電磁感應(yīng)微元法

1、電磁感應(yīng)中的“微元法”所謂：“微元法”所謂“微元法”，又叫“微小變量法”，是解物理題的一種方法。1.什么情況下用微元法解題？在變力作用下做變變速運(yùn)動(dòng)（非勻變速運(yùn)動(dòng)）時(shí)，可考慮用微元法解題。2. 關(guān)于微元法。在時(shí)間t很短或位移x很小時(shí)，非勻變速運(yùn)動(dòng)可以看作勻變速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)圖象中的梯形可以看作矩形，所以vt=x，lvt=lx=s。微元法體現(xiàn)了微分思想。3. 關(guān)于求和。許多小的梯形加起來(lái)為大的梯形，即小寫(xiě)，后面的S為大寫(xiě)），并且v=v-v0（注意：前面的s為s=S，當(dāng)末速度v=0時(shí)，有v=v，或初速度0v0=0時(shí)，有v=v，這個(gè)求和的方法體現(xiàn)了積分思想。4. 無(wú)論物理規(guī)律用牛頓定律，還是動(dòng)量定理或動(dòng)

2、能定理,都可以用微元法.如果既可以用動(dòng)量定理也可以用動(dòng)能定理解。對(duì)于使用老教科書(shū)的地區(qū)，這兩種解法用哪一種都行，但對(duì)于使用課程標(biāo)準(zhǔn)教科書(shū)的地區(qū)就不同了，因?yàn)檎n程標(biāo)準(zhǔn)教科書(shū)把動(dòng)量的內(nèi)容移到了選修3-5，如果不選修3-5，則不能用動(dòng)量定理解，只能用動(dòng)能定理解。 微元法解題，體現(xiàn)了微分和積分的思想，考查學(xué)生學(xué)習(xí)的潛能和獨(dú)創(chuàng)能力。 電磁感應(yīng)中的微元法一些以“電磁感應(yīng)”為題材的題目。可以用微元法解，因?yàn)樵陔姶鸥袘?yīng)中，如導(dǎo)體切割磁感線運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E=BLv，感應(yīng)電流為I=BLv，受安培力為RB2L2F=BIL=v，因?yàn)槭亲兞?wèn)題，所以可以用微元法. R1.只受安培力的情況例1. 如圖所示，寬度為

3、L的光滑金屬導(dǎo)軌一端封閉，電阻不計(jì)，足夠長(zhǎng)，水平部分有豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。質(zhì)量為m、電阻為r的導(dǎo)體棒從高度為h的斜軌上從靜止開(kāi)始滑下，由于在磁場(chǎng)中受安培力的作用，在水平導(dǎo)軌上滑行的距離為S而停下。（1） 求導(dǎo)體棒剛滑到水平面時(shí)的速度v0；（2） 寫(xiě)出導(dǎo)體棒在水平導(dǎo)軌上滑行的速度v與在水平導(dǎo)軌上滑行的距離x的函數(shù)關(guān)系，并畫(huà)出v-x關(guān)系草圖。（3）求出導(dǎo)體棒在水平導(dǎo)軌上滑行的距離分別為S/4、S/2時(shí)的速度v1、v2；解：（1v0=2gh。 B2L2v，安(2)設(shè)導(dǎo)體棒在水平導(dǎo)軌上滑行的速度為v時(shí)，受到的安培力為f=BIL=-R培力的方向與速度v方向相反。用微元法，安培力是變力，

4、設(shè)在一段很短的時(shí)間t內(nèi)，速度變化很小，可以認(rèn)為沒(méi)有變化，fB2L2=-v，很短的時(shí)間t所以安培力可以看做恒力，根據(jù)牛頓第二定律，加速度為a=mmRB2L2vt，而vt=x，那么在時(shí)間t內(nèi)速度的變化為內(nèi)速度的變化為v=at=-mRB2L2B2L2V=(-)vt，因?yàn)閤，所以V=(-)x，速度mRmRB2L2x v=v0+V=v0-mR2.既受安培力又受重力的情況例2. 2010年南京市高考模擬題如圖所示，豎直平面內(nèi)有一邊長(zhǎng)為L(zhǎng)、質(zhì)量為m、電阻為R的正方形線框在豎直向下的勻強(qiáng)重力場(chǎng)和水平方向的磁場(chǎng)組成的復(fù)合場(chǎng)中以初速度v0水平拋出，磁場(chǎng)方向與線框平面垂直，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨豎直向下的z軸按B=B0

5、+kz得規(guī)律均勻增大，已知重力加速度為g,求：（1） 線框豎直方向速度為v1時(shí)，線框中瞬時(shí)電流的大??；（2） 線框在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最大電功率；（3） 若線框從開(kāi)始拋出到瞬時(shí)速度大小到達(dá)v2所經(jīng)歷的時(shí)間為t，那么，線框在時(shí)間t內(nèi)的總位移大小為多少？解：（1）因在豎直方向兩邊的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小不同，所以產(chǎn)生感應(yīng)電流為e(B2-B1)Lv1kL2i= RRR(2)當(dāng)安培力等于重力時(shí)豎直速度最大，功率也就最大(B2-B1)2L2vmk2L4vm= mg=(B2-B1)IL=RRmgR所以vm=24 kLm2g2RPm=mgvm=24 kL（3）線框受重力和安培力兩個(gè)力，其中重力mg為恒力，安培力(B2-

6、B1)2L2vzk2L4vz=為變力，我們把線框的運(yùn)動(dòng)分解為在重力作用下的運(yùn)動(dòng)和f=RR在安培力作用下的運(yùn)動(dòng)。在重力作用下，在時(shí)間t 內(nèi)增加的速度為(v)1=gt，求在安培力作用下在時(shí)間t內(nèi)增加的速度為(v)2用微元法，設(shè)在微小時(shí)間t內(nèi)，變力可以看做恒力，變加速運(yùn)動(dòng)可以看做勻加速運(yùn)動(dòng)，加速k2L4vzk2L4vzt，而vzt=z，所以在時(shí)間度為a=-，則在t內(nèi)速度的增加為v=-mRmRt內(nèi)由于安培力的作用而增加的速度（因?yàn)樵黾恿繛樨?fù)，所以實(shí)際是減小）為k2L4(v)2=-mRk2L4z，所以(v)2=-mRzk2L4z。 再根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成，時(shí)間t內(nèi)總的增加的速度為(v)1+(v)2=gt-mR

7、k2L42222-v0z=v2從宏觀看速度的增加為v2-v0，所以gt-，得線框在時(shí)間t內(nèi)的總位mR移大小為z=22mR(gt-v2-v0)kL24。從例題可以看出，所謂微元法是數(shù)學(xué)上的微積分理念在解物理題中的應(yīng)用.3.重力和安培力不在一條直線上的情況例32008年高考江蘇省物理卷第15題如圖所示，間距為L(zhǎng)的兩條足夠長(zhǎng)的平行金屬導(dǎo)軌與水平面的夾角為，導(dǎo)軌光滑且電阻忽略不計(jì)場(chǎng)強(qiáng)為B的條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向與導(dǎo)軌平面垂直，磁場(chǎng)區(qū)域的寬度為d1，間距為d2兩根質(zhì)量均為m、有效電阻均為R的導(dǎo)體棒a和b放在導(dǎo)軌上，并與導(dǎo)軌垂直（設(shè)重力加速度為g）若a進(jìn)入第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，b以與a同樣的速度進(jìn)入第1個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域，

8、求b穿過(guò)第1個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域過(guò)程中增加的動(dòng)能Ek；若a進(jìn)入第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，b恰好離開(kāi)第1個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域；此后a離開(kāi)第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)，b 又恰好進(jìn)入第2個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域且ab在任意一個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域或無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)時(shí)間均相等求b穿過(guò)第2焦耳熱Q；對(duì)于第問(wèn)所述的運(yùn)動(dòng)情況，求ak個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速率v解：因?yàn)閍和b產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小相等，按回路方向相反，所以感應(yīng)電流為0，所以a和b均不受安培力作用，由機(jī)械能守恒得Ek=mgd1sin 設(shè)導(dǎo)體棒剛進(jìn)入無(wú)磁場(chǎng)區(qū)時(shí)的速度為v1,剛離開(kāi)無(wú)磁場(chǎng)區(qū)時(shí)的速度為v2,即導(dǎo)體棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)時(shí)的速度為v2,剛離開(kāi)磁場(chǎng)區(qū)時(shí)的速度為v1，由能量守恒得：112mv12+Q=mv2+mgd1si

9、n 221122 在無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域：mv2=mv1+mgd2sin 22解得：Q=mg(d1+d2)sin 在磁場(chǎng)區(qū)域有：用微元法設(shè)導(dǎo)體棒在無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域和有磁場(chǎng)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)時(shí)間都為t，在無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域有：v2-v1=gtsin v1+v2d2= 2t在有磁場(chǎng)區(qū)域，對(duì)a棒：F=mgsin-BIlBlv 且：I= 2RB2l2v解得: F=mgsin- 2R 且平均速度：因?yàn)樗俣葀是變量，用微元法根據(jù)牛頓第二定律, 在一段很短的時(shí)間t內(nèi)v=Ft mB2l2v則有v=gsin-t 2mR因?yàn)閷?dǎo)體棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)時(shí)的速度為v2,剛離開(kāi)磁場(chǎng)區(qū)時(shí)的速度為v1, 所以v=v1-v2, vt=d1，t=t B2l2d1 所

10、以：v1-v2=gtsin-2mR4mgRd2B2l2d1sin-聯(lián)立式,得v1= 228mRBld1（原答案此處一筆帶過(guò)，實(shí)際上這一步很麻煩，以下筆者給出詳細(xì)過(guò)程： B2l2d1代入得：t=， 4mgRsin8mgd2Rsin代入得：v1+v2= B2l2d14mgRd2B2l2d1+得：v1=。） sin-228mRBld1ab在任意一個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域或無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)時(shí)間均相等, 所以a穿出任一個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速率v就等于v1所以B2l2d1。 v=22sin-8mRBld14mgRd2（注意：由于ab在任意一個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域或無(wú)磁場(chǎng)區(qū)域的運(yùn)動(dòng)時(shí)間均相等，所以a穿出任一個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的速率v都相等，所以

11、所謂“第K個(gè)磁場(chǎng)區(qū)”，對(duì)本題解題沒(méi)有特別意義。） 練習(xí)題練習(xí)題1. 2007年高考江蘇省物理卷第18題如圖所示，空間等間距分布著水平方向的條形勻強(qiáng)磁場(chǎng)，豎直方向磁場(chǎng)區(qū)域足夠長(zhǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度，每一條形磁場(chǎng)區(qū)域的寬度及相鄰條形磁場(chǎng)區(qū)域的間距均為d=0.5m，現(xiàn)有一邊長(zhǎng)l=0.2m、質(zhì)量m=0.1kg、電阻0.1的正方形線框以v0=7m/s的初速?gòu)淖髠?cè)磁場(chǎng)邊緣水平進(jìn)入磁場(chǎng)，求（）線框邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)受到安培力的大小。（）線框從開(kāi)始進(jìn)入磁場(chǎng)到豎直下落的過(guò)程中產(chǎn)生的焦耳熱。（）線框能穿過(guò)的完整條形磁場(chǎng)區(qū)域的個(gè)數(shù)n。解：（1）線框邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì) E=Blv0=1.4V，感應(yīng)電流 I=E=14A，受到安培力的大小 =BIl=2.8N R12（2）水平方向速度為0，Q=mv0=2.45J 2（3）用“微元