剖面二維非恒定懸移質(zhì)泥沙擴散方程的數(shù)值方法

1、剖面二維非恒定懸移質(zhì)泥沙擴散方程的數(shù)值方法             摘要通過討論剖面二維非恒定泥沙擴散方程的數(shù)值方法，建立了一種用于求解含沙量分布沿程變化的差分格式(Z-C格式)并通過一個具體的數(shù)值例子說明了計算的方法步驟。 關(guān)鍵詞擴散方程 差分格式 精度 穩(wěn)定性 1 引言數(shù)學模擬方法正在成為研究河流泥沙問題的重要手段。目前，一維數(shù)學模型發(fā)展較成熟，已廣泛應用于模擬長河段的長期變形，但它只能給出河段平均沖淤深度的沿程變化，如需了解短河段的河床變形細節(jié)，則要采用二維以至三維數(shù)學

2、模型。不論是一維數(shù)學模型還是平面二維維數(shù)學模型，都不能反映含沙量沿垂線的分布狀況，并忽略了含沙量沿垂線分布對垂線平均含沙量變化過程的影響。要解決這類問題，必須建立剖面二維數(shù)學模型。這種模型主要通過解剖面二維泥沙擴散方程來研究懸移質(zhì)泥沙沿水深的分布及含沙量的變化過程，對水電站進口和其它引水工程的引水口高程的確定都能提供較好的數(shù)值模擬。泥沙擴散方程實際上是一個變系數(shù)的二階線性偏微分方程，這樣的方程在各種復雜邊界條件下求解是極為困難的。求擴散方程的解析解在數(shù)學上存在著難以克服的困難，往往只能通過對方程的簡化，才能得到一些簡單邊界條件下的解析解，在這方面，A.A.Kalinske、野滿隆治、W.E.D

3、obbins、俞維強、張啟舜、韋直林等都做了有益的嘗試；求擴散方程的數(shù)值解曾經(jīng)因為缺乏高效率的計算工具而難以實現(xiàn)，直到60年代后，隨著計算機的廣泛應用，在各種復雜邊界條件下求擴散方程的數(shù)值解不但成為可能，而且得到迅速的發(fā)展，在這方面，曹志先、崔俠等做了大量工作，取得了很多成果。數(shù)值方法相對于解析方法在求解偏微分方程上有著明顯的優(yōu)勢，即簡單靈活、計算方便快捷，但要尋找一種精度高、穩(wěn)定性好、計算方便的差分格式也并非易事。本文擬在前人研究的基礎(chǔ)上著重討論剖面二維泥沙擴散方程的數(shù)值解問題，希望能提供一種精度高、穩(wěn)定性好、計算方便的數(shù)值解。2 基本方程   剖面二維泥沙擴散方程的形式

4、為 式中 x,y為水流方向和鉛直方向的維軸；u,v分別為沿水流方向和鉛直方向的時均流速；sx,sy分別為水流方向和鉛直方向的泥沙擴散系數(shù)；,S分別為泥沙靜水沉速和含沙量。對于式(1)的求解，研究者一般會對它進行不同程度的簡化，為此引入以下假定中的一種或幾種A.非恒定流可以概化為梯級式恒定流，即B.在一個時段內(nèi)，認為泥沙運動可以概化為處于恒定狀態(tài)，即C.在二維流動中，縱向擴散系數(shù)與方程其他項相比，可以忽略不計，即認為方程右端第一項可以忽略；D.認為懸移質(zhì)泥沙粒徑均一，即=const;E.認為水流為二維均勻流，即v=0。為簡單起見，我們討論的范圍限于水流條件為二維非恒定均勻流，懸移質(zhì)泥沙

5、粒徑均勻，為此引入假定C、D、E。這時，泥沙擴散方程為目前，對s的變化規(guī)律研究得不很充分，一般假定  其中m為動量傳遞系數(shù)，為修正值。由勃蘭特爾摻長理論可得式中為卡門常數(shù)，u*為摩阻流速。 對于u，我們?nèi)】?勃蘭特爾對數(shù)流速分布公式令W=+(u*/h)(1-2y/h),則式(2)可變形為(6)         3 差分方程 3.1 網(wǎng)格的剖分為建立差分方程，首先必須剖分網(wǎng)格。我們?nèi)r間步長t=，X方向的空間步長x=h1，Y方向的空間步長為y=h2,這樣形成如下網(wǎng)格3.2 構(gòu)

6、造差分格式通過對流方程和擴散方程的差分格式的構(gòu)造，我們可以得到對流擴散方程的差分格式。由于隱式格式穩(wěn)定性好，考慮Crank-Nicholson型隱式格式。為此，引入差分算子記號為了看得更清楚，暫且取h1=h2=h.對式(6)離散，則C-N格式為C-N格式的精度是二階的，絕對穩(wěn)定。但對于二維問題，由(7)導出的方程組，其系數(shù)矩陣不是三對角矩陣，不能用追趕法求解。因此，考慮構(gòu)造交替方向的隱式格式(命名為Z-C格式)可以看出，計算Sn+1j,l是由兩步組成的，每一步僅是一個方向的隱式，故用兩次追趕法即可。3.3 精度分析現(xiàn)在，我們考慮Z-C格式的精度。先設(shè)法消去過渡值Sn+1/2j,l，為此，將(8

7、)和(9)兩式相加，可得將(8)和(9)兩式相減，可得 把式(11)代入(10)，變形整理，可得設(shè)S(x,y,t)是(12)的精確解，并假定S(x,y,t)關(guān)于t三次連續(xù)可微，關(guān)于x,y四次連續(xù)可微，那么利用Taylor級數(shù)展開可得由此可見，Z-C格式具有二階精度。3.4 穩(wěn)定性分析現(xiàn)在，我們來討論Z-C格式的穩(wěn)定性。為此，把式(12)變形整理得由式(14)可得出過渡因子為令a=2s/h2sin2k2h/2,b=W/2hsink2h,c=u/2hsink1h,則顯然，對于任意的,h,|G(,k)|21,所以Z-C格式是絕對穩(wěn)定的。    

8、60;    4 數(shù)值計算4.1 邊界條件我們考慮初邊值問題。(1)初始條件用Rouse公式給出含沙量沿垂線分布 式中z=/ku*為懸浮指標，Sa為近底含沙量，h為水深，一般取a=0.010.05h。  (2)水面條件 (3)底部邊界條件  式中Sa*為近底挾沙力，即輸沙平衡時的近底售沙量Sa.(4)近底含沙量計算近底含沙量在求解泥沙擴散方程時具有邊界條件性質(zhì)，它選取的正確與否，意味著所給邊界條件是否正確。實際工程中一般缺乏實測資料，近底含沙量不易測定。這里，我們利用水流挾沙力和含沙量沿垂線分布公式來反求

9、近底含沙量。已知斷面平均挾沙力為假定  輸沙平衡時，含沙量沿垂線分布用Rouse公式(17)表示，用(17)表達挾沙力的垂線分布 ，然后沿垂線積分得斷面平均挾沙力為將(22)與(21)比較，可得  4.2 計算步驟為方便計算，將式(8)和(9)式變形整理，并對X，Y方向取不同的空間步長在一個時間層(第n層)內(nèi)，計算分兩步進行第一步，對式(24)用追趕法求第n+1/2層的過渡值。令C1=-u/4h1,C2=1,C3=u/4h1,E1=s/2h22,E2=W/4h2D1=s/2h22-W/4h2,D2=-s/h22-1,D3=s/2h22+W/4h2l=1時

10、，D1Sn+1/2j,0+D2Sn+1/2j,1+D3Sn+1/2j,2=C3LxSnj,1-Snj,1l=2時，D1Sn+1/2j,0+D2Sn+1/2j,1+D3Sn+1/2j,2=C3LxSnj,1-Snj,1l=M時,D1Sn+1/2j,M-1+D2Sn+1/2j,M+D3Sn+1/2j,M+1=C3LxSnj,M-Snj,M令Hl=-Snj,l+C3LxSnj,l (1lM)H1=-Snj,1+C3LxSnj,1-D1Sn+1/2j,0HM=-Snj,M+C3LxSnj,M-D3Sn+1/2j,M+1其中Sn+1/2j,0和Sn+1/2j,M+1由邊界條件給出，則用矩陣形式表示為&#

11、160; 第二步，再對(25)式用追趕法求第n+1層的值令Fj=E12ySn+1/2j,l+E2LySn+1/2j,l+Sn+1/2j,l (1jN)F1=E12ySn+1/21,l+E2LySn+1/21,l+Sn+1/21,l-C1Sn+10,lFN=E12ySn+1/2N,l+E2LySn+1/2N,l+Sn+1/2N,l-C3Sn+1N+1,l其中Sn+10,l和Sn+1N+1，l由邊界條件給出，則同理可得矩陣方程 這樣，按此步驟一層層地計算。4.3 數(shù)值模擬合理性分析受所掌握的實測資料的限制，目前尚無法對本文提出的算法與含沙量沿垂線分布的實測值進行對比。我們用庫里

12、·阿雷克沉沙池的實測資料作了垂線平均值沿程變化的比較。該沉沙池的主要數(shù)據(jù)為：池深h=1.53m;平均流速u=0.12m/s;泥沙沉速=0.0176cm/s;懸浮指標Z=0.01。計算時取卡門常數(shù)=0.4，a=0.05h。表1給出了計算值和實測值，結(jié)果表明，計算值和實測值比較符合。為了進一步分析含沙量垂線分布計算結(jié)果的合理性，我們對另一組較粗的泥沙(=0.616cm/s,Z=0.4)進行了對比計算。圖1“,圖2分別為兩組沙的計算結(jié)果。從圖中可以看出，計算結(jié)果符合含沙量沿垂線分布的一般規(guī)律，粗沙分布不均勻，細沙分布較均勻；近底濃度相對較大，水面濃度相對較小，不存在Rouse公式中水面含沙

13、量為0的缺陷；含沙量沿程衰減的特性較為明顯。圖3為較粗一組泥沙的相對含沙量沿垂線分布的沿程變化情況。圖3表明，盡管進口斷面按Rouse公式給出了含沙量沿垂線的分布，但由于該斷面實際處于不平衡輸沙狀態(tài)，這種分布并不是穩(wěn)定的。在距進口200m處，泥沙的分布調(diào)整到一種不平衡輸沙狀態(tài)，隨著泥沙的沿程淤積，水流輸沙向平衡方向發(fā)展，垂線平均含沙量趨向于水流挾沙力，而含沙量沿垂線分布向平衡時的分布狀態(tài)(Rouse公式)發(fā)展。由于這種發(fā)展是趨向于穩(wěn)定狀態(tài)，因此愈接近下游，分布愈靠近Rouse公式。計算結(jié)果表明，本文提出的計算方法是合理可行的。 5 結(jié)語本文建立了求解二維非恒定泥沙擴散方程的一種差分格式(Z-C格式)。這種格式具有如下特點1.精度較高(具有二階精度)。2.穩(wěn)定性好(無條件穩(wěn)定)。3.計算較方便(每一時段利用兩次追趕法即可)。圖3 相對含沙量的垂線分布變化(Z=0.4)Changes of vertical distributions of relative sediment concentrations(Z=0.4)         參考文獻 1 陸金甫，關(guān)治。偏微分方程數(shù)值解法。清華大學出版社，1987年7月。 2 韋直林。二度恒定均勻流中泥沙淤積過程的研究。武漢水利電力