近世代數(shù)第一章答案

1、近世代數(shù)第一章基本概念答案§ 1 集合1.，但不是的真子集，這個情況什么時候才能出現(xiàn)？解 由題設(shè)以及真子集的定義得，的每一個元都屬于，因此.于是由 得.所以上述情況在A=B時才能出現(xiàn).2. 假設(shè), 解 （i） 由于,所以的每一個元都屬于,即的每一個元都是和的共同元，因而由交集的定義得但顯然有 所以(ii) 由并集的定義，的每一個元素都屬于和之一，但,所以的每一元素都屬于:另一方面,所以.§ 2 映射1. =1,2,，100.找一個到的映射.解 用表示的任意元素，這里和都屬于 .按照定義做一個滿足要求的映射即可，例如： 就是這樣的一個，因為替的任何元素規(guī)定了一個唯一的象,而.

2、讀者應(yīng)該自己再找?guī)讉€到的映射.2.在你為習(xí)題1所找的映射之下，是不是的每一個元都是的一個元的象?解 在上面給出的映射之下，的每一個元素都是的一個元的象，因為中的可以是的任一元素.你自己找到的映射的情況如何？有沒有出現(xiàn)的元素不都是象的情況？假如沒有，找一個這樣的映射.§ 3 代數(shù)運算1. =所有不等于零的偶數(shù).找一個集合，使得普通除法是到的代數(shù)運算.是不是找得到一個以上的這樣的？解 一個不等于零的偶數(shù)除一個不等于零的偶數(shù)所得結(jié)果總是一個不等于零的有理數(shù).所以取 =所有不等于零的有理數(shù)普通除法就是一個到的代數(shù)運算.可以找得到一個以上的滿足要求的.讀者可以自己找?guī)讉€.2.規(guī)定的兩不同的代數(shù)

3、運算.解 （i）我們用運算表來給出的一個代數(shù)運算： 按照這個表，通過，對于的任何兩個元素都可以得出一個唯一確定的結(jié)果來，而仍屬于，所以是A的人一個代數(shù)運算.這個代數(shù)運算也可以用以下方式來加以描述: 對一切(ii)同理: 對一切也是的一個代數(shù)運算.讀者可用列表的方法來給出這個代數(shù)運算.讀者應(yīng)自己給出幾個的代數(shù)運算.§4 結(jié)合律1. =所有不等于零的實數(shù)，是普通的除法:這個代數(shù)運算適合不適合結(jié)合律？解 這個代數(shù)運算不適合結(jié)合律.例如，當 時所以當,和取上述值時2. =所有實數(shù)，代數(shù)運算： （a,b）a+2b=ab適合不適合結(jié)合律？解 讀者可以用解上一題的方法來證明，所給代數(shù)運算不適合結(jié)合

4、律.3.=a,b,c.由表 a b c a a b c b b c a c c a b給出的代數(shù)運算適合不適合結(jié)合律？解 所給代數(shù)運算適合結(jié)合律.為了得出這個結(jié)論，需要對元素a,b,c的27（=）種排列（元素允許重復(fù)出現(xiàn)）加以驗證.但是利用元素a的特性，可以把驗證簡化.仔細考察運算表，我們發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：對集合A的任意元素x來說，都有 ax=xa=x由此得出，對于有a出現(xiàn)的排列，結(jié)合律都成立.這一點讀者可以自己驗證.還剩下a不出現(xiàn)的排列.這樣的排列共有8（=）種.我們在這里驗證4種，其余4種讀者可以自己驗證. （bb）b=cb=ab(bb)=bc=a所以 （bb）b=b(bb) (bb)c=cc

5、=b b(bc)=ba=b所以 (bb)c=b (bc) (bc)b=ab=b b(cb)= ba=b所以 (bc)b=b(cb) (bc)c=ac=c b(cc)=bb=c所以 (bc)c=b(cc)§5 交換律1.=所有實數(shù).是普通減法： = 這個代數(shù)運算適合不適合交換律？ 解 容易驗證，當a = 1，b = 2時 所以這個代數(shù)運算不適合交換律.2. =a , b ,c , d，由表 a b c da a b c db b d a cc c a b dd d c a b所給的代數(shù)運算適合不適合交換律？ 解 要回答這個問題，只須考察一下運算表，看一看關(guān)于主對角線對稱的位置上，有沒有

6、不相同的元素.易知此運算表不對稱，所以此代數(shù)運算不適合交換律。 §6 分配律 假定是的兩個代數(shù)運算，并且適合結(jié)合律，適合兩個分配律.證明 ()()()()=()()()()解 ()()()()=)()()()§7一一映射，變換 1=所有>0的實數(shù)，=所有實數(shù).找一個與間的一一映射. 解 ： 對一切 是一個與間的一一映射.首先，給了任一，即任一大于0的實數(shù)，是一個實數(shù)，即，并且是唯一確定的，所以是一個到的映射.其次，對于任一，即任一實數(shù)，是一個大于0的實數(shù)，而在之下， 所以是一個到的滿射.最后，若是，并且，那么，所以是一個到的單射.這樣，是一個到間的一一映射. 2、=所

7、有的實數(shù) =所有實數(shù),找一個到的滿射. 解 ： 若 若 是一個到的滿射.首先，替每一個規(guī)定了一個唯一確定的象，而，所以是一個到的映射.其次，在之下，的每一個元都是中的一個元，即本身的象，所以是一個到的滿射.讀者可以證明： ： ： 都是到的滿射. 3、假定是到間的一一映射，a是的一個元. 若是的一個一一變換，這兩個問題的回答又該是什么？ 解 當是與間的一個一一映射時， 未必有意義.若是的一個一一變換，那么 =讀者可以做一做以下補充習(xí)題. （i） 證明： ： 對一切 是與間的一個一一映射. （ii） 利用（i）題找一個與間的一一映射. §8 同 態(tài)1、.的代數(shù)運算是普通乘法.以下映射是不

8、是到的一個子集的同態(tài)滿射？ a） b） c） d）解 a）取，則,而 ： 是到的一個同態(tài)滿射，因為：對任一實數(shù)，是一個唯一確定的的實數(shù)，所以是到的一個映射；若是，那么，而 所以是到的一個滿射；對任意， 所以是到的一個同態(tài)滿射. b） 當取遍一切實數(shù)值時，也取遍一切實數(shù)值.讀者容易證明 ： 是到的一個滿射，但不是到的一個同態(tài)滿射，因為：取的數(shù)2和3，那么 （2） =4 （3） =6 C）取，那么.讀者可以自己證明 ： 是到的一個同態(tài)滿射. d）當取遍一切實數(shù)值時，也取遍一切實數(shù)值，容易證明 ： = 是到的一個滿射，但不是一個同態(tài)滿射.2.假定和對于代數(shù)運算和來說同態(tài)，而和對于代數(shù)運算和來說同態(tài).

9、證明，和對于代數(shù)運算和說同態(tài). 解 由題設(shè)存在到的一個同態(tài)滿射 : = 并且對于的任意兩個元素和來說 同樣存在到的一個同態(tài)滿射. ： 并且對于的任意兩個元素和來說 如下定義 ： 那么是到的一個同態(tài)滿射，因為 (i) 由于和是同態(tài)滿射，所以對于任何，是的一個唯一確定的元素，而是的一個唯一確定的元素，因而是到的一個映射. （ii）由于同一原因，對于任何，存在一個元素，使，并且存在一個元素，使，因此在之下 而是到的一個滿射.（iii）由于同一原因，對于的任何兩個元素和 = = 而是到的一個同態(tài)滿射 §9同構(gòu)，自同構(gòu) 1.代數(shù)運算由下表給定： a b c a c c c b c c c c

10、c c c找出所有的一一變換，對于代數(shù)運算來說，這些一一變換是否都是的自同構(gòu)？解 共有6（=3?。﹤€一一變換，即 ： ： ： ： ： ： 對于代數(shù)運算來說，和是的自同構(gòu)，其余4個都不是.這是因為，若是一個的自同構(gòu)，那么對的任何元素x和y，將有（1） 因而（2） 反過來，若（2）成立，那么（1）也成立.2所以有理數(shù).找一個的對于普通加法來說的自同構(gòu).(映射除外).解 設(shè)k是任一有理數(shù)，且k0， k1.那么： 是的一個對于加法來說的自同構(gòu)，并且顯然不是映射.是的一個一一變換，讀者可以自己證明.令和是的任意兩個元素，那么： 所以是的一個自同構(gòu).讀者可以試證，只有以下對于加法來說的自同構(gòu) ， 是0的有

11、理數(shù)3所有有理數(shù)；的代數(shù)運算是普通加法.所有0的有理數(shù)；的代數(shù)運算是普通乘法.證明，對于給的代數(shù)運算來說，與間沒有同構(gòu)映射存在.(先決定0在一同構(gòu)映射下的象.)解 設(shè)是與間對于所給代數(shù)運算的一個同構(gòu)映射，而.那么由于是同構(gòu)映射，有但同構(gòu)映射是單射，所以得.于是有 但，所以，因而，即.這樣 (1)由于是滿射，的元必是的某一元的象： 由是得 于是由是單射，得，即，而，與(1)矛盾.這說明，在與間對所給代數(shù)運算來說不存在同構(gòu)對應(yīng). 讀者可以用以下方法得出本題的另一個證明：設(shè).考慮§10.等價關(guān)系與集合的分類1.所有實數(shù).的元間的關(guān)系以及是不是等價關(guān)系？解 不是等價關(guān)系.這個關(guān)系不滿足反射律：不成立.也不是等價關(guān)系，它不滿足對稱律，例如，32，但是23不成立.2有人說：假如一個關(guān)系適合對稱律和推移律，那么它也合適反射律.他的推論方法是：因為適合對稱律因為適合推移律. 這個推論方法有什么錯誤？ 解 這個推論方法的錯誤在于，對于“等價關(guān)系”定