高等數(shù)學復習資料集錦

1、高等數(shù)學期末復習資料高等數(shù)學（本科少學時類型）第一章 函數(shù)與極限第一節(jié) 函數(shù)函數(shù)基礎（高中函數(shù)部分相關知識）（） 鄰域（去心鄰域）（）U(a,)=x|x-a<U(a,)=x|0<x-a<第二節(jié) 數(shù)列的極限數(shù)列極限的證明（）【題型示例】已知數(shù)列xn，證明limxxn=a【證明示例】-N語言1由xn-a<化簡得n>g()， N=g()2即對>0，N=g()，當n>N時，始終有不等式xn-a<成立， limxxn=a第三節(jié) 函數(shù)的極限xx0時函數(shù)極限的證明（）【題型示例】已知函數(shù)f(x)，證明xlimxf(x)=A【證明示例】-語言1由f(x)-A&l

2、t;化簡得0<x-x0<g()， =g()2即對>0，=g()，當0<x-x0<時，始終有不等式f(x)-A<成立， xlimxf(x)=Ax時函數(shù)極限的證明（）【題型示例】已知函數(shù)f(x)，證明limxf(x)=A【證明示例】-X語言1由f(x)-A<化簡得x>g()， X=g()2即對>0，X=g()，當x>X時，始終有不等式f(x)-A<成立， limxf(x)=A第四節(jié) 無窮小與無窮大無窮小與無窮大的本質(zhì)（） 函數(shù)f(x)無窮小limf(x)=0函數(shù)f(x)無窮大limf(x)=無窮小與無窮大的相關定理與推論（）（定理三

3、）假設f(x)為有界函數(shù)，g(x)為無窮小，則limf(x)g(x)=0（定理四）在自變量的某個變化過程中，若f(x) 為無窮大，則f-1(x)為無窮??；反之，若f(x)為無窮小，且f(x)0，則f-1(x)為無窮大 【題型示例】計算：limxxf(x)g(x)0（或x）1f(x)M函數(shù)f(x)在x=x0的任一去心鄰域U(x0,)內(nèi)是有界的；（f(x)M，函數(shù)f(x)在xD上有界；） 2xlimxg(x)=0即函數(shù)g(x)是xx00時的無窮??； （limxg(x)=0即函數(shù)g(x)是x時的無窮??；）3由定理可知limxx0f(x)g(x)=0（limxf(x)g(x)=0）第五節(jié) 極限運算法則

4、極限的四則運算法則（） （定理一）加減法則 （定理二）乘除法則關于多項式p(x)、q(x)商式的極限運算設：p(x)=amm-10x+a1x+amq(x)=bnn-10x+b1x+bnn<則有l(wèi)imp(x)mxqx=a0n=m b00n>mf(x0)limf(x)gxg(x0)00xx=g(x0)=0,f(x0)0 0gx0g(x0)=f0(x0)=0（特別地，當limf(x)0xxx=0（不定型）時，通常分0g子分母約去公因式即約去可去間斷點便可求解出極限值，也可以用羅比達法則求解）【題型示例】求值limx-3x3x2-9【求解示例】解：因為x3，從而可得x3，所以原式=limx

5、-3x3x2-9=limx-3x3x+3x-3=lim11x3x+3=6其中x=3為函數(shù)f(x)=x-3x2-9的可去間斷點 倘若運用羅比達法則求解（詳見第三章第二節(jié)）：第1頁（共9頁）高等數(shù)學期末復習資料解：limx3x-311=lim=lim= 2'Lx3x3x-92x6(x2-9)'00(x-3)'1UsinUtanUarcsinUarctanUln(1+U)(eU-1)連續(xù)函數(shù)穿越定理（復合函數(shù)的極限求解）（） 2U1-cosU12（定理五）若函數(shù)f(x)是定義域上的連續(xù)函數(shù)，那么，limxxf(x)=flimxx(x) 00【題型示例】求值：limx-3x3x

6、2-9【求解示例】x3= =第六節(jié) 極限存在準則及兩個重要極限夾迫準則（P53）（）第一個重要極限：limsinxx0x=1 x 0,sinx2，sinx<x<tanxlimx0x=1 limx1lim1x0x0sinx=limx0sinx=1 xlimsinxx0 x（特別地，limsin(x-x0)x=1）x0x-x0單調(diào)有界收斂準則（P57）（）x第二個重要極限：lim1x1+x=e（一般地，limf(x)g(x)=xlimf(x)limg()，其中l(wèi)imf(x)>0）x+1【題型示例】求值：lim2x+3x 2x+1【求解示例】解：lim2x+3x+12x+1+2x+

7、12x+1x 2x+1=limx 2x+1=2xlim+11+2x+122x+122x+12x+1(x+1)=22x+1(x+1)2xlim+11+22x+1=22xlim+1 1+2x+122x+12xlim+1(x+1)=222x+1lim22x+1(x+1)2xlim+1 1+2x+1=e=e2xlim+12x+22x+1=e1=e第七節(jié) 無窮小量的階（無窮小的比較） 等價無窮?。ǎǔ顺商妫訙p不行）【題型示例】求值：limln(1+x)+xln(1+x)x0x2+3x【求解示例】解：因為x0,即x0,所以原式=limln(1+x)+xln(1+x)x0=lim(x2+3x1+x)l

8、n(1+x)xx+3=lim(1+x)xx0x0xx+3=limx+1x0x+3=13第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性 函數(shù)連續(xù)的定義（）xlimxf(x)=xlim0-x+f(x)=f(x0)間斷點的分類（P67）（）第一類間斷點（左右極限存在）跳越間斷點（不等）可去間斷點（相等）第二類間斷點無窮間斷點（極限為）（特別地，可去間斷點能在分式中約去相應公因式）【題型示例】設函數(shù)f(x)=e2xx<0a+x ，x0應該怎樣選擇數(shù)a，使得f(x)成為在R上的連續(xù)函數(shù)？【求解示例】f(0-)=e20-=e1=e1f0+=a+0+=a()f(0)=a2由連續(xù)函數(shù)定義xlim0-f(x)=xlim0+f(x)

9、=f(0)=e a=e第九節(jié) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 零點定理（）【題型示例】證明：方程f(x)=g(x)+C至少有一個根介于a與b之間 【證明示例】1（建立輔助函數(shù)）函數(shù)(x)=f(x)-g(x)-C在閉區(qū)間a,b上連續(xù)；2(a)(b)<0（端點異號）3由零點定理，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點，使得()=0，即f()-g()-C=0（0<<1） 4這等式說明方程f(x)=g(x)+C在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個根 第二章 導數(shù)與微分第一節(jié) 導數(shù)概念高等數(shù)學中導數(shù)的定義及幾何意義（P83）（）第2頁（共9頁）高等數(shù)學期末復習資料【題型示例】已知函數(shù)f(x)=ex+1 ，x

10、0ax+bx>0在x=0處可導，求a，b【求解示例】f-10f'(0)=e=1，(0-)=e0+1=e0+1=2-ff0+= +'(0)=a()bf(0)=e0+1=22由函數(shù)可導定義f-'(0)=f+'(0)=a=1(0)=f(0)=f(0)=b=2f-+a=1,b=2【題型示例】求y=f(x)在x=a處的切線與法線方程 （或：過y=f(x)圖像上點a,f(a)處的切線與法線方程） 【求解示例】1y'=f'(x)，y'|x=a=f'(a) 2切線方程：y-f(a)=f'(a)(x-a) 法線方程：y-f(a)=-1

11、f'a(x-a) 第二節(jié) 函數(shù)的和（差）、積與商的求導法則函數(shù)和（差）、積與商的求導法則（） 1線性組合（定理一）：(u±v)'=u'+v' 特別地，當=1時，有(u±v)'=u'±v' 2函數(shù)積的求導法則（定理二）：(uv)'=u'v+uv'3函數(shù)商的求導法則（定理三）： u'u'v-v=uv'v2第三節(jié) 反函數(shù)和復合函數(shù)的求導法則反函數(shù)的求導法則（）【題型示例】求函數(shù)f-1(x)的導數(shù)【求解示例】由題可得f(x)為直接函數(shù)，其在定于域D上單調(diào)、可導，且f&#

12、39;(x)0；f-1(x)'=1f'x 復合函數(shù)的求導法則（）【題型示例】設y=ln(e，求y'【求解示例】解：y'=(e'='ex2+a2' = e =earcsi第四節(jié) 高階導數(shù) f(n)(x)=f(n-1)(x)'（或dny(n-1)y'）dxn=ddxn-1（） 【題型示例】求函數(shù)y=ln(1+x)的n階導數(shù) 【求解示例】y'=11+x=(1+x)-1， y''=-1'(1+x)=(-1)(1+x)-2， y'''=-2'(-1)(1+x)=(-1)

13、(-2)(1+x)-3y(n)=(-1)n-1(n-1)！(1+x)-n第五節(jié) 隱函數(shù)及參數(shù)方程型函數(shù)的導數(shù) 隱函數(shù)的求導（等式兩邊對x求導）（） 【題型示例】試求：方程y=x+ey所給定的曲線C：y=y(x)在點(1-e,1)的切線方程與法線方程【求解示例】由y=x+ey兩邊對x求導 即y'=x'+(ey)'化簡得y'=1+eyy' y'=11-e1=11-e切線方程：y-1=11-e(x-1+e) 法線方程：y-1=-(1-e)(x-1+e)參數(shù)方程型函數(shù)的求導【題型示例】設參數(shù)方程x=(t)d2y=(t)，求ydx2dy'【求解示例

14、】1.dy'(t)d2y dxdx='t2.dx2='t 第六節(jié) 變化率問題舉例及相關變化率（不作要求）第七節(jié) 函數(shù)的微分基本初等函數(shù)微分公式與微分運算法則（） dy=f'(x)dx第三章 中值定理與導數(shù)的應用第一節(jié) 中值定理 引理（費馬引理）（） 羅爾定理（） 【題型示例】現(xiàn)假設函數(shù)f(x)在0,上連續(xù)，在(0,) 上可導，試證明：(0,)， 使得f()cos+f'()sin=0成立【證明示例】1（建立輔助函數(shù)）令(x)=f(x)sinx顯然函數(shù)(x)在閉區(qū)間0,上連續(xù)，在開區(qū)間(0,)上可導；第3頁（共9頁）高等數(shù)學期末復習資料2又(0)=f(0)s

15、in0=0()=f()sin=0即(0)=()=03由羅爾定理知(0,)，使得f()cos+f'()sin=0成立拉格朗日中值定理（）x【題型示例】證明不等式：當x>1時，e>ex1lnx解：limxlnx=lim=lim=lim'x0x0Lx0'x0x-1 1-2 xxx1=-limx=0ax0(lnx)'（一般地，limx(lnx)=0，其中,R）x0【證明示例】1（建立輔助函數(shù)）令函數(shù)f(x)=ex，則對x>1，-型（通分構造分式，觀察分母） 11顯然函數(shù)f(x)在閉區(qū)間1,x上連續(xù)，在開區(qū)間(1,x)上可導，并且f'(x)=ex

16、；2由拉格朗日中值定理可得，1,x使得等式ex-e1=(x-1)e成立， 又e>e1，ex-e1>(x-1)e1=ex-e，化簡得ex>ex，即證得：當x>1時，ex>ex 【題型示例】證明不等式：當x>0時，ln(1+x)<x 【證明示例】1（建立輔助函數(shù)）令函數(shù)f(x)=ln(1+x)，則對x>0，函數(shù)f(x)在閉區(qū)間0,x上連續(xù)，在開區(qū)間(0,)上可導，并且f'(x)=11+x； 2由拉格朗日中值定理可得，0,x使得等式ln(1+x)-ln(1+0)=11+(x-0)成立， 化簡得ln(1+x)=11+x，又0,x， f'(

17、)=11+<1，ln(1+x)<1x=x， 即證得：當x>1時，ex>ex第二節(jié) 羅比達法則運用羅比達法則進行極限運算的基本步驟（）1等價無窮小的替換（以簡化運算）2判斷極限不定型的所屬類型及是否滿足運用羅比達法則的三個前提條件 A屬于兩大基本不定型（00,）且滿足條件， 則進行運算：limf(x)f'(x)xagx=limxag'x （再進行1、2步驟，反復直到結(jié)果得出）B不屬于兩大基本不定型（轉(zhuǎn)化為基本不定型） 0型（轉(zhuǎn)乘為除，構造分式） 【題型示例】求值：limxx0lnx【求解示例】【題型示例】求值：limx0sinx-x【求解示例】解：lim1

18、1x-sinxxx0 sinx-x=limx0 xsinx=limx0 -sinxx200=0(x-sinx)'L'limx0=lim1-cosx(1-cosx)'sinx(x2)'x02x=L'limx0(=lim=02x)'x0200型（對數(shù)求極限法） 【題型示例】求值：limxx0x【求解示例】解：設y=xx,兩邊取對數(shù)得：lny=lnxx=xlnx=lnxx對對數(shù)取x0時的極限：limlnx(lnx)'x0(lny)=limx01=L'limx0x 1'x1=lim=-limx=0，從而有l(wèi)imy=limelny=

19、elimx0lnyx0-x0x0x0=e0=1x2 1型（對數(shù)求極限法）1【題型示例】求值：limxx0(cosx+sinx)【求解示例】解：令y=(cosx+sinx)1x,兩邊取對數(shù)得lny=ln(cosx+sinx)x,對lny求x0時的極限，limln(cosx+sinx)x0lny=limx0x=0ln(cosx+sinx)'cosx-sinx1-0L'limx0(=limx)'x0cosx+sinx=1+0=1,從而可得limy=limelny=exlim0lnyx0x0=e1=e0型（對數(shù)求極限法）tanx【題型示例】求值：lim1x0 x【求解示例】第4

20、頁（共9頁）高等數(shù)學期末復習資料1解：令y= xtanx1,兩邊取對數(shù)得lny=tanxln ,x1對lny求x0時的極限，limlny=limtanxln x0x0x1' lnx)(lnx=-lim=-lim=-lim2x0x01L'x0secx'1- 2tanxtanxtanxsin2x)'(sinx2sinxcosx=lim=lim=lim=0,x0x0xL'x0x'121-1<0，（x>0） 1+x(x)<(0)=02'(x)=3既證：當x>0時，ln(1+x)<x連續(xù)函數(shù)凹凸性（）【題型示例】試討論

21、函數(shù)y=1+3x2-x3的單調(diào)性、極值、凹凸性及拐點【證明示例】2y'=-3x+6x=-3x(x-2) 1 ''y=-6x+6=-6(x-1)x1=0,x2=2y'=-3x(x-2)=02令解得：x=1''y=-6x-1=0()從而可得limy=limelny=ex0x0x0limlny=e0=1運用羅比達法則進行極限運算的基本思路（）0000(2)(1)(3)-010通分獲得分式（通常伴有等價無窮小的替換）取倒數(shù)獲得分式（將乘積形式轉(zhuǎn)化為分式形式） 取對數(shù)獲得乘積式（通過對數(shù)運算將指數(shù)提前）第三節(jié) 泰勒中值定理（不作要求） 第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性

22、和曲線的凹凸性 連續(xù)函數(shù)單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）（） 【題型示例】試確定函數(shù)f(x)=2x-9x+12x-3的324函數(shù)y=1+3x-x單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(1,2)單調(diào)遞增區(qū)間為(-,0),(2,+)；函數(shù)y=1+3x2-x3的極小值在x=0時取到，為f(0)=1，極大值在x=2時取到，為f(2)=5；函數(shù)y=1+3x-x在區(qū)間(-,0),(0,1)上凹，在區(qū)間(1,2),(2,+)上凸； 函數(shù)y=1+3x2-x3的拐點坐標為(1,3)第五節(jié) 函數(shù)的極值和最大、最小值 函數(shù)的極值與最值的關系（）設函數(shù)f(x)的定義域為D，如果xM的某個鄰域U(xM)D，使得對xU(xM)，都適合不等式f(x

23、)<f(xM)，我們則稱函數(shù)f(x)在點xM,f(xM)處有極大值f(xM)；令xMxM1,xM2,xM3,.,xMn則函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上的最大值M滿足：單調(diào)區(qū)間【求解示例】1函數(shù)f(x)在其定義域R上連續(xù)，且可導 f'(x)=6x-18x+122232令f'(xx(-1x)(-2=)0)=6，解得：x1=1,x2=24函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為-,1,2,+； 單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2)x【題型示例】證明：當x>0時，e>x+1 【證明示例】1（構建輔助函數(shù)）設(x)=e-x-1，（x>0）x2'(x)=e-1>0，（x>0）

24、x(x)>(0)=03既證：當x>0時，e>x+1【題型示例】證明：當x>0時，ln(1+x)<x 【證明示例】1（構建輔助函數(shù)）設(x)=ln(1+x)-x，（x>0）xM=maxf(a),xM1,xM2,xM3,.,xMn,f(b)；設函數(shù)f(x)的定義域為D，如果xm的某個鄰域U(xm)D，使得對xU(xm)，都適合不等式f(x)>f(xm)，我們則稱函數(shù)f(x)在點xm,f(xm)處有極小值第5頁（共9頁）高等數(shù)學期末復習資料f(xm)；令xmxm1,xm2,xm3,.,xmn則函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上的最小值m滿足：(x)'(x)

25、dx=f(x)d(x)f【題型示例】求1a2+x2m=minf(a),xm1,xm2,xm3,.,xmn,f(b)；【題型示例】求函數(shù)f(x)=3x-x3在-1,3上的最值 【求解示例】1函數(shù)f(x)在其定義域-1,3上連續(xù)，且可導 f'(x)=-3x2+32令f'(x)=-3(x-1)(x+1)=0， 解得：x1=-1,x2=14又f-1=-2,f1=2,f3=-18 f(x)max=f(1)=2,f(x)min=f(3)=-18 第六節(jié) 函數(shù)圖形的描繪（不作要求）第七節(jié) 曲率（不作要求）第八節(jié) 方程的近似解（不作要求） 第四章 不定積分第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì) 原函數(shù)與

26、不定積分的概念（） 原函數(shù)的概念：假設在定義區(qū)間I上，可導函數(shù)F(x)的導函數(shù)為F'(x)，即當自變量xI時，有F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx成立，則稱F(x)為f(x)的一個原函數(shù)原函數(shù)存在定理：（）如果函數(shù)f(x)在定義區(qū)間I上連續(xù)，則在I上必存在可導函數(shù)F(x)使得F'(x)=f(x)，也就是說：連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù)（可導必連續(xù)） 不定積分的概念（）在定義區(qū)間I上，函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項C的原函數(shù)稱為f(x)在定義區(qū)間I上的不定積分，即表示為：f(x)dx=F(x)+C（稱為積分號，f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為積分表達式，x則稱為

27、積分變量）基本積分表（）不定積分的線性性質(zhì)（分項積分公式）（）k1f(x)+k2g(x)dx=k1f(x)dx+k2g(x)dx 第二節(jié) 換元積分法第一類換元法（湊微分）（） （dy=f'(x)dx的逆向應用）【求解示例】1a2+x2=112=12d x1x1+ xaa1+ xa=aarctana+Ca【題型示例】求【求解示例】1=2(2x+1)=(2x+1)=C第二類換元法（去根式）（）（dy=f'(x)dx的正向應用）對于一次根式（a0,bR）：t=，于是x=t2-ba， 則原式可化為t對于根號下平方和的形式（a>0）：x=atant（-2<t<2）， 于

28、是t=arctanxa，則原式可化為asect；對于根號下平方差的形式（a>0）：ax=asint（-2<t<2），于是t=arcsinxa，則原式可化為acost；bx=asect（0<t<2），于是t=arccosax，則原式可化為atant；【題型示例】求（一次根式） 【求解示例】t1x=22t-2ttdt=dt=t+C=Cdx=tdt【題型示例】求（三角換元）【求解示例】t(-x=asin2<t<2)t=arcsinxa2cos2tdt=a22(1+cos2t)dtdx=acosat=a22 t+12sin2t+C=a22(t+sintcost

29、)+C第三節(jié) 分部積分法 分部積分法（）設函數(shù)u=f(x)，v=g(x)具有連續(xù)導數(shù)，則其第6頁（共9頁）高等數(shù)學期末復習資料分部積分公式可表示為：udv=uv-vdu 分部積分法函數(shù)排序次序：“反、對、冪、三、指” 為一次因式(x-a)；而另一個多項式可以表示為2k(2)l運用分部積分法計算不定積分的基本步驟： 遵照分部積分法函數(shù)排序次序?qū)Ρ环e函數(shù)排序； 就近湊微分：（v'dx=dv） 使用分部積分公式：udv=uv-vdu 展開尾項vdu=vu'dx，判斷a若vu'dx是容易求解的不定積分，則直接計算出答案（容易表示使用基本積分表、換元法與有理函數(shù)積分可以輕易求解出

30、結(jié)果）； b若vu'dx依舊是相當復雜，無法通過a中方法求解的不定積分，則重復、，直至出現(xiàn)容易求解的不定積分；若重復過程中出現(xiàn)循環(huán)，則聯(lián)立方程求解，但是最后要注意添上常數(shù)Cexx2dx解：exx2dx=x2exdx=x2dex=x2ex-exd(x2)=x2ex-2xexdx=x2ex-2xd(ex)=x2ex-2xex+2exdx=x2ex-2xex+2ex+Cexsinxdx解：exsinxdx=-exd(cosx)=-excosx+cosxd(ex)=-excosx+excosxdx=-excosx+exd(sinx)=-excosx+exsinx-sinxd(ex)=-exco

31、sx+exsinx-exsinxdx即：exsinxdx=-excosx+exsinx-sinxd(ex)exsinxdx=12ex(sinx-cosx)+C 第四節(jié) 有理函數(shù)的不定積分 有理函數(shù)（）設：P(x)p(x)=am0x+am-11x+Qx=amqx=bnn-10x+b1x+bn對于有理函數(shù)P(x)Qx，當P(x)的次數(shù)小于Q(x)的次數(shù)時，有理函數(shù)P(x)Qx是真分式；當P(x)的次數(shù)大于Q(x)的次數(shù)時，有理函數(shù)P(x)Qx是假分式有理函數(shù)（真分式）不定積分的求解思路（）將有理函數(shù)P(x)Qx的分母Q(x)分拆成兩個沒有公因式的多項式的乘積：其中一個多項式可以表示二次質(zhì)因式x+p

32、x+q，（p-4q<0）； 即：Q(x)=Q1(x)Q2(x)一般地：mx+n=m nx+m，則參數(shù)a=-nm ax2+bx+c=abcx2+ax+a則參數(shù)p=ba,q=ca則設有理函數(shù)P(x)Qx的分拆和式為：P(x)P(x)P2(Qx=1x)(x-a)k+( x2+px+q)l其中P1(x)(x-a)k=A1A2Akx-a+(x-a)2+.+(x-a)kP2(x)N1M2x+N(x2+px+q)l=M1x+x2+px+q+2(x2+px+q)2+.+Mlx+Nl(x2+px+q)l參數(shù)AAM1M2Ml1,A2,.,k,N,1N,.,2N由待定系l數(shù)法（比較法）求出得到分拆式后分項積分

33、即可求解【題型示例】求x2x+1dx（構造法） 【求解示例】x2(x+1)x-(x+1)+1x+1=x+1dx= x-1+1x+1dx=xdx-dx+11x+1dx=2x2-x+ln(x+1)+C第五節(jié) 積分表的使用（不作要求）第五章 定積分極其應用第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì) 定積分的定義（）bnaf(x)dx=lim0f(i)xi=Ii=1（f(x)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達式，x則稱為積分變量，a稱為積分下限，b稱為積分上限，a,b稱為積分區(qū)間）定積分的性質(zhì)（） bf(x)dx=baaf(u)du第7頁（共9頁）【題型示例】求【求解示例】【題型示例】求【求解示例】高等數(shù)學期末復

34、習資料f(x)dx=0 kf(x)dx=kf(x)dxababaa（線性性質(zhì)）f(x)'(x)dx=af(x)d(x)21dx 【題型示例】求02x+1bbabak1f(x)+k2g(x)dx=k1af(x)dx+k2ag(x)dx（積分區(qū)間的可加性）bb【求解示例】解：baf(x)dx=f(x)dx+f(x)dxaccb若函數(shù)f(x)在積分區(qū)間a,b上滿足f(x)>0，211211dx=d(2x+1)=ln2x+1002x+1202x+121ln5=ln5-ln1=222（第二換元法）則baf(x)dx>0；（推論一）若函數(shù)f(x)、函數(shù)g(x)在積分區(qū)間a,b上滿足f(x)g(x)，則bf(x)dxbaag(x)dx；（推論二）bf(x)dxbaaf(x)積