中考壓軸題的研究與復習策略

1、中考壓軸題的研究與復習策略劉勇華【摘要】 本文通過對近年廣東省中考數(shù)學壓軸題的初探，分析考查的數(shù)學知識、方法和思想，提出解答的一些策略?！娟P鍵詞】 壓軸題；策略；變換；規(guī)律；代數(shù)與幾何。中考復習備考時間緊，任務重，要求高，如何提高數(shù)學中考復習備考的質(zhì)量和效益，是每位畢業(yè)班數(shù)學教師必須面對的問題。尤其是壓軸題，我們老師講了，學生練了，但很多同學總覺得心中還是沒有底,這是為什么呢？我認為是對根底知識掌握不牢，對根本概念尚未完全把握所致。有些同學是做了很多題，但僅限于得到了答案，而沒有從中找到解題的方法，沒有從中找到規(guī)律，因而無論題做多少都覺得心中沒有底。下面結(jié)合近幾年中考壓軸題，談幾點粗淺體會。1

2、 近幾年廣東中考壓軸題考查情況1.1 近幾年中考壓軸題型一覽2021年2021年2021年2021年20題閱讀理解題韋達定理旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換代數(shù)找規(guī)律21題旋轉(zhuǎn)變換閱讀理解換元法代數(shù)找規(guī)律幾何綜合相似、等腰直角三角形22題直角三角形、等腰梯形、平移、平面直角坐標系等相關的綜合運用正方形中的動點問題、全等、相似及最大面積求解 動點問題、相似、矩形、三角形、 最值問題的 綜合運用二次函數(shù)中線動問題、特殊平行 四邊形1.2 幾個考查的知識點1、幾何題設計新穎，大多數(shù)是牽涉到圖形變換，其中以平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等圖形變換為解題思路的題目更是成為中考壓軸大戲的主角，而且?guī)缀趺糠菰嚲矶加小?、規(guī)律探索或閱讀理

3、解題，這類題目本身蘊含著數(shù)學探索思想，給出一段文字或式子來理解推理，表達了從特殊到一般的發(fā)現(xiàn)規(guī)律，是中考的一個重難點。3、函數(shù)與幾何綜合問題，坐標系下考查動點問題，求最值問題或存在性問題，此類題目考查的知識點多且繁，對綜合能力有較高的要求。2 策略與建議中考數(shù)學壓軸題近些年來與數(shù)形結(jié)合、動態(tài)幾何、動手操作、實驗探究、規(guī)律探索等方向密切聯(lián)系。這些壓軸題題型繁多、題意創(chuàng)新，目的是考察學生的分析問題、解決問題的能力，內(nèi)容包括空間觀念、應用意識、推理能力等。從數(shù)學思想的層面上講：運動觀點、方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類思想、轉(zhuǎn)化思想等。這就要求學生具備扎實的根底知識和熟練的根本技能。2.1 熟練掌握圖形

4、變換，尤其是旋轉(zhuǎn)變換我們的同學一碰到運動的問題就心神不寧，我們要給他們吃定心丸，運動是為結(jié)果的靜止效勞的，要教會他們“以靜制動，做到“心如止水。 近幾年的中考，一些題型靈活、設計新穎、富有創(chuàng)意的壓軸試題涌現(xiàn)出來，其中一類以平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等圖形變換為解題思路的題目更是成為中考壓軸大戲的主角。不過這些傳說中的主角，并沒有大家想象的那么神秘，只是我們需要找出這些壓軸題目的切入點。2.1.1 相關知識平移，我們簡單地概括為：“一變，兩不變，三對應，兩相等，兩平行。即平移前后，一變：圖形的位置發(fā)生了改變；兩不變：形狀和大小沒有發(fā)生改變；三對應：對應點、對應角、對應線段；兩相等：對應角相等、對應線段相等

5、；兩平行：對應線段平行、對應點所連的線段平行。旋轉(zhuǎn)：我們將一個旋轉(zhuǎn)中心、三個對應關系和五個相等關系概括為“一中心，三對應，四相等；將位置發(fā)生了變化，形狀和大小沒有發(fā)生變化概括為“一變兩不變。2.1.2 解題攻略要學會挖掘變換前后變與不變隱含的條件，善于處理五種關系：靜與動的關系，位置關系，對應關系，相等關系，形狀關系。構造定理所需的圖形或根本圖形。在解決問題的過程中，有時添加輔助線是必不可少的。中考對學生添線的要求還是挺高的，但添輔助線幾乎都遵循這樣一個原那么：構造定理所需的圖形或構造一些常見的根本圖形。做不出、找相似，有相似、用相似。壓軸題牽涉到的知識點較多，知識轉(zhuǎn)化的難度較高。學生往往不知

6、道該怎樣入手，這時往往應根據(jù)題意去尋找相似三角形。學習從復雜圖形中別離出根本圖形方法。由于圖形變化的綜合題往往作為壓軸題，問題較多，圖形復雜，要訓練學生快速提煉出有用的圖形來研究，排除其他圖形的干擾。要教會學生大膽地讓圖形按照題意運動起來，細心觀察到特殊位置，做出大膽猜測，運用條件進行驗證，最后證明之?？傊?，問題的切入點很多，考試時也不是一定要找到那么多，往往只需找到一兩個就行了，關鍵是找到以后一定要敢于去做。有些同學往往想想覺得不行就放棄了，其實絕大多數(shù)的題目只要想到上述切入點，認真做下去，問題根本都可以得到解決。例2.1.12021廣東兩個全等的直角三角形紙片ABC、DEF，如圖1放置，點

7、B、D重合，點F在BC上，AB與EF交于點G.CEFB90°，EABC30°，ABDE41求證：是等腰三角形；圖1圖22假設紙片DEF不動，問繞點F逆時針旋轉(zhuǎn)最小_度時，四邊形ACDE成為以ED為底的梯形如圖2求此梯形的高分析：第(1)問，找好對應關系，純屬送分；第(2)問，讓圖形按照題意運動起來，30度并不難發(fā)現(xiàn)，從而構造出梯形，再別離出根本圖形逐步擊破。例2.1.22021廣東如圖1，ABC與EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=AC=EF=9，BAC=DEF=90º，固定ABC，將DEF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，當DF邊與AB邊重合時，旋轉(zhuǎn)中止現(xiàn)不考慮旋轉(zhuǎn)開

8、始和結(jié)束時重合的情況，設DE，DF(或它們的延長線)分別交BC(或它的延長線) 于G，H點，如圖(2).圖(1)BHFADGCECEBFAD圖(2)1問：始終與AGC相似的三角形有HAB及HGA；2設CG=x，BH=y，求y關于x的函數(shù)關系式只要求根據(jù)圖(2)的情形說明理由；3問：當x為何值時，AGH是等腰三角形.分析：利用旋轉(zhuǎn)過程中三角形全等，找到角之間的關系，推得三角形相似；再利用三角形相似得到對應邊的比相等而得到函數(shù)關系式。解題思路相當清晰，但為什么我們的學生就是團團轉(zhuǎn)，沒有個所以然呢？糾其原因，不外乎就是被紛繁的條件困住，這時我們就要發(fā)輝“分段得分思想，有時也不要忘了從結(jié)果去找條件來解

9、決問題。第(3)問，有些學生看到題就胡亂計算了，不會將問題中的等腰三角形當成條件來利用，把操作性題目先轉(zhuǎn)為探究性問題來進行；另一方面是考查學生讀題、畫圖的能力和指向性論證能力；要結(jié)合到旋轉(zhuǎn)的知識，分類討論解決之。2.2 規(guī)律探索問題2.2.1 相關知識數(shù)列或式，常見數(shù)列的一般公式：等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，以及前n項和公式。從一次函數(shù)的角度來理解等差數(shù)列通項公式。幾何圖形三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、圓、全等的性質(zhì)、相似形自相似。從等比數(shù)列的通項公式來理解自相似圖形。2.2.2 解題攻略要抓題目里的變量。數(shù)學規(guī)律的題目，都會涉及到一個或者幾個變化的量。所謂找規(guī)律，多數(shù)情況下，是指

10、變量的變化規(guī)律。所以，抓住了變量，就等于抓住了解決問題的關鍵。要善于比擬?！坝斜葦M才有鑒別。通過比擬，可以發(fā)現(xiàn)事物的相同點和不同點，更容易找到事物的變化規(guī)律。找規(guī)律的題目，通常按照一定的順序給出一系列量，要求我們根據(jù)這些的量找出一般規(guī)律。揭示的規(guī)律，常常包含著事物的序列號。所以，把變量和序列號放在一起加以比擬，就比擬容易發(fā)現(xiàn)其中的奧秘。要善于尋找事物的循環(huán)節(jié)周期性。規(guī)律不可防止地包含著循環(huán)規(guī)律，找到了事物的循環(huán)規(guī)律，其他問題就可以迎刃而解。要抓住題目中隱藏的不變量。有些題目，雖然形式發(fā)生了變化，但是本質(zhì)并沒有改變。我們只要在觀察形式變化的過程中，始終注意尋找它的不變量，就可以揭示出事物的本質(zhì)規(guī)

11、律。要進行計算嘗試。找規(guī)律，當然是找數(shù)學規(guī)律。而數(shù)學規(guī)律，多數(shù)是數(shù)字的規(guī)律，有時能用函數(shù)的解析式來反映。函數(shù)的解析式里常常包含著數(shù)學運算。因此，找規(guī)律，在很大程度上是在找能夠反映量的數(shù)學運算式子。所以，從運算入手，嘗試著做一些計算，也是解答找規(guī)律題的好途徑。學會檢驗。有些同學能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，但所得表達式卻不能準確表示規(guī)律，就是沒有檢驗，良好的檢驗習慣能確保答題的準確率。例2.2.12021廣東下數(shù)表是由從1開始的連續(xù)自然數(shù)組成，觀察規(guī)律并完成各題的解答.12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 2526 27 28 29

12、30 31 32 33 34 35 36 1表中第8行的最后一個數(shù)是_，它是自然數(shù)_的平方，第8行共有_個數(shù)；2用含n的代數(shù)式表示：第n行的第一個數(shù)是_，最后一個數(shù)是_，第n行共有_個數(shù)；3求第n行各數(shù)之和 分析：第(2)問，抓住變量，每個數(shù)遞增1，很多同學都知道，但沒有用到。原來第n行的第一個數(shù)，就是第(n-1)行的最后一個數(shù)+1??！最后不要忘記檢驗。例2.2.22021廣東閱讀以下材料：由以上三個等式相加，可得讀完以上材料，請你計算下各題：1寫出過程；2；3 分析：抓住題目中變的和不變的，在給出的等式中，左邊的乘數(shù)在變化，右邊的積后差也在變化；進行比擬的因素也比擬多，應從上到下、從左而右進

13、行比擬；而第(3)問，那么需要由題目給出的方法進行嘗試的計算來發(fā)現(xiàn)規(guī)律。2.3 代數(shù)與幾何綜合題代數(shù)幾何綜合題從內(nèi)容上來說，是把代數(shù)中的數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)，幾何中的三角形、四邊形、圓等圖形的性質(zhì)，以及解直角三角形的方法、圖形的變換、相似等內(nèi)容有機地結(jié)合在一起，同時也融入了開放性、探究性等問題，如探究條件、探究結(jié)論、探究存在性等。經(jīng)常考查的題目類型主要有坐標系中的幾何問題，以及圖形運動過程中求函數(shù)解析式問題等。2.3.1 相關知識以動態(tài)幾何為主線。此類題目以形為載體，依托點動、線動、面動，研究數(shù)量關系；通過設、表、列獲得函數(shù)關系式；研究特殊情況下的函數(shù)值。函數(shù)圖像中動點產(chǎn)生幾何圖形三角形

14、，特殊四邊形。點：求圖形的最后一個頂點時，先要分析圖形的邊和角的特點，進而得出圖形是否為特殊圖形；根據(jù)未知圖形中邊做分類討論。角：或利用圖形中對應角，在未知圖形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對稱、旋轉(zhuǎn)等知識來推導邊的大小。 邊：假設邊均未給出，那么應先設所求點的坐標進而用函數(shù)解析式來表示各邊的長度，之后利用等量關系來列方程求解。2.3.2 解題攻略以形論數(shù)，形象；以數(shù)折形，精確。要努力培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合，動靜結(jié)合的邏輯思維能力、空間想象能力。需要認真審題，分析、挖掘題目的隱含條件，“翻譯并轉(zhuǎn)化為顯性條件。特殊探路，一般推證。將復雜問題分解為根本問題，逐個擊破；準確的判斷運動會引起哪些圖形改變、哪些量

15、的變化，分清“父對象與“子對象。動手實踐，操作確認。特別要重視運動中的一些關鍵點，不僅有利于掌握運動的情況，而且這些點往往是發(fā)生質(zhì)變的分界點。建立聯(lián)系，計算說明。要善于聯(lián)想和轉(zhuǎn)化，將以上得到的顯性條件進行恰當?shù)亟M合，比方說用含有變量的式子表示線段長，在直角坐標系中，水平或垂直的線段長用坐標之差表示；帶有時間、速度的題目，用路程表示線段長；把動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為靜態(tài)幾何來計算說明。例2.3.12021廣東如圖1，ABC與EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=AC=EF=9，BAC=DEF=90º，固定ABC，將DEF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，當DF邊與AB邊重合時，旋轉(zhuǎn)中止現(xiàn)不考慮旋轉(zhuǎn)開始和

16、結(jié)束時重合的情況，設DE，DF(或它們的延長線)分別交BC(或它的延長線) 于G，H點，如圖(2).圖(1)BHFADGCECEBFAD圖(2)1問：始終與AGC相似的三角形有HAB及HGA；2設CG=x，BH=y，求y關于x的函數(shù)關系式只要求根據(jù)圖(2)的情形說明理由；3問：當x為何值時，AGH是等腰三角形.分析：依形判數(shù)，以數(shù)助形是解函數(shù)型綜合題時重要的思想方法。此題根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)，列方程函數(shù)來求解。有時還必須根據(jù)題目條件對結(jié)果進行檢驗，舍去不合題意的解。此題第3問是典型的在圖形運動過程中求函數(shù)解析式問題，讓圖形運動起來，分類討論運動中的各種情況，寫出自變量的取值范圍；把每種情況分別畫

17、圖，使圖形由“動變“靜，尋找兩個變量之間的等量關系。像第3問這樣，經(jīng)常利用所列出的函數(shù)解析式求解運動過程中某一特殊狀態(tài)下的相關問題，這正表達了方程與函數(shù)的聯(lián)系。例2.3.22021廣東如圖，拋物線與y軸交于A點，過點A的直線與拋物線交于另一點B，過點B作BCx軸，垂足為點C3，01求直線AB的函數(shù)關系式；2動點P在線段OC上從原點出發(fā)以每秒一個單位的速度向C移動，過點P作PNx軸，交直線AB于點M，交拋物線于點N設點P移動的時間為t秒，MN的長度為s個單位，求s與t的函數(shù)關系式，并寫出t的取值范圍；3設在2的條件下不考慮點P與點O，點C重合的情況，連接CM，BN，當t為何值時，四邊形BCMN為

18、平行四邊形？問對于所求的t值，平行四邊形BCMN是否菱形？請說明理由分析：動點問題，指的是一個或幾個點在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目.解決這類問題的關鍵是動中求靜,靈活運用有關數(shù)學知識解決問題.一般會有兩種類型；這是一道函數(shù)中的動點問題。首先求出直線AB的函數(shù)解析式，用含有t的式子表示點N、M、P,MN=NP-MP；利用MN=BC建立方程，求出t為何值是平行四邊形，解出兩個答案，其中一個t值可以使平行四邊形BCMN為菱形，而另一個不可以。3 把壓軸題變成最有價值的壓臺戲近幾年壓軸題的設置一般是有兩至三個問，剛好符合“起點低，坡度緩，尾巴翹的特點，并不是高不可攀，我們要培養(yǎng)學生的信心，大膽去嘗試。有兩個建議供參考:1、分題得分：在解答時要把第1小題的分數(shù)一定拿到，第2小題的分數(shù)要力爭拿到，第3小題的分數(shù)要爭取得到，這樣就大大提高了獲得中考數(shù)學高分的可能性。2、分段得分：一道中考壓軸題做不出來，不等于一點也不懂，一點也不會，要將片段的思路轉(zhuǎn)化為得分點，因此，要強調(diào)分段得分，因為中考是“分段評分。因此，對中考壓軸題要理解多少做多少，最大限度地發(fā)揮自己的水平，把中考數(shù)學的壓軸題變成最有價值的壓臺戲?？偠灾?，應從不同的側(cè)面、不同的角度，識別題目的條件和結(jié)論，注意挖掘隱蔽的條件和內(nèi)在聯(lián)系，區(qū)分條件和結(jié)論之間的關系、圖形的幾何特征與數(shù)、