常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法ppt課件

1、一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法1、比較審斂法、比較審斂法(1) (1) 一般形式一般形式(2) (2) 極限形式極限形式2、比值審斂法、比值審斂法3 3、根值審斂法、根值審斂法 nnnulim 三、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性三、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 , 2 , 1 11 nuunn0 2nnulimnnvu 0,llvulimnnn0 nnnuulim1絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂條件收斂條件收斂一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)：正項(xiàng)級(jí)數(shù)： , 2 , 1 0 ,1 nuunnn部分和數(shù)列部分和數(shù)列 ns單增：?jiǎn)卧觯?21nnssss正項(xiàng)

2、級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)1nnu收斂的充要條件是部分和數(shù)列有界收斂的充要條件是部分和數(shù)列有界.定理定理1. ns假設(shè)假設(shè) 有界有界,那么那么,limssnn nkku1級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)收斂。收斂。反之，反之，nkku1若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)收斂，收斂，那么那么, sslimnn ns即即有界有界, , 2 , 10 nvunn設(shè)設(shè) 收收斂斂1nnv 發(fā)發(fā)散散1nnu證證,usnkkn1,vnkkn1 ,snn 收收斂斂 1nnu發(fā)發(fā)散散 1nnv.limslimnnnn 1、比較審斂法、比較審斂法,unn1,vnn1（1一般形式一般形式推論推論若存在自然數(shù)若存在自然數(shù)N, 使得當(dāng)使得當(dāng),N,Nnkvunn10成立成立,nN

3、 時(shí)時(shí),1).那么那么1nnu收斂收斂;2).,N,Nnkvunn1成立成立,1nnu發(fā)散發(fā)散.那那么么1nnv收斂收斂,假設(shè)假設(shè)發(fā)散發(fā)散, 1nnv假設(shè)假設(shè)例如例如, , 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù),nn1121121nun,n21故原級(jí)數(shù)發(fā)散。故原級(jí)數(shù)發(fā)散。發(fā)散發(fā)散, ,121nn而而nnppdxnn111nnpdxx11考慮級(jí)數(shù)考慮級(jí)數(shù),nnppn12111其部分和其部分和1113121211pppns11111ppnn當(dāng)當(dāng)1p時(shí)，時(shí)，,xnpp11有有那么那么對(duì)于對(duì)于,nxn11111111ppnnp1111pn1111pnnnnlimslim上述級(jí)數(shù)收斂。上述級(jí)數(shù)收斂。由比較審斂法知由比較審斂法知,

4、p-級(jí)數(shù)當(dāng)級(jí)數(shù)當(dāng) p1 時(shí)收斂。時(shí)收斂。P級(jí)數(shù)級(jí)數(shù):11npn當(dāng)當(dāng)1p時(shí)收斂時(shí)收斂; 當(dāng)當(dāng)1p時(shí)發(fā)散時(shí)發(fā)散.結(jié)論結(jié)論1由比較審斂法知由比較審斂法知, 該級(jí)數(shù)發(fā)散。該級(jí)數(shù)發(fā)散。例例1 討論討論P(yáng)-級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)ppppn14131211的收斂性的收斂性, 其中其中解解.p0,nnp11有有當(dāng)當(dāng)10 p時(shí)，時(shí)，而調(diào)和級(jí)數(shù)而調(diào)和級(jí)數(shù)11nn發(fā)散，發(fā)散，例如例如,11nn發(fā)散發(fā)散;121nn收斂收斂.例例2. 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性判別下列級(jí)數(shù)的斂散性: ;1111nnn. .nn.n14112解解 111nnu .n211n,n11111nn發(fā)散發(fā)散,故原級(jí)數(shù)發(fā)散。故原級(jí)數(shù)發(fā)散。 4112nnu .nnn1

5、,n21121nn收斂收斂, 故原級(jí)數(shù)收斂。故原級(jí)數(shù)收斂。P級(jí)數(shù)級(jí)數(shù):11npn當(dāng)當(dāng)1p時(shí)收斂時(shí)收斂; 當(dāng)當(dāng)1p時(shí)發(fā)散時(shí)發(fā)散.結(jié)論結(jié)論設(shè)設(shè)11nnnnv,u為正項(xiàng)級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),假設(shè)假設(shè),llvulimnnn0 證證 對(duì)對(duì),l2 存在自然數(shù)存在自然數(shù) N, 當(dāng)當(dāng) nN 時(shí)時(shí), 有有.llvunn2, lvulnn232,vluvlnnn232由比較審斂法知結(jié)論成立由比較審斂法知結(jié)論成立.(2)比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式那么那么1nnu的斂散性相同。的斂散性相同。1nnv與與例例4. 判別級(jí)數(shù)判別級(jí)數(shù)nsinsinsinsin333332 的斂散性。的斂散性。解解nnnsinlim

6、33 ,113nn 收斂收斂, 故原級(jí)數(shù)收斂故原級(jí)數(shù)收斂.例例5 判別級(jí)數(shù)判別級(jí)數(shù)1211nnln的斂散性的斂散性.解解 22111nnlnlimn2211nnnlnlimeln1而級(jí)數(shù)而級(jí)數(shù)121nn收斂收斂,故原級(jí)數(shù)收斂故原級(jí)數(shù)收斂.取取,nvn21,vnn3 取取解解nnsinlimn11, 1取取,nvn111nn因因發(fā)散發(fā)散, 故原級(jí)數(shù)發(fā)散。故原級(jí)數(shù)發(fā)散。例例3. 判別級(jí)數(shù)判別級(jí)數(shù)11nnsin的斂散性的斂散性:設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),unn1 nnnuulim1當(dāng)當(dāng)1 時(shí)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散;當(dāng)當(dāng)1 時(shí)時(shí),級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)當(dāng)或或 1 時(shí)，時(shí)，斂散性不定。斂散性不定。2、比值審斂法

7、、比值審斂法(i) 1,r 因而因而,323mmmurruu 證證由極限定義由極限定義, 存在自然數(shù)存在自然數(shù) m ,當(dāng)當(dāng) nm 時(shí)有不等式時(shí)有不等式nnuu1 ,1mmruu , 212mmmurruu 取適當(dāng)小的正數(shù)取適當(dāng)小的正數(shù) , 使得使得 + = r 1,而而1kkmru為公比為公比 r 1, 取適當(dāng)小的正數(shù)取適當(dāng)小的正數(shù) , 使得使得 1,由極限定義由極限定義, 當(dāng)當(dāng) nm 時(shí)有不等式時(shí)有不等式(iii) =1, 級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.易就易就 p 級(jí)數(shù)舉出反例級(jí)數(shù)舉出反例.類(lèi)似可證類(lèi)似可證,. ,lim 11發(fā)散發(fā)散級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) innnnuuu解解

8、nnnuu1lim.1 !1limnnn nlimn10, 1級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂. nnnuulim.12!n!nlimnnn101011101nlimn, 級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散.例例6 判別級(jí)數(shù)的斂散性判別級(jí)數(shù)的斂散性: ;!11.11 nn ;10!.21 nnn .!2.31 nnnnn nnnuulim.1311112nnnn!nlimnnnnlim12e21級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂.!nnnn2nnn 111 lim2111112nnnlim1111. n例例7. 判別級(jí)數(shù)的斂散性判別級(jí)數(shù)的斂散性: ;2 111nntann. ;23 212nnncosn. .sin.nnn152 3 解解. n

9、nnuulim.1112221nnntanntannlim 1222nnnlim , 121級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂. nnncosnu .2322 nn2,vnnnnvvlim1nnlimnnn2211, 1211nnv收斂收斂, 故原級(jí)數(shù)收斂故原級(jí)數(shù)收斂. nnnsinu .523 nn52 n52 故原級(jí)數(shù)收斂故原級(jí)數(shù)收斂.1521nnnvvlim而而,vn收斂收斂,1nnv注：注：=1時(shí)時(shí),比值審斂法失效比值審斂法失效, 必須用其他的方法來(lái)判別必須用其他的方法來(lái)判別. 例例8 判別級(jí)數(shù)判別級(jí)數(shù)12121nnn的斂散性的斂散性. .121212nnn 解解 111212lim nnnnn nnn

10、uu1lim nnnnn212112121lim 比值審斂法失效。比值審斂法失效。但但而而 121nn收斂，收斂，12121nnn收斂收斂.由比較審斂法，得由比較審斂法，得nnn 122設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 1,unn nnnulim 例例9. 判別級(jí)數(shù)的斂散性判別級(jí)數(shù)的斂散性: 112113.2 ;11nnnnn-nn. nnnulim.1nnnnlim1nlimn1, 10 級(jí)數(shù)收斂。級(jí)數(shù)收斂。 nnnulim.2nnnnnlim1213. 191級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂.當(dāng)當(dāng)1 時(shí)時(shí), 發(fā)散發(fā)散;當(dāng)當(dāng)1 時(shí)時(shí),3 3、根值審斂法、根值審斂法級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)當(dāng)或或 1 時(shí)時(shí), 斂散性不定。斂散

11、性不定。解解二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法交錯(cuò)級(jí)數(shù)：交錯(cuò)級(jí)數(shù)： ,111 nnnu或或,unnn11,nun210,unnn111,nun210若滿(mǎn)足若滿(mǎn)足: , 2 , 1 11 nuunn則級(jí)數(shù)收斂則級(jí)數(shù)收斂, 且其和且其和,us1其余項(xiàng)其余項(xiàng).u|r |nn1萊布尼茨定理萊布尼茨定理0 2nnulim證證ns2 nnuuuuuu2124321 ,uuuuuun254321ns2單增且有上界單增且有上界,usslimnn12nnuuuuuu2124321ns2.usn1212 nnslim122nnnuslims,usslimnn1故故|r|n1nu321nnnuuu例例10

12、. 判定級(jí)數(shù)的斂散性判定級(jí)數(shù)的斂散性: ;11.111 nnn .11.21 nnn解解 nu.n1 111n,un 1nnulimnlimn10所以級(jí)數(shù)收斂所以級(jí)數(shù)收斂. nu.n1 211n,un 1nnulimnlimn10所以級(jí)數(shù)收斂所以級(jí)數(shù)收斂.三、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性三、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性任意項(xiàng)級(jí)數(shù)：任意項(xiàng)級(jí)數(shù)： 1,unn則稱(chēng)則稱(chēng) 1nnu為絕對(duì)收斂為絕對(duì)收斂.1).假設(shè)假設(shè)1nn|u|收斂收斂,2).假設(shè)假設(shè)1nnu收斂收斂, 但但1nn|u|發(fā)散發(fā)散,則稱(chēng)則稱(chēng)1nnu為條件收斂為條件收斂.例如例如,1111nnn1311nnn條件收斂條件收斂;絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂.為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù).nu 定理定理 證證 設(shè)設(shè)1nn|u|收斂收斂, 令令 ,n|u|uvnnn21 21|,u|vnn0由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較審斂法知由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較審斂法知1nnv收斂收斂.|,u|vunnn2由性質(zhì)知由性質(zhì)知,1nnu收斂收斂.絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂,若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)1nnu必定收斂必定收斂.則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)1nnu例例11. 判定級(jí)數(shù)的斂散性判定級(jí)數(shù)的斂散性, 若收斂若收斂, 是絕對(duì)收斂還是條件收斂是絕對(duì)收斂還是條件收斂? ;112nnnsin