第二章金融時(shí)間序列模型與預(yù)測(cè)

1、第二章第二章 金融時(shí)間序列模型與預(yù)測(cè)金融時(shí)間序列模型與預(yù)測(cè)2.1 經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)方法 單一方程回歸模型 聯(lián)立方程回歸模型 自回歸求積移動(dòng)平均模型(ARIMA)-Box-Jenkins方法 向量自回歸(VAR)1、模型識(shí)別：自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)2、模型估計(jì)：OLS方法，ML方法，YULE-WALKER方法等3、診斷：平穩(wěn)性，殘差是否是白噪聲4、預(yù)測(cè)：短期預(yù)測(cè)較成功BJ方法的步驟2.2.1 AR模型模型(自回歸模型自回歸模型)一階自回歸P階自回歸階自回歸(AR(P)2.2.2 MA模型模型(移動(dòng)平均模型移動(dòng)平均模型)一階移動(dòng)平均q階移動(dòng)平均MA(q)2.2 AR、MA和ARIMA模型11tttuuYq

2、tqttttuuuuY.2211是白噪聲ttPtPtttuuYYYY2211tttuYY112.2.3 ARMA(自回歸移動(dòng)平均模型自回歸移動(dòng)平均模型)一階自回歸移動(dòng)平均模型ARMA(1，1)（p，q）階自回歸）階自回歸移動(dòng)平均模型(ARMA(P，q)ttttuuYY1111是白噪聲ttqtqttPtPtttuuuuuYYYY.22112211注意：上面三個(gè)模型假定時(shí)間序列是平穩(wěn)的，而且注意：上面三個(gè)模型假定時(shí)間序列是平穩(wěn)的，而且均值為均值為0（如果不是，可以先對(duì)模型零均值化）（如果不是，可以先對(duì)模型零均值化）2.2.4 ARIMA模型模型(自回歸求積移動(dòng)平均模型自回歸求積移動(dòng)平均模型)如果一

3、個(gè)時(shí)間序列是不平穩(wěn)的，需要經(jīng)過(guò)如果一個(gè)時(shí)間序列是不平穩(wěn)的，需要經(jīng)過(guò)d次差分次差分才能變成一個(gè)平穩(wěn)的才能變成一個(gè)平穩(wěn)的ARMA (p，q)模型，則稱該時(shí)模型，則稱該時(shí)間序列是自回歸求積移動(dòng)平均模型間序列是自回歸求積移動(dòng)平均模型 ARIMA(p,d,q)2.3 AR模型的特征、估計(jì)與識(shí)別2.3.1 AR模型的數(shù)字特征 一階自回歸AR(1)開(kāi)始逐漸衰減自相關(guān)函數(shù)從1,1, 0101001010121201kkkkku是白噪聲ttPtPtttuuYYYY2211tttuYY11AR(2)22112212221121222220212,1,1)1)(1 ()1 (010kkkukpkpkkkpppppp

4、ppppppuppppkWalYulePAR.ker.0.10)(22112211112110221111201122211021方程組如果知道自相關(guān)系數(shù) ,則可解出 現(xiàn)在可根據(jù)樣本計(jì)算出樣本自相關(guān)系數(shù) ,計(jì)算出ppppppWalYule.ker221111211方程組p,.,21p,.,21p,.,21p,.,212.3.2 AR模型階數(shù)的識(shí)別根據(jù)偏相關(guān)系數(shù) 識(shí)別模型的階數(shù)p,.,2102)/1 , 0(0顯著不為，則拒絕零假設(shè)，如果，當(dāng)如果自回歸的階數(shù)為jjjjjnnNpjp2.3.3 AR模型的估計(jì)OLS,ML,Yule-walker方程組2.3.4 AR模型的檢驗(yàn)1、平穩(wěn)性檢驗(yàn)2、殘差

5、是否白噪聲的檢驗(yàn)3.3.5 AR模型的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)的特征自相關(guān)函數(shù)是“拖尾”的,偏相關(guān)函數(shù)是“截尾的”怎么知道時(shí)間序列是怎么知道時(shí)間序列是AR，而不是，而不是MA或其他形式呢？或其他形式呢？2.4 MA模型的特征、估計(jì)與識(shí)別2.4.1 MA模型的數(shù)字特征是獨(dú)立的且不同期的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)是白噪聲 ,.2211tqtqttttuuuuuY1, 011, 0,)1 (0) 1 (2110111212120kkMAkkuu自相自相關(guān)函關(guān)函數(shù)的數(shù)的截尾截尾特征特征2, 011)1 (2, 0,)1 ()1 (0)2(222120222221210112222211222120kkMAkkuuu后都

6、是截尾的其自相關(guān)函數(shù)從期的影響時(shí)刻前值僅受即期的記憶力，過(guò)程僅有階qkqtYqMAqqkqkqkqMAtkqqkqkkkkqu, 0,.1., 0).1 (0)(22211122221202003.6 現(xiàn)代咨詢方法與實(shí)務(wù)如果知道自相關(guān)系數(shù) ,則可解出 現(xiàn)在可根據(jù)樣本計(jì)算出樣本自相關(guān)系數(shù) ,計(jì)算出q,.,21q,.,21q,.,21qkqqkqkkk,.1.222111q,.,21。2.4.2 MA模型階數(shù)的識(shí)別根據(jù)自相關(guān)系數(shù) 識(shí)別模型的階數(shù)nnnnNqjqjjjj2202)/1 , 0(0，構(gòu)造檢驗(yàn)區(qū)間顯著不為，則拒絕零假設(shè)，如果，當(dāng)如果自回歸的階數(shù)為q,.,212.4.3 MA模型的估計(jì) O

7、LS,ML,Yule-walker方程組2.4.4 MA模型的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)的特征自相關(guān)函數(shù)是“截尾”的,偏相關(guān)函數(shù)是“拖尾的”qkqqkqkkk,.1.2221112.5 ARMA模型的特征、估計(jì)與識(shí)別2.5.1 ARMA模型的數(shù)字特征（p，q）階自回歸）階自回歸移動(dòng)平均模型(ARMA(P，q)1,1)21 (010) 1 , 1 (1121011212112101kARMAKKuu是白噪聲ttqtqttPtPtttuuuuuYYYY.22112211開(kāi)始逐漸衰減自相關(guān)函數(shù)從期的記憶力，部分具有由于1110112111110111) 1 (1,21)(1 (MAkkkk的性質(zhì)反映協(xié)方

8、差和自相關(guān)函數(shù)僅時(shí)期的記憶力，當(dāng)部分具有由于ARqkqMAqkqkqpARMApKpKKkpKpKKK,.,.),(221122112.5.2 ARMA模型的估計(jì) OLS，2.5.3 ARMA模型的自相關(guān)和偏相關(guān)函數(shù)的特征 自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)都是自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)都是“拖尾拖尾”的的 ARIMA模型針對(duì)的是非平穩(wěn)時(shí)間序列,估計(jì)與識(shí)別的估計(jì)與識(shí)別的關(guān)鍵是差分的階數(shù)關(guān)鍵是差分的階數(shù)(使其變?yōu)槠椒€(wěn)的ARMA序列的差分次數(shù)),以后過(guò)程同ARMA模型原則:對(duì)序列連續(xù)進(jìn)行差分,直到序列出現(xiàn)這樣的特征:自相關(guān)函數(shù)隨著自相關(guān)函數(shù)隨著k的增大趨向于的增大趨向于0這時(shí)差分的次數(shù)即為這時(shí)差分的次數(shù)即為ARI

9、MA模型差分的階數(shù)模型差分的階數(shù)d2.6 ARIMA模型的估計(jì)與識(shí)別2.7 ARMA模型定階的AIC準(zhǔn)則模型的階數(shù)為則若逐個(gè)試算，從舒爾茨準(zhǔn)則（），赤池準(zhǔn)則（最小信息準(zhǔn)則ARMAqpqpAICqpAICnnqpnqpqpAICBICSICAICu),(),(min),()10(.21,)(2log),(),:00002補(bǔ)充：預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度的度量 預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度指預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際情況的符合程度。它與誤差大小呈反向變動(dòng)關(guān)系，因而可以用誤差指標(biāo)反映?？捎靡韵轮笜?biāo)度量： 1.預(yù)測(cè)的誤差預(yù)測(cè)的誤差：指預(yù)測(cè)對(duì)象的實(shí)際值與預(yù)測(cè)值之差。用Y表示實(shí)際值,表示預(yù)測(cè)值，則預(yù)測(cè)的誤差為Y-，記為e，即e=Y-。若e0

10、，則 為低估預(yù)測(cè)值；若e0，則為高估預(yù)測(cè)值；若e=0，則為準(zhǔn)確預(yù)測(cè)值。YYYYYY2.2.預(yù)測(cè)的相對(duì)誤差預(yù)測(cè)的相對(duì)誤差：指預(yù)測(cè)誤差占實(shí)際值的百分比，記為 從上式可以看出，預(yù)測(cè)的相對(duì)誤差不受指標(biāo)量綱的影響，因此，可用于不同預(yù)測(cè)問(wèn)題準(zhǔn)確度的比較。%100YYYYeel 3.預(yù)測(cè)的平均絕對(duì)誤差預(yù)測(cè)的平均絕對(duì)誤差：指n次預(yù)測(cè)誤差的絕對(duì)值的平均值，記為MAD。 MAD可用來(lái)表示預(yù)測(cè)誤差的平均大小。它計(jì)算簡(jiǎn)單，但受指標(biāo)量綱的影響。nenYYMDAniiniii11l 4.4.預(yù)測(cè)的平均絕對(duì)相對(duì)誤差預(yù)測(cè)的平均絕對(duì)相對(duì)誤差: 指n次預(yù)測(cè)的相對(duì)誤差的絕對(duì)值的平均值，記為AARE。 AARE不受量綱的影響。%10

11、01%10011111niiiiniiiniiYYYnYenenAAREl 5.5.預(yù)測(cè)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差預(yù)測(cè)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差 預(yù)測(cè)的方差是n次預(yù)測(cè)誤差平方的平均值，記為 。 預(yù)測(cè)的標(biāo)準(zhǔn)差就是方差的算術(shù)平方根，記為S。21122)(11iniiniiYYnenSniiiniiYYnenS1212)(112s6. 步預(yù)測(cè)誤差預(yù)測(cè)誤差為： 11110.llltlttlttlyyle 步線性最小方差預(yù)測(cè)的方差和預(yù)測(cè)步長(zhǎng) 有關(guān), 而與預(yù)測(cè)的時(shí)間原點(diǎn)t無(wú)關(guān)。預(yù)測(cè)步長(zhǎng)越大，預(yù)測(cè)誤差的方差也越大，因而預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度就會(huì)降低。所以,一般不能用ARMA(p,q)作為長(zhǎng)期預(yù)測(cè)模型。lllq 預(yù)測(cè)的置信區(qū)間 預(yù)測(cè)的95%置

12、信區(qū)間： 21212120.96. 1ltly例題分析考慮如下AR(2) 序列：121.50.30.5ttttXXX (0,1)tIIDN若已知觀測(cè)值507.64X497.47X （1）試預(yù)報(bào)5152,XX（2）給出（1）預(yù)報(bào)的置信度為95%的預(yù)報(bào)區(qū)間。,解答： 5011.50.3 7.640.5 7.477.527X 5021.50.3 7.5270.5 7.647.5781X（1）（2）假如 225011 222501211.09預(yù)報(bào)的置信度為95%的預(yù)報(bào)區(qū)間分別為： 50501.96Xkk,.59. 0, 3 . 0, 12102.8向量自回歸（VAR）模型 概念：向量自回歸模型（Vec

13、tor Autoregressive Model，指每個(gè)方程有相同的等號(hào)右側(cè)的變量，而這些右側(cè)變量包括所有內(nèi)生變量的滯后項(xiàng)，是針對(duì)變量無(wú)法確定為外生變量時(shí)，一種新的多方程模型的分析方法。 作用分析和預(yù)測(cè)相互聯(lián)系的多變量時(shí)間序列系統(tǒng)分析隨機(jī)干擾項(xiàng)所探討的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)沖擊解釋各種經(jīng)濟(jì)沖擊對(duì)經(jīng)濟(jì)變量的影響 1、簡(jiǎn)單的VAR模型（結(jié)構(gòu)VAR，原始系統(tǒng))其中，假設(shè)：（1） 和 都是平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程；（2） 和 是白噪音干擾項(xiàng)；（3）1012111121ttttytYbb ZYZ2021211221ttttztZbb YYZtYtZytzt,0ytztCov 2、標(biāo)準(zhǔn)型（簡(jiǎn)化）VAR模型與結(jié)構(gòu)VAR模型

14、將由結(jié)構(gòu)VAR模型寫(xiě)成矩陣形式其中，01-1tttBXXu 122111bBbtttYXZ10020bb 111212122 yttztu 標(biāo)準(zhǔn)（簡(jiǎn)化）VAR模型 01-1tttXAA XetttYXZyttztu-100AB-111AB-1tteB u不相互獨(dú)立ttee21, 定義 為列向量 的第 個(gè)元素， 為矩陣 中第 i 行第 j 列的元素， 為列向量 的第 i個(gè)元素。 形如上面兩式的VAR稱為標(biāo)準(zhǔn)（簡(jiǎn)化）VAR或誘導(dǎo)系統(tǒng) 高階VAR模型可以以此類推0ia0Aiijaitete101111211ttttYaa Ya Ze202112212ttttZaa Ya Ze VAR模型的參數(shù)估計(jì)

15、結(jié)構(gòu)VAR模型二階段最小二乘法進(jìn)行估計(jì)。 標(biāo)準(zhǔn)VAR模型直接采用普通的最小二乘法進(jìn)行估計(jì) 軟件包的實(shí)現(xiàn) 2.9 VAR的估計(jì)問(wèn)題是：（1）滯后期數(shù)怎么確定？ 試錯(cuò)，選擇赤池和施瓦茨準(zhǔn)則最低值 （2）聯(lián)立方程方法和VAR方法的差別？ VAR方法不人為地劃分變量的內(nèi)生或外生性，而且許多案例中，用VAR方法得到的預(yù)測(cè)優(yōu)于復(fù)雜的聯(lián)立方程的預(yù)測(cè)，但不適合作政策分析。（3）變量的平穩(wěn)性？ 嚴(yán)格講，VAR模型中所有變量都應(yīng)該是（聯(lián)合地）平穩(wěn)的。 脈沖響應(yīng)脈沖響應(yīng)就是試圖描述隨機(jī)干擾項(xiàng)對(duì)內(nèi)生變量的影響軌跡標(biāo)準(zhǔn)VAR模型 矩陣的形式為101111211ttttYaa Ya Ze202112212ttttZaa

16、Ya Ze1011111220122122ttttttYaYeaaZaZeaa 2.10脈沖響應(yīng)函數(shù) 誤差向量為結(jié)合上兩式11112022122itt iitt iYeaaYZeaaZ 11222112211111tyt itzt iebebb b111212021222112 211111ityt iitzt iYaabYZaabb bZ 用1階VAR模型穩(wěn)定時(shí)的特解（平穩(wěn)時(shí)存在，可得 定義 得VAR模型的移動(dòng)平均表達(dá)式 121211221111iibAbb b0tit iiX 的變化的脈沖使得單位為如在當(dāng)期的變化，的脈沖使得單位為如的影響的整個(gè)時(shí)間路徑所產(chǎn)生對(duì)的波動(dòng)脈沖的各自獨(dú)立映了稱為脈

17、沖響應(yīng)函數(shù)，反5t12t12tt1)5(1)0(Z,)(ztztztytjkZYi2.11預(yù)測(cè)誤差方差分解1、預(yù)測(cè)方差分解 使用上一節(jié)公式預(yù)測(cè) ，得其預(yù)測(cè)誤差一般形式 看兩變量VAR模型中的隨機(jī)變量 由1tX10nt ntt nit n iiXE X tY1111111112121121(0)(1)(1)(0)(1)(1)t nt t nyt nyt nytzt nzt nztYEYnn 的n步預(yù)測(cè)誤差方差 按每個(gè)沖擊把n步預(yù)測(cè)誤差方差分解成一定比例t nY222221111112222121212( )(0)(1).(1) (0)(1).(1) yyznnn22221111112(0)(1)

18、(1) ( )yynn22221212122(0)(1)(1) ( )zynn和2.12 Granger因果關(guān)系檢驗(yàn) 基本思路：對(duì)于變量X和Y，如果X的變化引起了Y的變化，X的變化應(yīng)當(dāng)發(fā)生在Y的變化之前 即，要求估計(jì)： 滿足條件：（1）變量 X應(yīng)該有助于預(yù)測(cè)變量Y（2）變量 Y不應(yīng)當(dāng)有助于預(yù)測(cè)變量X0111mmtit iit itiiYYX0211mmtit iit itiiXYX 步驟（1）檢驗(yàn)“變量 X不是引起變量 Y變化的Granger原因” 估計(jì)： 殘差平方和分別為 、011mmtit iit itiiYYX01mtit itiYY（12-39）（12-40）URSSRRSS 構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量：檢驗(yàn)