212曲線方程(2)

1、 一般地，在直角直角坐標(biāo)系中，如果某曲一般地，在直角直角坐標(biāo)系中，如果某曲線線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程 f(x，y)=0的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：解建立了如下的關(guān)系：（1）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程 的解；的解；（2）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).曲線曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)構(gòu)成集合為上的點(diǎn)的坐標(biāo)構(gòu)成集合為A二元方程二元方程 f(x，y)=0的解集為的解集為BBAAB 那么這個(gè)方程叫做曲線的方程；那么這個(gè)方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線（圖形）。這條曲線叫做方程的曲線（圖形）。BA例例

2、1： 設(shè)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是兩點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1，-1）、（）、（3，7），求線段），求線段AB的垂的垂直平分線的方程直平分線的方程.整理得，整理得，x+2y-7=0 由此可知，垂直平分線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)由此可知，垂直平分線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程都是方程的解的解 解：（解：（1）設(shè)）設(shè)M（x,y）是線）是線段段AB的垂直平分線上任意一點(diǎn)的垂直平分線上任意一點(diǎn)則則MA=MB2222)7()3() 1() 1(yxyx設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)化簡(jiǎn)整理化簡(jiǎn)整理坐標(biāo)代換坐標(biāo)代換列出幾何關(guān)系列出幾何關(guān)系即即即即x1+2y1-7=0, x1=7-2y1點(diǎn)點(diǎn)M1到到A、B的距離分別是的距離分別是M1A=（2）設(shè)點(diǎn)）

3、設(shè)點(diǎn)M1的坐標(biāo)的坐標(biāo)(x1,y1)是方程是方程的解的解2121) 1() 1(yx. )136( 5)7()24()7() 3(; )136( 5) 1()28(1212121212111212121yyyyyxBMyyyy證明結(jié)論證明結(jié)論M1A=M1B,即點(diǎn)即點(diǎn)M1在線段在線段AB的垂直平分線上的垂直平分線上.由（由（1）（）（2）可知，方程）可知，方程是線段是線段AB的垂直平分線的方程的垂直平分線的方程. 點(diǎn)點(diǎn)M的軌跡就是與坐標(biāo)軸的的軌跡就是與坐標(biāo)軸的距離的積等于常數(shù)距離的積等于常數(shù)k的點(diǎn)的集合：的點(diǎn)的集合：P=MMRMQ=k,(其中其中Q、R分別是分別是點(diǎn)點(diǎn)M到到x軸、軸、y軸的垂線的垂

4、足）軸的垂線的垂足）因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)M到到x軸、軸、y軸的距離分別是它的縱坐標(biāo)和軸的距離分別是它的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，橫坐標(biāo)的絕對(duì)值，xy=k, 即即xy=k例例2點(diǎn)點(diǎn)M與互相垂直的直線的距離的與互相垂直的直線的距離的積是常數(shù)積是常數(shù)k(k0)，求點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡的軌跡.解：取已知兩條互相垂直的直線為坐標(biāo)軸，建立解：取已知兩條互相垂直的直線為坐標(biāo)軸，建立直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x,y)，化簡(jiǎn)整理化簡(jiǎn)整理坐標(biāo)代換坐標(biāo)代換列出幾何關(guān)系列出幾何關(guān)系(1)由求方程的過程可知，曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程由求方程的過程可知，曲

5、線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；的解； 由（由（1）、（）、（2）可知，方程）可知，方程是所求軌跡的方程是所求軌跡的方程. （2）設(shè)點(diǎn)）設(shè)點(diǎn)M1的坐標(biāo)的坐標(biāo)(x1,y1)是方程是方程的解，那么的解，那么x1y1=k,即即x1y1=k.而而x1、y1正是點(diǎn)正是點(diǎn)M1到縱軸、橫軸的距離，因此到縱軸、橫軸的距離，因此點(diǎn)點(diǎn)M1到這兩條直線的距離的積是常數(shù)到這兩條直線的距離的積是常數(shù)k，點(diǎn)，點(diǎn)M1是曲線上的是曲線上的點(diǎn)點(diǎn).證明結(jié)論證明結(jié)論1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)例如（）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)例如（x,y）表示曲線上任意一點(diǎn)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；2）寫出適合條件）寫出適合條件P

6、的點(diǎn)的點(diǎn)M的集合：的集合：P=MP(M);3）用坐標(biāo)表示條件）用坐標(biāo)表示條件P（M），列出方程），列出方程f(x,y)=0;4）化方程）化方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式；為最簡(jiǎn)形式；5）證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲）證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)線上的點(diǎn). 小結(jié)小結(jié):求曲線（圖形）的方程，一般有下求曲線（圖形）的方程，一般有下面幾個(gè)步驟：面幾個(gè)步驟：（二）列式換標(biāo)（二）列式換標(biāo)（一）建系設(shè)標(biāo)（一）建系設(shè)標(biāo)（四）特殊說明（四）特殊說明（三）化簡(jiǎn)整理（三）化簡(jiǎn)整理例例定長(zhǎng)為的線段，其兩端點(diǎn)定長(zhǎng)為的線段，其兩端點(diǎn)分別在軸和軸上滑動(dòng)，求該線段中分別在軸和軸上滑動(dòng)，求該線段中點(diǎn)

7、所形成的曲線方程點(diǎn)所形成的曲線方程（二）列式換標(biāo)（二）列式換標(biāo)（一）建系設(shè)標(biāo)（一）建系設(shè)標(biāo)（三）化簡(jiǎn)整理（三）化簡(jiǎn)整理（四）特殊說明（四）特殊說明【練習(xí)】：【練習(xí)】：1、已知線段、已知線段AB的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為10，動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到到A、B的距離的平方和為的距離的平方和為122，求動(dòng)點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的軌跡方程。方程。.2| MBMAMP2)2(22yyx281xy 281xy 例例4 已知一條曲線在已知一條曲線在x軸的上方，它上面的每一軸的上方，它上面的每一點(diǎn)到點(diǎn)點(diǎn)到點(diǎn)A（0，2）的距離減去它到）的距離減去它到x軸的距離的差軸的距離的差都是都是2，求這條曲線的方程，求這條曲線的方程.解：設(shè)點(diǎn)解：設(shè)點(diǎn)M（x,y）是曲線上任意一點(diǎn)，）是曲線上任意一點(diǎn)，MBx軸，垂足軸，垂足是是B（圖（圖731），那么點(diǎn)），那么點(diǎn)M屬于集合屬于集合由距離公式，點(diǎn)由距離公式，點(diǎn)M適合的條件可表示為：適合的條件可表示為：將將式移項(xiàng)后再兩邊平方，得式移項(xiàng)后再兩邊平方，得 x2+(y2)2=(y+2)2,化簡(jiǎn)得：化簡(jiǎn)得：因?yàn)榍€在因?yàn)榍€在x軸的上方，所以軸的上方，所以y0,雖然原點(diǎn)雖然原點(diǎn)O的坐標(biāo)（的坐標(biāo)（0，0）是這個(gè)方