高等數(shù)學(xué)(本科)第一章課后習(xí)題解答

1、習(xí)題1.11. 求下列函數(shù)的定義域.（1） y=3x-4x2 （2）y=lnx-23-x1-x3（3）y= （4）y=arcsin解：（1）只要分母不為零即可，即x0且x4.定義域?yàn)?-,0) (0,4) (4,+)（2）只要x-23-x>0即可，故定義域?yàn)?2,3)（3）只要x2-40即可，故定義域?yàn)?-,-2 2,+)（4）只要3-x>0并且-11-x31即可，易解得定義域?yàn)?2,3)2. 下列各對函數(shù)是否相同？為什么？（1）f(x)=（2）f(x)=xx,g(x)=1； g(x)=.解：（1）不同，因?yàn)槎x域不同，f(x)的定義域?yàn)閤|x0,x ，而g(x)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)

2、.（2）相同，因?yàn)槎x域相同，均為全體實(shí)數(shù)，對應(yīng)法則也相同.3. 求下列函數(shù)的反函數(shù)，并指出其定義域.（1）y=(x0) （2）y=3-1 x解：（1）由y=2222y=x+2，故x=y-2，由于x0，所以x=原函數(shù)的反函數(shù)為y=x1)故原函數(shù)的反函數(shù)為，xxy(+（2）由y=3-1可得y+1=3，所以x=log3y=log3(x+1)，定義域?yàn)閤>-14. 判斷下列函數(shù)的奇偶性（1）f(x)=x-sinxxcosx1-x1+x （2）f(x)=x) a+a2x-x（3）f(x)=ln （4）f(x)=解：（1）由于f(-x)=-x-sin(-x)-xcos(-x)=-x+sinx-xc

3、osx1 =x-sinxxcosx=f(x)，所以f(x)為偶函數(shù).（注：其中用到了sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx）（2）f(-x)=x)=x)=-x)=-f(x)，所以f(x)為奇函數(shù).（3）f(-x)=lna1+x1-x=-lnx1-x1+x=-f(x)，所以f(x)為奇函數(shù). -x（4）f(-x)=+a2=f(x)，所以f(x)為偶函數(shù).5.下列函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)是否有界？（1）y=1x2,(-,-1,(-1,0) （2）y=1x22x-1,(1,2),(2,+) 解：（1）在(-,-1上，0<1，故有界；而在(-1,0)上，函數(shù)無上界，故無界.x-1<2

4、，故有界. （2）在(1,2)上，函數(shù)無上界，故無界；而在(2,+)上，0<6. 將下列復(fù)合函數(shù)進(jìn)行分解（1）y=sin3(3x+2) （2）y=lnlnlnx（3）y= （4）y=etanx2 解：（1）y=u3,u=sint,t=3x+2（2）y=lnu,u=lnt,t=lnx（3）y=u=x+u2（4）y=e,u=t,t=tanx7. 已知f(x+1)=x-3x，求f(x),f(x-1)22解：令x+1=t，則x=t-1， f(x+1)=f(t)=(t-1)-3(t-1)=t-5t+4， 2由于函數(shù)與變量符號的選擇無關(guān)，故f(x)=x-5x+4 f(x-1)=(x-1)-5(x-1

5、)+4=x-7x+10 2221,8. 設(shè)f(x)=0,-1,|x|<1,|x|=1,|x|>12 g(x)=e，求fg(x),gf(x) x解：當(dāng)x<0時，0<g(x)=ex<1，故f當(dāng)x=0時，g(x)=1，故fg(x)1=，g(x)0=當(dāng)x>0時，g(x)=ex>1，故 fg(x)=-1.當(dāng)|x|<1時，f(x)=1，故gf(x)=e，當(dāng)|x|=1時，f(x)=0，故gf(x)=1， 當(dāng)|x|>1時，f(x)=-1，故gf(x)=1,綜上，fg(x)=0,-1,x<0,x=0,x>01e，.|x|<1,|x|=1,|

6、x|>1e,gf(x)=1,1,e9. 兩個單調(diào)增加的函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是否一定單調(diào)增加？它們的乘積又如何？ 答：兩個單調(diào)增加的函數(shù)的復(fù)合函數(shù)一定單調(diào)增加.但是乘積不一定設(shè)y=f(u)與u=g(x)能夠復(fù)合，并且都是單調(diào)增的函數(shù)，即對任意的x1<x2，都有g(shù)(x1)<g(x2)；對任意的u1<u2，都有f(u1)<f(u2).特別對u1=g(x1)，u2=g(x2)，顯然有u1<u2，故f(g(x1)<f(g(x2)，即證復(fù)合函數(shù)仍為單調(diào)增.下面看乘積，例如f(x)=g(x)=x，顯然在(-,+)都是單調(diào)增的，但是f(x) g(x)=x2 在(-,+)并不

7、是單調(diào)增的，而f(x)=g(x)=ex，顯然在(-,+)都是單調(diào)增的，f(x) g(x)=e2x仍在(-,+)上單調(diào)增.時，f(x)=sinx-cosx+2； 當(dāng)x(2210. 設(shè)f(x)是周期為的奇函數(shù)，當(dāng)x(0,時，求f(x)的表達(dá)式.解：由于f(x)是周期為的函數(shù)，所以f()=f(0)，又f(x)是奇函數(shù)，可知f(0)=0. 當(dāng)x(-2,0)時，-x(0,2)，由f(x)是奇函數(shù)可得f(x)=-f(-x)=-(sin(-x)-cos(-x)+2)=sinx+cosx-2當(dāng)x(2,)時，x-(-2,0)，由sin(x-)=si-n,cosx()x-cos=-x以及f(x)周期為，可知f(x

8、)=f(x-)=sin(x-)+cos(x-)-2=-sinx-cosx-2 -sinx-cosx-2,f(x)=綜上可得0,x(2,)x=11. 設(shè)y=12xf(t-x)，且y|x=1=t222-t+5，求f(x)解：由題即知y|x=1=12f(t-1)=t22-t+5，故f(t-1)=t-2t+10.令t-1=x，則t=x+1，f(t-1)=f(x)=(x+1)2-2(x+1)+10=x2+9.所以f(x)=x2+912. 設(shè)f(sinx2)=1+cosx，求f(cosx2x2) =2cosx22解：利用二倍角公式cosx=1-2sin2令sinx22x2-1.f(sin2x2)=1+co

9、sx=2-2sin2x2，=t，則f(t)=2-2t.從而f(cos)=2-2cosx2=1-cosx.習(xí)題1.21. 從圖象上觀察并寫出下列極限（1）lim2,lim2,lim2,lim2 （2）limlnx,limlnx,limlnx,limlnxx0xx-x+x1x0+xxxxx+x3（3）limcosx,limcosx,limcosx,limcosxx0x+x-x2（4）limarctanx,limarctanx,limarctanx,limarctanxx1x+x-x解：圖略.（1）lim2=1，lim2不存在，lim2=0，lim2=+（也是不存在）x0xx-x+xxxx（2）li

10、mlnx=0，limlnx=-（不存在），limlnx=+（不存在），limlnx=ln3x1x0+x+x3（3）limcosx=1，limcosx不存在，limcosx不存在，limcosx=0x0x+x-x2（4）limarctanx=x1，limarctanx=x+2，limarctanx=-x-2，limarctanx不存在.xx2-1,2. 設(shè)函數(shù)f(x)=0,1-x,x>0,x=0,x<0求當(dāng)x0時，函數(shù)的左、右極限，并說明當(dāng)x0時函數(shù)的極限是否存在.解：左極限limf(x)=lim(1-x)=1，右極限lim+f(x)=lim+(x-1)=-1，由于左右極x0-2x0

11、-x0x0限都存在但是不相等，所以當(dāng)x0時函數(shù)的極限不存在. 3. 求函數(shù)f(x)=|x|x當(dāng)x0時的左、右極限，并說明當(dāng)x0時函數(shù)的極限是否存在.|x|x=lim-x0解：左極限limf(x)=limx0-xxx0-=-1，右極限lim+f(x)=lim+x0x0|x|x=lim+x0xx=1，由于左右極限都存在但是不相等，所以當(dāng)x0時函數(shù)的極限不存在.x+1,4. 設(shè)函數(shù)f(x)=0,x-1,x<1,x=1,x>1求limf(x),limf(x),limf(x) x0x1x3解：當(dāng)x0時，只關(guān)心離0很近的那些點(diǎn)，所以可以認(rèn)為x<1，故limf(x)=lim(x+1)=1

12、x0x0當(dāng)x1時，limf(x)=lim(x+1)=2，limf(x)=lim(x-1)=0，左右極限都存在但x1-x1-x1+x1+是不相等，所以limf(x)不存在.x1當(dāng)x3時，只關(guān)心離3很近的那些點(diǎn)，所以可以認(rèn)為x>1，故limf(x)=lim(x-1)=2. x3x35. 設(shè)lim解： ax+2|x|bx-3|x|xarctanx=-2，求a,b的值.（1）當(dāng)x+時，可以認(rèn)為x>0，故|x|=x， ax+2xbx-3xax+2xbx-3xa+2b-3ax+2xbx-3xa+2.， b-32故lim=limx+x+=，從而limx+arctanx=所以由式，可知a+2a+2

13、.=-，即=-1； b-322b-3（2）當(dāng)x-時，可以認(rèn)為x<0，故|x|=-x， ax-2xbx+3xa-2b+3故limx-=，從而limax-2xbx+3xx-arctanx=a-2. -， b+32所以由式，可知a-2b+3=1.綜上，可得方程組a+2=3-ba-2=b+3，解得a=3b=-2. （注：limarctanx=x+2，limarctanx=-x-2）6. 設(shè)f(x)=2x+|x|4x-3|x|.求：（1）limf(x)；（2）limf(x)；（3）limf(x)；（4）limf(x)；（5）limf(x). x+x-x0+x0-x02x+x=3,2x+|x|4x-

14、3x解：由于f(x)=14x-3|x|2x-x=,4x+3x7x>0,x<0.1717故易得（1）limf(x)=3 （2）limf(x)=x+x-（3）limf(x)=3 （4）limf(x)=x0+x0-（5）limf(x)不存在（左右極限都存在但是不相等）.x0習(xí)題1.31. 下列函數(shù)在自變量怎樣的變化過程中為無窮小量？在怎樣的變化過程中為無窮大量？ （1）y=x-4x-222； （2）y=1x+131； （3）y=2-1； （4）y=exx解：（1）y=x-4x-2=x+2在x=2處無定義.由limy=lim(x+2)=0，可知此函數(shù)在x-2x-2x-2時為無窮小量；由li

15、my=lim(x+2)=，可知此函數(shù)在x時為無窮大量.xx（2）y=1x+1x-13在x=-1處無定義.由limy=limx1x+13x=0，可知此函數(shù)在x時為無窮小量；由limy=limx1x+13x-1=，可知此函數(shù)在x-1時為無窮大量.（3）由limy=lim(2-1)=0，可知此函數(shù)在x0時為無窮小量；由x0x0x+limy=lim(2-1)=+，可知此函數(shù)在x+時為無窮大量.x+x1x0-1-（4）y=ex在x=0處無定義.由limy=limex=0，可知此函數(shù)在x0時為無窮小量；x01+由limy=limex=+，可知此函數(shù)在x0時為無窮大量. x0+x0+2. 兩個無窮小量的商是

16、否為無窮小量？請舉例說明.答：不一定，比如說當(dāng)x0時，x與(2x)都是無窮小量，lim22x22x0(2x)=140，故不是無窮小量，又x與x都是無窮小量，lim3. 求下列極限. （1）limsinxx2x2x0x=limx=0，是無窮小量.x0x； （2）limarctanxx2x； （3）lim(x11x-1-3x-13)； （4）limx-1x+2x-322x1（5）lim(xx232x+13-x22x-1)； （6）limx-1x-3x+4+23x； （7）limx+x-2x+1n43；x（8）lim2x+14x+2x-332x； （9）limx-1x-1nx1(nZ)； （10）l

17、im(a+x)-axnx0(nZ)1x+解：（1）由于|sinx|1，可知sinx在(-,+)上為有界函數(shù)，而當(dāng)x時，為無窮小量，有界函數(shù)乘以無窮小量仍為無窮小量，故lim（2）由于|arctanx|<1x20，sinxxx1=lim(sinx)=0 xx2，可知arctanx在(-,+)上為有界函數(shù)，而當(dāng)x時，arctanxx220，為無窮小量，故limx=lim(arctanxx1x2)=0（3）lim(x11x-12-3x-13)=lim(x1x+x+1-3x-12433)=lim(x1x+2x+x+12)=33=1 （通分，消元）（4）limx-1x+2x-3x232x1=lim

18、x+1x+3x1=122232（5）lim(x2x+1-x22x-1)=limx(2x-1)-x(2x+1)(2x+1)(2x-1)2x=lim-x-x32x4x-2x+2x-1-1-=limx11x24-21x+2-1x3=-14（6）limx-1x-3x+423x-=limx12x1-3+11x3+4-21x41x142=1（7）limx+x-2x+143x=limx=01+（8）lim2x+14x+2x-33232+=limx1x3xxx（注：5，6，7，8類型相同，當(dāng)x時，多項(xiàng)式的商的極限主要看分子分母的次數(shù)，分4+21-313=24=12子次數(shù)大于分母次數(shù)，則極限為；分子次數(shù)小于分母

19、次數(shù)，則極限為0；分子次數(shù)等于分母次數(shù)，極限為最高次項(xiàng)系數(shù)的商.做法見上） （9）limx-1x-1nx1=lim(x-1)(xn-1+xn-2+ +1)x1x-1=lim(xx1n-1+xn-2+ +1)=n（10） lim=lim(nax0(a+x)-axnnx0=limn-2a+nann-1x+Cna2n-2x+ +x-a2nnx0xn-1+(Cna2n-2+ x)x)=nan-14. 設(shè)limx+ax+b1-x2x1=3，求a,b的值.2解：由于lim(1-x)=0，故lim(x+ax+b)=0，從而x2+ax+b可被x-1整除，不妨設(shè)x1x1x+ax+b=(x-1)(x+c)，則a=

20、c-1,2b=-c.由極限limx+ax+b1-x2x1=lim-(x+c)x1=-1-c=3可知c=-4.故a=-5,b=45. 設(shè)f(x)=c,d的值.ax+bx+cx+dx+x-2232，滿足：（1）limf(x)=1；（2）limf(x)=0，求a,b，xx1解：由limf(x)=1可知分子次數(shù)等于分母次數(shù)，且此時極限為b，故有a=0,b=1.x由limf(x)=0，可知lim(x+cx+d)=0，從而x2+cx+d可被x-1整除，不妨設(shè)x12x1x+cx+d=(x-1)(x+e)，則c=e-1,1+e1+22d=-e.由極限limx+cx+dx+x-222x1=limx+ex+2x1

21、=0可知e=-1.故c=-2,d=1.xg(x),0,x0,x=0.6. 設(shè)g(x)在x=0的某鄰域內(nèi)有界，且f(x)=求limf(x).x0解：g(x)在x=0的某鄰域內(nèi)有界，而當(dāng)x0時x為無窮小量，從而可知limf(x)=0.x07. 設(shè)limf(x)存在，且f(x)=2x+3xlimf(x)，求f(x).x12x1解：由題可知，只需求出limf(x)即可，在f(x)=2x+3xlimf(x)兩邊同時求當(dāng)x1x12x1時的極限.limf(x)=lim(2x+3xlimf(x)=2+3limf(x)，易解得limf(x)=-1，從x1x1x1x1x12而f(x)=2x-3x.2習(xí)題1.41.

22、 利用數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則，求下列極限. （1）lim(n1n2+11(n+1)+2+ +21(n+n)21) （2）limnnn（3）lim(nn+2n+22+ +nn+n2) （4）limn解：（1）設(shè)an=1n2+1(n+1)1(n+n)22+ +1(n+n)1(n+n)22，顯然有n+1(n+n)2=1(n+n)2+ +<an<1n2+1n2+ +1n2=n+1n2，而limn+1(n+n)2n=limn+1n1nn2=0，由兩邊夾原理可知lim(n1n2+1(n+1)2+ +1(n+n)2)=0.1（2）當(dāng)n>1時，n>1，令nn-1=an，則顯然an>0

23、.且由二項(xiàng)式公式有n=(1+an)=1+nan+nn(n-1)2an+ +an，故n>2nn(n-1)2an，從而0<an<21而limn=0，不等式左邊常數(shù)也是0，由兩邊夾原理可知liman=0，從而limnn=1.nn（3）設(shè)an=n(n+1)2(n+n)21n+2+2n+22+ +nn+n2，顯然有1n+2=1n+n2+2n+nn(n+1)2+ +nn+n2<an<+2n+2+ +nn+2=n(n+1)2(n+)2而limn(n+1)2(n+n)1+2n=lim2n2(n+)n2=12，由兩邊夾原理可知12lim(nn+2n+22+ +n+n2)=.（4&l

24、t;<limn=limn=3，由兩邊夾原理可知lim=3.n2. 利用數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則，求下列數(shù)列的極限 （1； （2）0<x1<3,xn+1=（3）x1=a,xn+1=12(xn+bxn),(a,b>0).解：（1）顯然數(shù)列為單調(diào)增的，設(shè)a1=a3=<<2，a2=<=2，依次得=2，歸納可得an<2.即數(shù)列有上界，由單調(diào)有界原理可知此數(shù)列a=a=2或者有極限，不妨設(shè)為a.對an+1=32a=-1（顯然不可能）.故數(shù)列極限為2.（2）（i）當(dāng)x1=時，x2=32=32，依次可得xn=32，故此數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，顯然極限存在，且為（ii）當(dāng)x132

25、.<x1+3-x12=32時，利用幾何算術(shù)平均值不等式可知x2=32，依次可得0<xn<（n>1）.而xn+1xn=>=1（n>1），故此數(shù)列除了x1以外，均為單調(diào)增加的，且有界.由單調(diào)有界原理可知數(shù)列xn有界，而數(shù)列的極限與前有限項(xiàng)n=2無關(guān)，故原數(shù)列極限也存在，不妨設(shè)為a.對xn+1=a=a=3232或者a=0（顯然不可能）.故數(shù)列極限為32.綜合（i）（ii）可知數(shù)列極限為.12bx1（3）（i）當(dāng)x1=a=x2=(x1+)=xn=12bx1（ii）當(dāng)x1時，利用幾何算術(shù)平均值不等式可知x2=1b(x1+)>=，依次可得xn>n>1）

26、.而xn+1-xn=2xn(-xn)<0（n>1），故此數(shù)列除了x1以外，由單調(diào)有界原理可知數(shù)列xnn=2有界，而數(shù)列的極限與前有限項(xiàng)無關(guān)，故原數(shù)列極限也存在，不妨設(shè)為A.對xn+1=12bA12(xn+bxn)兩端同時取極限，可得A=(A+)，解得A=或者A=.綜合（i）（ii）可知數(shù)列極限為3. 若limxn=a，證明：lim|xn|=|a|.nn證明：由limxn=a，可知對>0，都N>0，當(dāng)n>N時，就有|xn-a|<.從而當(dāng)nn>N時，|xn|-|a|xn-a|<，由定義可知lim|xn|=|a|.n（注：此結(jié)論對函數(shù)極限也同樣成立，即

27、“若limf(x)=A，則lim|f(x)|=|A|”.反過來xx不對.但是有“若lim|f(x)|=0，則limf(x)=0”，對數(shù)列也成立.）xx4. 對于數(shù)列xn，若limx2k-1=limx2k=a，證明：limxn=a.kkn證明：第一種證法，用幾何意義來說（不嚴(yán)格）.由limx2k-1=limx2k=a可知，對>0，kk數(shù)列x2k-1中落在區(qū)間(a-,a+)外的只有有限多項(xiàng)，數(shù)列x2k中落在區(qū)間(a-,a+)外的也只有有限多項(xiàng).而對于數(shù)列xn來說，其中的項(xiàng)不在數(shù)列x2k-1之中就在數(shù)列x2k之中，從而落在區(qū)間(a-,a+)外的也只有有限多項(xiàng).由幾何意義即知limxn=a.n第

28、二種證法：用極限定義.由limx2k-1=a，可知對>0，都K1>0，當(dāng)k>K1時，就k有|x2k-1-a|<.由limx2k=a，可知對上述的>0，都K2>0，當(dāng)k>K2時，就有k|x2k-a|<.令K=maxK1,K2，N=2K，則當(dāng)n>N時，有|xn-a|<.由定義可知limxn=a.n習(xí)題1.51. 求下列各極限. （1）limsin5xxkx)x0（2）limsinaxsinbxx0(b0) （3）limtanx-sinxx3x0（4）limxsinx1x1（5）lim(1-xmx（6）lim(xx+2x+1xn)2x(7)

29、 lim(1-3tanx)x0cotx(8) lim(3x-2)x11-x2lim(1+x)sinx （10）limntan（9）x0nlim(sin （11）x1x+cos1x) （12）lim(1-cosx)xx2secx2解：（1）limsin5xxx0=lim(x0sin5x5x5)=5（2）limsinaxsinbxx0=lim(x0sinaxaxbxaxa)= sinbxbxb2x2sintanx-sinxsinx1-cosxsinx1)=1 （3）lim=lim()=lim(32x0x0x0x2cosxxxxcosxx24()2（4）limxsinx1xsin=limx1=1 （

30、當(dāng)x時，t=10） 1xx（5）令t=-lim(1-k)mxxk，則mx=-mkt，且當(dāng)x時，t，所以1-mkt1t-mk-mk=lim(1+)=lim(1+)=exttxttx+22x12x)=lim(1+)，令t=x+1，則x=t-1，且當(dāng)x時，t，（6）lim(xx+1xx+112(t-1)1t21-22=lim(1+)=lim(1+) (1+)=exx+1ttttt3（7）令t=-3tanx，則cotx=-，且當(dāng)x0時，t0.所以t所以lim(x+2)2xlim(1-3tanx)x0cotx=lim(1+t)t01-3tt01=lim(1+t)t1-3=e-3（8）lim(3x-2)1

31、-x=lim1+3(x-1)1-x，令t=3(x-1)，則當(dāng)x1時，t0，所以x1x11lim(3x-2)x11-x=lim(1+t)t0-3tt01=lim(1+t)t12x2-3=e-32x0（9）lim(1+x)sinx=lim(1+x)xsinx=ex0（10）因?yàn)閘imtan1tanxxx0=limsinxxx01=1，由數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系可知cosx=limntan1=1，從而當(dāng)x0時，limntanx=limnnn1nnnnxx當(dāng)x=0時，limntan=0.綜合可知limntan=x.nnnn11x11x（11）lim(sin+cos)=lim1+(sin+cos-1)x

32、xxxxxlim11sin+cos-111x=lim1+(sin+cos-1)xxxx1x(sin1x+cos1x-1)tanxnx x=x，令t=sin1x+cos1x-1，則當(dāng)x時，t0，又limx(sinx1x+cos1x-1)=limxsinx1x+limx(cosx1x-1)sin=limx1+limxcos11x-1=1+limx-2(11x)21x=1，故lim(sinx1x+cos1x)=e.x（12）令t=-cosx，則2secx=-lim(1-cosx)x2secx2t，且當(dāng)x1-22時，t0，所以-2=lim(1+t)t0-2tt0=lim(1+t)t=e.22. 求下列

33、各極限. （1）limxx0（2）limx+（3）limx0（4）limx01(m,n>0) （5）lim+x （6）limx+x0x（7）limx(ln(x+1)-lnx) （8）lim+x+x0解：（1）limx=lim=lim=1x0x0x0（2）limx+=limx+=limx+=0（3）limx0=limsinx44x2x0=limsin4x1)xx0=lix01+1=) 8（4）limx0=limx0=2n2m=nm（分子分母同時有理化）+（5）討論x0時函數(shù)的極限時，我們只關(guān)心那些離0很近的正數(shù)，不妨設(shè)0<x<1，有x(1x1>1，故111-1<，不

34、等式三邊同時乘以x，不改變不等號的方向，故有xxx111-1)<xx=1，而lim+x(-1)=lim+(1-x)=1，不等式右邊為常數(shù)1，由兩邊x0x0xxxx夾原理可知limx=1.x0+1x1（6=exln(cosx+2sinx)221=exln(1+sinx)2，其中0，為無窮小220ln(1+sinx)ln2，ln(1+sinx)為有界函數(shù)，而當(dāng)x+時，1x量，故lim1xx+ln(1+sinx)=0.從而可得limx+1x2x+=e=11x1（7）limx(ln(x+1)-lnx)=limxlnx+x+1=limxln(1+x+)=limln(1+x+1x)=lne=1x（8

35、）limx0+=lim+(cosx0x=lim+1+(cosx01)x1=lim+1+x0(s-，而x0lim+cosx1-2sin=lim+x02=lim+x0-2sin2=-12x2，故limx0+=e-12.習(xí)題1.61. 比較下列無窮小的階.（1） 當(dāng)x0時，x3+3x2與sinx （2） 當(dāng)x-1時，1+x與1+x33（3） 當(dāng)x0時，xtanx+x與x(1+cosx)（4） 當(dāng)x1與1-解：（1）由于lim無窮小. （2）由于limx+3xsinx32x0=limx+3xx32232=lim(x+3x)=0，故x+3x是sinx的高階x0x01+x1+x3x-1=lim31x-x+

36、12x-1=133，故1+x是1+x的同階無窮小.（3）由于limxtanx+xx0x(1+cosx)=limxtanxx(1+cosx)x0+limx3x0x(1+cosx)=0，故xtanx+x是3x(1+cosx)的高階無窮小.（4）由于lim窮小.1x0=limx(1+2x0=11與1-是等價無2. 證明：當(dāng)x0時， （1）+x12x； （2）x+2x=o(tanx)12x=0，從而要證+x1212x只需計算極限即32證明：（1）由于lim-1)=limx0x0可.lim2x3x0=limx12x1)x0=1，由定義即知+xx.（2）由于lim(x+2x)=limtanx=0，從而要證

37、x3+2x2=o(tanx)只需計算極限即可.x0x02limx+2xtanx32x0=limx+2xx32x0=lim(x+2x)=0，由定義即知x+2x=o(tanx).x02323. 利用極限的運(yùn)算法則和無窮小的有關(guān)性質(zhì)求下列極限. （1）limex2-1x0cosx-1（2）limx2xx+11-sin1x（3）limtanxx0（4）limesinx-1x0ln(1+3x)（5）limx2x0（6）lime-1x0（7）lim3sinx+xcos21x1（8）lim3xx0（9）lim+x0(1+cosx)tanx1x).（10）limxsinln(1+x)-sinln(1+解：（1

38、）limex2-1x0cosx-1=limx-122x0=-2 x2（2）limx2xx+1sin1x=limx21xx+1x=limx22xx+x=1 （x時，1x0，所以sin1x1x）（3）limtanxx0=limtanxx0=limtanxx0-limtanxx01（由(1+x)x）=lim-limx0x0xx-1xx=12+13=56（4）limesinx-1x0ln(1+3x)=limsinx3xx0=131（5）lim1-x2x0=limx0=limx0(kx)2=k24（6）lime-1xx0=limx0=limx0=1，其中第一步用到了有理化.（7）lim2x1=limx1

39、=lim2x1=3sinx+xcos1（8）limx0=limx0(1+cosx)tanx13sinx+xcos(1+cosx)x1=lim3sinx(1+cosx)xx0+limx0(1+cosx)xxcos21=32+limx0=3，其中第二項(xiàng)中，limxcos1=0 （無窮小乘以有界函數(shù)仍為無x0x(1+cosx)2xcos窮小） （9）limx0+=lim+x01x=123x1x（10）limxsinln(1+x3x)-sinln(1+1x)=limxsinln(1+x)-limxsinln(1+x)=limxln(1+x3x)-limxln(1+x)=limxx3x-limxx1x=

40、3-1=2習(xí)題1.7x2,1. 討論函數(shù)f(x)=2-x,2x1x10x1,1<x2.在x=1處的連續(xù)性.解：由于lim-f(x)=lim-x=1=f(1)，故f(x)在x=1處左連續(xù)，又lim+f(x)=lim+(2-x)=1=f(1)，故f(x)在x=1處右連續(xù)，因此f(x)在x=1處連續(xù).x1x12. 求函數(shù)f(x)=x+3x+x-62的連續(xù)區(qū)間，并求極限limf(x)、limf(x)、limf(x).x2x-3x0解：由于f(x)為初等函數(shù)，所以f(x)在(-,-3)、(-3,2)和(2,+)上都連續(xù).limf(x)=，limf(x)=limx2x-3x+3x+x-62x-3=l

41、im1x-2x-3=-15x，limf(x)=x03-6=-123. 討論下列函數(shù)的間斷點(diǎn)，并指出間斷點(diǎn)的類型. （1）f(x)=1x+x-21x22（2）y=sinx（3）f(x)=cos （4）y=112x解：（1）由于f(x)為初等函數(shù)，故只有兩個間斷點(diǎn)，x=1和x=-2，而lim1x+x-22x1=limx1x+x-22x-2=，所以這兩個都是第二類間斷點(diǎn).為初等函數(shù)，故只在sinx=0處間斷，從而間斷點(diǎn)為x=k（kZ）.sinxxx=1，=，當(dāng)k=0時，lim故x=0為可去間斷點(diǎn)；當(dāng)k0時，lim故x=kx0sinxxksinx（2）由于y=（k0）為第二類間斷點(diǎn).（3）由于f(x)

42、為初等函數(shù)，故只在x=0處間斷，而當(dāng)x0時f(x)的左右極限都不存在，故x=0為第二類間斷點(diǎn).（4）由于f(x)為初等函數(shù)，故只在x=0處間斷，而limx011-2x1-=（當(dāng)x0-，x12x0），故x=0為第二類間斷點(diǎn) 4.已知函數(shù)f(x)=a,2x+b,x<0,x=0,x>0在x=0處連續(xù)，求a與b的值.解：由于f(x)在x=0處連續(xù)，故f(x)在x=0處既是左連續(xù)又是右連續(xù)，從而lim-f(x)=lim-x05x0=2=a=lim+f(x)=lim+(2x+b)=b，即得a=b=2.x0x05. 證明：方程x-3x=1在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一個實(shí)根.證明：令f(x)=x-3

43、x-1，顯然f(x)在1,2上連續(xù).又f(1)=1-3-1=-3<0，f(2)=2-3 2-1=32-6-1=25>0，由零點(diǎn)定理可知(1,2)，使得f()=0.即方55程x-3x=1在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一個實(shí)根. 6. 證明：方程3sinx=x在區(qū)間(52,)內(nèi)至少有一個實(shí)根.證明：令f(x)=3sinx-x，顯然f(x)在f(2,上連續(xù).又2)=3sin2-2=3-2>0，f()=3sin-=-<0，由零點(diǎn)定理可知(2,)，使得f()=0.即方程3sinx=x在區(qū)間(2,)內(nèi)至少有一個實(shí)根.7. 確定a,b的值，使下式成立.x+1x+12（1）lim(x+-ax

44、-b)=0 （2）limax-b)=0. x-解：（1）由lim(x+x+1x+12-ax-b)=lim(1-a)x-(a+b)x+1-bx+12x+=0可知分子次數(shù)小于分母次數(shù)，從而a-1=0，a+b=0.故a=1，b=-1.（2）由limax-b)=limx-222x-(1-a)x-(1+2ab)+(1-b)=limx-221=0可知a2=1（若a21，則極限為）且a1（若a=1，則極限不能確定），因此a=-1.并且1+2ab=0，故b=12.8. 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，且af(x)b，證明：必存在點(diǎn)ca,b，使得f(c)=c.證明：令F(x)=f(x)-x，顯然F(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，F(xiàn)(a)=f(a)-a0，F(xiàn)(b)=f(b)-b0.（i）（ii）（iii） 若F(a)=0，取c=a即得. 若F(b)=0，取c=b即得. 若F(a)與F(b)都不等于0，則有F(a) F(b)