概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)資料-第4章正態(tài)分布1ppt課件

1、2022-1-311一、正態(tài)分布的定義一、正態(tài)分布的定義二、正態(tài)分布的數(shù)字特征二、正態(tài)分布的數(shù)字特征三、正態(tài)分布性質(zhì)三、正態(tài)分布性質(zhì)四、中心極限定理四、中心極限定理第四章第四章 正正 態(tài)態(tài) 分分 布布根本內(nèi)容：根本內(nèi)容：2022-1-312正態(tài)分布是最重要的概率分布正態(tài)分布是最重要的概率分布( (緣由緣由) )：(1) 很多隨機(jī)景象可用正態(tài)分布描畫或近似描畫很多隨機(jī)景象可用正態(tài)分布描畫或近似描畫,例如丈量誤差、學(xué)生成果，人的身高、體重等例如丈量誤差、學(xué)生成果，人的身高、體重等大量隨機(jī)景象可以用正態(tài)分布描畫大量隨機(jī)景象可以用正態(tài)分布描畫.(2)(2)普通地普通地, ,大量獨(dú)立隨機(jī)變量的和近似地服

2、從大量獨(dú)立隨機(jī)變量的和近似地服從正態(tài)分布正態(tài)分布.(.(中心極限定理中心極限定理) )(3)(3)某些常用分布某些常用分布( (如卡方分布如卡方分布,t,t分布分布,F,F分布等分布等) )是由正態(tài)分布推導(dǎo)得到的是由正態(tài)分布推導(dǎo)得到的. .2022-1-313,x,exf2x2)(221)().,(2NX, 0為常數(shù)其中一、正態(tài)分布的定義一、正態(tài)分布的定義定義. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為那么稱X服從正態(tài)分布記作1. 正態(tài)分布正態(tài)分布 ( Normal distribution )或高斯分布 ),2022-1-3142. 規(guī)范正態(tài)分布規(guī)范正態(tài)分布為規(guī)范正態(tài)分布,1, 0時(shí)當(dāng),NX1)(0,特別地

3、,.x,exx2221)(oxy.dtexxt2221)(且其分布函數(shù)：x)(x那么稱N(0,1)其概率密度為2022-1-315：)的性質(zhì))的性質(zhì)( (標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)x).(1xoxy)(xxx)0() 1 (;21)()2(dxex2221, 1)( x(3)( )x分布函數(shù)不是初等函數(shù),但它是一個(gè)應(yīng)用非常廣泛( ),x的重要分布,一般都將的函數(shù)值編成表 見書本末20( )xx的附錄 ,該表給出了時(shí)的數(shù)值.2022-1-3161(0,1),1)(0.2); 2)(1.5)NPP例 已知求:1)(0.2)P解( 0.20.2)P(0.2)( 0.2) (0.2)(1(0.2

4、) 2 (0.2) 1 2 0.5793 10.15862)(1.5)P1(1.5)P 12 (1.5) 1 21(1.5)0.13362022-1-317u01234567890.00.50000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.53590.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.57530.20.57930.58320.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.61410.30.61790.62170.62550

5、.62930.63310.63860.64040.64430.64800.65170.40.65540.65910.66280.66640.67000.67360.67720.68080.68440.68790.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.71570.71900.72240.60.72570.72910.73240.73570.73890.74220.74540.74860.75170.75490.70.75800.76110.76420.76730.77030.77340.77640.77940.78230.78520.80.78

6、810.79100.79390.79670.79950.80230.80510.80780.81060.81330.90.81590.81860.82120.82380.82640.82890.83150.83400.83650.83891.00.84130.84380.84610.84850.85080.85310.85540.85770.85990.86211.10.86430.86650.86860.87080.87290.87490.87700.87900.88100.88301.20.88490.88690.88880.89070.89250.89440.89620.89800.89

7、970.90151.30.90320.90490.90660.90820.90990.91150.91310.91470.91620.91771.40.91920.92070.92220.92360.92510.92650.92790.92920.93060.93191.50.93320.93450.93570.93700.93820.93940.94060.94180.94290.94411.60.94520.94360.94740.94840.94950.95050.95150.95250.95350.95451.70.95540.95640.95730.95820.95910.95990

8、.96080.96160.96250.96332022-1-318),(2NX若0)()(aabaNbaXY2.)( ,證：證：Y的分布函數(shù)為)()(yYPyFY當(dāng)a0，有)(yFY上式兩邊關(guān)于y求導(dǎo)，得,21)(2)(222abayea性質(zhì)性質(zhì)1)(ybaXP)(abyXP)(abyFX那么)(yfY)(1abyfaX( (線性性線性性) )(2) 當(dāng)a0，有)(yFY)(1abyFX)(1abyXP()ybP Xa.)(21)(2)(222abayea)(yfY)(1abyfaX2022-1-319特別地，標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量則得將若X),(NX2-XX*).1, 0( N那么那么),(2NX

9、設(shè)).()(12xx)(21xXxP)(21xXxP)(xXP)(xXP)(x)(xXP)(1xXP)(1x)(1xXP2022-1-3110設(shè)X表示“考生考試成果，,分440,分10問總分應(yīng)是多少算上線？, ,10101 1解：解：),10,440(2NX且總分上線應(yīng)為 x 分. 由題意知101)( xXP1 . 0)10440(x經(jīng)查表,28. 110440 x考試成果呈正態(tài)分布,例例3.3.某省高考人數(shù)是某省高考人數(shù)是3500035000人人, ,)(xXP)(1xXP方案招生3500人,占考生人數(shù)的)10440(1x, 9 . 0分.8 .452x2022-1-311101.1.期望期

10、望E(X)E(X)xex2)(xd2122,xt設(shè))(XE二、正態(tài)分布的數(shù)字特征二、正態(tài)分布的數(shù)字特征)(XE,dtdxdtett2221）（dtet2221那么dte tt222解：解：奇函數(shù)奇函數(shù)=12022-1-31122)()(XEXEXD,xt設(shè)222.2)(XDXDX)()(,)(21222)(2dxexx,dtdxdtett22222)(2222tdet|222222dteettt那么2.2.方差方差D(X) D(X) 3. 規(guī)范差規(guī)范差2);21,(21 e 正態(tài)分布的密度函數(shù)的性質(zhì)與圖形正態(tài)分布的密度函數(shù)的性質(zhì)與圖形關(guān)于關(guān)于 x = x = 對(duì)稱對(duì)稱- - ， 升，升， ，+

11、 + 降降12f最大（ ）n 單調(diào)性單調(diào)性n 對(duì)稱性對(duì)稱性n 拐點(diǎn)拐點(diǎn)鐘形曲線：鐘形曲線：中間高中間高兩邊低兩邊低y-+21x2,對(duì)密度曲線的影響對(duì)密度曲線的影響 12122110.7521.25 相同， 不同圖形相似，位置平移 不同， 相同越小，圖形越陡；越大，圖形越平緩2022-1-3115( 法那么)求X落在內(nèi)的概率.),(2NX)3,3(解解: :.9974. 03 3倍規(guī)范差原理倍規(guī)范差原理: : 3 設(shè))33(XP)3()3()3()3(1)3(219987. 02 330.9974F(x)3X是小概率事件是小概率事件 X的取值幾乎都落入以為中心，以3為半徑的區(qū)間內(nèi)33222022

12、-1-3116%26.6818413. 02)(XP1) 1 (2%.44.9519772. 02)22(XP1)2(2%.74.9919987. 02)33(XP1)3(2|%26.68|%44.95|%74.99|性質(zhì)性質(zhì)2 2 可加性可加性. . 2022-1-3117那么那么Z=X+Y的概率密度為的概率密度為那么),(),(222211NYNX設(shè).,) )( (222121NYXZdxxzfxfzfYXZ)()()(21)2(22dxezx222222221421421)(zzzZeeezf且X與Y相互獨(dú)立,證明：特殊地設(shè)證明：特殊地設(shè)X和和Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 且都服從且都服從N(0

13、,1)dxexzx)(212122dxeezxz22)2(421即即Z服從服從N(0,2).2022-1-3118推行到更普通的結(jié)論。, 2 , 1),(2niNXiiinXXX,21設(shè)性質(zhì)性質(zhì)3 3 線性組合性線性組合性. .相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，.CCC,CCCNXCXCXCUnn2211nn2211nn2211)(222222，有常數(shù)則對(duì)于任意不全為零的nCCC,21nCCCn121特別地，取),(,),(,22111221nnniinnNXXXXXXNXXX的算術(shù)平均，則是分布相互獨(dú)立，且服從同一設(shè)隨機(jī)變量系,1)0(/-NnX或2022-1-3119解解: :需返工的概率。裝入氣缸則需

14、返工，求相互獨(dú)立。若不能與設(shè)直徑活塞的設(shè)內(nèi)燃機(jī)氣缸的直徑Y(jié)X),3 . 0 , 5 ,40(NY),4 . 0 , 5 .41(NX22依題意求依題意求P(XY)= P(X-Y0)P(XY)= P(X-Y0)由正態(tài)分布的線性組合性質(zhì)知，由正態(tài)分布的線性組合性質(zhì)知，X-YX-Y服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布.25. 0)5 . 0, 1 (2NYX 即)5 . 0105 . 01()0(YXPYXP例例5.5.1)()()(YEXEYXE)(YXD)()(YDXD)2()5 . 01(0228. 09772. 01)2(12022-1-3120四、二維正態(tài)分布四、二維正態(tài)分布,121),()()(2)

15、()1(212212222212121212yyxxeyxf.) 1|(|, 0, 0,2121是分布參數(shù)，其中定義定義: 設(shè)二維延續(xù)隨機(jī)變量設(shè)二維延續(xù)隨機(jī)變量(X,Y)的結(jié)合概率密度的結(jié)合概率密度那么稱那么稱(X, Y)服從二維正態(tài)分布，記作服從二維正態(tài)分布，記作),(),(222121NYX2022-1-3121結(jié)論結(jié)論1 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)服從二維正態(tài)分布服從二維正態(tài)分布為何值，都有正態(tài)分布，且無論參數(shù)的邊緣分布都是與則) 1|(|YX),(222121N).,(),(222211NYNX結(jié)論結(jié)論3。相關(guān)系數(shù)相互獨(dú)立的充要條件是與0YX結(jié)論結(jié)論2 設(shè)設(shè)X,Y的相關(guān)系數(shù)

16、為的相關(guān)系數(shù)為2022-1-3122四、中心極限定理四、中心極限定理 客觀背景：客觀實(shí)踐中，許多隨機(jī)變量是由大量客觀背景：客觀實(shí)踐中，許多隨機(jī)變量是由大量相互獨(dú)立的偶爾要素的綜合影響所構(gòu)成，每一個(gè)微小相互獨(dú)立的偶爾要素的綜合影響所構(gòu)成，每一個(gè)微小要素，在總的影響中所起的作用是很小的，但總起來，要素，在總的影響中所起的作用是很小的，但總起來，卻對(duì)總和有顯著影響，這種隨機(jī)變量往往近似地服從卻對(duì)總和有顯著影響，這種隨機(jī)變量往往近似地服從正態(tài)分布。正態(tài)分布。 概率論中有關(guān)論證獨(dú)立隨機(jī)變量的和的極限分布概率論中有關(guān)論證獨(dú)立隨機(jī)變量的和的極限分布是正態(tài)分布的一系列定理稱為中心極限定理。是正態(tài)分布的一系列定

17、理稱為中心極限定理。 由正態(tài)分布的線性組合性質(zhì)知，相互獨(dú)立的隨機(jī)變量由正態(tài)分布的線性組合性質(zhì)知，相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的和仍服從正態(tài)分布。在某些相當(dāng)普通的條件下，很多個(gè)的和仍服從正態(tài)分布。在某些相當(dāng)普通的條件下，很多個(gè)相互獨(dú)立的非正態(tài)的隨機(jī)變量不論它們的分布如何的相互獨(dú)立的非正態(tài)的隨機(jī)變量不論它們的分布如何的和近似服從正態(tài)分布。和近似服從正態(tài)分布。2022-1-3123獨(dú)立同分布的中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限定理 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,Xn,相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 服從同一分服從同一分布，且有的數(shù)學(xué)期望布，且有的數(shù)學(xué)期望 和方差和方差 ，那么隨機(jī)變量，那么隨機(jī)變量 的分布函數(shù)的分布函數(shù)

18、滿足如下極限式滿足如下極限式*1niinXnYn( )nF x22121lim( )lim( )2ntixinnnXnF xPxedtxn 2022-1-3124定理的運(yùn)用：對(duì)于獨(dú)立的隨機(jī)變量序列定理的運(yùn)用：對(duì)于獨(dú)立的隨機(jī)變量序列 ，不論，不論 服從什么分布，只需它們是同分布，服從什么分布，只需它們是同分布，且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，那么，當(dāng)且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，那么，當(dāng)n充分大時(shí)，這充分大時(shí)，這些隨機(jī)變量之和些隨機(jī)變量之和 近似地服從正態(tài)分布近似地服從正態(tài)分布nX(1,2, )iX in1niiX2,N nn1 N(0,1)niiXnn近似 N(0,1)/Xn近似 N( ,/)Xn 近似

19、或另一種方式：另一種方式：由題意由題意 相互獨(dú)立且服從同一分布，且相互獨(dú)立且服從同一分布，且2022-1-3125例例6.6.在一零售商店中，其結(jié)賬柜臺(tái)替各顧客效力的時(shí)間在一零售商店中，其結(jié)賬柜臺(tái)替各顧客效力的時(shí)間( (以分計(jì)以分計(jì)) )是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，均值為是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，均值為1.51.5，方差為，方差為1.1.(1) (1) 求對(duì)求對(duì)100100位顧客的總效力時(shí)間不多于位顧客的總效力時(shí)間不多于2 2小時(shí)的概率；小時(shí)的概率；(2) (2) 要求總的效力時(shí)間不超越要求總的效力時(shí)間不超越1 1小時(shí)的概率大于小時(shí)的概率大于0.95,0.95,問問至多能對(duì)幾位顧客效力。至多能對(duì)幾位顧客

20、效力。10021,XXX解：解：(1)Xi表示第表示第i位顧客的效力時(shí)間位顧客的效力時(shí)間,i=1,2,100)100, 2 , 1(, 1)(, 5 . 1)(iXDXEii1001100)(1001iiXD,1505 . 1100)(1001iiXE)120(1001iiXP)1015012010150(1001iiXP0013. 0)3(1)3(2022-1-3126例例6.6.在一零售商店中，其結(jié)賬柜臺(tái)替各顧客效力的時(shí)間在一零售商店中，其結(jié)賬柜臺(tái)替各顧客效力的時(shí)間( (以以分計(jì)分計(jì)) )是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，均值為是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，均值為1.51.5，方差為，方差為1.1. (2)

21、(2) 要求總的效力時(shí)間不超越要求總的效力時(shí)間不超越1 1小時(shí)的概率大于小時(shí)的概率大于0.95,0.95,問至問至多能對(duì)幾位顧客效力。多能對(duì)幾位顧客效力。解：解：(2)設(shè)能對(duì)設(shè)能對(duì)N位顧客效力，按題意需求確定最大的位顧客效力，按題意需求確定最大的N，使，使95. 0)60(1NiiXP)5 . 1605 . 1(1NNNNXPNii)60(1NiiXPNNXDNii1)(1, 5 . 1)(1NXENii95. 0)5 . 160(NN,645. 15 . 160NN即, 060645. 1.5N1N6 .33N33N2022-1-3127定理定理2.2.棣莫弗棣莫弗- -拉普拉斯中心極限定理

22、拉普拉斯中心極限定理 假設(shè)隨機(jī)變量假設(shè)隨機(jī)變量 n 服從參數(shù)為服從參數(shù)為n, p的二項(xiàng)分布，的二項(xiàng)分布，那么那么那么對(duì)于任何實(shí)數(shù)那么對(duì)于任何實(shí)數(shù)x，有，有xpnpnpPnn)-(1lim.dtext)(x2221定理闡明，當(dāng)定理闡明，當(dāng)n充分大時(shí)，二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量充分大時(shí)，二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量n 的規(guī)范化變量近似服從規(guī)范正態(tài)分布，即的規(guī)范化變量近似服從規(guī)范正態(tài)分布，即而而 n近似服從近似服從N (np, np(1-p).) 1 , 0(N近似)-(1 pnpnpn2022-1-3128例例7.7.某種難度很大的心臟手術(shù)勝利率為某種難度很大的心臟手術(shù)勝利率為0.90.9，對(duì)，對(duì)100100名患者

23、進(jìn)展這種手術(shù)，以名患者進(jìn)展這種手術(shù)，以X X記手術(shù)勝利的人數(shù)記手術(shù)勝利的人數(shù). .(1)(1)求求P(84X 95);P(84X 95);(2)(2)求求P(X90).P(X90).解解: (1)由題意知由題意知XB(100,9), E (X)=n p=1000.9=90，D (X)=n p(1-p)=1000.90.1=9，)9584( XP)3909539039084(XP)67. 13902(XP)2()67. 1 (1)2()67. 1 (9297. 019772. 09525. 02022-1-3129二、掌握非規(guī)范正態(tài)分布向規(guī)范正態(tài)分布的轉(zhuǎn)化，內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié);)(. 1XE期望一

24、、掌握正態(tài)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)及其圖像及性質(zhì)； 三、掌握正態(tài)分布的數(shù)字特征；.)(. 22XD方差會(huì)利用規(guī)范正態(tài)分布表，求正態(tài)分布的概率；2022-1-31303(3(線性組合性線性組合性).).設(shè)設(shè)且X、Y相互獨(dú)立, 那么四、熟習(xí)正態(tài)分布的性質(zhì)nXXX,21, 2 , 1),(2niNXiii),(2NX).,(22bbaNbXaY那么1 (線性性線性性). 假假設(shè)設(shè)),(),(22yyxxNYNX).,(22yxyxNYX2 (可加性可加性). 設(shè)設(shè)相互獨(dú)立，且那么).,(12211niiiniiiniiiccNXc五、了解中心極限定理, 并會(huì)用相關(guān)定理近似計(jì)算有關(guān)隨機(jī)事件的概率 20

25、22-1-3131作業(yè)作業(yè)習(xí)題四(P114): 1、2、4、10、11 15、16、18 2022-1-3132那么X的數(shù)學(xué)期望為_; X的方差為_.備用題備用題1221)(xxexf22)21(2)1(2121)(xexf1. 1. 知延續(xù)隨機(jī)變量知延續(xù)隨機(jī)變量X X的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為分析：分析：經(jīng)過整理得故E(X)=1, D(X)=1/2.),)21( , 1 (X2N由此可見2022-1-31332. 2. 知知獨(dú)立,且YXNYNX,),16, 0(),3, 1 (2,23YXZ設(shè))5, 1 (.);5,31(.);2,31(.);2 , 1 (.NDNCNBNA那么Z服從 分布.由于X, Y相互獨(dú)立，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)分析：分析：且服從正態(tài)分布,23YXZ.31021131)(21)(31)(YEXEZE. 51641991)(41)(91)(YDXDZD應(yīng)選C.2022-1-31343. 3. 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X X與與Y Y均服從正態(tài)分布：均服從正態(tài)分布：)5,(),4,(22NYNX).(),5(