初中經(jīng)典幾何證明練習(xí)題(含答案)

1、 經(jīng)典題(四 1、已知：ABC 是正三角形，P 是三角形內(nèi)一點(diǎn)，PA3，PB4，PC5 A 求APB 的度數(shù) （初二） 解：將ABP 繞點(diǎn) B 順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 60°得BCQ，連接 PQ 則BPQ 是正三角形 P BQP=60°，PQ=PB=3 在PQC 中，PQ=4，CQ=AP=3，PC=5 PQC 是直角三角形 PQC=90° BQC=BQP+PQC=60°+90°=150° B APB=BQC=150° Q 2、設(shè) P 是平行四邊形 ABCD 內(nèi)部的一點(diǎn)，且PBAPDA 求證：PABPCB （初二） A 證明：過點(diǎn) P

2、 作 AD 的平行線，過點(diǎn) A 作 PD 的平行線， 兩平行線相交于點(diǎn) E，連接 BE PEAD，AEPD P E ADPE 是平行四邊形 PE=AD， 又 ABCD 是平行四邊形 B AD=BC C PE=BC 又 PEAD，ADBC 又ADP=ABP PEBC AEP=ABP BCPE 是平行四邊形 A、E、B、P 四點(diǎn)共圓 BEP=PCB BEP=PAB ADPE 是平行四邊形 PAB=PCB ADP=AEP 3、設(shè) ABCD 為圓內(nèi)接凸四邊形，求證：AB·CDAD·BCAC·BD （初三） 證明：在 BD 上去一點(diǎn) E，使BCE=ACD A =CD CAD

3、=CBD CD BECADC C D D BE BC = AD AC AD·BC=BE·AC BCE=ACD BCE+ACE=ACD+ACE 即BCA=ECD =BC ,BAC=BDC BC BACEDC B E C AB AC = DE CD +得 AB·CD+ AD·BC =DE·AC+ BE·AC =（DE+BE） ·AC =BD·AC AB·CD=DE·AC 第 6 頁 共 9 頁 4、平行四邊形 ABCD 中，設(shè) E、F 分別是 BC、AB 上的一點(diǎn)，AE 與 CF 相交于 P，且 A

4、ECF求證：DPADPC （初二） 證明：過點(diǎn) D 作 DGAE 于 G，作 DHFC 于 H，連接 DF、DE SADE= 1 1 AE·DG，SFDC= FC·DH 2 2 1 S 2 ABCD A F G P H D 又 SADE= SFDC= AE·DG=FC·DH 又 AE=CF DG=DH 點(diǎn) D 在APC 的角平分線上 DPADPC B E C 經(jīng) 典 題（五） 1、設(shè) P 是邊長為 1 的正ABC 內(nèi)任一點(diǎn)，LPAPBPC， 求證： 3 L2 證明： （1）將BPC 繞 B 點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°的BEF，連接 PE， BP=BE

5、，PBE=60° PBE 是正三角形。 PE=PB 又 EF=PC L=PA+PB+PC=PA+PE+EF 當(dāng) PA、PE、EF 在一條直線上的時(shí)候，L=PA+PE+EF 的值最小（如圖） 在ABF 中，ABP=120°AF= 3 L=PA+PB+PC 3 （2）過點(diǎn) P 作 BC 的平行線分別交 AB、AC 于 D、G 則ADG 是正三角形 ADP=AGP，AG=DG APDAGP APDADP ADPA 又 BD+PDPB CG+PGPC +得 AD+BD+CG+PD+PGPA+PB+PC AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+ACPA+PB+PC=L AB=AC=

6、1L2 由（1）（2）可知： 3 L2 F B E D P G A C 第 7 頁 共 9 頁 2、已知：P 是邊長為 1 的正方形 ABCD 內(nèi)的一點(diǎn)，求 PAPBPC 的最小值 A 解：將BCP 繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60° 得BEF，連接 PE， 則BPE 是正三角形 PE=PB P B E D PAPBPC=PA+PE+EF 要使 PAPBPC 最小，則 PA、PE、EF 應(yīng)該在一條直線上（如圖） 此時(shí) AF= PA+PE+EF 過點(diǎn) F 作 FGAB 的延長線于 G 則GBF=180°-ABF=180°-150°=30° GF= C

7、G F 3 1 ，BG= 2 2 2 2 3 ö æ1ö æ 2+ 3 AF= GF + AG = ç ÷ + ç + 1÷ ÷ = 2 è2ø ç è ø 2 2 PAPBPC 的最小值是 2 + 3 3、P 為正方形 ABCD 內(nèi)的一點(diǎn)，并且 PAa，PB2a，PC3a，求正方形的邊長 證明：將ABP 繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90°得BCQ，連接 PQ 則BPQ 是等腰直角三角形， PQ= 2 PB= 2 ×2a=2 2 a 又 QC

8、=AP=a QP2+QC2=(2 2 a2+a2=9a2=PC2 PQC 是直角三角形 BQC=135° BC2=BQ2+CQ2-2BQ·CQ·cosBQC =PB2+PA2-2PB·PAcos135° =4a2+a2-2×2a×a×(解得 BC= 5 + 2 2 a 正方形的邊長為 5 + 2 2 a A P D B Q C 2 2 第 8 頁 共 9 頁 4、如圖，ABC 中，ABCACB80°，D、E 分別是 AB、AC 上的點(diǎn)，DCA30°，EBA 20°，求BED 的度數(shù) A

9、 解：在 AB 上取一點(diǎn) F，使BCF=60° ，CF 交 BE 于 G，連接 EF、DG ABC=80°，ABE=20°，EBC=60°，又BCG=60° BCG 是正三角形 BG=BC ACB=80°，BCG=60°FCA=20°EBA=FCA 又A=A，AB=ACABEACF AE=AF AFE=AEF= 1 （180°-A）=80° 2 F D E 又ABC=80°=AFEEFBCEFG=BCG=60° EFG 是等邊三角形EF=EG，F(xiàn)EG=EGF=EFG=60&#

10、176; ACB=80°，DCA=30°BCD=50° BDC=180°-BCD-ABC=180°-50°-80°=50° BCD=BDCBC=BD 前已證 BG=BCBD=BG 1 BGD=BDG= （180°-ABE）=80° 2 FGD=180°-BGD-EGF=180°-80°-60°=40° 又DFG=180°-AFE-EFG=180°-80°-60°=40° FGD=DFGDF=DG

11、又 EF=EG，DE=DEEFDEGD 1 1 BED=FED= FEG= ×60°=30° 2 2 B G C 5、如圖，ABC 內(nèi)接于O，且 AB 為O 的直徑，ACB 的平分線交O 于點(diǎn) D，過點(diǎn) D 作O 的切 線 PD 交 CA 的延長線于點(diǎn) P，過點(diǎn) A 作 AECD 于點(diǎn) E，過點(diǎn) B 作 BFCD 于點(diǎn) F，若 AC=6，BC=8， 求線段 PD 的長。 =BD AD=BD 解：ACD=BCD AD AB 為O 的直徑 ADB=90° ABD 是等腰直角三角形 ACB=90°，AC=6，BC=8 AB=10 AD=AB·cosDAB=10× 又 AECD，ACD=45° ACE 是等腰直角三角形 在ADE 中，DE2=AD2-AE2 CE=AE=AC·cosCAE=6× DE2= （ 5 2 ）（ 3 2 ） = 32 2 2