2020高三數(shù)學一輪復習(人教版文)：圓的方程

1、第三節(jié)圓的方程2019 考綱考題考情1.圓的定義(1) 在平面內，到定點的距離等于定長的點的軌跡叫圓。(2) 確定一個圓最基本的要素是圓心和半徑。2.圓的標準方程(xa)2+ (y b)2= r2(r 0)，其中(a, b)為圓心坐標，j 為半 徑。3.圓的一般方程x2+ y2+ Dx + Ey+ F = 0 表示圓的充要條件是 D2+ E2 4F 0, 其中圓心為-D，-界半徑 r 尺了-4F。4.點與圓的位置關系 點和圓的位置關系有三種。圓的標準方程(x a)2+ (y b)2= r2,點 M(x, y),(1) 點在圓上：(x0a)2+(y0b)2=2。(2) 點在圓外： 他一a)2+(

2、y0b)2 r2。(3) 點在圓內：(x0a)2+(y0b)2vr2。著矗舉例考向標簽1,輩撾握砒閱的兒忖些索，關的杯雎方程 與一姬打段亂協(xié)曲了 H用牝 Ik 擊祛業(yè)即幾何問題的思製如訶全 E 卷卩T 阿人訓的力程卜 2OU 天冷陸奇* T/岡的 Q 弄 館 1T 奎目-T1DU,(圓的力利201T*丟悴玄籽 T 昶回 ttAJG*1. 刪的片程2. 與有忑的軌壷何!a3.與訓有上的星桃問題 棧心當養(yǎng)宵理患住ftMhilii嵯礎(H刖P 微知識小題練Q基礎嵐梳理-知識泄備罔報耳JICHUWE1SHUL.I n“n“一一常記結論1.圓心在坐標原點半徑為 r 的圓的方程為 x2+ y2= r22.

3、以 Ag yi), Bg y2)為直徑端點的圓的方程為(x xi)(xX2)+ (yyi)(y y2)= 0。3.二元二次方程表示圓的條件對于方程 x2+ y2+ Dx + Ey+ F = 0 表示圓時易忽視 D2+ E2 4F0這一條件。題組微熱身門屮題演嫌知網.TIZLIWEIESHIZK一、走進教材1. (必修 2P124A 組 Ti改編)圓 x2+ y2 4x+ 6y= 0 的圓心坐標是()A . (2,3)B . ( 2,3)C. ( 2, 3)D. (2, 3)解析 圓的方程可化為(x 2)2+ (y+ 3)2= 13,所以圓心坐標 是(2, 3)。故選 D。答案 D2.(必修 2

4、Pi20例 3 改編)過點 A(1, 1), B( 1,1),且圓心在直線 x+ y 2 = 0 上的圓的方程是()2 2A . (x 3)2+ (y+ 1)2= 4B.(x+ 3)2+ (y 1)2= 4C. (x 1)2+ (y 1)2=4D. (x+1)2+ (y+ 1)2=4解析 設圓心 C 的坐標為(a, b),半徑為 r，因為圓心 C 在 直線 x+ y2 = 0 上，所以 b= 2 a。因為 |CA|2= |CB|2,所以(a 1) + (2 a + 1) =(a + 1) + (2 a 1)。所以 a= 1, b = 1。所以 r = 2。所以方程為(x 1)1 2 3+ (y

5、_1)2= 4。故選 CTOZ!解析：因為 A(1 , 1), B( 1,1)，所以 AB 的中垂線方程為x= 1,得所以圓心坐標為(1,1), ry= 1,=. 1 12+ 1+ 12= 2。則圓的方程為(x 1)2+ (y1)2= 4答案 C二、走近高考3(2016 全國卷I)圓 x2+ y2 2x 8y+ 13= 0 的圓心到直線ax+y 1 = 0 的距離為 1,貝 U a=()A.,x+ y 2= 0,y= x。由ly=x,解析|a + 4 1|a2+ 1241， 解故選 A答案 A4.(2018 天津高考)在平面直角坐標系中，經過三點(0,0),(1,1), (2,0)的圓的方程為

6、_ 。解析 設圓的方程為x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0(D2+ E2F = 0,4F0),則 1+ 1 + D + E+ F = 0,4+ 2D + F= 0,解得 D = 2, E= 0, F= 0,即圓的方程為 x2+ y2 2x= 0XE!解析：記 A(0,0), B(2,0), C(1,1)，連接 AB,由圓過點 A(0,0),B(2,0)，知 AB 的垂直平分線 x= 1 必過圓心。連接 BC,又圓過3 1 點 C(1,1), BC 的中點為 Q, 2, BC 所在直線的斜率 kBc= 1,圓心的坐標為(1,0)，半徑為 1,故圓的方程為(x 1)2+ y2= 1,即

7、2 2x2+ y 2x= 0。答案 x2+ y2 2x= 0三、走出誤區(qū)微提醒：忽視表示圓的充要條件D2+ E2 4F0;錯用點與圓的位置關系判定；忽視圓的方程中變量的取值范圍。5.若方程 x2+ y2+ mx 2y+ 3 = 0 表示圓，則 m 的取值范圍 是()A.( a, ,2)U( .2,+)B.(一oo, 2 2)U(2 2, + o)C. ( a, ,3)U( 3, +o)D. ( a, 2 3)U(2 3,+o)解析 將 x2+ y2+ mx 2y+ 3 = 0 化為圓的標準方程得 x+羅J2 2所以 BC 的垂直平分線為直線y= x 1,聯(lián)立，得X得lx= 1,2+ (y 1)

8、2 = 4 2。由其表示圓可得 4 20,解得 m22o答案 B6.若點(1,1)在圓(x a)2+ (y+ a)2= 4 的內部，則實數(shù) a 的取 值范圍是( )A. 1vav1B.Ovav1C.a1 或 av 1D.a= 4解析 因為點(1,1)在圓內，所以(1 a)2+ (1 + a)2v4,即一 1vav1o故選 Ao答案 A7._ 已知實數(shù) x, y 滿足(x 2)2+ y2= 4，則 3x2+ 4y2的最大值 為_o解析 由(x 2)2+ y2= 4,得 y2= 4x x20,得 0wxW4,所 以3x2+ 4y2= 3x2+ 4(4x x2) = x2+ 16x = (x 8)2

9、+ 64(0wxw4)，所以當 x= 4 時，3x2+ 4y2取得最大值 48。答案 48考點 m 折 對點 nt 竦二上:圧送再靈徑生國世 iT .莊弗雖嗣豹吳花二匸!考點一圓的方程【例 1】(1)過點 A(4,1)的圓 C 與直線 x y 1 = 0 相切于 點B(2,1)，則圓 C 的方程為_o(2)已知圓 C 經過 P( 2,4), Q(3, 1)兩點，且在 x 軸上截得的弦長等于 6,則圓 C 的方程為_o解析(1)由已知 kAB= 0,所以 AB 的中垂線方程為 x= 3。 過 B 點且垂直于直線 x y 1 = 0 的直線方程為 y1 = (x 2),x= 3,即 x+ y 3

10、= 0，聯(lián)立，解得所以圓心坐標為(3,0),ly= 0,半徑 r =：；：.；：；：4 32+ 1 02=2，所以圓 C 的方程為(x 3)? + y2=2。解析：設圓的方程為(x a)2+ (y b)2= r2(r0)，因為點 A(4,1),解得 a= 3, b= 0, r = 2,故所求圓的方程為(x 3)2+ y2= 2(2)設圓的方程為 x2+ y2+ Dx+ Ey+ F= 0(D2+ E2 4F0)，將2D 4E F = 20,P,Q 兩點的坐標分別代入得又令 y= 0,13D E+ F = 10。得 x2+ Dx + F = 0。設 X1, x2是方程的兩根，由|X1 x2| =

11、6,得 D2 4F = 36，聯(lián)立，解得 D = 2, E= 4, F = 8,或 D = 6, E= 8, F = 0。故所求圓的方程為 x2+ y2 2x 4y8= 0 或 x2+ y2 6x 8y= 0。答案 (1)(x 3)2+ y2= 2 (2)x2+ y2 2x 4y 8 = 0 或 x2+B(2,1)在圓上，故4 a2+ 1 b2= r2,2 a2+ 1 b2= r2,又因為b1a 22y 6x 8y= 0ASM求圓的方程時，應根據條件選用合適的圓的方程。 一般來說,求圓的方程有兩種方法：(1)幾何法：通過研究圓的性質進而求出 圓的基本量。確定圓的方程時，常用到的圓的三個性質：圓

12、心 在過切點且垂直切線的直線上；圓心在任一弦的中垂線上；兩圓內切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線；(2 )代數(shù)法：即設 出圓的方程，用待定系數(shù)法求解?！咀兪接柧殹?1)(2019 珠海聯(lián)考)已知圓 C 與直線 x y= 0 及x y 4 = 0 都相切，圓心在直線 x+ y= 0 上，則圓 C 的標準 方程為()A.(x+1)4+ (y 1)2=2B.(x 1)2+ (y+ 1)2= 2C. (x 1)2+ (y 1)2= 2D. (x+1)2+ (y+ 1)2=2(2)(2019 河南豫西五校聯(lián)考)在平面直角坐標系 xOy 中， 以 點(0,1)為圓心且與直線 x by+ 2b+ 1 = 0

13、 相切的所有圓中，半徑 最大的圓的標準方程為()A.x2+ (y1)2= 4B.x2+ (y 1)2= 2C. x2+ (y 1)2= 8D. x2+ (y1)2= 164 _半徑 r=. 2= 2，所以圓 C 的標準方程為(x 1)2+ (y+ 1)2= 2。故選 B。直線 x by+ 2b+ 1 = 0 過定點 P( 1,2)，如圖。所以圓與|a 一( 一 a )|解析(1)由題意設圓心坐標為(a, a),則有2=|a a 4|-2即|a|= |a 2|,解得 a = 1。故圓心坐標為(1, 1),直線 X by+ 2b+ 1 = 0 相切于點 P 時，以點(0,1)為圓心的圓的半徑最大，

14、此時半徑 r 為 2，此時圓的標準方程為 x2+ (y 1)2= 2故選 B。答案(1)B考點二與圓有關的軌跡問題【例 2】 已知圓 x2+ y2= 4 上一定點 A(2,0), B(1,1)為圓內 一點，P, Q 為圓上的動點。(1)求線段 AP 中點的軌跡方程；若/ PBQ = 90求線段 PQ 中點的軌跡方程。解(1)設 AP 的中點為 M(x, y)，由中點坐標公式可知，P點坐標為(2x 2,2y)o因為 P 點在圓 x2+ y2= 4 上，所以(2x 2)2+ (2y)2= 4。故線段 AP 中點的軌跡方程為(x 1)2+ y2=1(XM2)o(2)設 PQ 的中點為 N(x, y)

15、o在 RtPBQ 中，|PN|= |BN|o設 O 為坐標原點，連接 ON,貝 U ON1PQ,所以 |OP|2= |ON|2+ |PN|2= |ON|2+ |BN|2,所以 x2+ y2+ (x 1)2+ (y 1)2= 4。 整理得 x2+ y2 x y1 = 0, 故線段 PQ 中點的軌跡方程為x + y 一 x 一 y 一 1 = 0。求與圓有關的軌跡問題時， 根據題設條件的不同，常采用以下方法：1. 直接法：直接根據題目提供的條件列出方程。2. 定義法：根據圓、直線等定義列方程。3. 幾何法：利用圓的幾何性質列方程。4. 代入法：找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足 的關系式等。

16、【變式訓練】 自圓 C： (x 3)2+ (y+ 4)2= 4 外一點 P(x, y) 引該圓的一條切線，切點為 Q, PQ 的長度等于點 P 到原點 0 的 距離，則點 P 的軌跡方程為()A . 8x 6y 21= 0 B . 8x+ 6y 21 = 0C. 6x+ 8y 21 = 0 D . 6x 8y 21 = 0解析 由題意得，圓心 C 的坐標為(3, 4),半徑 r = 2,如 圖。因為 |PQ|= |P0|,且 PQJCQ，所以 |P0|2+ r2=|PC|2，所以 x2+ y2+ 4=(x 3)2+ (y+ 4)2, 即卩 6x 8y 21 = 0,所以點 P 的軌跡 方程為6

17、x 8y 21= 0,故選 D。答案 D考點三 與圓有關的最值問題 微點小專題方向 1:借助幾何性質求最值【例 3】 已知實數(shù) x，y 滿足方程 x2+ y2 4x+ 1 = 0,則丫X的最大值和最小值分別為 _ 和_;(2) y x 的最大值和最小值分別為 _口_;(3) x2+ y2的最大值和最小值分別為_和。解析 原方程可化為(x 2)2+ y2= 3,表示以(2,0)為圓心,.3為半徑的圓。(1)y的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設 k,即 y= kx。當直線 y= kx 與圓相切時(如圖)，斜率 k 取最大值或最|2k 0|廠y小值，此時廠=3,解得 k= 3。所以y的最大

18、值為3, k2+ 1x最小值為.3(2)y x 可看作是直線 y= x+ b 在 y 軸上的截距。如圖所示， 當直線 y= x+ b 與圓相切時，縱截距 b 取得最大值或最小值，此|20+b|-一時.,3,解得 b= 2 6,所以 y x 的最大值為一 2+ , 6，最小值為2 6o(3)x2+ y2表示圓上的一點與原點距離的平方。由平面幾何知識知，在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值。又圓心到原點的距離為 2,所以 x2+ y2的最大值是(2 + 3)2= 7 + 4 3, x2+ y2的最小值是(2 3)2= 7 4.3。答案(1)3 , 3 (2) 2 + , 6 2 6(

19、3)7 + 4 3 7 4 3借助幾何性質求與圓有關的最值問題，根據代數(shù)式的幾何意義，借助數(shù)形結合思想求解。1 形如 尸 口形式的最值問題，可轉化為動直線斜率的1 x a 最值問題或轉化為線性規(guī)劃問題。2. 形如 t = ax + by 形式的最值問題，可轉化為動直線截距的 最值問題或轉化為線性規(guī)劃問題。3. 形如(xa)2+ (y b)2形式的最值問題，可轉化為動點到 定點的距離的平方的最值問題。方向 2:建立函數(shù)關系求最值【例 4】(2019 廈門模擬)設點 P(x, y)是圓：x2+ (y 3)2=1 上的動點，定點 A(2,0), B( 2,0)，則 PA PB 的最大值為 解析 由題

20、意，知 PA= (2 x, y), PB= ( 2 x, y),所以 PAPB = x2+ y2 4,由于點 P(x, y)是圓上的點，故其坐標滿足方程 x2+ (y 3)2= 1,故 x2= (y 3)2+ 1，所以 PA PB = (y 3)2 + 1 + y? 4 = 6y 12。由圓的方程 x? + (y 3)? = 1，易知2Wyw4,所以，當 y= 4 時，PA PB 的值最大，最大值為 6X4 12= 12。答案 12根據題中條件列出相關的函數(shù)關系式，再根據函數(shù)知識或基本不等式求最值?！绢}點對應練】1.(方向 1)已知兩點 A(0, 3), B(4,0)，若點 P 是圓 C: X

21、2+ y2 2y= 0 上的動點，則 ABP 的面積的最小值為()A. 611B.兀21C. 8D. 2解析x+ y 2y = 0 可化為 x + (y 1) = 1,則圓 C 為以(0,1)為圓心，1 為半徑的圓。如圖，過圓心 C 向直線 AB 作垂線交圓于點 P，連接 BP，AP，這時ABP 的面積最小，直線 AB 的方程X y為+丄=1，即 3x 4y 12= 0,圓心 C 到直線 AB 的距離 d =4 316，又|AB| =；32+ 42= 5，所以 ZVKBP 的面積的最小值為1x5X答案 B的最大值與最小值分別為 _ 和_1)2= 1 上的動點 P(x, y)的直線的斜率。當且僅

22、當直線與圓相2.(方向 2)1,則 z=y+ 1x解析y +1由題意，得表示過點A(0, 1)和圓(x 2)2+ (y160)的焦點為 F，直線 y5=4 與 y 軸的交點為 P,與 C 的交點為 Q,且|QF 匸 4|PQ|。y=答案4+ 74 .7333.(方向 2)設點 P(x, y)是圓:(x 3)2+ y2= 4 上的動點，定放電思維開啟心智(1) 求拋物線 C 的方程；過 F 的直線 I 與 C 相交于 A, B 兩點，若 AB 的垂直平分線 I 與 C 相交于 M，N 兩點，且 A，M，B，N 四點在同一圓上， 求 I的方程。8 【解】(1)設Q(XO,4)，代入 y2= 2px,得 xo=p,又 P(0, 4),p8p p 85p 8所以 |PQ|= p。又|QF| = 2+ Xo= 2 + p,且|QF| = 4QI,所以 2 + p=5 824 p,解得 p= 2(p =- 2 舍去),所以，拋物線 C 的方程為 y =4X。(2) 因為 A, M , B, N 四點在同一圓上，弦 AB 的垂直平分線必過圓心，又 MN 垂直平分 AB，所以 MN 是圓的直