一,三重積分的概念ppt課件

1、問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出 設(shè)空間立體設(shè)空間立體 V 的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 f ( x, y, z ) 求立體求立體 V 的質(zhì)量的質(zhì)量 M. 為了求為了求 V 的質(zhì)量，仍采用：分割、近似代替、的質(zhì)量，仍采用：分割、近似代替、求和、取極限四個(gè)步驟求和、取極限四個(gè)步驟. 一、三重積分的概念一、三重積分的概念 5 三重積分三重積分 其次其次,在每個(gè)小塊在每個(gè)小塊 Vi 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)),(iii 那么那么 Vi 的質(zhì)量的質(zhì)量iiiiiVfM ),( 然后對(duì)每個(gè)小塊然后對(duì)每個(gè)小塊 Vi 的質(zhì)量求和：的質(zhì)量求和： niiiiiVfM1),( 最后，取極限最后，取極限 niiiiiTVfM10|),(

2、lim 其中其中max|0的的直直徑徑iniVT 首先首先,把把 V 分成分成 n 個(gè)小塊個(gè)小塊 V1 , V2 , . . . , Vn , Vi 的體積的體積 記為記為iV 定義定義 1設(shè)設(shè) f ( x, y, z ) 為定義在三維空間可求體積為定義在三維空間可求體積區(qū)域區(qū)域 V1 , V2 , . . . , Vn , Vi 的體積記為的體積記為iV 的有界區(qū)域的有界區(qū)域 V 上的有界函數(shù)上的有界函數(shù), 把把 V 任意地分成任意地分成 n 個(gè)小個(gè)小max|0的的直直徑徑iniVT 記記在每個(gè)小塊在每個(gè)小塊 Vi 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)),(iii 若極限若極限 niiiiiTVf10|),

3、(lim 存在，則稱(chēng)存在，則稱(chēng) f ( x, y, z ) 在在 V 上可積，并稱(chēng)此極限為上可積，并稱(chēng)此極限為 f ( x, y, z ) 在在 V 上的三重積分，記為上的三重積分，記為 VVzyxfd),(或或 Vzyxzyxfddd),(設(shè)設(shè) f ( x, y, z ) 在長(zhǎng)方體在長(zhǎng)方體,hedcbaV 上連續(xù)，那么上連續(xù)，那么 hedcbaVzzyxfyxzyxzyxfd),(ddddd),(二、化三重積分為累次積分二、化三重積分為累次積分設(shè)設(shè)),(),(),(| ),(21DyxyxzzyxzzyxV ),()(| ),(21bxaxyyxyyxD 那么那么 Vzyxzyxfddd),

4、(zxyoVD),(1yxzz ),(2yxzz )(1xyy )(2xyy ),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyx ),(),()()(2121d),(ddyxzyxzxyxybazzyxfyx Vzyxzyxfddd),(其中其中V 為三個(gè)坐標(biāo)為三個(gè)坐標(biāo)計(jì)算計(jì)算 ,ddd Vzyxx12 zyx所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域 .1xyz121解解 yxDVzxyxzyxx210dddddd )1(01021d)21(dxyyxxx Dyxyxxdd)21( 1032d)2(41xxxx481 面及平面面及平面xy121 例例12xyzO例例1計(jì)算計(jì)算22d d d,Vx y

5、 zxy其中其中 V 為由平面為由平面 x = 1, x = 2, z = 0 y = x, z = y 所圍的區(qū)域所圍的區(qū)域.解解xy21ODxy Vyxzyx22ddd yDyxzyx022ddd xDyyxyxyxyxy0222122dddd 21022d| )ln(21xyxxln221 假設(shè)假設(shè) V 可以表示為：可以表示為： bzaDyxVz),(:則三重積分可采用先在區(qū)域則三重積分可采用先在區(qū)域 Dz 上計(jì)算二重積分，上計(jì)算二重積分，再計(jì)算一個(gè)定積分的方法來(lái)計(jì)算再計(jì)算一個(gè)定積分的方法來(lái)計(jì)算 Vzyxzyxfddd),( zDbayxzyxfzdd),(dzDyxOzabxyz例例2

6、 計(jì)算計(jì)算 解解:Vczc 2222221:czbyaxDz abczDz其中其中 V 是橢球體是橢球體2222221.xyzabc2d d d .VIzx y z Vzyxzddd2 zDccyxzzddd2 zDccyxzzddd2 czczabz0222d)1(2 3154abc c例例3計(jì)算計(jì)算222222()d d d ,VxyzIx y zabc其中其中 V 是橢球體是橢球體解解2222221.xyzabczDzyxO VzyxaxIddd22 Vzyxczddd22 zDccyxczzddd22z zDccyxzczddd22 cczczabczd)1(2222 VVzyxczz

7、yxbydddddd2222abc 154 空空間間中中的的區(qū)區(qū)域域把把設(shè)設(shè)變變換換uvwwvuzzwvuyywvuxxT,),(),(),(: ，函函數(shù)數(shù)空空間間中中的的區(qū)區(qū)域域一一對(duì)對(duì)一一的的映映射射為為VxyzV ),(),(),(wvuzzwvuyywvuxx ，三、三重積分換元法三、三重積分換元法的一階偏導(dǎo)數(shù)在的一階偏導(dǎo)數(shù)在V 內(nèi)連續(xù)且函數(shù)行列式內(nèi)連續(xù)且函數(shù)行列式VwvuwzvzuzwyvyuywxvxuxwvuzyxwvuJ ),( , 0),(),(),( VVwvuJwvuzwvuywvuxfzyxzyxfddd|),(),(),(ddd),(則則1、柱面坐標(biāo)變換、柱面坐標(biāo)變換

8、 zrzzryrxT 200sincosoxyz常數(shù)常數(shù) r坐標(biāo)面分別為坐標(biāo)面分別為圓柱面圓柱面常數(shù)常數(shù) 半平面半平面常數(shù)常數(shù) z垂直于軸垂直于軸 z 的平面的平面oz),(zyxr)0 ,(yxrrrzrzyxzrJ 1000cossin0sincos),(),(),( Vzyxzyxfddd),( Vzrrzrrfddd),sin,cos( 計(jì)算計(jì)算,ddd22 Vzyxyxzxyx222 0),0(, 0 yaazz解解 dcos342032 a及平面及平面2axyzo cos202202dd2rra aDzzrdrd02d Vzyxyxzddd22298a 其中其中 V 為由柱面為由柱

9、面 cos2 r所圍成半圓柱體所圍成半圓柱體. Vzrrrzddd 作柱面坐標(biāo)變換例例o oxyz計(jì)算計(jì)算 在柱面坐標(biāo)系下hhz42dhdh2022)4(124)41ln()41(4hhhh202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所圍成 .與平面其中其中由拋物面由拋物面原式 =例例解解 2000cossinsincossin: rrzryrxToxyzr),( r 坐標(biāo)面分別為坐標(biāo)面分別為常數(shù)常數(shù) r球面球面常常數(shù)數(shù) 半平面半平面常常數(shù)數(shù) 錐面錐面2. 球坐標(biāo)變換球坐標(biāo)變換 Vzyxzyxfddd),( , , )( , ,)x y zJr sincoscoscoss

10、insinsinsincossinsincoscossin0rrrrr sin2r Vrrrrrf dddsin)cos,sinsin,cossin(2計(jì)算計(jì)算 ,ddd)(222 Vzyxzyx22yxz 2222Rzyx 解解所圍立體所圍立體.其中其中 V 為錐面為錐面與球面與球面 Rrr04d)22(515 R 40sind 20dxyzo4222()d d dVxyzx y z在球面坐標(biāo)系下在球面坐標(biāo)系下例例計(jì)算計(jì)算 ,ddd)( Vzyxzyx222yxz hz 解解所圍立體所圍立體.其中其中 V 為錐面為錐面與平面與平面 cos02dsincoshrrr44h 40d 20dxyz

11、o()d d dVxyzx y z 4hd d dd d dd d dVVVx x y zy x y zz x y z Vzyxzddd例例解解44h Vzyxzyxddd)(xyzo4h Vzyxzddd zDhyxzzddd0 zDhyxzzddd0 hzzz02d 解解44h Vzyxzyxddd)(xyzo4h Vzyxzddd Vzrrzddd hrDzzrrddd Drrhr dd)(2122 hrrhr02220d)(d21 )42(22144hh 若平面區(qū)域若平面區(qū)域 D 關(guān)于關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)，則下列積分的值為零軸對(duì)稱(chēng)，則下列積分的值為零0dd Dyxy若平面區(qū)域若平面區(qū)域 D

12、 關(guān)于關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)，則下列積分的值為零軸對(duì)稱(chēng)，則下列積分的值為零0dd Dyxx例如，假設(shè)例如，假設(shè) D 是以原點(diǎn)為圓心的圓，那么是以原點(diǎn)為圓心的圓，那么0dd)( Dyxyx 進(jìn)一步，對(duì)于變量的奇、偶函數(shù)，可得到與進(jìn)一步，對(duì)于變量的奇、偶函數(shù)，可得到與定積分類(lèi)似的性質(zhì)定積分類(lèi)似的性質(zhì).若空間區(qū)域若空間區(qū)域 V 關(guān)于關(guān)于 xy 平面對(duì)稱(chēng)，則有平面對(duì)稱(chēng)，則有0ddd Vzyxz若空間區(qū)域若空間區(qū)域 V 關(guān)于關(guān)于 xz 平面對(duì)稱(chēng)，則有：平面對(duì)稱(chēng)，則有：0ddd Vzyxy若空間區(qū)域若空間區(qū)域 V 關(guān)于關(guān)于 yz 平面對(duì)稱(chēng)，則有：平面對(duì)稱(chēng)，則有：0ddd Vzyxx例如，假設(shè)例如，假設(shè) V 是以原點(diǎn)為球心的球體，那是以原點(diǎn)為球心的球體，那么么0ddd)( Vzyxzyx 立體體積立體體積 曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面),(yxfz 則其體積為則其體積為 DyxyxfVdd),(,),(Dyx 占有空間有界域 V 的立體的體積為 VzyxVddd求由圓錐體求由圓錐體 cot22yxz 和球體和球體2222)(aazyx 所確定的立體體積，其中所確定的立體體積，其中0,0.2a xOyza解解 立體的體積為立體的體積為 cos20202