專題正方形拔高題

1、專題20 正方形閱讀與思考 矩形、菱形、正方形都是平行四邊形，但它們都是有特殊條件的平行四邊形，正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是鄰邊相等的特殊矩形，也是有一個(gè)角是直角的菱形，因此，我們可以利用矩形、菱形的性質(zhì)來研究正方形的有關(guān)問題正方形問題常常轉(zhuǎn)化為三角形問題解決，在正方形中，我們最容易得到特殊三角形、全等三角形，熟悉以下基本圖形例題與求解【例l】 如圖，在正方形紙片中，對(duì)角線，交于點(diǎn)，折疊正方形紙片，使落在上，點(diǎn)恰好與上的點(diǎn)重合，展開后，折痕分別交，于點(diǎn)，.下列結(jié)論：；四邊形是菱形；.其中，正確結(jié)論的序號(hào)是_ （重慶市中考試題）解題思路：本題需綜合運(yùn)用軸對(duì)稱、菱形判定、數(shù)形結(jié)合等知識(shí)方法

2、【例2】如圖1，操作：把正方形的對(duì)角線放在正方形的邊的延長(zhǎng)線上，取線段的中點(diǎn).連， （1）探究線段，的關(guān)系，并加以證明 （2）將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角后（如圖2），其他條件不變 探究線段，的關(guān)系，并加以證明 （大連市中考題改編）解題思路：由為中點(diǎn)，想到“中線倍長(zhǎng)法”再證三角形全等 【例3】如圖，正方形中，是，邊上兩點(diǎn)，且，于，求證：. （重慶市競(jìng)賽試題） 解題思路：構(gòu)造的線段是解本例的關(guān)鍵 【例4】 如圖，正方形被兩條與邊平行的線段、分割成四個(gè)小矩形，是與的交點(diǎn)，若矩形的面積恰是矩形面積的2倍，試確定的大小，并證明你的結(jié)論 （北京市競(jìng)賽試題） 解題思路：先猜測(cè)的大小，再作出證明，解題的關(guān)鍵是由條

3、件及圖形推出隱含的線段間的關(guān)系【例5】 如圖，在正方形中，分別是邊，上的點(diǎn)，滿足，分別與對(duì)角線交于點(diǎn) 求證：（1）； （2） （四川省競(jìng)賽試題） 解題思路：對(duì)于（1），可作輔助線，創(chuàng)造條件，再通過三角形全等，即可解答；對(duì)于（2），很容易聯(lián)想到直角三角形三邊關(guān)系【例6】已知 ：正方形中，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交，（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn) 當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖1），易證（1）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖2），線段和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明；（2）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段和之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想 （黑龍江省中考試題） 解題思路：對(duì)于（2），構(gòu)造是解題的關(guān)鍵

4、圖1 圖2 圖3能力訓(xùn)練A級(jí)1. 如圖，若四邊形是正方形，是等邊三角形，則的度數(shù)為_.（北京市競(jìng)賽試題）2. 四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，給出以下題設(shè)條件：；其中，能判定它是正方形的題設(shè)條件是_. （把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填在橫線上） （浙江省中考試題） 3如圖，邊長(zhǎng)為1的兩個(gè)正方形互相重合，按住一個(gè)不動(dòng)，將另一個(gè)繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積是_. （青島市中考試題） 第1題圖 第3題圖 第4題圖4.如圖，是正方形內(nèi)一點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至能與重合，若，則=_. （河南省中考試題） 5.將個(gè)邊長(zhǎng)都為的正方形按如圖所示擺放，點(diǎn)分別是正方形的中心，則個(gè)正方形重疊形成的重疊部分的面積

5、和為( )A . B C. D. （晉江市中考試題） 第5題圖 第6題圖 6. 如圖，以的斜邊為一邊在的同側(cè)作正方形，設(shè)正方形的中心為，連接，如果，則的長(zhǎng)為( )A . 12 B8 C. D. （浙江省競(jìng)賽試題） 7如圖，正方形中，那么是( )A . B C. D. 8如圖，正方形的面積為256，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，的面積為200，則的值是( )A15 B12 C11 D10 9如圖，在正方形中，是邊的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，求證：10. 如圖，在正方形中，是邊的中點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，且 求證：平分11. 如圖，已知是正方形對(duì)角線上一點(diǎn)，分別是垂足求證：（揚(yáng)州市中考試題）12.（1）如圖1，已知正方形

6、和正方形，在同一條直線上，為線段的中點(diǎn)探究：線段的關(guān)系（2）如圖2，若將正方形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得正方形的對(duì)角線在正方形的邊的延長(zhǎng)線上，為的中點(diǎn)試問：（1）中探究的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由（大連市中考試題） 圖1 圖2B級(jí)1. 如圖，在四邊形中，于，若四邊形的面積為8，則的長(zhǎng)為_.2.如圖，是邊長(zhǎng)為1的正方形內(nèi)一點(diǎn)，若，則_. （北京市競(jìng)賽試題）3.如圖，在中，以為一邊向三角形外作正方形，正方形的中心為，且，則的長(zhǎng)為_.（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）4.如圖：邊長(zhǎng)一定的正方形，是上一動(dòng)點(diǎn)，交于，過作交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，連接，下列結(jié)論：；為定值，其中一定成立的是( )A . B

7、C. D. 5.如圖，是正方形，是菱形，則與度數(shù)的比值是( )A . 3 B4 C. 5 D. 不是整數(shù)6.一個(gè)周長(zhǎng)為20的正方形內(nèi)接于一個(gè)周長(zhǎng)為28的正方形，那么從里面正方形的頂點(diǎn)到外面正方形的頂點(diǎn)的最大距離是( )A . B C. 8 D. E.（美國(guó)高中考試題）7.如圖，正方形中，是的中點(diǎn)，設(shè)，在上取一點(diǎn)，使，則的長(zhǎng)度等于 ( )A . 1 B2 C. 3 D. （“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）8.已知正方形中，是中點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且交平分線于（如圖1）（1）求證：；（2）若將上述條件中的“是中點(diǎn)”改為“是上任意一點(diǎn)”其余條件不變（如圖2），（1）中結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；（3）如圖2，點(diǎn)是的延長(zhǎng)線上（除點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，則（1）中結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由； （臨汾市中考試題） 9.已知求證：10.如果，點(diǎn)分別在正方形的邊上，已知的周長(zhǎng)等于正方形周長(zhǎng)的一半，求的度數(shù) （“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題