多邊形的內(nèi)角和與外角和

1、 下塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)下塘實(shí)驗(yàn)中學(xué) 朱煥云朱煥云目錄n1.多邊形的多邊形的定義定義n2.正多邊形的正多邊形的定義定義n3.多邊形的多邊形的對(duì)角線對(duì)角線n4.多邊形的多邊形的內(nèi)角和內(nèi)角和n5.多邊形的多邊形的外角和外角和 三角形有三個(gè)內(nèi)角、三條邊，我們也可以把三角形有三個(gè)內(nèi)角、三條邊，我們也可以把三角形稱為三邊形（但我們習(xí)慣稱為三角三角形稱為三邊形（但我們習(xí)慣稱為三角形）形） 你能說出三角形的定義嗎？三角形是由三條三條不在同一條直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形 既然我們已經(jīng)知道什么叫三角形，你能根據(jù)三角形既然我們已經(jīng)知道什么叫三角形，你能根據(jù)三角形的定義，說出什么叫四邊形嗎？的定義，說出什么叫四邊

2、形嗎？四邊形是由四邊形是由四條四條不在同一直線上不在同一直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形，記為四邊形圖形，記為四邊形ABCD 五邊形，它是由五邊形，它是由五條五條不在同一直不在同一直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形，記為五邊形平面圖形，記為五邊形ABCDE 一般地，由一般地，由n條條不在同一直線不在同一直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形稱為平面圖形稱為n邊形，又稱為邊形，又稱為多邊形多邊形那么多邊形的定義呢？ 下面所示的圖形也是多邊形，但不在我們下面所示的圖形也是多邊形，但不在我們現(xiàn)在研究的范圍內(nèi)現(xiàn)

3、在研究的范圍內(nèi) 。注注 意意我們現(xiàn)在研究的是如右圖所示的多邊形，也就是所謂的凸多邊形 有什么不同？有什么不同？凹多邊形凹多邊形凸多邊形凸多邊形圖 8.3.2 1.1.如圖如圖8.3.2所示，所示，A、D、C、ABC是四是四邊形邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角的四個(gè)內(nèi)角 3.CBE和和ABF都是與都是與ABC相鄰的外角，相鄰的外角， 兩者互為對(duì)頂角兩者互為對(duì)頂角，四邊形有八個(gè)外角。，四邊形有八個(gè)外角。 既然三角形有三個(gè)既然三角形有三個(gè)內(nèi)角、三條邊，六個(gè)外角，內(nèi)角、三條邊，六個(gè)外角，那么四邊形有幾個(gè)內(nèi)角？幾條邊？幾個(gè)外角呢？那么四邊形有幾個(gè)內(nèi)角？幾條邊？幾個(gè)外角呢？2.AB2.AB，BCBC，CDCD，DA

4、DA是四邊形是四邊形ABCD的四條邊的四條邊 那么五邊形有幾個(gè)內(nèi)角？幾條邊？幾個(gè)外角呢？那么五邊形有幾個(gè)內(nèi)角？幾條邊？幾個(gè)外角呢？那么六邊形有幾個(gè)內(nèi)角？幾條邊？幾個(gè)外角呢？那么六邊形有幾個(gè)內(nèi)角？幾條邊？幾個(gè)外角呢？那么那么n n邊形有幾個(gè)內(nèi)角？幾條邊？幾個(gè)外角呢？邊形有幾個(gè)內(nèi)角？幾條邊？幾個(gè)外角呢？六邊形有六邊形有6 6個(gè)內(nèi)角，個(gè)內(nèi)角，6 6條邊，條邊，1212個(gè)外角個(gè)外角五邊形有五邊形有5 5個(gè)內(nèi)角，個(gè)內(nèi)角，5 5條邊，條邊，1010個(gè)外角個(gè)外角n n邊形有邊形有n n個(gè)內(nèi)角，個(gè)內(nèi)角，n n條邊，條邊，2n2n個(gè)外角個(gè)外角 請(qǐng)大家細(xì)心地填一填，多邊形的內(nèi)角，邊，外請(qǐng)大家細(xì)心地填一填，多邊形的

5、內(nèi)角，邊，外角三者的關(guān)系表，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？角三者的關(guān)系表，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？3344556677nn681012142n 三角形如果三條邊都相等，三個(gè)角也都相等，那么這三角形如果三條邊都相等，三個(gè)角也都相等，那么這樣的三角形就叫做樣的三角形就叫做正正三角形。三角形。 如果多邊形各如果多邊形各邊邊都相等，各個(gè)都相等，各個(gè)角角也都相等，那么也都相等，那么這樣的多邊形就叫做這樣的多邊形就叫做正多邊形正多邊形。如正三角形、正四如正三角形、正四邊形（正方形）、正五邊形等等邊形（正方形）、正五邊形等等 。正三角形正三角形正四邊形正四邊形正五邊形正五邊形正六邊形正六邊形正八邊形正八邊形(或正三邊形或正三

6、邊形)(或正四邊形或正四邊形) 連結(jié)多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊連結(jié)多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線形的對(duì)角線. 線段線段AC是四邊形是四邊形ABCD的一條對(duì)角線；的一條對(duì)角線；多邊形的對(duì)角線用虛線表示。多邊形的對(duì)角線用虛線表示。請(qǐng)大家思考：五邊形請(qǐng)大家思考：五邊形ABCDE共共有幾條對(duì)角線有幾條對(duì)角線呢？呢？五邊形五邊形ABCDE共共有有5 5條對(duì)角線條對(duì)角線。請(qǐng)大家思考：六邊形請(qǐng)大家思考：六邊形ABCDEF共共有幾條對(duì)角線有幾條對(duì)角線呢？呢？六邊形六邊形ABCDEF共共有有9 9條對(duì)角線條對(duì)角線。有沒有什么有沒有什么規(guī)律呢？規(guī)律呢？請(qǐng)問：請(qǐng)問：四四邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，

7、能引出幾條對(duì)角線？邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，能引出幾條對(duì)角線？請(qǐng)問：請(qǐng)問：五五邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，能引出幾條對(duì)角線？邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，能引出幾條對(duì)角線？請(qǐng)問：請(qǐng)問：六六邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，能引出幾條對(duì)角線？邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，能引出幾條對(duì)角線？請(qǐng)問：請(qǐng)問：N邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，能引出幾條邊形從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，能引出幾條對(duì)角線對(duì)角線？ 123N-3 我們已經(jīng)知道一個(gè)我們已經(jīng)知道一個(gè)三角形的內(nèi)角和等于三角形的內(nèi)角和等于180，那么四邊形的內(nèi)角和等于多少呢？五邊形、六邊形那么四邊形的內(nèi)角和等于多少呢？五邊形、六邊形呢？由此，呢？由此，n邊形的內(nèi)角和等于多少呢？邊形的內(nèi)角和等于多少呢？我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的我們學(xué)習(xí)

8、數(shù)學(xué)的基本思想什么？基本思想什么？化未知為已知化未知為已知 那么我們能不能利那么我們能不能利用三角形的用三角形的內(nèi)角和，來內(nèi)角和，來求出四邊形的內(nèi)角和，求出四邊形的內(nèi)角和，以及五邊形、六邊形，以及五邊形、六邊形，n邊形的內(nèi)角和？邊形的內(nèi)角和？ 請(qǐng)你認(rèn)真地想一想，你能通過怎樣的方法把多邊形請(qǐng)你認(rèn)真地想一想，你能通過怎樣的方法把多邊形轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為三角形？為三角形？345n-2540 720 900 180 (n-2)1.從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)由此，我們就可以得出 :nn邊形的內(nèi)角和為邊形的內(nèi)角和為_(n-2) 180 它有什么作用它有什么作用呢呢?1.知道多邊形的邊數(shù)知道多邊形的邊數(shù),可以求出

9、多邊形的度數(shù)可以求出多邊形的度數(shù).2.知道多邊形的度數(shù)知道多邊形的度數(shù),可以求出多邊形的邊數(shù)可以求出多邊形的邊數(shù).例1.求八邊形的內(nèi)角和的度數(shù)n 解 （n2）180n=（82）180n=1 080 分析分析: n邊形的內(nèi)角和公式為邊形的內(nèi)角和公式為(n-2) 180 ,現(xiàn)在知道這個(gè)多邊形的邊數(shù)是，現(xiàn)在知道這個(gè)多邊形的邊數(shù)是，代入這個(gè)公式既可求出代入這個(gè)公式既可求出.老師老師,可以用計(jì)算器嗎可以用計(jì)算器嗎?例2.已知多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為900，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為_n解 （n2）180 = 900n （n2）= 900 /180 n （n2） = 5n n= 5 +2 n n=77哇哇!這么簡(jiǎn)

10、單呀這么簡(jiǎn)單呀! 例例3. 已知在一個(gè)十邊形中，九個(gè)內(nèi)角的和的度已知在一個(gè)十邊形中，九個(gè)內(nèi)角的和的度數(shù)是數(shù)是1290，求這個(gè)十邊形的另一個(gè)內(nèi)角的度，求這個(gè)十邊形的另一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)數(shù).n解: （102）180 =1440 n 則十邊形的另一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為十邊形的另一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為n 1440 - 1290 =150 先求出十邊形的內(nèi)角和先求出十邊形的內(nèi)角和再減去再減去1290,就可以得出就可以得出.那么對(duì)于正多邊形來說那么對(duì)于正多邊形來說,又遇到怎樣的問題呢又遇到怎樣的問題呢?因?yàn)檎噙呅蔚拿總€(gè)角相等因?yàn)檎噙呅蔚拿總€(gè)角相等,所以知道所以知道正多邊形的邊數(shù)正多邊形的邊數(shù),就可以求出每一個(gè)內(nèi)角的度

11、數(shù)就可以求出每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù).（n2）180/ n例例4.正五邊形的每一個(gè)正五邊形的每一個(gè)內(nèi)內(nèi)角等于角等于_,外角等于外角等于_.例例5.如果一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角等于如果一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角等于120,則則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是這個(gè)多邊形的邊數(shù)是_n解解: （n2）180/ nn= （52）180/5n=540/5n=108n解: 120n=（n2）180n 120n=n180-360 n 60n =360 nn =6例例5.如果一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角等于如果一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角等于150,則則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是這個(gè)多邊形的邊數(shù)是_A.12 B.9 C. 8 D.7A例例7.如果一個(gè)多邊形的

12、邊數(shù)增加如果一個(gè)多邊形的邊數(shù)增加1,則這個(gè)多邊形的則這個(gè)多邊形的內(nèi)角和內(nèi)角和_增加增加180 例例6.如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角等于如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角等于30,則這則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是個(gè)多邊形的邊數(shù)是_n解解;設(shè)五邊形中前四個(gè)角的度數(shù)分別是設(shè)五邊形中前四個(gè)角的度數(shù)分別是x,2x,3x,4x,則第五個(gè)角度數(shù)是則第五個(gè)角度數(shù)是x+ 100 .nX+2x+3x+4x+x+ 100 = （52）180n11X +100 = 540n11X = 440nX = 40n則這個(gè)五邊形的內(nèi)角分別為則這個(gè)五邊形的內(nèi)角分別為40, 80, 120, 160, 140.例例8. 五邊形中五邊形中,前四個(gè)角的

13、比是前四個(gè)角的比是1:2:3:4,第五個(gè)角第五個(gè)角比最小角多比最小角多100 ,則這個(gè)五邊形的內(nèi)角分別為則這個(gè)五邊形的內(nèi)角分別為_ 請(qǐng)你認(rèn)真地想一想，你能通過怎樣的方法把多邊形請(qǐng)你認(rèn)真地想一想，你能通過怎樣的方法把多邊形轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為三角形？為三角形？23456n-1180 36 0 540 720 900 180 (n-1)-180 2.從邊上的一個(gè)點(diǎn)出發(fā)從邊上的一個(gè)點(diǎn)出發(fā) 請(qǐng)你認(rèn)真地想一想，你能通過怎樣的方法把多邊形請(qǐng)你認(rèn)真地想一想，你能通過怎樣的方法把多邊形轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為三角形？為三角形？34567n180 36 0 540 720 900 180 n-3603.從多邊形內(nèi)一個(gè)點(diǎn)出發(fā)從多邊形內(nèi)一

14、個(gè)點(diǎn)出發(fā) 請(qǐng)你認(rèn)真地想一想，你能通過怎樣的方法把多邊形請(qǐng)你認(rèn)真地想一想，你能通過怎樣的方法把多邊形轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為三角形？為三角形？180 n- 36 0 = 180 n- 2X180 = 180 (n-2)4.從多邊形外一個(gè)點(diǎn)出發(fā)從多邊形外一個(gè)點(diǎn)出發(fā) 前面我們學(xué)習(xí)了三角形的外角和是前面我們學(xué)習(xí)了三角形的外角和是360 ，當(dāng)時(shí)是怎樣研究出來的？當(dāng)時(shí)是怎樣研究出來的？ABCDEF1.先把三角形的三個(gè)外角和三個(gè)先把三角形的三個(gè)外角和三個(gè)內(nèi)角這六個(gè)角內(nèi)角這六個(gè)角的和求出來，剛好是三個(gè)平角。的和求出來，剛好是三個(gè)平角。2.再用這六個(gè)角的和減去三個(gè)內(nèi)角的和，剩下再用這六個(gè)角的和減去三個(gè)內(nèi)角的和，剩下的就是三角

15、形的外角和了！的就是三角形的外角和了！圖 8.3.6 那么你能研究出四邊形的外角和嗎？那么你能研究出四邊形的外角和嗎？整體思路：1.先求4個(gè)外角+4個(gè)內(nèi)角的和；內(nèi)角的和；2.再減去再減去4個(gè)內(nèi)角的和個(gè)內(nèi)角的和容易看出，容易看出，4個(gè)外角個(gè)外角+4個(gè)個(gè)內(nèi)角內(nèi)角=4個(gè)平角個(gè)平角而而4個(gè)個(gè)內(nèi)角的和是內(nèi)角的和是360 ，那么那么四邊形的外角和四邊形的外角和就是就是4X 180-360= 360那么出五邊形，六邊形，那么出五邊形，六邊形，n邊形的外角和嗎？邊形的外角和嗎？五邊形的外角和五邊形的外角和就是就是5X 180-540= 360 六邊形的外角和六邊形的外角和就是就是6X 180-720= 360

16、。n邊形的外角和邊形的外角和就是就是nX 180- (n-2)X 180 = (n-n+2)X 180 = 360 任任意意多多邊邊形形的的外外角角和和都都為為360 例例9.正五邊形的每一個(gè)外角等于正五邊形的每一個(gè)外角等于_.每一個(gè)內(nèi)角每一個(gè)內(nèi)角等于等于_,72144例例10.如果一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角等于如果一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角等于120,則則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是這個(gè)多邊形的邊數(shù)是_6例例11.如果一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角等于如果一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角等于150,則則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是這個(gè)多邊形的邊數(shù)是_A.12 B.9 C. 8 D.7A例例12.如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角等于如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角等于30,則則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是這個(gè)多邊形的邊數(shù)是_12例例13.一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角和是外角和的一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角和是外角和的2倍倍,則這個(gè)多邊形為則這個(gè)多邊形為( )A.三角形三角形 B.四邊形四邊形 C.五邊形五邊形 D. 六邊形六邊形例例14.一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角和與外角和的比一個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角和與外角和的比是是7:2,則這個(gè)