格林公式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用教學(xué)目的：理解和掌握格林公式及應(yīng)用教學(xué)重點(diǎn)：格林公式教學(xué)難點(diǎn)：格林公式的應(yīng)用教學(xué)內(nèi)容：、Green公式單連通區(qū)域.設(shè)D為單連通區(qū)域，若 D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于D .稱D為單連通區(qū)域（不含洞），否則稱為復(fù)連通區(qū)域 （含洞）規(guī)定平面D的邊界曲線L的方向，當(dāng)觀看者 沿L行走時(shí)，D內(nèi)在他近處的那一部分總在他的左邊，如定理1.設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線 L圍成，函數(shù)P（x, y）和Q（x, y）在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有DeQ_fdXdy = ：LPd-Qdy.L為D的取正向的邊界曲線即格林公式既為X-型又為y-型區(qū)域一 cP八門:JbPx152（x）HPXi?i（x）

2、dx =aL2 : y = ：2（x） / ；:y 連續(xù),Ddxdyy dyLi: y= 1 （x）Pdx又LPdxLPdxbbPXi, i（x）dxPXi, 2（x）dxa+ abPx1（x）-Px2（x）dx-：Pdxdy Pdx.yL號(hào)幼=0對于y-型區(qū)域，同理可證門 =.1_5.原式成立對于一般情況，可引進(jìn)輔助線分成有限個(gè)符合上述條件區(qū)域，在D1, D2，D3, D4上應(yīng)用格林公式相加，由于沿輔助線積分是相互抵消，即可得證2 | dxdy xdy - ydx 幾何應(yīng)用，在格林公式中，取P-y,Q=：x,-D y= l._ 1.A = ? Lxdy _ydx說明：1)格林公式對光滑曲線圍

3、成的閉區(qū)域均成立CCdxdycX cy2 )記法.Lxdyydx= D3 )在一定條件下用二重積分計(jì)算曲線積分，在另外條件下用曲線積分計(jì)算二重積分.4 )幾何應(yīng)用.例 1計(jì)算 U(yx)dx + (3x + y)dy2 2L : (x-1) (y-4) =9衛(wèi)=3蘭,;:x,川斜(31)dxdy = 18t解：原式=-八 )yx = a cos t3計(jì)算星形線 =asint圍成圖形面積(0蘭t蘭2兀).一 .1 .1 2nA 石 iXdy _ydx = ? o3兀a2(a cos31 3asin21 cost asin2t 3a cos21 sin t)dt平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件1)與

4、路無關(guān)：是 G為一開區(qū)域，P(x, y),Q(x, y)在g內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，若G內(nèi)任意指定兩點(diǎn) A, B及G內(nèi)從A到B的任意兩條曲線L1丄2成立，則稱LPdx Qdy在G內(nèi)與路徑無關(guān). 否則與路徑有關(guān)例 1.(x + y)dx + (x-y)dy ：從(1,1)到(2,3)的折線L2從(1,1)到(2,3)的直線x3 = (3)若LPdx Qdy在D內(nèi)與路徑無關(guān)當(dāng)起點(diǎn)固定在(x0, y0 )點(diǎn)，終點(diǎn)為(x,y)(x,y)后，則x0,y0)Pdx + Qdy是 x, y 的函數(shù)，記為 u(x, y).(x,y)5(Pdx +Qdy 1 (2 _ y)dy + ( (1 + x)dx =_解

5、：L1= 2 2j2 3L2 : y=下證：u(x, y)= (x0,y0)Pdx Qdy 的全微分為 du(x, y) = Pdx Qdy + 2(x-2),即 y = 2 -1L (x y)dx (x - y)dyL2251(x 2x1)2(1x)dx 二定理：設(shè)P(x, y) , Q(x，y)在單連通區(qū)域 D內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則以下四個(gè)條件相互等價(jià)(1)內(nèi)任一閉曲線 C，cPdx Qdy = 0.(2) 對內(nèi)任一曲線L， L Pdx Qdy與路徑無關(guān)(3) 在D內(nèi)存在某一函數(shù) J(x, y)使d(x, y) =Pdx Qdy在d內(nèi)成立.:P(4)；：y 汶，在d內(nèi)處處成立c C代B，

6、及連接 代B的任意兩條曲線 AEB，AGBr c C = AGB BGA為D內(nèi)一閉曲線知 c Pdx Qdy,AGBPdx Qdy= .BEAPdx Qdy. P(x,y) , Q(x, y)連續(xù)，只需證-:u-：x=P(x, y).uQ(x, y)八yM(x,y)N(x也,y)由定義_：U u(x：x)u(x,y)lym二Mo(x>,y。)u(x >x,y)二(x ：xy)(xo,yo)Pdx Qdyu(x, y) += u(x, y) +XIX(X .x,y)(x,y)dxpPdx QdyAGBPdx Qdy+ BEAPdx Qdy = 0:u；uP(x, y)=Q(x,y)即

7、；x，同理：ycP cQ cP fQ(3) 二(4)若 du(x, y) = Pdx Qdy，往證 刃=.：x , P = :x , Q y2 2:卩：P:Q：Q: u u為：x：y , ；：x：y：x,由P,Q具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)；X：y ：y：x_P衛(wèi)故：y =:議(4) = (1)設(shè)C為D內(nèi)任一閉曲線，D為C所圍成的區(qū)域.-cPdx Qdy:疔Q 于()dxdyD欣創(chuàng) =0解:x)dx (xex_2y)dy , L 為過(0,0) ,(0,1)和(1,2)點(diǎn)的圓弧.P =ey +x , Q = xey -2y，則令.：P yeyi與路徑無關(guān).取積分路徑為OA AB. Pdx + Qdy

8、j Pdx + QdyI = OA+ AB衛(wèi)=ey:x ,.xdy - ydx>2丄2例2. 計(jì)算C x y ,(1)(2)c為以(OQ)為心的任何圓周. c為以任何不含原點(diǎn)的閉曲線y(廣i、1 Jx解:-：P(1)2-x/ 22(x y ),Qx y2-x1 2/ 2r2(x y ),：P :Qy2,:Q y.x在除去(0,0)處的所有點(diǎn)處有 斜=；x，做以0為圓心，rPdx Qdy為半徑作足夠小的圓使小圓含在C內(nèi)， C G=0，即2：r cos x0c Pdx Qdy 二f = (1+x)dx+J0(ey -2y)dy=e2 ：2sjn日r2=2 二=0(2)v 刁=；：x、二元函數(shù)

9、的全微分求積C Pdx Qd廠 0Ay(x,y)(Xo,y°).c Pdx Qdy與路徑無關(guān)，則Pdx Qdy為某一 函數(shù)的全微分為(x,y)xyPdx + Qdy J Pdx + Qdy J Pdx + Qdy(x0 ,y0)= ，x0+ 'y0u(x,y) =注：u(x, y)有無窮多個(gè).驗(yàn)證：(2x sin y)dx xcosydy是某一函數(shù)的全微分，并求出一個(gè)原函數(shù) 解：令 P=2x+siny ， Q=xcosy(x, y)* i:Q；：P亠二 cosycosy；x, y原式在全平面上為某一函數(shù)的全微分，取(X。，y°) = (0,0),(x.0)例5.u(

10、x, y)二(x,y)(o,o)PdxQdy02xdx 0 xcosydy =/ xsin y計(jì)算c(y3e解：令P二-my)dy (3y2ex _ m)dy y3ex _my , Q 二 3y2ex.：P c 2 x3y e - m y:x添cc為從E到F再到G，F(xiàn)G是半圓弧£P加也=3y2exy,直線 GE , 則Ge pdx + Qdy= - J* mdxdy噸2已吧)2-m(1)431原式=(17)m例6.設(shè)f (x)在(3-0dx - m(1)i=42 1 y f (x,y)d -22y2f (x,y)dyL y，其中)上連續(xù)可導(dǎo)，求y為從點(diǎn)A(3, 3)到B(1,2)的直

11、線段.解；令1 y f(x,y)；:x許 g1 2-7y2f(x,y) -1 yx2yy3f (x, y) = y2f(x，y) x/fd)1y原式=2.:x故原積分與路徑無關(guān)，添 AC CB構(gòu)成閉路，.原式21 342y2f(y)-idy 3；1； f(；x)dx站293!2CBAC=31.證明：cf(x2+ BCAC2 1:2y1 3 22213 f(；x)dx 2f(y)2dy3 2 333y2一 132 122 f (u)du2 f (y)dy3y23f(u)為連續(xù)函數(shù)，而c為無重點(diǎn)的按段光滑的閉曲線，則2)(xdx ydy) =0確定的 n值，n x(xy ) dx_c y使在不經(jīng)過直線y = °的區(qū)域上，2 2 2、X(X y )廠c yn-dy與路徑無關(guān)，并求當(dāng)C為從點(diǎn)(1,1)到X 2Q 2【y f (x, y) -1yP 2yf(x,y) xy2f (x,y)y-1-y2f(x,y) y2f(x,y) xy3f(x,y)-12 2yy=y3小結(jié)：w f 、fdx +