高等數(shù)學經(jīng)典方法與典型例題歸納

1、2014年山東省普通高等教育專升本考試2014年山東專升本暑期精講班核心講義高職高專類高等數(shù)學經(jīng)典方法及典型例題歸納經(jīng)管類專業(yè)：會計學、工商管理、國際經(jīng)濟與貿(mào)易、電子商務理工類專業(yè)：電氣工程及其自動化、電子信息工程、機械設計制造及其自動化、交通運輸、計算機科學與技術、土木工程2013年5月17日星期五 曲天堯 編寫一、求極限的各種方法1約去零因子求極限例1：求極限【說明】表明無限接近，但，所以這一零因子可以約去。【解】=42分子分母同除求極限例2：求極限【說明】型且分子分母都以多項式給出的極限,可通過分子分母同除來求。【解】【注】(1 一般分子分母同除的最高次方；(2 3分子(母有理化求極限例

2、3：求極限【說明】分子或分母有理化求極限，是通過有理化化去無理式。【解】例4：求極限【解】【注】本題除了使用分子有理化方法外，及時分離極限式中的非零因子是解題的關鍵4應用兩個重要極限求極限兩個重要極限是和，第一個重要極限過于簡單且可通過等價無窮小來實現(xiàn)。主要考第二個重要極限。例5：求極限【說明】第二個重要極限主要搞清楚湊的步驟：先湊出，再湊，最后湊指數(shù)部分?！窘狻坷?：(1；(2已知，求。5用等價無窮小量代換求極限【說明】(1常見等價無窮小有：當 時,；(2 等價無窮小量代換,只能代換極限式中的因式；(3此方法在各種求極限的方法中應作為首選。例7：求極限【解】 .例8：求極限【解】6用洛必達法

3、則求極限例9：求極限【說明】或型的極限,可通過羅必塔法則來求?！窘狻俊咀ⅰ吭S多變動上顯的積分表示的極限，常用洛必達法則求解例10：設函數(shù)f(x連續(xù)，且，求極限【解】 由于,于是 =7用對數(shù)恒等式求極限 例11：極限 【解】 =【注】對于型未定式的極限，也可用公式=因為例12：求極限.【解1】 原式【解2】 原式8利用Taylor公式求極限 例13 求極限 .【解】 ,; .例14 求極限.【解】 .9數(shù)列極限轉化成函數(shù)極限求解例15：極限【說明】這是形式的的數(shù)列極限，由于數(shù)列極限不能使用洛必達法則，若直接求有一定難度，若轉化成函數(shù)極限，可通過7提供的方法結合羅必塔法則求解?！窘狻靠紤]輔助極限所

4、以，10n項和數(shù)列極限問題n項和數(shù)列極限問題極限問題有兩種處理方法(1用定積分的定義把極限轉化為定積分來計算;(2利用兩邊夾法則求極限.例16：極限【說明】用定積分的定義把極限轉化為定積分計算,是把看成0,1定積分?！窘狻吭嚼?7：極限【說明】(1該題遇上一題類似，但是不能湊成的形式，因而用兩邊夾法則求解；(2 兩邊夾法則需要放大不等式，常用的方法是都換成最大的或最小的?！窘狻恳驗橛炙?1單調(diào)有界數(shù)列的極限問題例18：設數(shù)列滿足（）證明存在，并求該極限；（）計算.【分析】 一般利用單調(diào)增加有上界或單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限的準則來證明數(shù)列極限的存在. 【詳解】 （）因為，則.可推得，則數(shù)列

5、有界.于是，（因當）， 則有，可見數(shù)列單調(diào)減少，故由單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限知極限存在.設，在兩邊令，得，解得，即.（）因，由（）知該極限為型， (使用了洛必達法則故.二、常見不定積分的求解方法的討論0. 引言不定積分是高等數(shù)學中的一個重要內(nèi)容，它是定積分、廣義積分、狹積分、重積分、曲線積分以及各種有關積分的函數(shù)的基礎，要解決以上問題，不定積分的問題必須解決，而不定積分的基礎就是常見不定積分的解法。不定積分的解法不像微分運算時有一定的法則，它要根據(jù)不同題型的特點采用不同的解法，積分運算比起微分運算來，不僅技巧性更強，而且也已證明，有許多初等函數(shù)是“積不出來”的，就是說這些函數(shù)的原函數(shù)不能用初

6、等函數(shù)來表示，例如（其中）；等。這一方面體現(xiàn)了積分運算的困難，另一方面也推動了微積分本身的發(fā)展。同時，同一道題也可能有多種解法，多種結果，所以，掌握不定積分的解法比較困難，下面將不定積分的各種求解方法分類歸納，以便于更好的掌握、運用。1. 不定積分的概念定義：在某區(qū)間I上的函數(shù)，若存在原函數(shù)，則稱為可積函數(shù)，并將的全體原函數(shù)記為,稱它是函數(shù)在區(qū)間I內(nèi)的不定積分，其中為積分符號，稱為被積函數(shù)，稱為積分變量。若為的原函數(shù)，則：=+C(C為積分常數(shù)。在這里要特別注意，不定積分是某一函數(shù)的全體原函數(shù)，而不是一個單一的函數(shù)，它的幾何意義是一簇平行曲線，也就是說：( 和 是不相等的，前者的結果是一個函數(shù)，

7、而后者是無窮多個函數(shù)，所以，在書寫計算結果時一定不能忘記積分常數(shù)。性質：1.微分運算與積分運算時互逆的。注：積分和微分連在一起運算時：>完全抵消。 >抵消后差一常數(shù)。2.兩函數(shù)代數(shù)和的不定積分，等于它們各自積分的代數(shù)和，即：=±。3.在求不定積分時，非零數(shù)可提到積分符號外面，即：=(0。在這里，給出兩個重要定理：(1導數(shù)為0的函數(shù)是常函數(shù)。(2若兩函數(shù)的導數(shù)處處相等，則兩函數(shù)相差一個常數(shù)。以便于更好的解決一些簡單的不定積分問題。上面將不定積分的概念以及性質做了簡單的介紹，下面，我們開始討論不定積分的各種求解方法。2. 直接積分法(公式法從解題方面來看，利用不定積分的定義來

8、計算不定積分是非常不方便的，利用不定積分的運算性質和基本積分公式從而直接求出不定積分，這種方法就是直接積分法(另稱公式法。下面先給出基本求導公式：(1 (2 (3 (4 (5 (6 (7 (8 (9 (10 (11 。根據(jù)以上基本求導公式，我們不難導出以下基本積分表：(1 (2 (3 (4 (5 (6 (7 (8 (9 (10 (11 。下面舉例子加以說明：例2.1： 求解 原式= = = =注意：這里三個積分常數(shù)都是任意的，故可寫成一個積分常數(shù)。所以對一個不定積分，只要在最后所得的式子中寫上一個積分常數(shù)即可，以后遇到這種情況不再說明。例2.2： 求解 原式=注：此處有一個技巧的方法，這里先稱

9、作“加1減1”法，相當于是將多項式拆分成多個單項式，然后利用基本積分公式計算，下面的例題中還會遇到類似的題型，遇到時具體講解。直接積分法只能計算較簡單的不定積分，或是稍做變形就可用基本積分表解決的不定積分，對于稍微復雜一點的不定積分便無從下手，所以，下面我們將一一討論其他方法。3. 第一類換元法(湊微法利用基本積分公式和積分性質可求得一些函數(shù)的原函數(shù)，但只是這樣遠不能解決問題，如就無法求出，必須將它進行變形，然后就可以利用基本積分公式求出其積分。如果不定積分用直接積分法不易求得，但被積函數(shù)可分解為，作變量代換，并注意到，則可將關于變量的積分轉化為關于的積分，于是有如果可以求出，不定積分的計算問

10、題就解決了，這就是第一類換元法(湊微分法。注：上述公式中，第一個等號表示換元，最后一個等號表示回代.下面具體舉例題加以討論例3.1：求.解 原式= 對變量代換比較熟練后，可省去書寫中間變量的換元和回代過程。例3.2：求.解 原式例3.3：求解 在這里做一個小結，當遇到形如：的不定積分，可分為以下3中情況：的：大于0時?？蓪⒃交癁?，其中，x1、x2為的兩個解，則原不定積分為： 等于0時?？衫猛耆椒焦剑缓罂苫?。然后根據(jù)基本微分公式(2便可求解。小于0時。形如例4，可先給分母進行配方。然后可根據(jù)基本積分公式(4便可求解。例3.4： 求 解 原式 該題也可利用三角函數(shù)之間的關系求解：原式

11、.雖然兩種解法的結果不同，但經(jīng)驗證均為的原函數(shù)，這也就體現(xiàn)了不定積分的解法以及結果的不唯一性。例3.5：求.解 例3.6：求.解 注：當被積函數(shù)是三角函數(shù)的乘積時，拆開奇次項去湊微分。當被積函數(shù)為三角函數(shù)的偶數(shù)次冪時，常用半角公式通過降低冪次的方法來計算；若為奇次，則拆一項去湊微，剩余的偶次用半角公式降冪后再計算。例3.7：求.解 原式 注：這里也就是類似例2所說的方法，此處是“減1加1”法。4. 第二類換元法如果不定積分用直接積分法或第一類換元法不易求得，但作適當?shù)淖兞刻鎿Q后，所得到的關于新積分變量的不定積分可以求得，則可解決的計算問題，這就是所謂的第二類換元(積分法。設是單調(diào)、可導函數(shù)，且

12、，又設具有原函數(shù)，則，其中是的反函數(shù)。注：由此可見，第二類換元積分法的換元與回代過程與第一類換元積分法的正好相反。例4.1：求不定積分.解 令，則，所以t為將變量 還原回原來的積分變量 ，由 作直角三角形，可知 ，代入上式，得 注：對本題，若令，同樣可計算。例4.2：求不定積分.解 令，則，所以例4.3：求不定積分.解 令，則，所以注：以上幾例所使用的均為三角代換，三角代換的目的是化掉根式，其一般規(guī)律如下：若果被積函數(shù)中含有時，可令，；如果被積函數(shù)中含有，可令，；如果被積函數(shù)中含有；可令，.例4.4：求不定積分解 令，則，所以，。.例4.5：求不定積分.解 (變形.令， .原式關于第二類換元法

13、，就舉些例子說明，具體要多做大量的習題，這樣才能找到該怎么樣換元的感覺，才能更好的掌握這種方法。5. 分部積分法前面所介紹的換元積分法雖然可以解決許多積分的計算問題，但有些積分，如、等，利用換元法就無法求解.接下來要介紹另一種基本積分法分部積分法.設函數(shù)和具有連續(xù)導數(shù)，則移項得到，所以有，或 .上面兩個式子稱為分部積分公式.利用分部積分公式求不定積分的關鍵在于如何將所給積分化成的形式，使它更容易計算.所采用的主要方法就是湊微分法，例如， 利用分部積分法計算不定積分，選擇好u,v非常關鍵，選擇不當將會使積分的計算變得更加復雜。下面將通過例題介紹分部積分法的應用。例5.1：求不定積分.解 令，則有

14、些函數(shù)的積分需要連續(xù)多次應用分部積分法。例5.2：求不定積分.解 令和，則.對后面的不定積分再用分部積分法，(運算熟練后，式子中不再指出u和v了，代入前式即得.注：若被積函數(shù)是冪函數(shù)(指數(shù)為正整數(shù)與指數(shù)函數(shù)或正(余弦函數(shù)的乘積，可設冪函數(shù)為u，而將其余部分湊微分進入微分符號，使得應用分部積分公式后，冪函數(shù)的冪次降低一次(冪指相碰冪為u。例5.3：求不定積分.解 令，,則注：若被積函數(shù)是冪指函數(shù)與對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的乘積,可設對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為u，而將冪函數(shù)湊微分進入微分號，使得應用分部積分公式后，對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)消失(冪對角(反三角函數(shù)，對角u.例5.4：求不定積分.解 (取三角函數(shù)為u(再取三角函數(shù)為u解得 注：若被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與正(余弦函數(shù)的乘積時，u,dv可隨意選取，但在兩次分部積分中，必須選用同類型的u，以便經(jīng)過兩次分部積分后產(chǎn)生循環(huán)式，從而解出所求積分(指正余，隨意選.下面將分部積分法關于u,dv的選擇總結成一個表，以便于更好學習，如下：分類不定積分類型和的選擇IIIIII或或6. 結論上面所介紹的都是常見不定積分的求解方法