第十二章第七節(jié)ppt課件

1、三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系的正交性函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)( (傅氏級數(shù)傅氏級數(shù)Fourier Fourier series)series)問題的提出問題的提出第七節(jié)第七節(jié) 傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù)正弦級數(shù)或余弦級數(shù)正弦級數(shù)或余弦級數(shù) 第十一章第十一章 無窮級數(shù)無窮級數(shù) 傅里葉傅里葉(Fourier,1768-1830) 法國數(shù)學(xué)家和法國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家物理學(xué)家. 法國科學(xué)院院士法國科學(xué)院院士,英國皇家學(xué)會會員英國皇家學(xué)會會員.傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù)1757年年,法國數(shù)學(xué)家克萊羅：太陽引起的攝動，法國數(shù)學(xué)家克萊

2、羅：太陽引起的攝動， 10cos2)(nnnxAAxf 1759 1759年年, ,拉格朗日：聲學(xué)的研究，三角級數(shù)拉格朗日：聲學(xué)的研究，三角級數(shù). .1777年年,歐拉：天文學(xué)歐拉：天文學(xué), 三角級數(shù)三角級數(shù)歷史朔源歷史朔源三角級數(shù)表示函數(shù)三角級數(shù)表示函數(shù): :1753年年,三角級數(shù)。三角級數(shù)。丹丹貝努利：弦振動方程，貝努利：弦振動方程，1822年年,傅里葉：傅里葉：熱的解析理論熱的解析理論函數(shù)的傅里葉展開函數(shù)的傅里葉展開一、問題的提出一、問題的提出最簡單最基本最簡單最基本的周期函數(shù)是的周期函數(shù)是)sin( tA諧函數(shù)諧函數(shù)周期周期 2振幅振幅時間時間角頻率角頻率初相初相 簡諧波簡諧波 簡諧振

3、動簡諧振動正弦型函數(shù)正弦型函數(shù)傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù)矩形波矩形波 tttu0, 10, 1)(當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)不同頻率正弦波不同頻率正弦波,sin4t ,3sin314t ,5sin514t ,7sin714t 非正弦周期函數(shù)非正弦周期函數(shù),較復(fù)雜的較復(fù)雜的周期現(xiàn)象周期現(xiàn)象逐個疊加逐個疊加分解分解,9sin914t 傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù)Otu11 tusin4 傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù)11 Otu 2 22 2 23 23 )3sin31(sin4ttu 傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier

4、)級數(shù)級數(shù)Otu11 2 22 2 23 23 )5sin513sin31(sin4tttu 傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù)Otu11 2 22 2 23 23 )7sin715sin513sin31(sin4ttttu 傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù)Otu11 2 22 2 23 23 )9sin917sin715sin513sin31(sin4)( ttttttu )0,( tt )9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu 傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù)Otu11 2 22 2 23

5、 23 三角級數(shù)三角級數(shù) 10)sincos(2nnnnxbnxaa函數(shù)函數(shù) f (t) 滿足什么條件滿足什么條件,系數(shù)系數(shù)nnbaa,0才能展為才能展為如何確定如何確定? 10)sincos(2nnnnxbnxaa三角級數(shù)三角級數(shù)?傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù), 1三角函數(shù)系三角函數(shù)系二、三角函數(shù)系的正交性二、三角函數(shù)系的正交性的正交性是指的正交性是指:其中任何兩個不同的函數(shù)的乘積其中任何兩個不同的函數(shù)的乘積上的積分為零，上的積分為零，, 在一個周期長的區(qū)間在一個周期長的區(qū)間 而任而任一個函數(shù)的自乘一個函數(shù)的自乘(平方平方)在在 ,cos x,sin x,2cos

6、 x,2sin x,cosnx,sinnx或或上上的的積積分分為為 , .2 為為 1nxcosxd 1nxsinxd0 即有即有xd12 2 傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù)orthogonality xnxmxdsinsin xnxmxdcossin), 2 , 1,( nm其其中中xnxdcos2 xnxdsin2 nm , 0nm , 0 xnxmxdcoscosnm , 0nm , 傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù) 1.1.傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù) (Fourier (Fourier coefficient)coefficient) 10)

7、sincos(2)(kkkkxbkxaaxf若若有有.)1(0a求求 220 a xxfad)(10 xad20利用三角函數(shù)系的正交性利用三角函數(shù)系的正交性兩邊積分兩邊積分 1dsindcoskkkxkxbxkxa 0 0 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf xd xd xd傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù)三、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)三、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù).)2(na求求 xnxxfdcos)(dcossindcoscos1 xnxkxbxnxkxakkk 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf xnxandcos2 na xnxxfandco

8、s)(1), 3 , 2 , 1( n,cosnx兩邊同乘兩邊同乘逐逐項(xiàng)項(xiàng)積積分分到到再再從從 xnxadcos20利用三角函數(shù)系的正交性利用三角函數(shù)系的正交性nk 0 0 傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù).)3(nb求求 xnxxfbndsin)(1), 3 , 2 , 1( n xnxxfdsin)(dsinsindsincos1 xnxkxbxnxkxakkk nb 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf,sinnx兩兩邊邊同同乘乘逐逐項(xiàng)項(xiàng)積積分分到到再再從從 xnxadsin20利用三角函數(shù)系的正交性利用三角函數(shù)系的正交性0 nk 0 傅里葉傅里葉(

9、Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù)1993,研究生考題研究生考題,填空填空,3分分的傅里葉級數(shù)的傅里葉級數(shù)設(shè)設(shè))( ,)(2 xxxxf則則展展開開式式為為)sincos(210nxbnxaannn ).(3 b系系數(shù)數(shù) 32 xnxxfbndsin)(1解解由傅里葉系數(shù)公式由傅里葉系數(shù)公式, 3 n xxxxbd3sin)(123 xxxxxxd3sind3sin12dxxx 3sin 32 偶偶奇奇 02傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù)0 2. 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)充分條件充分條件狄利克雷狄利克雷(德德)1805-1859它它在在的的周周期

10、期函函數(shù)數(shù)是是周周期期為為設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),2)( xf:,上上滿滿足足條條件件區(qū)區(qū)間間 ;,)1(處處連續(xù)處處連續(xù)外外除有限個第一類間斷點(diǎn)除有限個第一類間斷點(diǎn).)2(只只有有有有限限個個極極值值點(diǎn)點(diǎn)(收斂定理收斂定理)傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù))()sincos(210 xfnxbnxaannn 上它的和函數(shù)為上它的和函數(shù)為且在且在, ,)(都收斂都收斂一點(diǎn)一點(diǎn)產(chǎn)生的傅里葉級數(shù)在任產(chǎn)生的傅里葉級數(shù)在任則由則由xxf傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù) 當(dāng)當(dāng)x是是f (x)的連續(xù)點(diǎn)時的連續(xù)點(diǎn)時,2)0()0( xfxf當(dāng)當(dāng)x是是f (x)的間斷點(diǎn)時

11、的間斷點(diǎn)時當(dāng)當(dāng) 時時 x)(xS傅氏級數(shù)的和函數(shù)與函數(shù)傅氏級數(shù)的和函數(shù)與函數(shù)f(x)的關(guān)系的關(guān)系),(xf)()sincos(210 xfnxbnxaannn ,2)()(ff 0 0 (1)函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件比展開成函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件比展開成(2) 周期函數(shù)的三角級數(shù)展開是唯一的周期函數(shù)的三角級數(shù)展開是唯一的,就是就是常說把常說把 f (x)在在 上展開成傅氏級數(shù)上展開成傅氏級數(shù)., (3) 要注明傅氏級數(shù)的和函數(shù)與函數(shù)要注明傅氏級數(shù)的和函數(shù)與函數(shù)f (x)相等相等注注冪級數(shù)的條件低得多冪級數(shù)的條件低得多;其傅里葉級數(shù)其傅里葉級數(shù),20a它它的的常常數(shù)數(shù)項(xiàng)項(xiàng) xxfad)(1

12、0傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù)的區(qū)域的區(qū)域.就是函數(shù)就是函數(shù)在一個周期內(nèi)的平均值在一個周期內(nèi)的平均值; 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)以以 為周期為周期, 且且 2 .0,1,0, 1)(2時時當(dāng)當(dāng)時時當(dāng)當(dāng) xxxxf其傅氏級數(shù)在其傅氏級數(shù)在 處收斂于處收斂于( ). x1992,研究生考題研究生考題,填空填空,3分分22 傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù)解解上上滿滿足足狄狄利利克克雷雷條條件件，在在區(qū)區(qū)間間由由于于,)( xf)0( f)0( f收收斂斂于于在在 x2)0()0( ff,1)1(lim22 xx, 1)1(lim x22 傅里葉傅

13、里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù)周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)解題程序周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)解題程序:并驗(yàn)證是否滿足狄氏條件并驗(yàn)證是否滿足狄氏條件(畫圖目的畫圖目的: 驗(yàn)證狄氏條件驗(yàn)證狄氏條件;由圖形寫出收斂域由圖形寫出收斂域;易看出奇偶性可減少求系數(shù)的工作量易看出奇偶性可減少求系數(shù)的工作量);(2) 求出傅氏系數(shù)求出傅氏系數(shù);(3) 寫出傅氏級數(shù)寫出傅氏級數(shù), 并注明它在何處收斂于并注明它在何處收斂于f (x).傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù)(1) 畫出畫出 f (x)的圖形的圖形,且且為為周周期期以以函函數(shù)數(shù),2)( xf ,0, 0, 0,)( xxxxf解

14、解 計(jì)算傅里葉系數(shù)計(jì)算傅里葉系數(shù) xxfad)(10 0d1 xx2 例例傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù) 2 3 2 3Oxy將將 f (x) 展開為傅里葉級數(shù)展開為傅里葉級數(shù). f (x) 的圖象的圖象 xnxxfandcos)(1 0dcos1 xnxx)cos1(12 nn 02cossin1 nnxnnxx ,22 n, 0, 5 , 3 , 1 n;, 6 , 4 , 2 n)1(1 12nn xnxxfbndsin)(1 0dsin1 xnxx02sincos1 nnxnnxxnn cos .)1(1nn 傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級

15、數(shù)級數(shù) 112sin)1(cos)1(1 14nnnnxnnxn xxx5cos513cos31cos2422 .3sin312sin21sin xxx)(xf傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù)故故 f (x)的傅里葉級數(shù)的傅里葉級數(shù)解解, 例例 將函數(shù)將函數(shù) xxxxxf0,0,)(展開為傅氏級數(shù)展開為傅氏級數(shù).拓廣的周期函數(shù)的傅氏級數(shù)展開式在拓廣的周期函數(shù)的傅氏級數(shù)展開式在 xxfad)(10 0d2xx 計(jì)算傅里葉系數(shù)計(jì)算傅里葉系數(shù)傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù)Oxy 2 2 所給函數(shù)在區(qū)間所給函數(shù)在區(qū)間滿足狄氏充要條件滿足狄氏充要條件,收

16、斂于收斂于 f (x).上上, xnxxfandcos)(1)1(cos22 nxn 1)1(22 nn xxxf,)( 0dcos2xnxx偶函數(shù)偶函數(shù) , 6 , 4 , 2, 0, 5 , 3 , 1,42nnn xnxxfbndsin)(10 奇函數(shù)奇函數(shù)傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù) 12)12cos()12(142)(nxnnxf )( x所求函數(shù)的傅氏展開式為所求函數(shù)的傅氏展開式為 xxx5cos513cos31cos4222 利用傅氏展開式求級數(shù)的和利用傅氏展開式求級數(shù)的和, 0)0(,0 fx時時當(dāng)當(dāng) 222513118 xxxf,)(傅里葉傅里葉(

17、Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù)98 (A) 填空題填空題 (3分分) ,61212 nn 已知級數(shù)已知級數(shù) 則級數(shù)則級數(shù) 的和的和 12121nn等于等于82 12216nn 12)12(1nn 1212141)12(1nnnn解解641)12(1212 nn 222241312111 12)2(1nn8)12(1212 nn所以所以,傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù)由奇函數(shù)與偶函數(shù)的積分性質(zhì)由奇函數(shù)與偶函數(shù)的積分性質(zhì)系數(shù)的公式系數(shù)的公式,易得下面的結(jié)論易得下面的結(jié)論.和傅里葉和傅里葉 na nb此時稱傅里葉級數(shù)為此時稱傅里葉級數(shù)為nxbnnsin1 即即

18、xnxxfandcos)(1), 2 , 1 , 0( n0), 2 , 1( n)(xf奇函數(shù)奇函數(shù) xnxxfbndsin)(12 0 xnxxfdsin)( )(xf奇函數(shù)奇函數(shù)(sine series)正弦級數(shù)正弦級數(shù),傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù)sine series and cosine series四、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)四、正弦級數(shù)和余弦級數(shù)它的傅里葉系數(shù)為它的傅里葉系數(shù)為,)(2. 1展成傅里葉級數(shù)時展成傅里葉級數(shù)時的奇函數(shù)的奇函數(shù)當(dāng)周期為當(dāng)周期為xf nb此時稱傅里葉級數(shù)為此時稱傅里葉級數(shù)為nxaann 10cos2即即), 2 , 1( n),

19、2 , 1( n na 0dcos)(2xnxxf xnxxfandcos)(1 xnxxfbndsin)(10注注將函數(shù)展為傅里葉級數(shù)時將函數(shù)展為傅里葉級數(shù)時,先要考查函數(shù)先要考查函數(shù)是非常有用的是非常有用的.是否有奇偶性是否有奇偶性, 0a 0d)(2xxf(cosine series)余弦級數(shù)余弦級數(shù),傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù)它的傅里葉系數(shù)為它的傅里葉系數(shù)為,2. 2展成傅里葉級數(shù)時展成傅里葉級數(shù)時的偶函數(shù)的偶函數(shù)當(dāng)周期為當(dāng)周期為 xxxxxf0,0,)(2 的函數(shù)的函數(shù)試將周期為試將周期為解解 函數(shù)的圖形如圖函數(shù)的圖形如圖,電學(xué)上稱為電學(xué)上稱為 偶函數(shù)偶

20、函數(shù) 0a 0d)(2xxf 0d2xx 0dcos)(2xnxxfan)1(cos22 nxn 1)1(22 nn 0dcos2xnxx的圖象的圖象)(xf例例展為傅里葉級數(shù)展為傅里葉級數(shù).鋸齒波鋸齒波.傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù)Oxy 2 2 3 , 6 , 4 , 2, 0, 5 , 3 , 1,42nnn ,)(處處處處連連續(xù)續(xù)由由于于xf所以所以 12)12cos()12(142)(nxnnxf x xxx5cos513cos31cos4222 0 nbnxaann 10cos2余弦級數(shù)余弦級數(shù)傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù)Ox

21、y 2 2 3解解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.為為周周期期的的是是以以時時 2)()12(xfkx ), 2 , 1 , 0(, 0 nan奇函數(shù)奇函數(shù)傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù) 2 2 3 3xyO設(shè)設(shè) f (x)是周期為是周期為 的周期函數(shù)的周期函數(shù),它在它在例例 2上上), 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為,)(xxf 將將 f (x)展開成傅氏級數(shù)展開成傅氏級數(shù). f (x)的圖形的圖形2)0()0( ff收斂于收斂于2)( , 0 ),()12(xfkxx處處收收斂斂于于在在連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn) 0dsin)(2xnxxfbn 0dsin2

22、xnxx 02sincos2nnxnnxx nncos2 1)1(2 nn), 2 , 1( n,), 2, 1, 0()12(處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn) kkx 傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù)的圖形的圖形)(xf 2 2 3 3xyO和函數(shù)圖象和函數(shù)圖象 2 2 3 3xyO)3sin312sin21(sin2)( xxxxf 11sin)1(2nnnxn),3,;( xxnxbnnsin1 正弦級數(shù)正弦級數(shù)1)1(2 nnnb), 2 , 1( n傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù)上上函函數(shù)數(shù)定定義義在在, 0 上上函數(shù)延拓到一個周期函數(shù)延拓到

23、一個周期, 數(shù)數(shù)軸軸上上函函數(shù)數(shù)按按周周期期延延拓拓到到整整個個級級數(shù)數(shù)上上的的函函數(shù)數(shù)展展開開成成傅傅立立葉葉定定義義在在, 0 傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù)上上的的使使函函數(shù)數(shù)成成為為,. 1 上有上有上的函數(shù)延拓到上的函數(shù)延拓到把把, 0 上的上的使函數(shù)成為使函數(shù)成為,. 2 奇延拓奇延拓 偶延拓偶延拓兩種兩種:正弦級數(shù)正弦級數(shù).偶函數(shù)偶函數(shù),奇函數(shù)奇函數(shù),余弦級數(shù)余弦級數(shù);傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù)因而展開成因而展開成因而展開成因而展開成上有定義上有定義., 0 作法作法3. F(x)可展開為傅氏級數(shù)可展開為傅氏級數(shù), 這個級數(shù)

24、必定是這個級數(shù)必定是)()(xfxF 得到得到 f (x)的正弦級數(shù)的正弦級數(shù) 的展開式的展開式.上上，在在限限制制, 0(. 4 x)0 ,( ,( (偶函數(shù)偶函數(shù))的奇函數(shù)的奇函數(shù)正弦級數(shù)正弦級數(shù)(余弦級數(shù)余弦級數(shù))(余弦級數(shù)余弦級數(shù))注注其實(shí)也不必真正實(shí)施這一手續(xù)其實(shí)也不必真正實(shí)施這一手續(xù).傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù) 滿足收斂定理的條件滿足收斂定理的條件1. f (x)在在 2. 在開區(qū)間在開區(qū)間內(nèi)補(bǔ)充定義內(nèi)補(bǔ)充定義,得到定義在得到定義在上的函數(shù)上的函數(shù)F(x),),( 使它成為使它成為 在上在上解解(1) 求正弦級數(shù)求正弦級數(shù).進(jìn)行進(jìn)行對對)(xf 0ds

25、in)(2xnxxfbn 0dsin)1(2xnxx)coscos1(2 nnn 0 nan22 , 5 , 3 , 1 nn2 , 6 , 4 , 2 n奇延拓奇延拓,nxbnnsin1 正弦級數(shù)正弦級數(shù)分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù).)0(1)( xxxf將將函函數(shù)數(shù)例例3sin)2(312sin2sin)2(21 xxxx)0( x傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù)1 1 Oxy(2) 求余弦級數(shù)求余弦級數(shù).進(jìn)進(jìn)行行對對)(xf0 nb 00d)1(2xxa2 0dcos)1(2xnxxan)1(cos22 nn5cos513cos31(c

26、os412122 xxxx 注注又可展成余弦級數(shù)又可展成余弦級數(shù),既可展成正弦級數(shù)既可展成正弦級數(shù), 0 僅在僅在其傅氏級數(shù)不唯一其傅氏級數(shù)不唯一.nxaann 10cos2余弦級數(shù)余弦級數(shù) 偶延拓偶延拓,)0( x傅里葉傅里葉(Fourier)(Fourier)級數(shù)級數(shù)Oxy 1上有定義的函數(shù)上有定義的函數(shù), 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) xxxf0101)(1) 把把f (x) 展開為正弦級數(shù)展開為正弦級數(shù);(2) 求級數(shù)的和函數(shù)求級數(shù)的和函數(shù)S(x)在在, .25)2()3(的值的值和和求求 SS解解 0dsin2xnxbn(1)cos1(2 nn kn2 , 012 kn,)12(4 k上的表達(dá)式上的表達(dá)式;正弦