北京市海淀區(qū)2016屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)理試題

1、2015.11海淀區(qū)高三年級第二學(xué)期期中練習(xí)數(shù)學(xué)（理科）本試卷共4頁，150分.考試時長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1,已知集合-尸=卜|/一盤2五口13,4）,則集合中元素的個數(shù)為A.1B.2C.3D.42 .下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是a*=b.回天|C-=（匕1）'d.y=2"3 .在AABC中，/且的J=則1y前的值為A. 11B. 1 C. 一2D.3且扁,則為+的的值為4 .數(shù)列口J的前n項和為國.若勒一國2內(nèi)7

2、1內(nèi)?2）A.1B.3C.5D.65 .已知函數(shù)了（力二下列結(jié)論錯誤的是A./=cos"B.函數(shù)/（孑）的圖象關(guān)于直線x=0對稱c. /（>）的最小正周期為6. X>0 ”是 x + sinx>0D. /（了）的值域為5司”的A.充分不必要條件B .必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件7.如圖，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（1,1）.若函數(shù)丫-口“（"°，且。xl）及”國”占，聞中的圖象與線段OA分別交于點(diǎn)M,N,且M,N恰好是線段OA的兩個三等分點(diǎn)，則a,b滿足C.匕。*a>£>>11J-1,8.已知函數(shù),

3、3=a,-11,函數(shù)=日/-A41.若函數(shù)y=/(為一氟：)恰好有2個不同1,五"零點(diǎn)，則實數(shù)a的取值范圍是A.(0,+cq)B,(-co,0)lJ(234嶼C.f-g,Luci.+8)D.J0)U(0,1)k2/二、填空題(共6小題，每小題的，共30分)9 .J：2工.二10 .在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b，c.若c=4,51ng仙4血白W則Q-，工3=11 .已知等差數(shù)列4的公差dhO，且a3a9aio%.若2口=。，則仁-uurr12,已知向量331),點(diǎn)A(3,0)，點(diǎn)B為直線y=2x上的一個動點(diǎn).若ABPa,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為.一Jt13 .已知函數(shù)1/=s皿皿

4、+以卬0),若江苞的圖象向左平移,個單位所得的圖象與1f5)的圖冗象向右平移K個單位所得的圖象重合，則面的最小值為14 .對于數(shù)列若卡刪,理£N,(用逐月)，都有'"為常數(shù))成立，則稱數(shù)列%°J施一黑L打具有性質(zhì)|f(o.若數(shù)列(%)的通項公式為=2*,且具有性質(zhì)廣，則t的最大值為;若數(shù)列(%)的通項公式為4=普一，且具有性質(zhì)中(10),則實數(shù)a的取值范圍是三、解答題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.15 .(本小題滿分13分)已知等比數(shù)列1%)的公比g：、0,其n前項和為邑,若見匕4的密必.(I)求公比q和%的值;(n)求證：鳥

5、2%16 .（本小題滿分13分）已知函數(shù).F正5m（2H+）+83（2了+"的值;（n）求函數(shù)小）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間.17 .(本小題滿分13分)如圖，在四邊形ABCD中，AB=8,BC=3,CD=5,=cosZADB=-37(I)求BD的長；18 .（本小題滿分13分）已知函數(shù)工）=:/+/+以斗1,曲線p=/（T）在點(diǎn)（0,1）處的切線為l（I）若直線l的斜率為一3,求函數(shù)1（%）的單調(diào)區(qū)間；（n）若函數(shù)是汽#）區(qū)間2,a上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.19 .(本小題滿分14分)已知由整數(shù)組成的數(shù)列%各項均不為0,其前n項和為，且的口，2M佐川.(I)求的值；(n)求叫的

6、通項公式;(出)若=15時，Sn取得最小值，求a的值.20 .(本小題滿分14分)已知x為實數(shù)，用表示不超過x的最大整數(shù)，例如1.2=1,-1.2=-2.l=1k對于函數(shù)f(x),若存在褥eR且也成Z,使得，=川加。,則稱函數(shù)|/卜)是函數(shù).(I)判斷函數(shù)，(冗)=/一gn式毛)=51口他是否是C函數(shù)；(只需寫出結(jié)論)(n)設(shè)函數(shù)f(x)是定義R在上的周期函數(shù)，其最小正周期為T,若f(x)不是函數(shù)，求T的最小值.(出)若函數(shù)/勾=巴是G函數(shù)，求a的取值范圍.海淀區(qū)高三年級第二學(xué)期期中練習(xí)參考答案數(shù)學(xué)（理科）2015.11閱卷須知：1 .評分參考中所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到此步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。2

7、 .其它正確解法可以參照評分標(biāo)準(zhǔn)按相應(yīng)步驟給分。、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1.B2.B3.A4.C5.D6.C7.A二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.8.D9.310.2;1511.513.414.2;36,）說明；第10,14題第一空3分，第二空2分三、解答題：本大題共6小題，共80分.15.解：（I）法一：因為%為等比數(shù)列，且4a3a2a4,所以4a3a32,所以a34,12.(3,6)因為q2電曳4,所以q2.a11因為an0,所以q0,即q2所以a5aq416.法二：因為an為等比數(shù)列，且4a3a2a4,所以4a1q2a1q4,所以q24,所以q2

8、,因為an0,所以q4所以a5a1q16.(H)法一：因為q2,所以an因為Sna1(1qn)1qS2n1所以Sn幺一2an2n10,即q2n1n1aq2n21,1n1,因為/0，所以爭22an法二：因為q2,所以ana1qn12n1所以sa1(1qn)2n1,n1q所以Sn20,所以Snan2an法三：因為q2,所以anad12n1所以Sna1(1qn)2n1.1q要證Snan2,只需Sn2an,上式顯然成立，得證16.解:2.2.只需2n12n3分6分3分6分8分10分13分8分10分13分8分10分13分9(I)因為f(x)3sin(2xcos(2x-),33所以f().3sin(2康T

9、t-)cos(2-363sin(常323cos()一32(n)因為f(x),3sin(2x-)cos(2x汽3)所以f(x)2立sin(2x2汽3)1-cos(2x2汽3)一汽一2cos-sin(2xsincos(2x)63汽2sin(2x-)汽6汽2sin(2x-)2cos2x,2所以周期T牝n.令2k/2冗2x2ku,1112所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kn-,kn),kZ.213法二：因為f(x),3sin(2x.cos(2x/,所以f(x).3(sin2汽xcos一3cos2xsin-)(cos2汽xcos-3汽sin2xsin)3所以周期.3(1sin2x22cos2x2支汽.1c

10、os2x)(-cos2x23n2x)2令2k冗22x2k/,1112Tt所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kn1317.解：(I)法一:在ABD中，因為cosADBADB(0,司,，.4.3所以sinADB根據(jù)正弦定理，有BDABsinAsinADB代入AB8,解得BD法二：作7.BEAD于E.因為ABABD中，BEABsin-473.3在BDE中，因為cosADBADB(0,©,所以sin所以BD4、3ADB7BEsinBDE(n)法一：7.在BCD中，根據(jù)余弦定理cosBC2CD2BD22BCCD代入BC3,CD5,得cos(0,嘰所以所以所以ACABCn,ADC2支.3而在四邊形A

11、BCD中AABCC+ADC式.法二：在ABD中,cosABD11_,所以sinABD14cosADB所以sinADB53N，4.37在BCD中，cosDBC11一,所以sin145.3ABD14cosBDC所以cosABCcos(ABD1314DBC)cosABDcosDBCcosADCcos(ADBBDC)cos所以sinADB3314sinADBcosBDCsinABDsinADBsinDBCBDC23982398即cosABC18.解(I)因為f(0)cosADC,所以ABCADCTt.1,所以曲線yf(x)經(jīng)過點(diǎn)(0,1),又f'(x)x所以f'(0)所以f'(

12、x)當(dāng)x變化時，2x3,a,2x3.f'(x),f(x)的變化情況如下表：7分3分6分7分10分12分2式13分8分9分11分12分13分2分3分x(,3)3(3,1)1(1,+)f'(x)00f(x)Z極大值極小值Z5分7 分所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，3),(1,+),單調(diào)遞減區(qū)間為(3,1).(n)因為函數(shù)f(x)在區(qū)間2,a上單調(diào)，當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間2,a上單調(diào)遞減時，f'(x)0對x2,a成立,2即f'(x)x2xa0對x2,a成立，f'(2)0根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，只需要',解得3a0.f'(a)09 分又2a,所以2

13、a0.當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間2,a上單調(diào)遞增時，f'(x)0對x2,a成立,2只要f'(x)x2xa在2,a上的最小值大于等于0即可，2因為函數(shù)f(x)x2xa0的對稱軸為x1,當(dāng)2a1時，f'(x)在2,a上的最小值為f'(a),2解f'(a)=a3a0,得a0或a3,所以此種情形不成立.11分當(dāng)1a時，f'(x)在2,a上的最小值為f'(1),解f'(1)12a0得a1,所以a1,綜上，實數(shù)a的取值范圍是2a0或a1.13分19 .解：(I)因為2Snanan1,所以2sla1a2,即2ala1a2,2 分4 分因為a1a0,所

14、以a22,(n)因為2Snanan1,所以2Sn1an1%(n2),兩式相減,得到2anan(an1an1),因為an0,所以an1an12,所以a2k1,a2k都是公差為2的等差數(shù)列，當(dāng) n 2k 1 時，an a1 2(k 1) n a 1,當(dāng)n 2k時,n所以ann(m)an 2 2(k 1) 2ka 1, n為奇數(shù)，n為偶數(shù).n,6 分8 分因為2Snanan 1,由(n )知道ann a 1, n為奇數(shù), n , n為偶數(shù)，12 分111一(na1)(n1),n為奇數(shù),10 分所以Sn21n(na),n為偶數(shù)，2注意到所有奇數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列是一個單調(diào)遞增的,所有偶數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列是一個單

15、調(diào)遞增的,當(dāng)n為偶數(shù)時，an0,所以此時SnSn1,所以S,5為最小值等價于S3Si5,Si567,法二：因為2&441 ,由(n)知道 ann a 1, n為奇數(shù),n , n為偶數(shù),a一 16,解得 32 a 28 , 2a 32, 31, 30, 29, 28).13分14分10分12分13分14分2分4 分6 分8分9 分10 分11分mm,其中m 0 ,所以a14a50,a6a170,所以1415a10,1617a10,解得32a28.因為數(shù)列an是由整數(shù)組成的，所以a(32,31,30,29,28).又因為an0,所以對所有的奇數(shù)n,anna10,所以a不能取偶數(shù)，所以a31

16、,a29.1(na1)(n1),n為奇數(shù),所以Sn21n(na),n為偶數(shù)，2因為§5為最小值，此時n為奇數(shù)，1當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn-(na1)(n1),2根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)知道，有14因為數(shù)列an)是由整數(shù)組成的，所以又因為an0,所以對所有的奇數(shù)n,anna10,所以a不能取偶數(shù)，所以a31,a29.經(jīng)檢驗，此時Sn為最小值，所以a31,a29.20 .解：21一一，(I)f(x)xx是函數(shù)，3g(x)sin亦不是函數(shù).(n)T的最小值為1.因為f(x)是以T為最小正周期的周期函數(shù)，所以f(T)f(0).假設(shè)T1,則T0,所以f(T)f(0),矛盾.所以必有T1,函數(shù),而函數(shù)l(x)xx的周期為1,且顯然不是是綜上，T的最小值為1.一(出)當(dāng)函數(shù)f(x)x一是函數(shù)時，x若a0,則f(x)x顯然不是函數(shù)，矛盾.若a0,則f'