數(shù)列的概念與簡單表示法

1、第六章 數(shù) 列數(shù)列的概念與簡單表示法考點梳理1數(shù)列的概念(1) 定義：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的數(shù)列中的每一項都和它的序號有關，排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第 1 項 (通 常也叫做 )，排在第 n 位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第 n 項所以，數(shù)列的一般形式可以寫成 ，其中 an 是數(shù)列的第 n 項，叫做數(shù)列的通項常把一般形式的數(shù)列簡記作 an(2) 通項公式：如果數(shù)列an的 序號 間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式(3) 從函數(shù)的觀點看，數(shù)列可以看作是一個定義域為正整數(shù)集N*(或它的有限子集1 ,2，3，n)的函數(shù)(離散的)，當自

2、變量從小到大依次取值時所對應的一列 :(4) 數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列的第1 項(或前幾項 )，且從第二項 (或某一項 )開始的任一項 與它的前一項 (或前幾項 )間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式(5) 數(shù)列的表示方法有 、.2數(shù)列的分類(1) 數(shù)列按項數(shù)是有限還是無限來分，分為 、.(2) 按項的增減規(guī)律分為 、和 遞增數(shù)列？ an + 1an ；遞減數(shù)列？ an + 1an ；常數(shù)列？ an + 1an.遞增數(shù)列與遞減數(shù)列統(tǒng)稱為 3 數(shù)列前n項和Sn與an的關系(n = 1) ,已知Sn,貝U an =(n > 2) .自查自糾：1 (1)項 首

3、項a1, a2, as，an，(2)第 n 項 n (3)函數(shù)值 (4)an an1(5)通項公式法 (解析式法 ) 列表法 圖象法 遞推公式法2 (1)有窮數(shù)列 無窮數(shù)列(2)遞增數(shù)列遞減數(shù)列擺動數(shù)列常數(shù)列 > v = 單調數(shù)列典型例題講練類型一數(shù)列的通項公式例題1 根據(jù)下面各數(shù)列前幾項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式:(1) - 1，7，- 13，19，；246810一.' 3 ' 15 ' 35 ' 63 ' 99 ''1 9252，2，2，8，；5 , 55 , 555 , 5 555，解：(1)偶數(shù)項為正，奇數(shù)項為負，故通項公

4、式正負性可用(-1)n調節(jié)，觀察各項的絕對值，后一項的絕對值總比它前一項的絕對值大6，故數(shù)列的一個通項公式為an =(-1)n(6n 5) (2) 這是一個分數(shù)數(shù)列，其分子構成偶數(shù)數(shù)列，而分母可分解為1 X 3 , 3 X 5 , 5 X 7 ,7 X 9 , 9 X 11，每一項都是兩個相鄰奇數(shù)的乘積故數(shù)列的一個通項公式為an =2n(2n 1 )( 2n +1)2nan =.(3) 數(shù)列的各項，有的是分數(shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項都統(tǒng)一成分數(shù)再觀察即14916252, 2，2，T，T，故數(shù)列的一個通項公式為555(4) 將原數(shù)列改寫為 -X 9 , -X 99 , -X 999，易知數(shù)列

5、 9 , 99 , 999，的通項vJvJvJ5為10n- 1，故數(shù)列的一個通項公式為an = (10n- 1) 9變式1寫出下列數(shù)列的一個通項公式11 11(1) -1，2，-3 , 4 ,5,；(2)3 ,5 , 9,17 , 33 ,;21017263，-1 ,7 , 9 ,11 ,(4)1 ,2 , 2 ,4 , 3, 8,4, 16 ,1解：(1)an= (- 1)n ;n(2) an = 2n+ 1 ；5由于一1 =-'，故分母為 3 , 5 , 7, 9 , 11，即卩2n + 1，分子為2 , 5 , 10 ,517 , 26，即n2 + 1符號看作各項依次乘1 , -

6、 1 , 1 , - 1，即卩( 1)n 1，故an= (- 1)n +1n2 + 12n + 1.觀察數(shù)列an可知，奇數(shù)項成等差數(shù)列，偶數(shù)項成等比數(shù)列， an =n + 12 (n為奇數(shù))，類型二由前n項和公式求通項公式例題2(1)若數(shù)列an的前n項和Sn = n2 10 n ,則此數(shù)列的通項公式為 an =若數(shù)列an的前n項和Sn = 2n+ 1，則此數(shù)列的通項公式為an =解：(1)當 n = 1 時，a1 = S1 = 1 10 = 9;當n > 2時，an = Sn Sn 1 = n2 10 n (n 1)2 10( n 1) = 2n 11 .當 n = 1 時，2 x 1

7、11 = 9 = a1. an= 2n 11 .故填2 n 11 .當 n = 1 時，a1 = S1 = 21 + 1 = 3 ； 當n > 2時，an = Sn Sn 1 = (2“ + 1) (2“ 1 + 1) =2n 2n 1 = 2n 1.綜上有an =3 (n = 1 ), 2n1 (n >2)3 (n = 1 ), 故填 2n -1 ( n >2 )變式2 已知下列數(shù)列an的前n項和Sn,分別求它們的通項公式 an.(1)Sn= 2n2 3n ；Sn = 3n + b.解：(1)a1 = S1 = 2 3 = 1，當 n >2 時，an = Sn Sn

8、1 = (2n2 3n) 2(n 1)2 3(n 1) = 4 n 5 ,a1也適合此等式， an= 4n 5. a1 = S1 = 3 + b ,當 n > 2 時，an = Sn Sn 1=(3n + b) (3n 1 + b) = 2 3n 1.當b = 1時，a1適合此等式.當b工1時，a1不適合此等式.當 b = 1 時，an = 2 3n 1;當b豐一3 + b , n = 1 ,1 時，an = 2 3n -1, n > 2.類型三由遞推公式求通項公式例題3(1)a1 = 2(2)ai = 1寫出下面各數(shù)列an的通項公式.an +1 = an + n +1 ；n +

9、2前 n 項和 Sn= 3an；3 a1 = 1 解：(1)由題意得，當n >2時，an an -1 = n ,an = a1 + (a2 aj + (a3 a2)+ + (an an 1)(n 1 )( 2 + n) n (n + 1 )=2 + (2 + 3 + + n)= 2 +an+1 = 3an + 2.1 X( 1 + 1 )又a1 = 2 =-+1，適合上式，n (n +1 )因此an =由題設知,ai = 1.c c n + 2 n + 1an = Sn Sn 1 = an an 1.33ann +1an 1n 1a45 a34a3 = 3，a2 = 2，an n + 1

10、an 1 n 1 '以上n-1個式子的等號兩端分別相乘,an n (n +1 ) 得到_=a1a2 =3.a1又 ai = 1 ,n (n +1 )an=2(3) 解法一:(累乘法)an +1 = 3 an+ 2，得 an+ 1 + 1 = 3( an + 1),an + 1 + 1 即冇Ta2 + 101+7=3，a3 + 1R=3,a4 + 1討=3，-an + 1 + 1T+T=3.將這些等式兩邊分別相乘得心! = 3n.a1+ 1an + 1+1 nt a1 = 1 , = 3 ,1 +1即 an+1 = 2 x3n 1(n> 1), an = 2 x 3n 1 1(n

11、>2), 又a1 = 1也適合上式，故數(shù)列an的一個通項公式為 an= 2 x 3n T 1 . 解法二：(迭代法)an +1 = 3 an + 2 ,即 an +1 + 1 = 3(an+ 1) = 32(an 1 + 1)=33(an - 2 + 1)= = 3n(a1 +1) = 2 x 3n(n > 1),an = 2 x 3n 1 1(n >2),又a1 = 1也滿足上式，故數(shù)列an的一個通項公式為 an= 2 x 3n 1 1 .變式3 寫出下面各遞推公式表示的數(shù)列 an的通項公式.1(1)a1 = 2 ,(2) a1 = 1 ,(3) a1 = 1 ,an+ 1

12、 = an +/n (n + 1)an+ 1 = 21 an ；an+ 1 = 2 an + 1.解: (1) 當n2 時，an an 1 =1 1時，an = (an an 1)+ (an 1 an 2)+ + 但2 a1) + a1 = +n 一 1 n1+ -n 2 n 1 + 2當n = 1時，適合.故1an = 3 _na2a3 = 2n，二=21, = 22，an + 1a2a2ana1將這n 1個等式疊乘，an( n 1)得豈=2 1 + 2 + + (n 1) = 2 2 寸a1旦 2n 1 an1=2，an = 2n (n 1) 當n = 1時，適合.故an = 22(3)由

13、題意知 an +1 + 1 = 2( an + 1), 列， an +1 = 2n, a n = 2n 1 .數(shù)列an+ 1是以2為首項，2為公比的等比數(shù)類型四數(shù)列通項的性質10 n例題4 已知數(shù)列an，且an = (n + 1)不(n N*).求數(shù)列an的最大項.10 n解：因為an = (n + 1)石 是積幕形式的式子且an > 0 ,所以可用作商法比較 an與an-1的大小.an解：令 > 1(n>2),an 110 n(n + 1 )1110 n t11n + 111整理得一胃 10，解得n w 10 .an令不A1,(n + 1 )(n + 2)10 n1110

14、n+1 A111n + 110整理得忌A17，解得nA9.從第1項到第9項遞增，從第10項起遞減.故10 10a9 = a10 =常最大.n變式4數(shù)列an的通項an = K，則數(shù)列an中的最大項是()A. 310 B . 19 C.119D.10601 一解：易得an =90，運用基本不等式得，n +n1 190、2 90 n +n，由于n N*，不難發(fā)現(xiàn)1當n = 9或10時，an =最大故選C.I方法規(guī)律總結1已知數(shù)列的前幾項，求數(shù)列的通項公式，應從以下幾方面考慮：(1) 如果符號正負相間，則符號可用 (1)n或(-1)n+1來調節(jié).(2) 分式形式的數(shù)列，分子和分母分別找通項，并充分借助

15、分子和分母的關系來解決. 對于比較復雜的通項公式，要借助于等差數(shù)列、等比數(shù)列和其他方法來解決.S1 ( n = 1),2. an =注意an = Sn Sn -1的條件是n A2，還須驗證 a1是否Sn Sn 1 ( n A 2 ),符合an(n a2)，是則合并，否則寫成分段形式.3 .已知遞推關系求通項掌握先由a1和遞推關系求出前幾項，再歸納、猜想 an的方法，以及“累加法”“累 乘法”等.(1) 已知a1且an an 1 = f(n),可以用“累加法”得：an = a 1 + f (2) + f(3) + f (n 1) + f(n).an(2) 已知a1且=f(n),可以用“累乘法”得

16、：an 1an = ai f(2) f(3) f(n - 1) f(n).注：以上兩式均要求f(n )易求和或積.4 .數(shù)列的簡單性質(1) 單調性：若an +1> an，則an為遞增數(shù)列；若an + 1V an，則an為遞減數(shù)列.(2) 周期性：若 an+ k = an(n N*, k為非零正整數(shù))，則an為周期數(shù)列，k為an的一 個周期.anan + 1 ,anW an + 1 ,(3) 最大值與最小值：若則an最大；若則an最小.anan - 1 ,anW an - 1 ,課后練習1 . 1 , 2 ,7,.10,13，中，219是這個數(shù)列的()A .第16項B .第24項C .第

17、26項 D .第28項解：觀察 a1 = 1 = ”1 , a2 = 2 = 4, a3 = 7, a4 = /10 , a5 = /13，所以 an =3n 2.令 an = 3n 2 = 2 19 = 76，得 n = 26 .故選 C.2 .數(shù)列an的前n項積為n2，那么當n2時，an =(2(n +1 ) 2n2A. 2n 1 B . nC. 2 D.2Tnn2n = TTZ = (n 1 ) 2 .故n(n 1 )解：設數(shù)列an的前n項積為Tn，貝U Tn = n2，當n2時，a選D.3 .數(shù)列an滿足 an +1 + an = 2n 3，若 a1 = 2，貝U as a4 =()A

18、. 7 B . 6 C . 5 D . 4解：依題意得(an+2 + an+1) (an +1 + an) = 2( n +1) 3 (2n 3)，即 an+2 an = 2 , a8 a4 = (as a6) + (a6 a4) = 2 + 2 = 4.故選 D.an已知數(shù)列an的前n項和Sn = 2an 1，則滿足一W 2的正整數(shù)n的集合為()n1,21,2341,2,41,2,3解：B1在數(shù)列an中,a1 = 2 , an +1 = an + lg 1 + 門，貝V an 的值為()2 + lg n2 + n lg nB . 2 + (n 1)lg n D . 1 + n lg n n

19、+ 1解法一：T an +1 an = lg ,nan = (an an -1)+ (an -1 an - 2) + + (a2 aj + a1n n 12=lg + lg + lg + 2 n 1 n 21n n 132=Ig二；+ 2 = Ign + 2.n 1 n 221解法：an +1 = an + lg(n + 1) Ign ,an +1 lg(n + 1) = an Ign,所以數(shù)列an Ign是常數(shù)列，an Ign = a1 Ig1 = 2 , an=2 + Ign故選 A.6 .若數(shù)列an滿足 a1 = 2, an + 1an = an 1，貝U a2017 的值為()1A.

20、1 B. - C . 2 D . 311解：根據(jù)題意，數(shù)列an滿足 a1 = 2 , an + 1an = an 1 , an +1 = 1 , a2 =an2as = 1 , a4 = 2，可知數(shù)列的周期為 3 , 2017 = 3 x 672 + 1 ,二 a2017 = a1 = 2.故 選C.7 .已知數(shù)列an滿足 as，t= asat(s, t N*)，且 a2 = 2，貝U a8 =.解: 令 s = t = 2，貝U a4 = a2x a2 = 4，令 s = 2 ,t = 4，貝U a8 = a2x4 = a2x a4 = 8.故填8.8 下列關于星星圖案的個數(shù)構成一個數(shù)列，該數(shù)列的一個通項公式是an =.解：從題圖中可觀察星星的個數(shù)構成規(guī)律,n = 1時，有1個；n = 2時，有3個；n=3時，有 6個；n