從《對數(shù)》探討數(shù)學史在中學數(shù)學教育中的作用

1、以對數(shù)為例探討數(shù)學史在中學數(shù)學教學中的作用冉立娟（長江師范學院數(shù)學與計算機學院重慶涪陵408000）摘要：對數(shù)產生于17世紀中葉，對數(shù)的發(fā)明是計算技術的一次重大的進步。本文首先對對數(shù)的發(fā)展歷程進行了簡要的概述，主要從對數(shù)思想的萌芽，納皮爾與比爾吉引入對數(shù)的方法，對數(shù)的進一步完善這幾個方面來概述對數(shù)的發(fā)展歷程的。接著分析中學教材中的對數(shù)知識及學生的學習狀況，以對數(shù)知識為例分析了數(shù)學史知識對于中學教育的重要作用。本文旨在通過對數(shù)的例子，說明數(shù)學史融入中學教學能更好的促進教學，能使學生更好的學習數(shù)學知識。關鍵詞:對數(shù)；納皮爾；數(shù)學史；中學數(shù)學教學對數(shù)的發(fā)明是計算技術的一次重大的進步。16世紀初，歐洲

2、人的商業(yè)活動和科學探索對計算技術提出了更高的要求。特別是以精確測量為基礎的天文學的興起，使得人們遇到了繁雜的數(shù)值計算，人們由衷地希望能簡化計算。而對數(shù)的發(fā)明，給他們帶來了希望，它的出現(xiàn)讓那些需要計算的學者、尤其是天文學家欣喜如狂，拉普拉斯曾經贊譽說：“對數(shù)的發(fā)明一節(jié)省勞力而延長了天文學家的壽命?！辟だ陨踔琳f：“給我空間、時間和對數(shù)，我即可創(chuàng)造一個宇宙?！边@些都足以見得，對數(shù)的發(fā)明是多么的偉大啊！1對數(shù)的發(fā)展歷程對數(shù)思想的萌芽對數(shù)的基本思想可以追溯到古希臘時代。早在公元前500年，阿基米德就研究過幾個10的連乘積與10的個數(shù)之間的關系，用現(xiàn)在的表達形式來說，就是研究了這樣兩個數(shù)列：1,10,1

3、02,103,104,105,；0,1,2,3,4,5,他發(fā)現(xiàn)了它們之間有某種對應關系。利用這種對應可以用第二個數(shù)列的加減關系來代替第一個數(shù)列的乘除關系。阿基米德雖然發(fā)現(xiàn)了這一規(guī)律，但他卻沒有把這項工作繼續(xù)下去，失去了對數(shù)破土而出的機會。2000年后，一位德國數(shù)學家對對數(shù)的產生作出了實質性貢獻，他就是施蒂費爾。他在其著作整數(shù)算術中討論了幾何級數(shù)與其整數(shù)之間的關系，指出：幾何數(shù)列1,r,r2,r3,的各項與其指數(shù)數(shù)列0,1,2,3,的各項相互對應，幾何數(shù)列中兩項相商所得的項，其項的指數(shù)等于對應的指數(shù)數(shù)列中兩項的和（差）。他甚至還把兩個數(shù)列之間的這種聯(lián)系推廣到負指數(shù)和分數(shù)指數(shù)的情形。由于當時指數(shù)概

4、念尚未完善，分數(shù)指數(shù)還沒有認識，面對像17X63,1025+33等情況就感到束手無策了。在這種情況下，施蒂費爾無法繼續(xù)深入研究下去，只好停止了這一工作。因此，最終并沒有提出對數(shù)的概念，但他的發(fā)現(xiàn)為對數(shù)的產生奠定了基礎。納皮爾與比爾吉引入對數(shù)的方法1.2.1納皮爾引入對數(shù)15、16世紀，天文學得到了較快的發(fā)展。為了計算星球的軌道和研究星球之間的位置關系，需要對很多的數(shù)據進行乘、除、乘方和開方運算。由于數(shù)字太大，為了得到一個結果，常常需要運算幾個月的時間。繁難的計算苦惱著科學家，能否找到一種簡便的計算方法？數(shù)學家們在探索、在思考。如果能用簡單的加減運算來代替復雜的乘除運算那就太好了！這一夢想終于被

5、英國數(shù)學家納皮爾實現(xiàn)了。納皮爾研究對數(shù)的最初目的，就是為了解決平面和簡化天文問題的球面三角的計算。1614年，他在題為奇妙的對數(shù)定理說明書一書中，闡述了他的對數(shù)方法。雖然施蒂費爾已經提出了級數(shù)的思想，但納皮爾并沒有從離散級數(shù)的比較出發(fā)，而是借助于運動概念與連續(xù)的幾何量的結合來引人對數(shù)。納皮爾在兩組數(shù)中建立了這樣一種對應關系：當?shù)谝唤M數(shù)按等差數(shù)列增加時，第二組數(shù)按等比數(shù)列減少。于是，后一組數(shù)中每兩個數(shù)之間的乘積關系與前一組數(shù)中對應的兩個數(shù)的和，建立起了一種簡單的關系，從而可以將乘法歸結為加法運算。在此基礎上，納皮爾借助運動概念與連續(xù)的幾何量的結合來引入對數(shù)。他的思想方法是：如圖1,假定質點P沿著

6、一有限直線AZ運動，另一質點Q沿著一無限長直線AZ'運動。兩個質點開始運動時的初速度相同，Q的速度保持不變，而P的速度則以如下方式變化：在其路徑上任意一點B的速度與該點到終點的距離即BZ成對比，設比例系數(shù)為1.如果當P點位于B是，Q點位于B',則將AB'稱為BZ的對數(shù)。P一A1B二Q*1i|IA，B，Z，圖1拋開納皮爾繁瑣發(fā)描述，我們借助于微積分的方法來介紹納皮爾這一精湛的數(shù)學思想。dt令AZ=a,BZ=y,A'B=x,于是有AB=a-y.因此質點P在B點的速度可由d(ay)給出,這里的t為時間。由定義有_y,解之可得-lny=c+t.但在A點有t=0,y=a,

7、所以c=-lna.dt此外，因為Q沿著AZ'做勻速運動，即dxa,所以x=at.因此，上述關系變?yōu)椋篸tlnyx，或xa(lnalny)aln(a).aInay1納皮爾稱x為y的對數(shù)，這實際上是以1為底的對數(shù)。但納皮爾并沒有“底”的概念，e這是因為當時，還沒有完善的指數(shù)概念，他把對數(shù)稱為人造的數(shù)。對數(shù)這個詞是納皮爾創(chuàng)造的，原意為“比的數(shù)”。對數(shù)的概念的建立先于指數(shù)，這也是數(shù)學發(fā)展過程中的一個趣聞。1.2.2比爾吉發(fā)明對數(shù)的方法與納皮爾一起分享發(fā)明對數(shù)方法殊榮的還有瑞士人比爾吉(，1552-1632)。比爾吉是瑞士的一位工程師，他曾擔任著名天文學家開普勒的助手，因此經常接觸復雜的天文計算

8、，于是產生了化簡數(shù)值計算的強烈愿望。他受施蒂費爾工作的影響，考慮等差數(shù)列0,10,20,，10n,和與之對應的等比數(shù)列由此建立了一種對數(shù)體系，于1620年發(fā)表在等差數(shù)列和等比數(shù)列表中。不難看出，比爾吉所造的對數(shù)表，把對數(shù)的底取為，與現(xiàn)在自然對數(shù)的底e相差甚小。比爾吉發(fā)明對數(shù)的時間大約在1610年，他用了8年時間編出了世界上最早的對數(shù)表，但他長期不發(fā)表它。直到1620年，在開普勒的懇求下才把算術和幾何級數(shù)表發(fā)表出來了。而納皮爾的對數(shù)表在1614年公諸于世，這時納皮爾的對數(shù)已聞名全歐洲了，早比爾吉6年。1.2.3比較納皮爾和比爾吉引入對數(shù)的方法納皮爾和比爾吉兩人都致力于對數(shù)的研究，只不過納皮爾用的

9、是幾何方法，比爾吉用的是代數(shù)法。納皮爾并沒有根據施蒂費爾已經提出了級數(shù)的思想去進行對數(shù)的引用，也并沒有從離散級數(shù)的比較出發(fā)，而是借助于運動概念與連續(xù)的幾何量的結合，用幾何的方法來引入的對數(shù)。然而，比爾吉卻是受施蒂費爾工作的影響，考慮等差數(shù)列，屬于算術性質而略異于納皮爾的做法，運用的是代數(shù)的方法來引入對數(shù)的。這是兩人在引入對數(shù)的方法最本質的差別。雖然他們引入對數(shù)的方法不同，但都是對數(shù)的偉大發(fā)明者，對我們的數(shù)學發(fā)展都作出了重要的貢獻。對數(shù)的進一步完善納皮爾的對數(shù)著作引起了廣泛的注意，倫敦的一位數(shù)學家布里格斯于1616年專程到愛丁堡看望納皮爾，建議把對數(shù)作一些改進，使1的對數(shù)為0，10的對數(shù)為1等等

10、，這樣計算起來更簡便，也將更為有用。次年納皮爾去世，布里格斯獨立完成了這一改進，就產生了使用至今的常用對數(shù)。1617年，布里格斯發(fā)表了第一張常用對數(shù)表。1620年，哥萊斯哈姆學院教授甘特試作了對數(shù)尺。當時，人們并沒有把對數(shù)定義為冪指數(shù)，直到17世紀末才有人認識到對數(shù)可以這樣來定義。1742年，威廉斯把對數(shù)定義為指數(shù)并進行系統(tǒng)敘述?，F(xiàn)在人們定義對數(shù)時，都借助于指數(shù)，并由指數(shù)的運算法則推導出對數(shù)運算法則?？稍跀?shù)學發(fā)展史上，對數(shù)的發(fā)現(xiàn)卻早于指數(shù)，這是數(shù)學史上的珍聞。解析幾何與微積分出現(xiàn)以后，人們在研究曲線下的面積時，發(fā)現(xiàn)了面積與對數(shù)的聯(lián)系。比如，圣文森特的格雷果里在研究雙曲線xy=1下的面積時，發(fā)現(xiàn)

11、面積函數(shù)很像一個對數(shù)，后來他的學生沙拉薩第一個把面積解釋為對數(shù)。但當時并沒有認識到對數(shù)和雙曲線下面積之間的確切關系，更沒有認識到自然對數(shù)就是以e為底的對數(shù)。后來牛頓也研究過此類問題。歐拉在1748年引入了以a為底的x的對數(shù)logax這一表示形式，以作為滿足ayX的指數(shù)y,并對指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)作了深入研究。而復變函數(shù)的建立，使人們對對數(shù)有了更徹底的了解。2 數(shù)學史與數(shù)學史教育數(shù)學史數(shù)學史主要研究數(shù)學學科的發(fā)生、發(fā)展及其規(guī)律，簡單地說就是研究數(shù)學的歷史。它不僅追溯數(shù)學內容、思想和方法的演變、發(fā)展過程，而且還探究影響這種過程的各種因素，以及歷史上數(shù)學科學的發(fā)展對人類文明所帶來的影響。數(shù)學史是一門與

12、社會政治、經濟和一般文化相聯(lián)系的學科，它是數(shù)學學科體系中重要的一個組成部分。古人云：“以銅為鏡，可以正衣冠；以古為鏡，可以知興替；以人為鏡，可以知得失。”然而，以史為鏡，可以明事理。因此，數(shù)學史的教育價值也就不言而喻了。數(shù)學史對于揭示數(shù)學知識的現(xiàn)實來源和應用，對于引導學生體會真正的數(shù)學思維過程，創(chuàng)造一種探索與研究的數(shù)學學習氣氛，對于激發(fā)學生對數(shù)學的興趣，培養(yǎng)探索精神，對于揭示數(shù)學在文化史和科學進步史上的地位與影響進而揭示其人文價值，都有重要意義。數(shù)學史教育只有懂得歷史，才能深刻理解數(shù)學。近幾年來，我國數(shù)學教育改革強調數(shù)學的文化價值，致使數(shù)學史知識得到廣泛的關注。普通高中數(shù)學課程標準明確提出要使

13、學生“初步了解數(shù)學產生與發(fā)展的過程，體會數(shù)學對人類文明發(fā)展的作用”，而把“數(shù)學史選講”作為一門選修課加以開設，大力推動數(shù)學史和數(shù)學教學的融合。在課堂上適當滲透一些數(shù)的發(fā)展歷史，能使數(shù)學活起來。另一方面，適當學一些數(shù)學史能使學生學得更富有趣味性和探索意義，從而極大地調動學生的積極性，提高他們學習數(shù)學的興趣。數(shù)學史教育是中學數(shù)學教學中不可缺少的組成部分。尤其在全面推進素質教育，實施課程改革的今天，對發(fā)展學生綜合素質提出了更高的要求，數(shù)學史的教育功能則更加顯現(xiàn)。教育部2003年頒布的普通高中數(shù)學課程標準（實驗）中也指出：高中數(shù)學課程提倡體現(xiàn)數(shù)學的文化價值，并在適當?shù)膬热葜刑岢鰧Α皵?shù)學文化”的學習要求

14、，設立“數(shù)學史選講”等專題。由此可見，數(shù)學史教育對于中學數(shù)學教育的重要性。但是由于長期應試教育的影響，很多教師重數(shù)學知識的傳授，而忽視了它在發(fā)展高中學生綜合素質方面的作用，影響了中學數(shù)學教學質量的提高。3 以對數(shù)知識為例探討數(shù)學史在中學數(shù)學教育中的作用中學教材中的對數(shù)知識及學生的學習狀況對數(shù)知識也是中學知識中非常重要的知識點，在高考中也占了一定的比例。在中學課本中，主要學習和探討了對數(shù)的概念，對數(shù)的基本性質，對數(shù)函數(shù)的定義以及圖像的特征。這些對數(shù)的知識，都是在納皮爾與比爾吉引入的對數(shù)的基礎之上，經過后人不斷的改進完善而得到的。比如說：納皮爾當時在發(fā)明對數(shù)的時候，那時并沒有明確的指數(shù)概念，也沒有

15、指數(shù)符號。本來指數(shù)相關的概念應該在對數(shù)概念之前建立，然而卻沒有，因此對數(shù)的發(fā)明當時也是數(shù)學發(fā)展過程中的一個趣聞。后來，歐拉在1748年引入了以a為底的x的對數(shù)logax這一表示形式，以作為滿足ayx的指數(shù)y，并對指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)作了深入研究。現(xiàn)在，中學的教材中，就修改了這一點，先講解了指數(shù)的相關定義及其性質以后才開始討論對數(shù)的相關知識。然而，我們發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在學生在學習對數(shù)這一節(jié)知識時，只是機械的知道了對數(shù)的概念，學生永遠都不知道學習對運算法則，通過進行大量的練習，學會了對數(shù)的簡單運算。但是，數(shù)的目的是什么？它能解決哪些問題，更別說對數(shù)式與指數(shù)式之間的關系。也就是說，學生只知道運算，別的一無所知。

16、我們只是把學生教成了能進行對數(shù)運算的計算器。其實，學生并沒有真正的學好對數(shù)一節(jié)的知識。在中學教學中滲透數(shù)學史的知識的作用在平時的教學活動中適當滲透一些數(shù)學史的內容，往往能起到事半功倍的效果。下面以對數(shù)這一節(jié)的知識為例，探討在中學教學中滲透數(shù)學史的知識的作用。3.2.1 激發(fā)學生對數(shù)學的熱愛，更激發(fā)學生的求知欲和創(chuàng)造欲案例一：課時的引入階段教師主要應該談的是對數(shù)是怎樣產生的，這時候教師可以以對數(shù)的發(fā)展引入新課。在講對數(shù)概念時，簡單介紹一下對數(shù)的發(fā)明者蘇格蘭數(shù)學家納皮爾編制對數(shù)表的歷程，即：今天，我們用電子計算機可以很容易求對數(shù)，但是在以前是通過對數(shù)表來查的。對數(shù)的發(fā)明者是蘇格蘭數(shù)學家納皮爾，公元

17、1594年，納皮爾開始精心編制可供實用的對數(shù)表，公元1614年，納皮爾發(fā)表了關于奇妙的對數(shù)法則的說明一書，書中論述了對數(shù)的性質，給出了有關對數(shù)表的使用規(guī)則和實例。納皮爾為了發(fā)明對數(shù)，用了20年的計算，最終換來了人世間無數(shù)壽命的延續(xù)！后經人們不斷改進完善，形成了我們今天學習的對數(shù)知識。在歷史上大概沒有比“對數(shù)”的發(fā)現(xiàn)，更能使人意識到數(shù)學發(fā)現(xiàn)的意義和對人類文明的貢獻。在教學中引用這樣的例子，能使學生深深感受到數(shù)學發(fā)現(xiàn)的重要，激起學生對數(shù)學的熱愛，更激起了學生的求知欲和創(chuàng)造欲。在高中數(shù)學新課程改革中，數(shù)學史被認為是學生認識數(shù)學、理解數(shù)學的一種途徑。學習對數(shù)的知識首先要弄清楚對數(shù)是怎么來的，新教材中明

18、確提出要使學生“初步了解數(shù)學產生與發(fā)展的過程，體會數(shù)學對人類文明發(fā)展的作用”。在課堂上適當滲透一些數(shù)的發(fā)展歷史，能使數(shù)學活起來，能使學生學得更富有趣味性，從而極大地調動學生的積極性，提高他們學習數(shù)學的興趣。3.2.2 解數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展的過程，促進學生對數(shù)學概念、定理和公式的理解案例二：在講對數(shù)相關知識時，應該穿插對數(shù)的發(fā)展歷程：蘇格蘭數(shù)學家納皮爾為了簡化在研究天文學過程中的計算而發(fā)明了對數(shù)，他的朋友布里格斯在研究“奇妙的對數(shù)定律”時，與其商定，使1的對數(shù)為O，10的對數(shù)為1，這就是現(xiàn)在所用的以10為底的常用對數(shù)，x18世紀，瑞士數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對數(shù)的互逆關系，首先使用ya來定義x=l

19、ogy，并指出“對數(shù)源出于指數(shù)”任何一門學科的發(fā)展都有著知識發(fā)生、發(fā)展的過程，也只有了解了知識產生的現(xiàn)實背景和問題背景，我們才能明確學習的目標。如果我們在學習對數(shù)的時候不告訴學生對數(shù)產生的問題背景，只是機械的告訴學生對數(shù)的運算法則，然后進行大量練習，在這種情況下，學生可能會學會對數(shù)的簡單運算。但是，學生永遠都不知道學習對數(shù)的目的是什么，它能解決哪些問題。這樣學生只知道運算，別的一無所知。然而，如果穿插一些對數(shù)的發(fā)展史的知識，就能讓學生理解對數(shù)的發(fā)展歷程。同時，也讓學生能夠認識到對數(shù)是源出于指數(shù)的，教材中先安排我們學習指數(shù)的知識，也是非常正確的。同時，也讓學生能夠更加深刻的理解到指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函

20、數(shù)之間的關系。這樣，才能使學生真正地學好用好對數(shù)的知識。3.2.3 樹數(shù)學家榜樣，彰顯數(shù)學作用案例三：如果在講對數(shù)一節(jié)知識時，老師講訴納皮爾發(fā)明對數(shù)的目的以及多么艱苦：自古以來，人們的日常生活和所從事的許多領域，都離不開數(shù)值計算，并且隨著人類社會的進步，對計算的速度和精確程度的需要愈來愈高，這就促進了計算技術的不斷發(fā)展。為了讓天文學家從繁瑣的計算中解脫出來，納皮爾發(fā)明了對數(shù)，而為了計算對數(shù)表他自己卻整整花費了20年的時間。公元1594年，納皮爾開始精心編制可供實用的對數(shù)表，在經歷了7300個日日夜夜之后，一本厚達200頁的8位對數(shù)表終于誕生了！所以，納皮爾對我們現(xiàn)在對數(shù)知識的發(fā)展作出了十分重大的貢獻，在歷史上得到了很多人的贊美。法國大數(shù)學家拉普拉斯說：“如果一個人的生命是拿他一生中的工作多少來衡量，那么對數(shù)的發(fā)明，等于延長了人類的壽命！”對數(shù)表后經別人更改完善，解決了星體的軌道計算，船只的位置確定，大地的形貌測繪，船舶的結構設計等一系列課題。通過講杰出數(shù)學家的故事對于今天的學生來說，無疑有著巨大的激勵作用。學習數(shù)