一輪復(fù)習(xí)之圓的方程

1、圓一、 基礎(chǔ)知識(shí)（一） 基本概念1. 平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡(集合)叫做圓,定點(diǎn)叫做圓的圓心,定長叫做圓的半徑.2. 曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是某個(gè)變量的函數(shù),即,且對(duì)于的每一個(gè)允許值,由方程組所確定的點(diǎn)都在曲線上曲線的參數(shù)方程是,或參數(shù)方程的曲線是.記作曲線.（二） 圓的方程1 標(biāo)準(zhǔn)方程 圓心為,半徑為的圓方程為.2 一般方程(1) 令,則可化為. 當(dāng)時(shí),方程不表示任何曲線. 當(dāng)時(shí),方程的曲線是一個(gè)點(diǎn). 當(dāng)時(shí),方程表示以為圓心,為半徑的圓.此時(shí),方程叫做圓的一般方程.(2) 關(guān)于的二元二次方程的曲線是圓3 參數(shù)方程(1) 令,由,可得,于是.(2) 以為圓心,為半徑的圓的參數(shù)方程

2、是.（三） 根據(jù)圓的方程研究圓的性質(zhì)1 單個(gè)圓自身的性質(zhì)(1) 范圍: 由,得,.(2) 對(duì)稱性 圓心是圓的中心. 過圓心的任意直線都是圓的對(duì)稱軸.2 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(1) 判定 點(diǎn)在圓上. 點(diǎn)在圓內(nèi). 點(diǎn)在圓外.(2) 性質(zhì) 若點(diǎn)在圓上,則過點(diǎn)與圓相切的直線方程是. 若點(diǎn)在圓上,則過點(diǎn)與圓相切的直線方程是. 若點(diǎn)在圓內(nèi),則(a)過和的弦最長;(b)垂直的弦最短. 若點(diǎn)在圓外,過作直線交圓于兩點(diǎn),作直線與分別與圓相切于點(diǎn)和,則(a); (b); (c)直線的方程為.3 直線與圓的位置關(guān)系(1) 判定 直線與圓相離. 直線與圓相切. 直線與圓相交.(2) 性質(zhì) 若直線與圓相離,是上的點(diǎn),是圓上

3、的點(diǎn),則. 若直線與圓相交于、兩點(diǎn),是的中點(diǎn),則(a);(b);(c).4 圓與圓的位置關(guān)系(1) 判定 圓與圓相外離. 圓與圓相外切. 圓與圓相交. 圓與圓內(nèi)切. 圓與圓內(nèi)含.(2) 性質(zhì)若圓與圓相交于、兩點(diǎn),則;直線的方程為;經(jīng)過、兩點(diǎn)的任意圓(除圓)的方程都可表示為. 共弦圓系（四） 基本方法(1) 將參數(shù)方程化為普通方程 求函數(shù)值域和函數(shù)的值域; 從中消去參數(shù)得普通方程.(2) 求圓的方程 待定系數(shù)法 定義法(3) 直線與圓相交 先設(shè)出交點(diǎn)的坐標(biāo)、和的中點(diǎn), 用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離, 用垂徑定理()來解決有關(guān)的問題.特別地有弦長公式.二、 基本例題例1 (1)圓的圓心

4、為,半徑 .(2)圓的圓心為,半徑 .(3)圓的圓心為,半徑 .(4)曲線的普通方程為 .(5)曲線的普通方程為 .(6)曲線 的普通方程為 .(7)曲線的普通方程為 .(8)曲線的普通方程為 .(9)曲線的普通方程為 .(10)曲線 的普通方程為 .(11)曲線 的普通方程為 .(12)曲線 的普通方程為 .(13)曲線 的普通方程為 .(14)曲線 的普通方程為 .(15)曲線 的普通方程為 .例2 求圓的方程：（1） 截軸所得弦長為,被軸分成兩段圓弧長的比為,且圓心到直線的距離最小的圓的方程為 .（2） 若過點(diǎn)和,且與軸相切的圓有且僅有一個(gè),則 ,此時(shí)圓的方程為 .（3） 與軸相切,圓心

5、在直線上,且被直線所截得的弦長為的圓的方程為 .（4） 過點(diǎn),半徑為,且在該圓內(nèi)以為中點(diǎn)的弦長為的圓的方程為 .（5） 經(jīng)過兩圓和的交點(diǎn),且圓心在直線 上的圓的方程為 .（6） 圓心為,且與圓 的公共弦所在的直線過點(diǎn)的圓的方程為 .（7） 與圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為 .（8） 圓心為,且與直線相切的圓的方程為 .（9） 過三點(diǎn)的圓的方程為 .（10） 經(jīng)過兩點(diǎn)和,且圓心在軸上的圓的方程為 .（11） 經(jīng)過兩點(diǎn)和,且圓心在直線 上的圓的方程為 .（12） 過點(diǎn),且與直線 相切于點(diǎn)的圓的方程為 .（13） 圓心為,被直線所截得的弦長為的圓的方程為 .（14） 與軸相切于點(diǎn),且在軸上截得的弦長為的

6、圓的方程為 .（15） 過點(diǎn),圓心在直線上,且與直線相切的圓的方程為 .（16） 過原點(diǎn),且與直線及圓 都相切的圓的方程為 .（17） 與圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的圓的方程為 .（18） 與圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為 .（19） 若三角形的頂點(diǎn)為,則其外接圓的方程為 ,內(nèi)切圓的方程為 .（20） 若三角形三邊所在直線方程為,則其外接圓的方程為 .例3 求軌跡方程（1） 已知直線與圓相離，點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的切線，兩切點(diǎn)分別為和，證明：不論點(diǎn)在直線上怎樣移動(dòng)，直線總過一定點(diǎn)。（2） 圓 的圓心的軌跡方程是 .（3） 與圓相外切且與軸相切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程為 .（4） 若, 是圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn), ,則中點(diǎn)的

7、軌跡方程是 .（5） 過點(diǎn)作圓的切線,若 ,則點(diǎn)的軌跡方程為 .（6） 若直線與圓相交,則點(diǎn)在圓 .(外、上、內(nèi))。（7） 若點(diǎn)在圓內(nèi)且不為圓心,則直線與圓相 .（8） 若實(shí)數(shù)滿足,則 ; ; .（9） 過點(diǎn)作圓的切線(為切點(diǎn))，則切線長 ,弦長 , ;切線、的方程為 ;弦所在直線的方程為 .（10） 若圓上恰有三點(diǎn)到直線 的距離等于,則 .（11） 若直線與曲線 有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則 .（12） 若直線與曲線交于兩點(diǎn),的傾角分別為,則 .（13） 從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)軸反射,若反射光線所在的直線與圓相切, 則光線所在的直線的方程為 .（14） 若斜率為的直線與圓交于兩點(diǎn),且以 為直徑的圓過原點(diǎn),

8、則直線的方程為 .（15） 若直線與圓 交于兩點(diǎn),且,則 .（16） 若直線與圓 交于兩點(diǎn),且 ,則 .（17） 圓 的圓心的軌跡方程是 .（18） 圓 的圓心的軌跡方程是 .例4 (1)過點(diǎn) 與圓 相切的直線的方程為 .(2)過點(diǎn) 與圓 相切的直線的方程為 .(3)過點(diǎn) 與圓 相切的直線的方程為 .(4)過點(diǎn) 與圓 相切的直線的方程為 .(5)過點(diǎn) 作圓 的切線 ( 為切點(diǎn)),則 切線長 ,弦長 , ; 切線 、 的方程為 ; 弦 所在直線的方程為 .(6)過點(diǎn) ,且被圓 截得的弦長為8的直線的方程為 .(7)過點(diǎn) ,被圓 截得的弦最短的直線的方程為 .(8)過點(diǎn) ,被圓 截得的弦最長的直線

9、的方程為 .(9)圓 被點(diǎn) 平分的弦所在的直線方程為 .例5 (1)點(diǎn) 在圓 .(外、上、內(nèi))(2)若直線與圓相交,則點(diǎn)在圓 .(外、上、內(nèi))(3)直線與圓 相 .(4)直線 與圓相 .(5)若點(diǎn) 在圓 內(nèi)且不過圓心,則直線 與圓 相 .(6)圓 與圓相 .(7)若 ,則在圓 與圓 相 .(8)若方程 的曲線是圓,則 .(9)若點(diǎn) 在圓 內(nèi),則 .(10)若過點(diǎn) 總可以向圓作兩條切線,則 .(11)若直線 與圓 相切,則 .(12)若圓 上僅有一點(diǎn)到直線 的距離等于 ,則 .(13)若圓 上僅有兩點(diǎn)到直線的距離等于 ,則 .(14)若圓 上恰有三點(diǎn)到直線 的距離等于 ,則 .(15)若圓 上恰

10、有四點(diǎn)到直線的距離等于 ,則 .(16)若圓 與兩坐標(biāo)軸都相切,則 .(17)若圓 過原點(diǎn),且與 軸相切,則 .(18)若圓 與 軸相切于原點(diǎn),則 .(19)若過圓 外一點(diǎn) 作圓的兩條切線互相垂直,則 .(20)兩圓的交點(diǎn)為 和 ,且圓心都在直線 上,則 .(21)若圓 關(guān)于直線 對(duì)稱的圓與直線 相切, 則 .(22)一束光線從點(diǎn) 經(jīng) 軸反射到圓 上的最短路程等于 .(23)若直線與曲線交于兩點(diǎn),的傾角分別為,則 .(24)若圓的方程為 ,則坐標(biāo)平面上被這些圓上的點(diǎn)所覆蓋的平面部分的面積為 .例6 (1)過直線 上一點(diǎn)作圓 的切線,則切線長的最小值為 .(2)圓 上的點(diǎn)到直線 的距離的最小值為 ,最大值為 .(3)當(dāng) 時(shí),圓 的面積取得最大值 .(4)若實(shí)數(shù) 滿足 ,則 ; ; .(4)若實(shí)數(shù)滿足,則 ; ; .(5)若 , 為圓 上的點(diǎn),則 .(6)若 的邊長分別為 ,點(diǎn) 是它內(nèi)切圓上的一點(diǎn),則 .