高等數(shù)學(xué)李偉版課后習題答案第八章

1、習題81（A）1判斷下列論述是否正確，并說明理由：（1）一個點集的內(nèi)點一定屬于，其外點一定不屬于，其邊界點一定不屬于，其聚點一定屬于；（2）開集的所有點都是其內(nèi)點，開集也稱為開區(qū)域；（3）一個有界集一定能包含在以坐標原點為圓心，適當長的線段為半徑的圓內(nèi)；（4）考查二元函數(shù)的定義域時，應(yīng)從兩方面去考慮：用解析式表達的函數(shù)要考慮使該解析式有意義的所對應(yīng)的點的集合（自然定義域）對有實際意義的函數(shù)還應(yīng)該從自然定義域中找出使實際問題有意義的點集；（5）當沿某一條曲線趨于時，函數(shù)的極限存在，并不能說明極限存在，但如果當沿某一條使函數(shù)有定義的曲線趨于時，函數(shù)的極限不存在，則一定不存在；（6）為說明極限不存在

2、，通常也采取用當沿兩條不同曲線趨于時，函數(shù)的極限不相等的方法；（7）如果函數(shù)在點連續(xù)，點必須是函數(shù)定義域的內(nèi)點；（8）若是二元函數(shù)的間斷點，那么一定不存在答：（1）前兩者都正確，這是根據(jù)內(nèi)點、外點的定義；后兩者都不正確，無論是邊界點還是聚點它們都可以是的點，也可以是非的點，如當是閉集是，的邊界點是的點當是開集時的邊界點就不是的點；又如點 是集合的聚點，但是它不是的點（2）前者正確，這是有開集定義決定的；后者不正確，連通的開集才是開區(qū)域，不連通的開集不是開區(qū)域，如是開集，但是不是開區(qū)域（3）正確，這就是有界集的定義（4）正確，求多元函數(shù)的自然定義域如同一元函數(shù)的定義域，要從以下幾個方面考慮：分式

3、中分母不能為零，開偶次方底數(shù)要大于等于零，對數(shù)中真數(shù)要于零，、中要求， 若干個式子的四則運算中，取每個式子有意義的交集，等等（5）兩者都正確，如：不存在，但是沿取極限時值為1；后者是由極限的定義決定（6）正確，這是證明多元函數(shù)極限不存在的基本方法，它源于在中，是以（定義域內(nèi)的）任意方式實現(xiàn)的（7）不正確如：在點連續(xù)，但是點不是函數(shù)定義域的內(nèi)點（8）不正確如：點是函數(shù)的間斷點，但是極限2判定下列平面點集中哪些是開集、閉集、區(qū)域、有界集、無界集？并分別指出它們的聚點所組成的集合（稱為導(dǎo)集，用表示）和邊界：（1）； （2）；（3）； （4）解：（1）是有界閉區(qū)域，其導(dǎo)集，其邊界（2）是非開非閉的有界

4、區(qū)域，其導(dǎo)集，其邊界（3）是無界區(qū)域，其導(dǎo)集， （4）是有界開集（不是區(qū)域），其導(dǎo)集，其邊界3設(shè)函數(shù)，求，解：，4設(shè)函數(shù)，求解：5設(shè)函數(shù)，已知時，求及的表達式解：由時，有，即，所以；而6設(shè)函數(shù)，求的表達式解：（方法1）因為，所以（方法2）令，則，于是，所以7求下列各函數(shù)的定義域，并作定義域草圖：（1）； （2）；（3）； （4）解：（1）由且，得定義域 （2）由及，有，得定義域（3）由，有，得定義域（4）由，有，或，得定義域 8求下列極限：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6） 解：（1） （2） （3） （4）因為有界，而，所以 （5） （6）9證明下列極限不存在：（1）； （

5、2）證明：（1）沿取極限，則，當取不同值時，該極限值不同，所以極限不存在 （2）先沿取極限，則；再沿取極限，則，由于沿兩種不同方式取極限其極限值不同，所以極限不存在10找出下列函數(shù)的間斷點的集合：（1）； （2）； （3）解：三個函數(shù)都是初等函數(shù)，找間斷點只需找函數(shù)無定義的點，并且這些點又是定義域的聚點（1）函數(shù)只在點無定義，且是定義域的聚點，所以斷點的集合 （2）函數(shù)在圓周上無定義，且圓周上的點都是定義域的聚點，所以斷點的集合（3）函數(shù)的定義域，函數(shù)在及上無定義，這些點中只有，及（）是定義域的聚點，所以斷點的集合習題81（B）1某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品在甲、乙兩個市場銷售，銷售價格分別為（單位：

6、元），兩個市場的銷售量各自是銷售價格的均勻遞減函數(shù)，當售價為10元時，銷售量分別為2400、850件，當售價為12元時，銷售量分別為2000、700件如果生產(chǎn)該產(chǎn)品的成本函數(shù)是，試用表示該廠生產(chǎn)此產(chǎn)品的利潤解：根據(jù)已知，設(shè)，由時，；時，有得，于是由時，；時，有得，于是兩個市場銷售該產(chǎn)品的收入為，該產(chǎn)品的成本根據(jù)利潤等于收入減去成本，得2設(shè)函數(shù) 求函數(shù)值解：當時，則，于是；當時，則，于是3求函數(shù)的定義域解：由，有且，即且，或?qū)懽髑?；或且，即且，或?qū)懽髑?，所以定義域4求下列極限：（1）； （2）；（3）； （4）解：（1）令，則當時，所以或者：因為時，與是等價無窮小，所以 （2） （3）令，則當時

7、，（其中在區(qū)間內(nèi)任意變化），所以 （4）因為，而， ，根據(jù)“夾逼準則”得5證明極限不存在.證明：先沿取極限，再取極限，由于沿兩種不同方式取極限其極限值不同，所以極限不存在6討論函數(shù)的連續(xù)性解：當時，是連續(xù)函數(shù)當時，滿足的點是軸上點或軸上點，對軸上點，極限，這些點是函數(shù)的連續(xù)點對軸上點（除去），當時，極限不存在（極限不是零，震蕩），所以這些點是間斷點綜上，函數(shù)在點（）處不連續(xù)，其余點處都連續(xù)習題82（A）1判斷下列論述是否正確，并說明理由：（1）極限既是的一元函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)，也是二元函數(shù)在點處對變量的偏導(dǎo)數(shù)；（2）二元函數(shù)在某一點處連續(xù)是在這點偏導(dǎo)數(shù)存在的必要條件；（3）二元函數(shù)的兩個二階混合

8、偏導(dǎo)數(shù)與只要存在就一定相等答：（1）正確，這是根據(jù)導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)的定義（2）不正確，例如函數(shù)在點處連續(xù)，但是都不存在事實上：因為不存在，所以不存在；由變量的對稱性得，也不存在（3）不正確還需要與連續(xù)，否則它們不一定相等，如函數(shù) 在點處，從而事實上，特別，特別，2求下列函數(shù)對各個自變量的一階偏導(dǎo)數(shù)：（1）（）； （2）；（3）； （4）；（5）（）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10） 解：（1）將函數(shù)改寫為，則，（2），（3），（4）， （5）， （6），（7）， （8），由變量的對稱性，得 （9），（10）， 3求下列函數(shù)在指定點的偏導(dǎo)數(shù)：（1）設(shè)，求及；（2）設(shè)，求及解：（1）在時

9、，將函數(shù)改寫為，則， （2）因為，所以，因為，所以4求曲線在點處的切線與軸正向的夾角解：，用表示曲線在點處的切線與軸正向的夾角，則，所以5求下列函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)：（1）設(shè)，求，和；（2）設(shè)，求，和；（3）設(shè)，求，和解：（1），（2）， （3）， 6設(shè)函數(shù)，求，和解：因為，則，因為，則，7設(shè)函數(shù)，證明證明：因為，所以8設(shè)函數(shù)，證明證明：因為，所以9設(shè)函數(shù)，證明證明：因為，所以10若函數(shù)都可導(dǎo)，設(shè)，證明證明：因為，所以習題82（B）1設(shè)一種商品的需求量是其價格及某相關(guān)商品價格的函數(shù)，如果該函數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)，稱為需求對價格的彈性、為需求對價格的交叉彈性如果某種數(shù)碼相機的銷售量與其價格及彩色噴墨打印機的

10、價格有關(guān)，為，當，時，求需求對價格的彈性、需求對價格的交叉彈性解：由，有，當，時，需求對價格的彈性：， 需求對價格的交叉彈性：2已知滿足，證明證明：由，有，由，有，由，有，得3設(shè)函數(shù)，證明證明：將函數(shù)改寫為，則，由變量的對稱性，有，所以4設(shè)函數(shù)滿足，且，求解：由，兩邊同時對求不定積分，有，用代入該式，有，根據(jù)條件，得，于是上式兩邊同時再對求不定積分，有，由條件，得，所以 5設(shè)函數(shù)，求及解：， （或由變量的對稱性求得）6設(shè)函數(shù)證明在點處的兩個偏導(dǎo)數(shù)都不存在證明：因為極限不存在，極限不存在，所以在點處的兩個偏導(dǎo)數(shù)都不存在習題83（A）1判斷下列論述是否正確，并說明理由：（1）稱函數(shù)在可微分，如果在

11、這一點函數(shù)的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，并且，其中為函數(shù)在點的全增量，；（2）函數(shù)在一點可微分，它在這點必連續(xù)；（3）函數(shù)在一點可微分的充分必要條件是，在這點的偏導(dǎo)數(shù)都存在；（4）函數(shù)在一點的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，能保證在這點附近曲面可以用平面來近似替代，其中 答：（1）正確，可微的必要條件是兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，且，再根據(jù)，有，即，這就是函數(shù)可微的定義（2）正確，事實上，由可微，根據(jù)定義有，于是，這表明函數(shù)在該點連續(xù)（3）不正確，偏導(dǎo)數(shù)存在僅僅是可微的必要條件，而不是可微的充分條件，如函數(shù)在兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在且等于零（習題8-2（B）5），但是函數(shù)在不可微事實上，若可微，則，但是不存在（分別沿、取極限，其值為0及），這

12、與矛盾，所以函數(shù)在不可微函數(shù)可微的充分條件是偏導(dǎo)數(shù)在該點連續(xù)（4）正確，若記，則，由此得，這表明在點附近曲面可以用平面來近似替代，這就是所謂的局部線性化2求下列函數(shù)的全微分：（1）； （2）；（3）； （4）； （5）； （6） 解：（1）因為，所以 （2）因為，所以（3）因為，所以 （4）因為，所以（5）因為，所以 （6）因為，所以 3當，時，求函數(shù)的全微分和局部線性化解：因為，所以， 而，4當，時，求函數(shù)的全增量及全微分解：，當，時：全增量，全微分習題83（B）1一個圓柱形構(gòu)件受壓后發(fā)生形變，它的半徑由cm增加到cm，高由cm減少到cm，求此構(gòu)件體積變化的近似值解：設(shè)構(gòu)件的高為、底半徑為、

13、體積為，則，于是，當時， ( ，即體積大約減少了628 (2計算的近似值解：考慮函數(shù)，取，而，、，則3設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)可微，且，其中，求函數(shù)在點處的全微分及局部線性化解：在中，令，得在點考慮函數(shù)的全增量：，（其中）根據(jù)全微分的定義，有，并且得4設(shè)函數(shù) 在點處討論偏導(dǎo)數(shù)的存在性、偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性以及函數(shù)的可微性解：因為，所以在點處函數(shù)的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，且再討論可微性，函數(shù)在處的全增量用表示，則，記，則不存在（沿取極限，其值為；沿取極限，其值為），所以函數(shù)在點處不可微進而得偏導(dǎo)（函）數(shù)在點處不連續(xù)（若偏導(dǎo)（函）數(shù)在點處連續(xù)，根據(jù)可微的充分條件，則函數(shù)一點可微，與函數(shù)不可微矛盾）習題84（A）

14、1判斷下列論述是否正確，并說明理由：（1）對多元復(fù)合函數(shù)來說，欲求其對自變量的偏導(dǎo)數(shù)，借助于樹形圖比較方便不論中間變量是幾元函數(shù)，最終求出的偏導(dǎo)數(shù)所含的項數(shù)等于從因變量到達該自變量的路徑數(shù)目，某一項有幾個因式，取決于與該項相對應(yīng)的路徑中所含有的線段數(shù)目；（2）對于可微的復(fù)合函數(shù)，對于的偏導(dǎo)數(shù)；（3）利用全微分形式的不變性，對一個多元復(fù)合函數(shù)來說可以先求其全微分，最后再得出該復(fù)合函數(shù)對各自變量的偏導(dǎo)數(shù)答：（1）正確，這是復(fù)合函數(shù)的鏈式求導(dǎo)法則決定的，如若函數(shù)由函數(shù)復(fù)合而成，復(fù)合函數(shù)的樹形圖為右圖，而 在圖中我們可以看到從變量到變量有四條路徑，由此導(dǎo)數(shù)公式中有四項之和，而每一項中（如第一項）偏導(dǎo)數(shù)

15、或?qū)?shù)的個數(shù)（3個）等于這條路徑上從到段數(shù)（3段） （2）不正確，左、右式中的含義不同，左式中表示對自變量求導(dǎo)，它涉及圖中三個，而右式中的僅表示對中間變量（一）求導(dǎo)，（當某一個變量在復(fù)合函數(shù)中有雙重身份，既是自變量又是中間變量時會出現(xiàn)這種記號混淆情況），為了與左式中區(qū)別，此處應(yīng)當用記號（同時分別用）表示，即寫作 （3）正確，即若某個復(fù)合函數(shù)的全微分是（通常這個全微分是由微分法則與微分形式不變性求得），則、，這是多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的方法之一 2設(shè)函數(shù)，而，求解：（方法1）函數(shù)的復(fù)合關(guān)系如圖，則 （方法2）消去中間變量，有，按一元函數(shù)求導(dǎo)，得 （注：具體函數(shù)的復(fù)合函數(shù)都有以上兩種方法，并且方法2

16、簡單，但是本節(jié)的目的在于練習復(fù)合函數(shù)鏈式求導(dǎo)方法，所以后面只用方法1求導(dǎo)）3設(shè)函數(shù)而是的可微函數(shù)，求 解：4設(shè)函數(shù)，而，求解：5設(shè)函數(shù)，而，求和解：，6設(shè)函數(shù)，求和解：這是冪指函數(shù)求導(dǎo)，為方便求導(dǎo)，將它寫作復(fù)合函數(shù)，為此令，則，（注：可以由變量的對稱性直接寫出）7求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)（其中函數(shù)具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)）：（1）； （2）；（3）； （4）解：（1）， （2），（3），（4）， ， 8設(shè)函數(shù)，其中是可微函數(shù)，證明證明：因為，所以9設(shè)函數(shù)，其中是可微函數(shù)，證明證明：因為，所以10用微分形式不變性求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和解：令，則，則根據(jù)微分法則與微分形式不變性，得所以，習題84（B）1

17、在解偏微分方程（含有未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的方程，也稱為數(shù)理方程）時，常常要用變量代換將一個復(fù)雜的方程化為一個簡單的方程，從而可以求其解設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，若用變量代換將偏微分方程化為，求的值 解：，由，有，即，要化為，必須，且，由，即，得或，但是由，所以只能是2設(shè)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足，求.解：令，等式兩邊同時對求導(dǎo)，有， （*）由于，則（*）式化為，所以 3若函數(shù)有二階導(dǎo)數(shù)，且，又函數(shù)滿足方程，求解：令，則，于是，由，有，即，這是二階常系數(shù)線性齊次微分方程，特征方程是，特征根為，方程的通解是，由條件，有，得，所求所求函數(shù)是4若函數(shù)可微，且對任何正實數(shù)有，證明 證明：等式兩邊同時對導(dǎo)，則，記，

18、則上式為，令，得，將該式中的分別用表示，則，即 5求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)（其中函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）：（1）； （2）；解：（1），（2），6設(shè)，其中函數(shù)、有二階導(dǎo)數(shù)，求、及.解：，7設(shè)，其中函數(shù)、有二階導(dǎo)數(shù)，證明證明：因為，所以習題85（A）1判斷下列論述是否正確，并說明理由：（1）要使方程確定一個隱函數(shù)，如果將定理5.1中的條件換為而其它不變，則該方程仍能確定一個隱函數(shù)；（2）如果函數(shù)滿足類似于定理5.1的條件，對各個自變量有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且對某個變量的偏導(dǎo)數(shù)不為零，則元方程可以確定一個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的元函數(shù)；（3）若按照教材中的說法，一個方程組可以確定一組多元函數(shù)那么函數(shù)的個數(shù)等于方程組

19、中方程的個數(shù)，函數(shù)的元數(shù)等于方程中所含變量的總個數(shù)減去方程的個數(shù)；（4）若方程組能確定兩個二元隱函數(shù)那么通過對該方程組中的各個方程的兩邊對同一個變量求導(dǎo)，就可以得到含有的方程組，通過解這個方程組，就可以求得答：（1）不正確，如方程（其中），在點處有，但是它不能確定一個隱函數(shù)，因為在這點左側(cè)附近給定一個對應(yīng)有兩個值，在這點右側(cè)附近沒有值對應(yīng)；當且其它條件不變時，可以確定一個一元函數(shù)（2）正確，這是定理5.1的推廣（3）正確，但是要注意兩點，一是變量的個數(shù)需大于方程的個數(shù)（否則方程組可能只確定一點，或者無解）；二是要滿足隱函數(shù)存在的條件（超出教學(xué)要求，此處略去）（4）正確，如同例5.4、例5.5等

20、的解法2若函數(shù)分別由下列方程確定，求（1）； （2）；（3）； （4）解：（1）（方法1）設(shè)，則，所以（方法2）方程兩邊同時對求導(dǎo)，有，解得（注：兩種方法最大的差別在于：方法1中在求時都看作自變量，而方法2在求導(dǎo)過程中要看作的函數(shù)盡管方法1簡單一些，但是它有局限性，只適用于求一個方程確定的隱函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)，而方法2適用于各類隱函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)的求法，后面一般都按方法2作） （2）方程兩邊同時對求導(dǎo)，有，解得（3）方程兩邊同時對求導(dǎo)，有，得（4）方程兩邊取對數(shù)，有，該式兩邊同時對求導(dǎo)，有，即，解得3設(shè)函數(shù)分別由下列方程確定，求（1）； （2）解：（1）方程兩邊同時對求導(dǎo)，有，得，

21、（2）方程兩邊同時對求導(dǎo)，有，解得，4若函數(shù)分別由下列方程確定，求及（1）； （2）；（3）； （4）解：（1）（方法1）設(shè)，則，所以（方法2）方程兩邊對求導(dǎo)，有，得，方程兩邊對求導(dǎo)，有，得（以下都按方法2作）（2）方程兩邊同時對求導(dǎo)，有，得，方程兩邊同時對求導(dǎo)，有，得（或由變量的對稱性，得）（3）方程兩邊對求導(dǎo)，有，即，而，所以，得，由變量對稱性有（4）方程改寫為，方程兩邊對求導(dǎo)，有，得，方程兩邊對求導(dǎo)，有，得5若函數(shù)，都是由方程確定的隱函數(shù)，其中有一階連續(xù)非零的偏導(dǎo)數(shù)，證明證明：因為，所以6設(shè)函數(shù)，而函數(shù)由方程確定，求全導(dǎo)數(shù)解：方程兩邊同時對求導(dǎo)，有，得， 7設(shè)函數(shù)，而函數(shù)、分別由方程及確

22、定，求全導(dǎo)數(shù)解：方程兩邊同時對求導(dǎo)，有，得，方程兩邊同時對求導(dǎo)，有，得，所以8設(shè)函數(shù)，而由方程確定，求解：方程兩邊同時對求導(dǎo)，有 ，用、代入，有，得于是，所以習題85（B）1某工件的外表面是一個橢球面，方程由給出，現(xiàn)在點處要將其局部線性化（即做一個切平面），求局部線性化表達式解：設(shè)方程在點確定的隱函數(shù)為，方程兩邊對求導(dǎo)，有，用、代入，有，得，由變量對稱性，得所以2若函數(shù)由方程確定，求解：方程兩邊對求導(dǎo)，有，得，由變量的對稱性，得等式兩邊同時對求導(dǎo)，有，即所以或3若函數(shù)由方程確定，其中是可微函數(shù)，求、解：方程兩邊同時對求導(dǎo)，有，解得，方程兩邊同時對求導(dǎo)，有，解得 4若函數(shù)由方程確定，其中是可微函

23、數(shù)，證明證明：方程兩邊同時對求導(dǎo)，有，得，方程兩邊同時對求導(dǎo)，有，得，所以5設(shè)函數(shù)，而由方程確定，其中函數(shù)連續(xù)，、可微，且，求解：方程兩邊對求導(dǎo)，有，得，方程兩邊對求導(dǎo)，有，得，所以 6求由下列方程組所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)：（1） 求和（2） 求及解：（1）方程組兩邊同時對求導(dǎo)，有消去，有，得，而（2）方程組兩邊同時對求導(dǎo)，有（1）（2），有，得，再代入到（2）之中得方程組兩邊同時對求導(dǎo)，有與前面解法類似，得，習題86（A）1判斷下列論述是否正確，并說明理由：（1）如果曲線的參數(shù)方程為 （），那么它就對應(yīng)一個向量值方程若存在并且不同時為零，那么，曲線在相應(yīng)點處的切向量為，由此利用直線的點向式

24、方程就可寫出該點處的切線方程；（2）求曲線的切線方程與法平面方程的關(guān)鍵是求切向量，而其中又以參數(shù)方程為基礎(chǔ)，其它形式的曲線方程都劃歸為參數(shù)方程，找出相應(yīng)的切向量，然后寫出要求的方程；（3）曲面的切平面方程是以曲面的一般方程為基礎(chǔ)進行討論的，如果曲面方程為的形式，那么必須把它化為的形式，其中，因而它在點處的法向量一定為，切平面方程為：；（4）如果曲線為一般方程那么，曲線在點的切向量可取為答：（1）正確，這就是曲線為參數(shù)方程時，切線方向向量的求法此時切線方程為；法平面方程為（2）正確，對參數(shù)方程，在處的切向量；對形如的取向方程，將變量看作參數(shù)，在處的切向量對一般方程按隱函數(shù)它可以確定兩個一元函數(shù)，

25、如 ，按隱函數(shù)求導(dǎo)方法得到，從而得在處的切向量（3）不確切，曲面的法向量可以直接由給出，也可以由給出（4）正確，設(shè)曲面在點處的法向量為，曲面在點處的法向量為，根據(jù)法平面的定義有，于是可取2空間一質(zhì)點在時刻時的位置為，求質(zhì)點在時刻的速度解：3求曲線在點處的切線及法平面方程解：點對應(yīng)參數(shù)為，切向量，切線方程為，法平面方程為，即4求曲線，在對應(yīng)于的點處的切線及法平面方程解：切點為，切向量，切線方程為，法平面方程為，即5求曲線在點處的切線及法平面方程解：，切向量，切線方程為，法平面方程為，即6求曲線在點處的切線及法平面方程解：設(shè)，則切向量，切線方程為，法平面方程為，即7求曲面在點處的切平面及法線方程解

26、：設(shè)，則法向量，切平面方程是，即，法線方程是8求曲面在點處的切平面及法線方程解：法向量切平面方程是，即，法線方程是習題86（B）1求曲線（）上平行于平面的切線方程，并寫出該點處的法平面方程解：設(shè)切點坐標為，該點對應(yīng)參數(shù)，曲線在該點的切向量為，由切線與平面平行，有，得，即，由于，所以切點坐標為，切向量，切線方程為，法平面方程為，即2在橢球面上求平行于平面的切平面方程 解：設(shè)切點坐標為，則法向量，由切平面平行于平面，有，即，代入到曲面方程之中，有，得，切點為或，在點，切平面為，即；在點，切平面為，即3問旋轉(zhuǎn)拋物面上哪一點處的切平面過曲線，在點處的切線解：設(shè)切點坐標為，則法向量，切平面方程為，即曲線

27、，在點對應(yīng)參數(shù)，曲線在點處的切向量由在曲面上，有 由切平面過，有 曲線，在點處的切線在切平面上，有所以，即 由方程、式解得或，于是所求點為或4證明二次曲面在點處的切平面方程為：證明：設(shè)，則曲面在的法向量，切平面方程為，即5證明曲面（）上任一點處的切平面與三個坐標面圍成的立體體積為定值證明：設(shè)是曲面上任一點，則曲面在處的法向量，切平面方程為，即，改寫為截距式方程切平面與三個坐標面圍成的立體體積為（定值）習題87（A）1判斷下列論述是否正確，并說明理由：（1）所謂函數(shù)在點沿的方向?qū)?shù)，是說若函數(shù)在點的某鄰域有定義，是過的直線，當動點沿變動時，函數(shù)相應(yīng)的變化率；（2）在方向?qū)?shù)的定義中，分母是一個正

28、數(shù)，它是動點與定點間的距離，因此，方向?qū)?shù)是函數(shù)關(guān)于距離的變化率，而偏導(dǎo)數(shù)的定義中，分母是自變量的增量，它可正可負，因此，偏導(dǎo)數(shù)是函數(shù)關(guān)于自變量增量的變化率；（3）當函數(shù)在一點的偏導(dǎo)數(shù)存在時，函數(shù)在這點沿任何方向的方向?qū)?shù)都存在；（4）當函數(shù)在一點沿任何方向的方向?qū)?shù)都存在時，函數(shù)在這一點的偏導(dǎo)數(shù)一定存在；（5）某函數(shù)的梯度是一個向量，在函數(shù)確定的情況下，它僅由點來決定；（6）函數(shù)在一點處沿各個不同方向的方向?qū)?shù)可能是不同的，它與這點的梯度有關(guān)，還與方向與梯度的夾角有關(guān)答：（1）不正確，在方向?qū)?shù)中，是以為起點的向量，方向?qū)?shù)是函數(shù)沿方向上的變化率，而不是沿直線上的變化率（2）正確，正是因為，

29、才表明這方向?qū)?shù)是函數(shù)沿方向上的變化率，就是方向?qū)?shù)的實際意義另外要注意在方向?qū)?shù)的定義中，動點要在射線上（3）不正確，如函數(shù)在點處兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，但是在點處沿方向上的方向?qū)?shù)不存在事實上，即在點處兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在但是，因為極限（其中?。┎淮嬖冢栽邳c處沿方向上的方向?qū)?shù)不存在(其實本例在原點處只要不沿平行于坐標軸及直線方向，其方向?qū)?shù)都不存在當函數(shù)在某點可微或偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，才能保證在該點沿任何方向上的方向?qū)?shù)存在（4）不正確，如函數(shù)在點兩個偏導(dǎo)數(shù)都不存在（前面證明過），但是它在在沿任何方向上的方向?qū)?shù)都存在，且等于1事實上，對任何，（5）正確，這是由梯度定義確定的（6）正確，事實上，函數(shù)在

30、沿方向上的方向?qū)?shù)可以寫為,其中是方向與梯度的夾角，由此可見它與這點的梯度有關(guān)，還與方向與梯度的夾角有關(guān)2求函數(shù)在點處沿從到方向上的方向?qū)?shù)解：，的單位向量，（即），所以3求函數(shù)在原點處沿與軸正向成角的方向上的方向?qū)?shù)解：，由對稱性，所以4求函數(shù)在點處沿點的向徑方向上的方向?qū)?shù)解：，的單位向量，所以5求下列函數(shù)的梯度：（1），在點處； （2），在任意點處；（3），在任意點處；解：（1） （2）（3）因為， ，所以6問函數(shù)在點處沿什么方向的方向?qū)?shù)最大？沿什么方向的方向?qū)?shù)最??？解：因為、，所以，根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系：沿梯度方向方向?qū)?shù)最大，沿梯度反方向方向?qū)?shù)最小，得沿方向的方向?qū)?shù)最大，

31、且最大的方向?qū)?shù)是；沿方向的方向?qū)?shù)最小，且最小的方向?qū)?shù)是習題87（B）1在點處，求函數(shù)沿拋物線在該點處的切線方向上的方向?qū)?shù) 解：由，有，拋物線在點處的切向量，所以2求函數(shù)在點處沿球面在點處的內(nèi)法向方向上的方向?qū)?shù) 解：設(shè)，球面在點處的法向量為，如圖，球面在處的內(nèi)法向量與軸夾銳角，有，所以內(nèi)法向量是，取，則3設(shè)函數(shù)和有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明（1） gradgradgrad；（2） gradgradgrad； （3） gradgrad證明：（1）gradgradgrad（2）gradgradgrad（3）gradgrad4求函數(shù)在任意點處沿函數(shù)在該點的梯度方向上的方向?qū)?shù)解：，所以或者，因為，所以

32、習題88（A）1判斷下列論述是否正確，并說明理由：（1）對于可微分的函數(shù)，滿足方程組的點（也即駐點）就是該函數(shù)的極值點；（2）二元函數(shù)的極值點一定是函數(shù)定義域的內(nèi)點，而且可能是駐點或偏導(dǎo)數(shù)不存在的點但是這些點僅僅是“可疑點”，還要利用定理8.2（充分條件）去判斷；（3）連續(xù)函數(shù)在有界閉區(qū)域上一定存在最大值與最小值，最值點一定是極值點；（4）用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值時，要首先找到目標函數(shù)和約束條件，然后構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，問題就轉(zhuǎn)化為求該拉格朗日函數(shù)的普通（無條件）極值問題答：（1）不正確，如在點是函數(shù)的駐點，但是它不是極值點（2）不確切，在極值的定義中要求極值點一定是函數(shù)定義域的內(nèi)點，并且對于

33、偏導(dǎo)數(shù)存在的函數(shù)定理8.1保證了極值點一定是駐點，而例子說明了極值點也可以是偏導(dǎo)數(shù)不存在點；對于偏導(dǎo)數(shù)不存在的點不能用定理8.2判斷，要通過極值定義判斷，并且對于駐點，當時，也需要用極值定義判斷（3）不正確，雖然有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)一定存在最大值與最小值，但是最值點可以在的邊界上取得，這時它就不是極值點（4）不確切，用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值時，只是通過拉格朗日函數(shù)找目標函數(shù)的可能極值點，而不是求拉格朗日函數(shù)的極值對于這樣的可能極值點，到底是不是目標函數(shù)的極值點？一般是通過實際意義判定，別個題目也可以用“有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)一定存在最大值、最小值”來判定2求下列函數(shù)的極值：（1）； （2）；（

34、3）； （4）解：（1）定義域為全平面，并且函數(shù)處處可微由得唯一駐點，根據(jù)二元函數(shù)極值的充分條件，點是函數(shù)的極大值點，極大值為，該函數(shù)無極小值（2）定義域為全平面，并且函數(shù)處處可微由即得函數(shù)的所有駐點是，對上述諸點列表判定：所以函數(shù)的極大值為，極小值為（3）定義域為全平面，并且函數(shù)處處可微由得唯一駐點，、，根據(jù)二元函數(shù)極值的充分條件，點是函數(shù)的極小值點，極小值，該函數(shù)無極大值（4）定義域為全平面，函數(shù)處處可微由得唯一駐點由于在點處函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)不存在，不能用定理8.2判定，為此根據(jù)極值的定義，當（即非點）時，所以點是該函數(shù)的極大值點，極大值為，該函數(shù)無極小值3在附加條件：下，求函數(shù)的極值解：

35、由條件，有，代入到目標函數(shù)之中，得由，得一元函數(shù)的唯一駐點，此時，而，所以是一元函數(shù)的極小值點，所以當、時二元函數(shù)在附加條件下取得極小值，且極小值為，該函數(shù)在附加條件下無極大值（注：該題目不能用拉格朗日乘數(shù)法求解，否則無法判定，除非從幾何意義）4（1）用鐵板做一個容積為8（m3）的長方體有蓋水箱，問如何設(shè)計最省材料？（2）用面積為12（m2）鐵板做一個長方體無蓋水箱，問如何設(shè)計容積最大？解：（1）設(shè)水箱的長、寬、高分別為，表面積為，則目標函數(shù)為（），附加條件是設(shè)（），由 得唯一可能極值點，根據(jù)實際意義，當長方體體積一定是其表面積有最小值，所以當長、寬、高都為2（m）時最省材料（此時用(24）m

36、2的鐵板） （注：可按下面解法找可能極值點：在上面方程組中，前兩個方程寫為該兩個方程作比值，有，得，同樣由第二、三方程得，再代入到之中，就得到，這種求解法在拉格朗日乘數(shù)法中經(jīng)常使用）(2 設(shè)水箱的長、寬、高分別為，體積為，則目標函數(shù)為（），附加條件是設(shè)（），由 得唯一可能極值點，根據(jù)實際意義，當長方體表面積一定是其體積有最大值，所以當長、寬都為2（m），高為1（m）時無蓋長方體水箱容積最大(此時體積為4（m3） 5在面上求一點，使得該點到兩坐標軸及直線的距離平方和最小解：設(shè)所求點為，則目標函數(shù)為（），由即得唯一可能極值點，由實際意義，一點到三條直線距離平方和有最小值，所以所求點為6在斜邊長為的

37、直角三角形中，求周長最大的三角形及其周長解：設(shè)兩直角邊長分別為，三角形周長為，則目標函數(shù)是（），附加條件為設(shè)，由在時得唯一可能極值點，由實際意義，斜邊長為一定的直角三角形中，周長有最大值，所以當兩直角邊長都為（即等腰直角三角形）時，其周長最大，且最大周長為7在半徑為3的半球內(nèi)，以半球的底面為一個側(cè)面，求內(nèi)接長方體的最大體積解：如圖取坐標，設(shè)第一卦限的內(nèi)接點為，內(nèi)接長方體體積為體積，則目標函數(shù)為（），附加條件是設(shè)，由 在得唯一可能極值點，由實際意義，半球的內(nèi)接長方體體積有最大值，所以當?shù)谝回韵薜膬?nèi)接點為時，內(nèi)接長方體體積最大，且最大體積值為8求函數(shù)在閉區(qū)域上的最小值與最大值解：先找區(qū)域內(nèi)部的可能

38、極值點，由得駐點，且再求函數(shù)在區(qū)域邊界上的最值，設(shè)，由得可能極值點（）、（），在這些點上函數(shù)值為、，于是函數(shù)在邊界上的最小值為，最大之為比較、及，得函數(shù)在閉區(qū)域上的最小值為，最大值為習題88（B）1某商家通過報紙及電視兩種媒體做某商品廣告 如果銷售收入，其中（單位：萬元）為報紙廣告費用，（單位：萬元）為電視廣告費用（1）在不限定廣告費用時，求最優(yōu)廣告策略；（2）若限定廣告費用為1.5萬元時，求最優(yōu)廣告策略解：用表示銷售收入減去廣告費用，則， .（1）由 得唯一駐點，由實際意義有最大值，所以在不限定廣告費用時，當報紙廣告費為0.75萬元，電視廣告費為1.25萬元時，廣告策略最優(yōu)（2） 當廣告費用

39、限定為1.5萬元時，即約束條件是，設(shè)，由 得唯一可能極值點，由實際意義有最大值，所以在限定廣告費用為1.5萬元時，將其全部用于做電視廣告，廣告策略最優(yōu)2設(shè)函數(shù)由方程確定，求的最小值與最大值解：方程兩邊同時對求導(dǎo)，有， 方程兩邊同時對求導(dǎo)，有， 令，由、式得駐點將代入到原方程之中，有，得或，不難知道方程的圖形是橢球面（），由于橢球面是有界閉曲面，它的豎坐標一定有最小值與最大值，所以的最小值是，最大值是3求橢圓上豎坐標的最小值與最大值解：目標函數(shù)為，附加條件是，及設(shè)，由 得可能極值點，由于橢圓是有界閉曲線，它的豎坐標一定有最小值與最大值，所以當時最小，且最小值為，當時最大，且最大值為4求橢圓的短半

40、軸與長半軸解：由橢圓方程不難看到橢圓中心的橫、縱坐標分別為，又橢圓在平面上，因此橢圓中心的豎坐標，即橢圓中心是設(shè)點是橢圓上任一點，取目標函數(shù)為，附加條件是及設(shè)，由 得可能極值點是，又，而橢圓上點到橢圓中心的距離一定存在最小值與最大值，所以是這個距離的最小值，也就是橢圓的短半軸，同理橢圓的長半軸是5設(shè)是個正數(shù)，用條件極值證明它們的算術(shù)平均值不小于幾何平均值，即證明：先求函數(shù)（）在條件下的最大值，為此設(shè)，由 在時，得唯一可能極值點由函數(shù)在維空間中的有界閉“球面”上連續(xù)，它一定有最小值與最大值，而最小值為0，在某一個自變量為，其余自變量為零時取得，因此點是該問題的最大值點，最大值為，即對任何正數(shù)，當

41、它們滿足時有對任何正數(shù)(，設(shè)，并記，由 ，即，有，即（注：上面解法是按一般教科書中提示方法證明的， 其實更好的作法是求函數(shù)（）在條件 下的最大值（其中（）是為空間中有界閉“平面”），證明過程與上面類似，但是證明過程要簡單一些）總習題八1填空題：（1）曲線在點（處的切線對于軸的傾角 ；（2）設(shè)函數(shù)，則 ；（3）設(shè)函數(shù)由方程確定，其中是可微函數(shù)，則 ；（4）曲線在點處的法平面方程是 ；（5）函數(shù)在圓域：上的最小值 ，最大值 解：（1）由 則 于是，從而，所以，填： （2）因為，所以，填： （3）方程兩邊同時對求導(dǎo)，有，解得，填： （4）由，得點對應(yīng)參數(shù)，切向量 ，法平面方程為 即，填： （5）由在

42、區(qū)域的內(nèi)部得駐點，且，而在區(qū)域的邊界上，函數(shù)恒為1，所以函數(shù)在區(qū)域上的最大值，而最小值，填： 2單項選擇題：（1）若函數(shù)，則（ ）；（A） （B） （C） （D）（2）設(shè)函數(shù)，在原點處及（ ）；（A）都不存在 （B） 都存在，但不相等（C）都存在，且都等于0 （D） 都存在，且都等于1 （3）函數(shù)的兩個偏導(dǎo)數(shù)及在點處存在，是函數(shù)在點可微的（ ）條件；（A）充分 （B）必要 （C）充分必要 （D）無關(guān)（4）函數(shù)在點處兩個偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是函數(shù)在點處沿任意方向上的方向?qū)?shù)存在的（ ）條件；（A）充分 （B）必要 （C） 充分必要 （D）無關(guān)（5）設(shè)函數(shù)及都可微，且；若點是函數(shù)在約束條件下的一個極值點，則

43、（ ） (A 當時，必有(B 當時，必有(C 當時，必有(D 當時，必有解：（1）選D，事實上：由，有，于是 （2）選A，事實上：因為不存在，所以不存在，由變量的對稱性，也不存在 （3）選B，事實上：函數(shù)在某點可微的必要條件是函數(shù)在這點有偏導(dǎo)數(shù)，可微的充分條件是是函數(shù)在這點有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) （4）選A，事實上：由偏導(dǎo)數(shù)在點連續(xù)，得函數(shù)一定在點可微，而函數(shù)在點可微是函數(shù)在點沿任意方向上的方向?qū)?shù)存在的充分條件，所以偏導(dǎo)數(shù)在點連續(xù)也是函數(shù)在點沿任意方向上的方向?qū)?shù)存在的充分條件 （5）選D，事實上：由點是函數(shù)在約束條件下的一個極值點，則是一元函數(shù)的極值點，于是有， （*）當時，要使（*）式成立，不一

44、定需要，可以是；當時，要使（*）式成立，不一定需求；當時，如果，則（*）式一定不成立；當時，要使（*）式成立，一定要有所以只有D是一定成立的，C是一定不成立的，而A、B可能成立，也可能不成立3設(shè)函數(shù)，證明證明：4證明極限不存在證明：先沿取極限，再沿取極限，因為兩種不同方式的極限值不同，所以極限不存在5設(shè)函數(shù) 證明在點連續(xù)，且偏導(dǎo)數(shù)存在，但是函數(shù)不可微證明：令，則，所以函數(shù)在點連續(xù)，由變量的對稱性，所以在點函數(shù)的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，且都為零因為（事實上該極限不存在，沿取極限，有），所以函數(shù)在點不可微6設(shè)函數(shù)，求，和解：，由變量的對稱性，得，而7設(shè)函數(shù)，求及解：，8設(shè)函數(shù)，證明證明：因為，所以9設(shè)函

45、數(shù)，且當時，求、.解：由當時，有，即，所以，10設(shè)函數(shù)（其中可微），又，求.解： 11設(shè)函數(shù)由方程確定，求解：方程同時求微分，有，即，解得12設(shè)函數(shù)，其中可導(dǎo)，證明. 證明：因為，所以13設(shè)函數(shù)由方程確定，其中 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明證明：方程兩邊同時求微分，有，解得，于是，所以14若函數(shù)可微，而函數(shù)由方程確定，證明證明：方程兩邊同時求微分，有，解得，于是，所以15設(shè)，其中函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求、及.解：，16設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，將式子轉(zhuǎn)化為極坐標形式解：由，有，、， ， 、式相加得， 17若函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，以，為自變量，改寫方程 解：，于是 ，所以化為，即，也就是18若函數(shù)滿足，求二次可微函數(shù)解：令，則，由變量的對稱性，有，于是，則方程化為，改寫為，兩邊同時對求不定積分，得，即，再積分得，（其