酉變換與對稱變換ppt課件

1、一、酉空間的定義一、酉空間的定義二、酉空間的性質(zhì)二、酉空間的性質(zhì)三、酉空間中向量的正交、正交組、三、酉空間中向量的正交、正交組、規(guī)范正交組規(guī)范正交組四、酉變換和對稱變換四、酉變換和對稱變換一、酉空間的定義一、酉空間的定義2),3),aa定義定義1 設(shè)設(shè)V是復(fù)數(shù)域是復(fù)數(shù)域C上一個向量空間上一個向量空間. 如果對于如果對于V中任意一對向量中任意一對向量 有一個確定復(fù)數(shù)有一個確定復(fù)數(shù) ,與它們對應(yīng)，并且下列條件被滿足：與它們對應(yīng)，并且下列條件被滿足： ,這里這里,是是V的任意向量，的任意向量，a是任意復(fù)數(shù)，是任意復(fù)數(shù)， 那么那么V叫作對于這個內(nèi)積來說的一個酉空間叫作對于這個內(nèi)積來說的一個酉空間.1)

2、, 是 的共軛復(fù)數(shù)；, , , ,0; 4) 是非負實數(shù)，并且當(dāng)是非負實數(shù)，并且當(dāng) 時時, 0nC),.,(21nxxx),.,(21nyyy1122,.,nnx yx yx y 例例1 在在規(guī)定規(guī)定 里里,對于任意兩個向量對于任意兩個向量nC那么那么 對于這個內(nèi)積來說作成一個酉空間對于這個內(nèi)積來說作成一個酉空間. 二、酉空間的性質(zhì)二、酉空間的性質(zhì)1), 3),00,0 （4） 1111,.mmmniijjijijijijaba b , ,VaC 設(shè)設(shè)V為酉空間，為酉空間，,2,)aaaa 是 的共軛復(fù)數(shù).在酉空間在酉空間V 里，定義向量的里，定義向量的 長度為長度為, 那么那么（5）aa（6

3、）2,. 當(dāng)且僅當(dāng) 與 線性相關(guān)時等號成立(柯西-施瓦茨不等式)三、酉空間中向量的正交、正交組、三、酉空間中向量的正交、正交組、規(guī)范正交組規(guī)范正交組定義定義 酉空間的兩個向量酉空間的兩個向量與與說是正交的說是正交的, ,0 假設(shè)酉空間酉空間V的一組兩兩正交的向量叫作的一組兩兩正交的向量叫作V一個正交組一個正交組.如果一個正交組的每一個向量都是單位向量如果一個正交組的每一個向量都是單位向量,就稱這個就稱這個正交組是一個規(guī)范正交組正交組是一個規(guī)范正交組.子空間.令 定義定義 令令W W是酉空間是酉空間V V的一個有限維的一個有限維|,=0.WVV 對一切那么那么 也是也是V的子空間的子空間,叫作叫

4、作V的正交補的正交補. W由定理8.2.4相平行，有VWW定義定義2 一個一個n階復(fù)矩陣階復(fù)矩陣U叫作一個酉矩陣，假設(shè)叫作一個酉矩陣，假設(shè).TTUUU UI與定理與定理8.2.6平行，我們有平行，我們有定理定理8.5.1 n維酉空間的一個規(guī)范基到另一個規(guī)范基的維酉空間的一個規(guī)范基到另一個規(guī)范基的過渡矩陣是一個酉矩陣過渡矩陣是一個酉矩陣.四、酉變換和對稱變換四、酉變換和對稱變換定義定義1 酉空間酉空間V的一個線性變換的一個線性變換叫作一個酉變換，叫作一個酉變換，如果對于任意的如果對于任意的 ，都有，都有,V ( ),( ),. 定理定理8.6.1 8.6.1 設(shè)設(shè)V V 是一個是一個n n 維酉

5、空間，維酉空間，是是V V 的一個的一個酉變換，那么酉變換，那么把把V V 的任意一個規(guī)范正交基仍變成的任意一個規(guī)范正交基仍變成V V 的一個規(guī)范正交基；反過來，如果的一個規(guī)范正交基；反過來，如果把把V V 的某一的某一規(guī)范正交基仍舊變成規(guī)范正交基仍舊變成V V 的一個規(guī)范正交基，那么的一個規(guī)范正交基，那么是是V V 的一個酉變換的一個酉變換. .定理定理8.6.2 n 8.6.2 n 維酉空間維酉空間V V 的一個酉變換的一個酉變換關(guān)于關(guān)于V V 的任意規(guī)范正交基的矩陣是一個酉矩陣；反過來，的任意規(guī)范正交基的矩陣是一個酉矩陣；反過來，如果如果V V 的一個線性變換關(guān)于某一規(guī)范正交基的矩陣的一

6、個線性變換關(guān)于某一規(guī)范正交基的矩陣是 酉 矩 陣 ， 那 么是 酉 矩 陣 ， 那 么 是 一 個 酉 變 換是 一 個 酉 變 換 . .定義定義2 設(shè)設(shè)是酉空間是酉空間V的一個線性變換，如果對于的一個線性變換，如果對于V中的任意向量中的任意向量 ，等式，等式成立，那么就稱成立，那么就稱是一個對稱變換是一個對稱變換.,( ),( ) 定義定義3 n階復(fù)矩陣階復(fù)矩陣H叫作一個埃爾米特叫作一個埃爾米特Hermite）矩陣，假設(shè)矩陣，假設(shè)THH表示將表示將 的元素換成它們共軛所得的矩陣）的元素換成它們共軛所得的矩陣）.THTH(定理定理8.6.3 8.6.3 設(shè)設(shè)是是n n維酉空間維酉空間V V的

7、一個對稱變換，的一個對稱變換，那么那么關(guān)于關(guān)于V V的任意規(guī)范正交基的矩陣是埃爾米特的任意規(guī)范正交基的矩陣是埃爾米特矩陣矩陣. . 反過來反過來, ,如果如果關(guān)于關(guān)于V V的某一規(guī)范正交基的矩的某一規(guī)范正交基的矩陣是埃爾米特矩陣，那么陣是埃爾米特矩陣，那么是是V V的一個對稱變換的一個對稱變換. . 證證 只證只證(i) 定理定理8.6.4 設(shè)設(shè)是是n維酉空間維酉空間V的一個對稱變換的一個對稱變換.(i) 的本征值都是實數(shù)；的本征值都是實數(shù)；(ii) 的屬于不同的本征值的本征向量彼此正交；的屬于不同的本征值的本征向量彼此正交；(iii)存在存在V的一個規(guī)范正交基使得的一個規(guī)范正交基使得關(guān)于這個基關(guān)于這個基的矩陣是實對角形式的矩陣是實對角形式.設(shè) 是的一個本征值， 是屬于 的一個本征向量，那么C,( ),( ),. 由于由于 ，所以必須，所以必須 ，即，即 是實數(shù)是實數(shù).,0 定理定理8.6.5 設(shè)設(shè)H 是一個是一個n階埃爾米特矩陣，則存在一個階埃爾米特矩陣，則存在一