萬(wàn)有引力 天體運(yùn)動(dòng)高考試題(計(jì)算題)總匯編

1、萬(wàn)有引力 天體運(yùn)動(dòng)高考試題（計(jì)算題）總匯編1（10全國(guó)卷1）（18分）如右圖，質(zhì)量分別為m和M的兩個(gè)星球A和B在引力作用下都繞O點(diǎn)做勻速周運(yùn)動(dòng)，星球A和B兩者中心之間距離為L(zhǎng)。已知A、B的中心和O三點(diǎn)始終共線，A和B分別在O的兩側(cè)。引力常數(shù)為G。1 求兩星球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期。2 在地月系統(tǒng)中，若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運(yùn)行為的周期記為T1。但在近似處理問(wèn)題時(shí)，常常認(rèn)為月球是繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)的，這樣算得的運(yùn)行周期T2。已知地球和月球的質(zhì)量分別為5.98×1024kg 和 7.35 ×1022kg 。求T2與T1兩者平方之比。（結(jié)

2、果保留3位小數(shù)）【答案】 1.01【解析】 A和B繞O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的萬(wàn)有引力提供向心力，則A和B的向心力相等。且A和B和O始終共線，說(shuō)明A和B有相同的角速度和周期。因此有，連立解得，對(duì)A根據(jù)牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律得化簡(jiǎn)得 將地月看成雙星，由得將月球看作繞地心做圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律得化簡(jiǎn)得 所以兩種周期的平方比值為2（2009年北京卷）已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響。（1）推到第一宇宙速度v1的表達(dá)式；（2）若衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行軌道距離地面高度為h，求衛(wèi)星的運(yùn)行周期T。答案：（1）（2）【解析】（1）設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m

3、，地球的質(zhì)量為M，在地球表面附近滿足 得 衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力等于它受到的萬(wàn)有引力 式代入式，得到（2）考慮式，衛(wèi)星受到的萬(wàn)有引力為 由牛頓第二定律 、聯(lián)立解得3（2009年天津卷）2008年12月，天文學(xué)家們通過(guò)觀測(cè)的數(shù)據(jù)確認(rèn)了銀河系中央的黑洞“人馬座A*”的質(zhì)量與太陽(yáng)質(zhì)量的倍數(shù)關(guān)系。研究發(fā)現(xiàn)，有一星體S2繞人馬座A*做橢圓運(yùn)動(dòng)，其軌道半長(zhǎng)軸為9.50102天文單位（地球公轉(zhuǎn)軌道的半徑為一個(gè)天文單位），人馬座A*就處在該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。觀測(cè)得到S2星的運(yùn)行周期為15.2年。(1) 若將S2星的運(yùn)行軌道視為半徑r=9.50102天文單位的圓軌道，試估算人馬座A*的質(zhì)量MA是太陽(yáng)質(zhì)量Ms的多

4、少倍(結(jié)果保留一位有效數(shù)字)；(2) 黑洞的第二宇宙速度極大，處于黑洞表面的粒子即使以光速運(yùn)動(dòng)，其具有的動(dòng)能也不足以克服黑洞對(duì)它的引力束縛。由于引力的作用，黑洞表面處質(zhì)量為m的粒子具有勢(shì)能為Ep=-G(設(shè)粒子在離黑洞無(wú)限遠(yuǎn)處的勢(shì)能為零)，式中M、R分別表示黑洞的質(zhì)量和半徑。已知引力常量G=6.710-11N·m2/kg2，光速c=3.0108m/s，太陽(yáng)質(zhì)量Ms=2.01030kg，太陽(yáng)半徑Rs=7.0108m，不考慮相對(duì)論效應(yīng)，利用上問(wèn)結(jié)果，在經(jīng)典力學(xué)范圍內(nèi)求人馬座A*的半徑RA與太陽(yáng)半徑之比應(yīng)小于多少（結(jié)果按四舍五入保留整數(shù)）。答案：（1），（2）【解析】（1）S2星繞人馬座A*

5、做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由人馬座A*對(duì)S2星的萬(wàn)有引力提供，設(shè)S2星的質(zhì)量為mS2，角速度為，周期為T，則 設(shè)地球質(zhì)量為mE，公轉(zhuǎn)軌道半徑為rE，周期為TE，則 綜合上述三式得 式中 TE=1年 rE=1天文單位 代入數(shù)據(jù)可得 （2）引力對(duì)粒子作用不到的地方即為無(wú)限遠(yuǎn)，此時(shí)料子的勢(shì)能為零?！疤幱诤诙幢砻娴牧Ｗ蛹词挂怨馑龠\(yùn)動(dòng)，其具有的動(dòng)能也不足以克服黑洞對(duì)它的引力束縛”，說(shuō)明了黑洞表面處以光速運(yùn)動(dòng)的粒子在遠(yuǎn)離黑洞的過(guò)程中克服引力做功，粒子在到達(dá)無(wú)限遠(yuǎn)之前，其動(dòng)能便減小為零，此時(shí)勢(shì)能仍為負(fù)值，則其能量總和小于零，則有 依題意可知 ，可得 代入數(shù)據(jù)得 4（2009年全國(guó)卷）如圖，P、Q為某地區(qū)水平地面上的

6、兩點(diǎn)，在P點(diǎn)正下方一球形區(qū)域內(nèi)儲(chǔ)藏有石油，假定區(qū)域周圍巖石均勻分布，密度為石油密度遠(yuǎn)小于，可將上述球形區(qū)域視為空腔。如果沒(méi)有這一空腔，則該地區(qū)重力加速度（正常值）沿豎直方向，當(dāng)存在空腔時(shí)，該地區(qū)重力加速度的大小和方向會(huì)與正常情況有微小偏高，重力回速度在原豎直方向（即PO方向）上的投影相對(duì)于正常值的偏離叫做“重力加速度反常”。為了探尋石油區(qū)域的位置和石油儲(chǔ)量，常利用P點(diǎn)到附近重力加速度反?，F(xiàn)象，已知引力常數(shù)為G（1）設(shè)球形空腔體積為V，球心深度為d（遠(yuǎn)小于地球半徑），求空腔所引起的Q點(diǎn)處的重力加速度反常QxdPRO（2）若在水平地面上半徑L的范圍內(nèi)發(fā)現(xiàn)：重力加速度反常值在與k（k>1）之間

7、變化,且重力加速度反常的最大值出現(xiàn)在半為L(zhǎng)的范圍的中心，如果這種反常是于地下存在某一球形空腔造成的，試求此球形空腔球心的深度和空腔的體積答案（1）（2）,【解析】(1)如果將近地表的球形空腔填滿密度為的巖石，則該地區(qū)重力加速度便回到正常值。因此，重力加速度反常可通過(guò)填充后的球形區(qū)域產(chǎn)生的附加引力來(lái)計(jì)算，式中的m是Q點(diǎn)處某質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量,M是填充后球形區(qū)域的質(zhì)量,而r是球形空腔中心O至Q點(diǎn)的距離在數(shù)值上等于由于存在球形空腔所引起的Q點(diǎn)處重力加速度改變的大小。Q點(diǎn)處重力加速度改變的方向沿OQ方向，重力加速度反常是這一改變?cè)谪Q直方向上的投影聯(lián)立以上式子得,(2)由式得,重力加速度反常的最大值和最小值分別

8、為由提設(shè)有、聯(lián)立以上式子得，地下球形空腔球心的深度和空腔的體積分別為,5（08全國(guó)卷2）（20分）我國(guó)發(fā)射的“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星沿近似于圓形軌道繞月飛行。為了獲得月球表面全貌的信息，讓衛(wèi)星軌道平面緩慢變化。衛(wèi)星將獲得的信息持續(xù)用微波信號(hào)發(fā)回地球。設(shè)地球和月球的質(zhì)量分別為M和m，地球和月球的半徑分別為R和R1，月球繞地球的軌道半徑和衛(wèi)星繞月球的軌道半徑分別為r和r1，月球繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的周期為T。假定在衛(wèi)星繞月運(yùn)行的一個(gè)周期內(nèi)衛(wèi)星軌道平面與地月連心線共面，求在該周期內(nèi)衛(wèi)星發(fā)射的微波信號(hào)因月球遮擋而不能到達(dá)地球的時(shí)間（用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)遮擋時(shí)間的影響）。解析：如

9、下圖所示：設(shè)O和分別表示地球和月球的中心在衛(wèi)星軌道平面上，A是地月連心線與地月球表面的公切線ACD的交點(diǎn)，D、C和B分別是該公切線與地球表面、月球表面和衛(wèi)星軌道的交點(diǎn)過(guò)A點(diǎn)在另一側(cè)作地月球面的公切線，交衛(wèi)星軌道于E點(diǎn)衛(wèi)星在圓弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)發(fā)出的信號(hào)被遮擋設(shè)探月衛(wèi)星的質(zhì)量為m0，萬(wàn)有引力常量為G，根據(jù)萬(wàn)有引力定律有： （4分） （4分）式中，T1表示探月衛(wèi)星繞月球轉(zhuǎn)動(dòng)的周期由以上兩式可得：設(shè)衛(wèi)星的微波信號(hào)被遮擋的時(shí)間為t，則由于衛(wèi)星繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，應(yīng)有： （5分）上式中，由幾何關(guān)系得： （2分） （2分）由得： （3分） 6（08寧夏卷）（15分）天文學(xué)家將相距較近、僅在彼此的引力作用下運(yùn)行的

10、兩顆恒星稱為雙星。雙星系統(tǒng)在銀河系中很普遍。利用雙星系統(tǒng)中兩顆恒星的運(yùn)動(dòng)特征可推算出它們的總質(zhì)量。已知某雙星系統(tǒng)中兩顆恒星圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)分別做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期均為T，兩顆恒星之間的距離為r，試推算這個(gè)雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量。（引力常量為G）解析：設(shè)兩顆恒星的質(zhì)量分別為m1、m2，做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑分別為r1、r2，角速度分別為w1,w2。根據(jù)題意有w1=w2r1+r2=r根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓定律，有GG聯(lián)立以上各式解得根據(jù)解速度與周期的關(guān)系知聯(lián)立式解得7（04全國(guó)卷） 在勇氣號(hào)火星探測(cè)器著陸的最后階段，著陸器降落到火星表面上，再經(jīng)過(guò)多次彈跳才停下來(lái)。假設(shè)著陸器第一次落到火星表面彈起后，

11、到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)高度為h，速度方向是水平的，速度大小為0，求它第二次落到火星表面時(shí)速度的大小，計(jì)算時(shí)不計(jì)大氣阻力。已知火星的一個(gè)衛(wèi)星的圓軌道的半徑為r，周期為T。火星可視為半徑為r0的均勻球體。1 （16分）GMrm02 = mg GMrm2 = m( 2 )2r 12 =2 gh = 12 +02 =822h r02 r3 +02 8（07上海） （10分）宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過(guò)時(shí)間t小球落回原處；若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過(guò)時(shí)間5t小球落回原處。（取地球表面重力加速度g10 m/s2，空氣阻力不計(jì)）求該星球表面附近的重力加速度g/；已知該星球

12、的半徑與地球半徑之比為R星:R地1:4，求該星球的質(zhì)量與地球質(zhì)量之比M星:M地。解：故：，所以可解得：M星:M地1´12:5´421:80， 9（00天津、江西卷） （12分）2000年1月26日我國(guó)發(fā)射了一顆同步衛(wèi)星，其定點(diǎn)位置與東經(jīng)98°的經(jīng)線在同一平面內(nèi)，若把甘肅省嘉峪關(guān)處的經(jīng)度和緯度近似取為東經(jīng)98°和北緯，已知地球半徑R、地球自轉(zhuǎn)周期T、地球表面重力加速度g（視為常量）和光速c。試求該同步衛(wèi)星發(fā)出的微波信號(hào)傳到嘉峪關(guān)處的接收站所需的時(shí)間（要求用題給的已知量的符號(hào)表示）。參考解答：設(shè)為衛(wèi)星質(zhì)量，為地球質(zhì)量，為衛(wèi)星到地球中心的距離，為衛(wèi)星繞地心轉(zhuǎn)動(dòng)

13、的角速度，由萬(wàn)有引力定律和牛頓定律有， 式中G為萬(wàn)有引力恒量，因同步衛(wèi)星繞地心轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度與地球自轉(zhuǎn)的角速度相等有 因得 設(shè)嘉峪關(guān)到同步衛(wèi)星的距離為，如圖所示，由余弦定理 所求時(shí)間為 由以上各式得 10（01北京、內(nèi)蒙古、安徽卷） （12分）兩個(gè)星球組成雙星，它們?cè)谙嗷ブg的萬(wàn)有引力作用下，繞連線上某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。現(xiàn)測(cè)得兩星中心距離為R，其運(yùn)動(dòng)周期為T，求兩星的總質(zhì)量。參考解答：設(shè)兩星質(zhì)量分別為，都繞連線上O點(diǎn)作周期為T的圓周運(yùn)動(dòng)，星球1和星球2到O的距離分別為由萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律及幾何條件可得 聯(lián)立解得評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題12分、各占3分11（01上海卷） （10分）（10）

14、1791年，米被定義為：在經(jīng)過(guò)巴黎的子午線上，取從赤道到北極長(zhǎng)度的一千萬(wàn)分之一。請(qǐng)由此估算地求的半徑R。（答案保留二位有效數(shù)字）（2）太陽(yáng)與地球的距離為1.5×1011 m，太陽(yáng)光以平行光束入射到地面。地球表面2/3的面積被水面所覆蓋，太陽(yáng)在一年中輻射到地球表面水面部分的總能量 W約為三1.87×1024J。設(shè)水面對(duì)太陽(yáng)輻射的平均反射率為7，而且將吸收到的35能量重新輻射出去。太陽(yáng)輻射可將水面的水蒸發(fā)（設(shè)在常溫、常壓下蒸發(fā)1kg水需要2.2×106J的能量），而后凝結(jié)成雨滴降落到地面。（a）估算整個(gè)地球表面的年平均降雨量（以毫米表示，球面積為4R2）。（b）太陽(yáng)輻

15、射到地球的能量中只有約50到達(dá)地面，W只是其中的一部分。太陽(yáng)輻射到地球的能量沒(méi)能全部到達(dá)地面，這是為什么？請(qǐng)說(shuō)明二個(gè)理由。解：（1）2R×1/41.00×107R6.37×106 m （2）（a）設(shè)太陽(yáng)在一年中輻射到地球水面部分的總能量為W，W1.87×1024J凝結(jié)成雨滴年降落到地面水的總質(zhì)量為mmW×0.93×0.65/(2.2×106)5.14×1017 kg 使地球表面覆蓋一層水的厚度為hhm/s地球h1.01×103mm 整個(gè)地球表面年平均降雨量約為1.0×103 mm（b）大氣層的吸

16、收，大氣層的散射或反射，云層遮擋等。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：全題10分。第（1）小題3分，第（2）小題7分。其中（1）得出給 3分，寫出R6.4×106 m，同樣給分。12（03全國(guó)卷） （15分）中子星是恒星演化過(guò)程的一種可能結(jié)果，它的密度很大?，F(xiàn)有一中子星，觀測(cè)到它的自轉(zhuǎn)周期為T。問(wèn)該中子星的最小密度應(yīng)是多少才能維持該星體的穩(wěn)定，不致因自轉(zhuǎn)而瓦解。計(jì)算時(shí)星體可視為均勻球體。 （引力常數(shù)G6.67×1011m3kg·s2) 參考答案： 考慮中子星赤道處一小塊物質(zhì)，只有當(dāng)它受到的萬(wàn)有引力大于或等于它隨星體一起旋轉(zhuǎn)所需的向心力時(shí)，中子星才不會(huì)瓦解。 設(shè)中子星的密度為，質(zhì)量為M，半

17、徑為R，自轉(zhuǎn)角速度為，位于赤道處的小塊物質(zhì)質(zhì)量為m，則有 由以上各式得 代人數(shù)據(jù)解得 14（04春季）（16分）神舟五號(hào)載人飛船在繞地球飛行的第5圈進(jìn)行變軌，由原來(lái)的橢圓軌道變?yōu)榫嗟孛娓叨萲m的圓形軌道。已知地球半徑km，地面處的重力加速度。試導(dǎo)出飛船在上述圓軌道上運(yùn)行的周期T的公式（用h、R、g表示），然后計(jì)算周期T的數(shù)值（保留兩位有效數(shù)字） 設(shè)地球質(zhì)量為M，飛船質(zhì)量為m，速度為v，圓軌道的半徑為r，由萬(wàn)有引力和牛頓第二定律，有地面附近由已知條件解以上各式得代入數(shù)值，得15（07廣東卷）（12分）土星周圍有許多大小不等的巖石顆粒，其繞土星的運(yùn)動(dòng)可視為圓周運(yùn)動(dòng)。其中有兩個(gè)巖石顆粒A和B與土星中

18、心距離分別為rA8.0×104 km和r B1.2×105 km。忽略所有巖石顆粒間的相互作用。（結(jié)果可用根式表示）求巖石顆粒A和B的線速度之比；求巖石顆粒A和B的周期之比；土星探測(cè)器上有一物體，在地球上重為10 N，推算出他在距土星中心3.2×105 km處受到土星的引力為0.38 N。已知地球半徑為6.4×103 km，請(qǐng)估算土星質(zhì)量是地球質(zhì)量的多少倍？解：設(shè)土星質(zhì)量為M0，顆粒質(zhì)量為m，顆粒距土星中心距離為r，線速度為v，根據(jù)牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律：解得：對(duì)于A、B兩顆粒分別有： 和得： 設(shè)顆粒繞土星作圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，則： 對(duì)于A

19、、B兩顆粒分別有： 和 得： 設(shè)地球質(zhì)量為M，地球半徑為r0，地球上物體的重力可視為萬(wàn)有引力，探測(cè)器上物體質(zhì)量為m0，在地球表面重力為G0，距土星中心r0/3.2×105 km處的引力為G0/，根據(jù)萬(wàn)有引力定律： 解得：16（05廣東卷）（13分）已知萬(wàn)有引力常量G，地球半徑R，月球和地球之間的距離r，同步衛(wèi)星距地面的高度h，月球繞地球的運(yùn)轉(zhuǎn)周期T1，地球的自轉(zhuǎn)周期T2，地球表面的重力加速度g。某同學(xué)根據(jù)以上條件，提出一種估算地球質(zhì)量M的方法：同步衛(wèi)星繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)，由得請(qǐng)判斷上面的結(jié)果是否正確，并說(shuō)明理由。如不正確，請(qǐng)給出正確的解法和結(jié)果。請(qǐng)根據(jù)已知條件再提出兩種估算地球質(zhì)量的方

20、法并解得結(jié)果。（13分）(1)上面結(jié)果是錯(cuò)誤的，地球的半徑R在計(jì)算過(guò)程中不能忽略。正確的解法和結(jié)果是：得（2）方法一：對(duì)月球繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)，由得方法二：在地面重力近似等于萬(wàn)有引力，由得 17（06四川卷）(16分)蕩秋千是大家喜愛(ài)的一項(xiàng)體育活動(dòng)。隨著科技的迅速發(fā)展，將來(lái)的某一天，同學(xué)們也許會(huì)在其它星球上享受蕩秋千的樂(lè)趣。假設(shè)你當(dāng)時(shí)所在星球的質(zhì)量是M、半徑為R,可將人視為質(zhì)點(diǎn)，秋千質(zhì)量不計(jì)、擺長(zhǎng)不變、擺角小于90°，萬(wàn)有引力常量為G。那么，(1) 該星球表面附近的重力加速度g星等于多少？(2) 若經(jīng)過(guò)最低位置的速度為v0,你能上升的最大高度是多少？(1)設(shè)人的質(zhì)量為m,在星球表面附近

21、的重力等于萬(wàn)有引力，有mg星= 解得 g星= (3) 設(shè)人能上升的最大高度為h,由功能關(guān)系得mg星h= 解得 h= 18（06天津卷）（22分）神奇的黑洞是近代引力理論所預(yù)言的一種特殊天體，探尋黑洞的方案之一是觀測(cè)雙星系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。天文學(xué)家觀測(cè)河外星系大麥哲倫云時(shí)，發(fā)現(xiàn)了LMCX-3雙星系統(tǒng)，它由可見(jiàn)星A和不可見(jiàn)的暗星B構(gòu)成。兩星視為質(zhì)點(diǎn)，不考慮其它天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們之間的距離保持不變，如圖所示。引力常量為G，由觀測(cè)能夠得到可見(jiàn)星A的速率和運(yùn)行周期T。（1）可見(jiàn)星A所受暗星B的引力可等效為位于O點(diǎn)處質(zhì)量為的星體（視為質(zhì)點(diǎn)）對(duì)它的引力，設(shè)A和B的質(zhì)量分別為、，試求（用、表示）；（2）求暗星B的質(zhì)量與可見(jiàn)星A的速率、運(yùn)行周期T和質(zhì)量之間的關(guān)系式；（3）恒星演化到末期，如果其質(zhì)量大于太陽(yáng)質(zhì)量的2倍，它將有可能成為黑洞。若可見(jiàn)星A的速率，運(yùn)行周期，質(zhì)量，試通過(guò)估算來(lái)判斷暗星B有可能是黑洞嗎？（）（1）設(shè)A、B的圓軌道半徑分別為、，由題