高等數(shù)學中易錯知識點總結

1、 高等數(shù)學中易錯知識點總結 1在一元函數(shù)中，若函數(shù)在某點連續(xù)，則該函數(shù)在該點必有極限。 若函數(shù)在某點不連續(xù)，則該函數(shù)在該點必無極限。2, 在一元函數(shù)中，若函數(shù)在某點可導，則函數(shù)在該點一定連續(xù)。但是如果函數(shù)不可導，不能推出函數(shù)在該點一定不連續(xù)。3. 基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的， 而初等函數(shù)在其定義區(qū)間上是連續(xù)的。4若函數(shù)在某一區(qū)間上連續(xù)，則在這個區(qū)間上，該函數(shù)存在原函數(shù)。 若函數(shù)在某一區(qū)間上不連續(xù)，則在這個區(qū)間上，該函數(shù)也可能存在原函數(shù)，不能說該函數(shù)在區(qū)間上必無原函數(shù)。5. 在二元函數(shù)中，兩個偏導數(shù)存在與該函數(shù)的連續(xù)性沒有關系。 但是若果二元函數(shù)可微，則該函數(shù)必然連續(xù)。6在一元函數(shù)中，駐點

2、可能是極值點，也可能不是極值點。函數(shù)的極值點必是函數(shù)的駐點或?qū)?shù)不存在的點。 在多元函數(shù)中，若偏導數(shù)存在，則極值點必為駐點，但駐點不一定是極值點。7. 函數(shù)f(x)的周期性和奇偶性與它的導數(shù)的周期性和奇偶性有什么關系？a.函數(shù)f(x)與它的導數(shù)的周期一樣：可導的周期函數(shù)，其導數(shù)必定是周期函數(shù) 證明如下： 設可導函數(shù)為f(x), 因為它是周期函數(shù),所以f(x+T)=f(x), ->f'(x)=(x+T)'*f'(x+T)=1*f'(x+T) 所以f'(x+T)=f'(x),就是說它的導函數(shù)也是周期函數(shù). b. 函數(shù)f(x)與它的導數(shù)的奇偶性相

3、反：可導的偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù) 證明如下: 一、根指導數(shù)定義和偶函數(shù)定義,有 f(-x)=limf(-x+h)-f(-x)/h =limf(x-h)-f(x)/(-h) =-f(x) 二、根據(jù)復合函數(shù)的求導法則, 設f(x)為偶函數(shù),則有f(-x)=f(x) 對上式兩邊關于x求導數(shù),則有8. 設函數(shù)y=f(x)在x=a處可導,則函數(shù)y=f(x)的絕對值在x=a處不可導的充分條件是: f(a)=0,f'(a)0 證明如下：f(a)=0,f'(a)>0或f'(a)<0 f(a)=0,f'(a)>0lim(xa-)f'(x)=-f'(

4、a) lim(xa+)f'(x)=f'(a)-f'(a)=lim(xa-)f'(x) x=a處導數(shù)不存在f(a)=0,f'(a)<0 lim(xa-)f'(x)=f'(a) lim(xa+)f'(x)=-f'(a)f'(a)=lim(xa-)f'(x)x=a處導數(shù)不存在 如果想不通,就當f(x)=x吧,|x|在x=0處導數(shù)不存在9.閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)必可積。 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必可積。 閉區(qū)間上有界且僅有有限個間斷點的函數(shù)可積10.有限個無窮小量的和仍是無窮小量。無限個無窮小量的和不一定是無窮小量有限

5、個無窮小量之積是無窮小量。無限個無窮小量的積不一定是無窮小量。無窮小量與有界變量之積仍是無窮小量。無窮小量與常數(shù)的乘積不一定全是無窮小量。11.兩個無窮大量之和不一定為無窮大量，兩個無窮大量之積必為無窮大量。 無窮大量與常數(shù)的乘積不一定全是無窮大量。針對第10與11給出具體解析：(1)無窮大量與常數(shù)的乘積可以分為兩種情況，一種是與0的乘積，一種是與除0以外的常數(shù)，當與0相乘時，得到的是0，而不是無窮大量，可以這樣說，無窮大量與除0以外的常數(shù)的乘積為無窮大量。同理，無窮小量與常數(shù)的乘積也可以分為類似的情況。(2)無窮大量可以分為正無窮大量和負無窮大量，當正無窮大量與正無窮大量相乘時，得到的結果是

6、無窮大量。當正無窮大量與負無窮大量相乘時，得到的是負無窮大量，因為負無窮大量也是無窮大量，所以無窮大量與無窮大量相乘時，得到一定是無窮大量。(3)無窮大量與無窮大量之和不一定是無窮大量，因為如果是正無窮大量與負無窮大量之和，得到的結果可能是0，可能是常數(shù)，等等思考一下：既然兩個無窮大量之積必為無窮大量，則能否擴展到有限個無窮大量之積必為無窮大量，進一步擴展到無限個無窮大量之積必為無窮大量。12可導與導函數(shù)的關系 可導是對定義域內(nèi)的點而言的，處處可導則存在導函數(shù)， 只要一個函數(shù)在定義域內(nèi)某一點不可導，那么就不存在導函數(shù)，即使該函數(shù)在其它各處均可導。13,連續(xù)與可積的關系 如果函數(shù)在某區(qū)域連續(xù)，那

7、么函數(shù)在該區(qū)域可積，反之，函數(shù)在某區(qū)域可積，不能保證函數(shù)在該區(qū)域連續(xù)，比如存在第一類間斷點的函數(shù)不連續(xù)，但可積。14,切線與可導之間的關系 有切線不一定可導，是因為垂直于X軸的切線，它的斜率是無窮大，所以不可導。可以得出結論：可導必有切線，有切線不一定可導（豎直切線）以上知識點在判斷題中非常實用 大題解題指導高等數(shù)學考試中大題包括以下幾種類型：1.求極限 2.求最值 3.求不定積分或定積分 4求隱函數(shù)的偏導數(shù) 5求二階連續(xù)偏導數(shù) 6.二重積分 7.微分方程 8.求旋轉(zhuǎn)體積或面積 9.證明題1. 求極限：在求極限的問題中，極限包括函數(shù)的極限和數(shù)列的極限，但在考試中一般出的都是函數(shù)的極限，求函數(shù)的

8、極限中，主要是掌握公式，有些不常見的公式一定要記熟，詳細的公式看高等數(shù)學學習指導與習題指南一書第8頁。這種類型的題一般屬于簡單題，但往更難一點的方向出題的話，它會和變上限的定積分聯(lián)系在一起出題2. 求最值：這類題一般求導之后便可解出，不在過多敘述。3. 求不定積分和定積分，在這類題中，一般會用到換元積分法和分部積分法，還有牛頓萊布尼茨公式。一般情況下，多做些題就沒什么大問題。4. 求偏導數(shù)：偏導數(shù)包括一階偏導數(shù)和二階偏導數(shù)。重點談二階偏導數(shù)，尤其是二階混合偏導，在二階以上的混合偏導中，用到的一個最重要的法則是鏈式法則，鏈式法則在很多時候，我們會迷，算到一半，不知道那到底是什么玩意，甚至看著自己

9、算出的一個式子，自己都不明白，關于鏈式法則，我很想舉例來說明，但是一般的電腦沒有數(shù)學軟件，那些符號根本無法顯示，故建議看高等數(shù)學學習指導與習題指南一書第172頁，它詳細的論述了多元函數(shù)微分學中的一些重要知識點，當看完解題指導，自己獨立的把教材194頁例2做一下，做的時候，最好不要看例題的解題部驟，因為看例題的解題步驟會迷，當獨立的把結果推算出來的時候，多元函數(shù)微分學的大概你掌握的已經(jīng)差不多了。5. 微分方程：這個類型的題，只需要把那一個解題的公式記住，然后往里面套公式即可，這是最簡單也最枯燥的題，沒什么新意，但是考試的時候，這類題還從未少過，每年都有。需要注意的是有時候求的是通解，有時候求的是特解。6. 證明題：這種題還是離不開公式定理。一般情況下，用洛爾定理和微分中值定理即可，若再復雜的話，有時候就需要微分中值定理和積分中值定理連用，對于這類題，有時間則做，沒時間就不做。總的來說，高數(shù)其實不算太難，當你對它產(chǎn)生一種畏懼的時候，你就很難把它學好了。要喜歡這門課，就要先喜歡這門課的老師，考試要的也是心態(tài)，有些題，本來就不屬于自己的能力范圍的，就直接放棄，一直纏著只會是浪費時間，其它題沒時間做，這道題又沒做出來。現(xiàn)在復習高數(shù)的時候別怕浪費時間，因為補考前的一個月就是讓你浪費的，正如高四的復習，那一年確確實實是讓我們好好浪費的，所以一定要