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1、正弦定理公式Revised on November 25, 2020【正弦定理公式】角bsin B t.m > < . COS COS LJ 【余弦疋理公式】2bc ;2兀;c 八擴(kuò)Fcos C 二2ab如果將公式.正弦走理.余弦定理看成是幾個(gè)"方程"的 話,那么解三角形的實(shí)質(zhì)就是把題目中所給的已知條件按方程 的思想進(jìn)行處理,解題時(shí)根據(jù)已知量與所求量,合理選擇一個(gè) 比較容易解的方程(公式.正弦定理、余弦走理)從而使同 學(xué)們?nèi)胧秩菀?解題簡潔。、直接運(yùn)用公式、正弦定理、余弦走理(1)三角公式 在沁中,已知兩角兒B的三角函數(shù)值,求第三個(gè)角C ; C存在O cos4+
2、cosS>00證明:U有解O/ + E有解<=>0 <AB <7T<=>0 <A<7T-B <7F<=>COS> cos(7T-)0 cos j4 > -cos-S O cos 月 + cos B >0即,要判斷c是否有解只需 cos K+cos 5 > 0 o(2 )正弦走理 在MEC中,已知兩角和任意一邊,解三角形; 在MEC中#已知兩邊和其中一邊對(duì)角,解三角形;(3 )余弦走理在心眾7中#已知三邊.解三角形;®BC中#已知兩邊和他們的夾角.解三角形。直接運(yùn)用正弦走理.余弦定理的上述情
3、況,是我們常見、常 講.常練的,因此,在這里就不加贅述,同學(xué)們可以自己從教 材中找一些題目看一看! 二.間接運(yùn)用公式正弦走理.余弦定理(1) 齊次式條件(邊或角的正弦)若題目條件中出現(xiàn)關(guān)于角的齊次式或關(guān)于邊的齊次式,可以 根據(jù)角的異同選用公式弦切互化或正弦走理邊角互化;有些題 中沒有明顯的齊次式,但經(jīng)過變形得到齊次式的依然適用。1相同角齊次式條件的弦切互化例】在述C中#若sin£-3cosH=0 #sin2 -5 sin B cos B 2 cos' 5 = 0 ,求C?!窘馕觥繜o論星條件中的心-%0 #還是sin UnRcos 2曲養(yǎng)0都是關(guān)于一個(gè)角的齊次式。 sin4-3
4、cos=0是關(guān)于蟲的一次齊次式 ;sin S-sin5cos5-2coS 養(yǎng)0是關(guān)于占的二次 齊次式。因此,我們將弦化切,再利用三角公式求解。I sin 3cos j4 = 0 => sin j4= 3cos j4 =>二 tan j4 = 3田cos j4由沁,如氏。肘-0 = "2込占=0二,二 Q =訟 5_tari 5- 2二 0 =>tan 8 =-1 -tan好十 1或tan-5= 2 ;“口 tanC 二-tan(/+3)»皂如吻在AASC中 t ArB+C = 7T # 且1 -tan / tan 艮。代值可得:當(dāng) tan j4= 3 #
5、tan B 二 2 日寸 t3+2伽 C 二一二 1 = C 二仔1-2x3小 3-11tan C =-=當(dāng)八如£ = -1 時(shí)#1-3x(-!)2 (舍去)。2不同角(正弦)齊次式條件的邊角互化【例】在MEC中,若sin乜蟲十sin烏一sin蟲sin E = sin9 #且必=4 ,求ZL4EC的面積?!窘馕觥織l件sin' j4+sin' 5 -sin Asm 5 = sin' C于不同角正弦的二次齊次式。因此我們利用正弦走理將角化為 邊,然后根據(jù)邊的關(guān)系利用余弦定理求解。由 sin j4+sm' B-sin J sin E = sin"
6、C =>«* +擴(kuò)一必=c' =>&' + 擴(kuò)=恥;顯然這個(gè)形式符合余弦走理的公式,因此,可得2ab 2ab 2 o一一“ Sy 二丄acsin A = -bcsin B=丄absin C. ° R又因?yàn)間 222 ,所以紜小3。3 不同邊齊次式條件的邊角互化例】的內(nèi)角必A e的對(duì)邊分別為弘b、eo已知A-C = 90° , a + c = 屈,求C?!窘馕觥織l件十=屜是關(guān)于不同邊的一次齊次式。因此,我們利用正弦定理將邊化為角,然后由斗 90°, J+S+C = 180° 將不同角轉(zhuǎn)化為同角利用化一公式求解。
7、7T7T亠廠廠._4 = - + C 5 = -2C由a + u = J2& 今 sin H+sin C = j2sin0# 又 2 f 2 z 可得:+sin C = /2 sin2丿<2丿=> cosC+sin. C= 2 cos 2C_.,1E用化一公式得S'c+?卜屆込 f C礙X"。4 邊角混合齊次式條件的邊角互化邊角混合邊為齊次式【例】的內(nèi)角必A C的對(duì)邊分別為弘以,且 acos£-bcosA=-c 空里5# 求 tan * °3【解析】條件氛。"阮心二扌是邊角混合_ 于不同邊 的一次齊次式,由于所求為切的值,所以
8、將邊化為角,然后將 弦化為切求解。33.rx cos-Z)cosj4= c n sin j4cos5 - sin Bcos j4 = - sin C _由于5 又3333sin j4cos - sin B cosj4=-sinC = sin (4 + ) = - sinj4cos5 +- cos j4sinB55( 55=>tanj4= 4tan 勞二>塑理=4 tan B邊角混合一角(正弦)為齊次式【例】山犯的內(nèi)角幾8、C的對(duì)邊分別為狄J c ,且=1 ,sin j4 + sin B =I扭b- cjsin C求九【解析】條件sinZ+sin(2"inC是邊角混合一角(
9、正 弦)為不同角的一次齊次式。因此,我們將角的正弦化為邊,然后根據(jù)等式形式利用余弦定理求解。由 sin 4 +sin B =-c sin C=(壓-小#由于"“1,我們可以得到:%(岳-倫呢,顯然這個(gè)形式符合余弦走理公式,因此,可得二示二T。從而得出肛 45°。 邊角混合邊、角(正弦)都為齊次式例】山宛的內(nèi)角必a e的對(duì)邊分別為弘m ,且2a. zinA=(4-c) sin 5+(2c +i) sin. C ,求【解析】條件勿心二牝)訕+仗+動(dòng)曲是邊角混合邊、 角(正弦)各為一次齊次式。因此,我們可以隨意邊角互化, 但星一般將角轉(zhuǎn)化為邊求解。由 N$in/=(2+c)sin
10、 &+(2c +E)sin C =>2a' =(25+c»+(2< +址=3'- a' =bc顯然這個(gè)形式符合余弦走理公式,因此,可得“必-擴(kuò)+宀匚2bc比_ 12bc 2O從而得出=60°。5非三角形內(nèi)角正弦但可化為角(正弦)齊次式【例】的內(nèi)角必A e的對(duì)邊分別為弘m ,且 cos 25 + c0£5 + co£(J-C)=1 #求證:MEC的三邊成等比數(shù)列?!窘馕觥織l件沁紜+ d+c噸)二1顯然不是齊次式#并且 角也不全是三角形的內(nèi)角。因此,首先得把這些角轉(zhuǎn)變?yōu)槿?形的內(nèi)角,然后再往齊次式化利用正弦走理求
11、解。cos 25 + cos5+cos(j4-C)= 1 >l-2sin5 + cos + cosj4cosC+sin. j4sin. C = 1要將洱B變換為,題中的條件就變成了關(guān)于不同內(nèi)角 正弦的二次齊次式:l-2sirf 3-co*4+©+cosL4co§C+inj4§inC=l=>1-2 sin1 S-fcog/cosC-ginjinO+coscogC+ginLAginCMl=2sirf B= ZsinsinCsirf B= sinylsinC = ac(2) 不同邊的平方關(guān)系(余弦走理)若題目條件中出現(xiàn)關(guān)于邊的平方關(guān)系或求邊的平方關(guān)系,可 以
12、選用余弦走理邊角互化,在上面的一些情況中,有利用正弦 走理轉(zhuǎn)化出不同邊的平方關(guān)系,可以作為參考例題?!纠可搅Φ膬?nèi)角4 E U的對(duì)邊分別為弘k且%=護(hù)+宀品),求血【解析】條件沐汀親n、含有不同邊的平方關(guān)系形式由顯然符合余弦定理公式。=> -besin 4 =x26ccos j4 =>tan j4= 1 =>4 = 45° 24(3)存在消不掉的正弦、余弦值(兩走理同時(shí)使用,邊角 互化)若題目條件中的條件不是上述情況,且始終含有消不去的內(nèi) 角正弦.余弦可以同時(shí)使用正弦、余弦定理邊角互化要么 都化為角(正弦.余弦),要么都化為邊。【例】在述C中#已知KSC z且* = 上=4衛(wèi)+*8 #求金?!窘馕觥坑深}目中條件/"C可得sin J = sin 2C=>sm 24 = 2sin CcosC =>a = 2ccosC t接下來再利用余弦走理可得a 二 2ccos C二 2c =>伊+b二 a紿2必' 又"4,24 了。c = -a
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