高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)人教A版選修2-2《16微積分基本定理》

1、 微積分基本定理微積分基本定理 如果總是用定義來(lái)求定積分，那將非如果總是用定義來(lái)求定積分，那將非常麻煩，有時(shí)甚至無(wú)法計(jì)算。而求導(dǎo)數(shù)比常麻煩，有時(shí)甚至無(wú)法計(jì)算。而求導(dǎo)數(shù)比求定積分容易得多。求定積分容易得多。17世紀(jì)，牛頓和萊布世紀(jì)，牛頓和萊布尼茨找到兩者之間的關(guān)系。尼茨找到兩者之間的關(guān)系。我們還是從爬山說(shuō)起。我們還是從爬山說(shuō)起。如圖，把地平面取作如圖，把地平面取作橫坐標(biāo)軸，橫坐標(biāo)軸，y=F(x)是是爬山路線(xiàn)，并假定曲爬山路線(xiàn)，并假定曲線(xiàn)線(xiàn)y=F(x)與與x軸在同一軸在同一平面內(nèi)，平面內(nèi)，A是出發(fā)點(diǎn)是出發(fā)點(diǎn),點(diǎn)點(diǎn)B為山頂。為山頂。 在爬山路線(xiàn)的每一點(diǎn)在爬山路線(xiàn)的每一點(diǎn)(x，F(xiàn)(x)，山坡的，山坡的

2、斜率為斜率為F (x)。將區(qū)間將區(qū)間a，bn等分，記等分，記x=ban 我們來(lái)分析每一小段所爬高度與這一小我們來(lái)分析每一小段所爬高度與這一小段所在直線(xiàn)的斜率的關(guān)系。段所在直線(xiàn)的斜率的關(guān)系。 x h k x k +1 x k H F G E不妨以不妨以xk，xk+1為例，為例，EF是曲線(xiàn)是曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)E的切線(xiàn)，其斜率為的切線(xiàn)，其斜率為F (xi),于于是是GF=F (xK)x。在此段所爬高。在此段所爬高度度hk為為GH，GH=F(xk+1)F(xk)。當(dāng)當(dāng)x很小時(shí)很小時(shí)(即即n很大很大)hk=GHGF. 即即F(xk+1)F(xk)F (xk)x. 這樣，我們得到了一系列近似等式：這樣，我們得到

3、了一系列近似等式：h1=F(a+x)F(a) F (a)x，h2=F(a+2x)F(a+x)F(a+x)x,h3=F(a+3x)F(a+2x)F(a+2x)x,hn1=Fa+(n1)x(a+(n2)x) F a+(n2)xx，hn=F(b)Fa+(n1)x) F a+(n1)xx， 將上列將上列n個(gè)近似等式相加，得到從個(gè)近似等式相加，得到從A到到B所爬的總高度所爬的總高度 h=h1+h2+hn=F(b)F(a)10()niF ai xx 由定積分定義可知：當(dāng)由定積分定義可知：當(dāng)x0時(shí)，時(shí)， 10()( )nbaiF ai xxF x dx 這一公式告訴我們：這一公式告訴我們：F (x)從從a到

4、到b的積的積分等于分等于F(x)在兩端點(diǎn)的取值之差在兩端點(diǎn)的取值之差 微積分基本定理微積分基本定理 如果如果F (x)=f(x)，且，且f(x)在在a，b上可積，則上可積，則 ( )( )( )baf x dxF bF a其中其中F(x)叫做叫做f(x)的一個(gè)的一個(gè)原函數(shù)原函數(shù)。 由于由于F(x)+C=f(x)，F(xiàn)(x)+C也是也是f(x)的原的原函數(shù)。其中函數(shù)。其中C為常數(shù)。為常數(shù)。 一般地，原函數(shù)在一般地，原函數(shù)在a，b上的改變量上的改變量F(b)F(a)簡(jiǎn)記作簡(jiǎn)記作F(x) ，因此，因此微積分基本定微積分基本定理理可以寫(xiě)成形式：可以寫(xiě)成形式：ba( )( )( )( )bbaaf x d

5、xF xF bF a例例1.求求y=sinx在在0,上陰影部分的面積上陰影部分的面積S.解：解：S=0sin xdx 因?yàn)橐驗(yàn)?cosx)=sinx，所以所以cosx是是sinx的一個(gè)原函數(shù)，的一個(gè)原函數(shù)，因此因此 0sin xdx=(cos)(cos0)=1+1=2例例2求曲線(xiàn)求曲線(xiàn)y=sinx與與x軸在區(qū)間軸在區(qū)間0，2是是所圍成陰影部分的面積所圍成陰影部分的面積S。解：由例解：由例1知知 =2，0sin xdx又可以求得又可以求得 =2，正弦函數(shù)在，正弦函數(shù)在區(qū)間區(qū)間，2上的積分為負(fù)值，因此正弦上的積分為負(fù)值，因此正弦函數(shù)在函數(shù)在0，2上的定積分為上的定積分為0，但是它不，但是它不等于我

6、們所求的陰影等于我們所求的陰影部分的面積，部分的面積，2sin xdx所以所以S= +| | =2+2=40sin xdx2sin xdx例例3計(jì)算：（計(jì)算：（1） ；（2）411dxx220(1)xdx解：（解：（1）因?yàn)椋┮驗(yàn)?(2)xx所以所以 411dxx2 42 12（2）因?yàn)椋┮驗(yàn)?32()13xxx所以所以 220(1)xdx320142()4333xx例例4計(jì)算計(jì)算:120 x dx解：由于解：由于 是是 y=x2的一個(gè)原函數(shù)，的一個(gè)原函數(shù)， 313x所以所以 120 x dx3 101|3x3311110333例例5汽車(chē)以每小時(shí)汽車(chē)以每小時(shí)32公里速度行駛，到公里速度行駛，到

7、某處需要減速停車(chē)。設(shè)汽車(chē)以等減速度某處需要減速停車(chē)。設(shè)汽車(chē)以等減速度a=1.8米米/秒秒2剎車(chē)，問(wèn)從開(kāi)始剎車(chē)到停車(chē)，剎車(chē)，問(wèn)從開(kāi)始剎車(chē)到停車(chē)，汽車(chē)走了多少距離？汽車(chē)走了多少距離？解：首先要求出從剎車(chē)開(kāi)始到停車(chē)經(jīng)過(guò)了解：首先要求出從剎車(chē)開(kāi)始到停車(chē)經(jīng)過(guò)了多少時(shí)間。多少時(shí)間。 當(dāng)當(dāng)t=0時(shí)，汽車(chē)速度時(shí)，汽車(chē)速度v(0)=32公里公里/小時(shí)小時(shí) = 米米/秒秒8.88米米/秒秒. 32 10003600 剎車(chē)后汽車(chē)減速行駛，剎車(chē)后汽車(chē)減速行駛，其速度為其速度為 v(t)=v(0)at=8.881.8t. 當(dāng)汽車(chē)停住時(shí)，速度當(dāng)汽車(chē)停住時(shí)，速度v(t)=0， 故從故從v(t)=8.881.8t=0解得解得 秒秒.8.88t=4.931.8于是在這段時(shí)間內(nèi)，汽車(chē)所走過(guò)的距離是于是在這段時(shí)間內(nèi)，汽車(chē)所走過(guò)的距離是4.934.9300(t)(8.88 1.8t)svdtdt4.93201(8.881.8t )21.902t米米 即在剎車(chē)后，汽車(chē)需走過(guò)即