,221,208,209,214,214,199,204,. 211,201,216,211,209,208,209,202,211,207,202,205,206,216,206,. 213,206,207,200,198,200,202,203,208,216,206,222,213,209,219; H,p=jbtest(X,0.05) %P為接受假設(shè)的概率值，P越

40、接近于0，則可以拒絕是正態(tài)分布的原假設(shè)；H = 0 p = 0.7281數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 mu1,sig1,mu_ci,sig_ci=normfit(X,0.05); mu=mu1,mu_cimu = 208.8167 207.6737 209.9596該分布的均值及置信區(qū)間 sig=sig1, sig_cisig = 6.3232 5.6118 7.2428該分布的方差及置信區(qū)間數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 例： r=gamrnd(1,3,400,1); H,p,c,d=jbtest(r,0.05)H = 1p = 0c = 504.2641d = 5.9

41、915%P為接受假設(shè)的概率值，P越接近于0，則可以拒絕是正態(tài)分布的原假設(shè)；c為測(cè)試統(tǒng)計(jì)量的值，d為是否拒絕原假設(shè)的臨界值,cd, 故拒絕。 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解8.4.3 其它分布的Kolmogorov-Smirnov 檢驗(yàn) 此函數(shù)（ Kolmogorov-Smirnov 算法）可對(duì)任意已知分布函數(shù)進(jìn)行有效的假設(shè)檢驗(yàn)。 其中cdffun為兩列的值，第一列為自變量，第二列為對(duì)應(yīng)的分布函數(shù)的值。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 例： r=gamrnd(1,3,400,1); alam=gamfit(r)alam = 0.9708 3.1513檢驗(yàn)： r=sort(r);

42、 H0,p=kstest(r,r gamcdf(r,alam(1),alam(2),0.05)H0 = 0p = 0.6067數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 8.5方差分析及計(jì)算機(jī)求解 8.5.1 單因子方差分析 對(duì)一些觀察來(lái)說(shuō)，只有一個(gè)外界因素可能對(duì)觀測(cè)的現(xiàn)象產(chǎn)生影響。 單因素方差分析是比較兩組或多組數(shù)據(jù)的均值，它返回原假設(shè)均值相等的概率,若p值接近于0，則原假設(shè)受到懷疑，說(shuō)明至少有一列均值與其余列均值有明顯不同。 X為需要分析的數(shù)據(jù)，每一列對(duì)應(yīng)于隨機(jī)分配的一個(gè)組的測(cè)試數(shù)據(jù)，這樣會(huì)返回概率p，tab為方差分析表 。stats為統(tǒng)計(jì)結(jié)果量，為結(jié)構(gòu)變量，包括每組均值等。 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2

43、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解單因子方差分析表數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 例：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解建立A矩陣，并求各列的均值。 A=5,4,6,7,9; 8,6,4,4,3; 7,6,4,6,5; 7,3,5,6,7; 10,5,4,3,7; 8,6,3,5,6; mean(A)ans = 7.5000 5.0000 4.3333 5.1667 6.1667 p,tbl,stats=anova1(A) %單因子方差分析p = 0.0136 %F Columns 36.4667 4 9.1167 3.8960 0.0136 Error 58.5000 25 2.3400 Total 94.9667 29 數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解stats = gnames: 5x1 char n: 6 6 6 6 6 source: anova1 means: 7.5000 5 4.3333 5.1667 6.1667 df: 25 s: 1.5297單因子方差表 盒式圖數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)6-2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題的求解 例：設(shè)有3臺(tái)機(jī)器，用來(lái)生產(chǎn)規(guī)格相同的鋁合金薄板。取樣測(cè)量薄板的厚度，精確至厘米。得結(jié)果如下：機(jī)器