自控習題及其答案

1、第二部分 古典控制理論基礎習題詳解 一 概述第二部分 古典控制理論基礎習題詳解一 概述2-1-1 試比較開環(huán)控制系統(tǒng)和閉環(huán)控制系統(tǒng)的優(yōu)缺點?！窘狻浚嚎刂葡到y(tǒng)優(yōu)點缺點開環(huán)控制簡單、造價低、調節(jié)速度快調節(jié)精度差、無抗多因素干擾能力閉環(huán)控制抗多因素干擾能力強、調節(jié)精度高結構較復雜、造價較高2-1-2 試列舉幾個日常生活中的開環(huán)和閉環(huán)控制系統(tǒng)的例子，并說明其工作原理?！窘狻浚洪_環(huán)控制半自動、全自動洗衣機的洗衣過程。工作原理：被控制量為衣服的干凈度。洗衣人先觀察衣服的臟污程度，根據自己的經驗，設定洗滌、漂洗時間，洗衣機按照設定程序完成洗滌漂洗任務。系統(tǒng)輸出量（即衣服的干凈度）的信息沒有通過任何裝置反饋到

2、輸入端，對系統(tǒng)的控制不起作用，因此為開環(huán)控制。閉環(huán)控制衛(wèi)生間蓄水箱的蓄水量控制系統(tǒng)和空調、冰箱的溫度控制系統(tǒng)。工作原理：以衛(wèi)生間蓄水箱蓄水量控制為例，系統(tǒng)的被控制量（輸出量）為蓄水箱水位（反應蓄水量）。水位由浮子測量，并通過杠桿作用于供水閥門（即反饋至輸入端），控制供水量，形成閉環(huán)控制。當水位達到蓄水量上限高度時，閥門全關（按要求事先設計好杠桿比例），系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。一旦用水，水位降低，浮子隨之下沉，通過杠桿打開供水閥門，下沉越深，閥門開度越大，供水量越大，直到水位升至蓄水量上限高度，閥門全關，系統(tǒng)再次處于平衡狀態(tài)。2-1-3 試判斷下列微分方程所描述的系統(tǒng)屬何種類型（線性、非線性；定常、時

3、變）。（1）； （2）； （3）； （4）?！窘狻浚海?）線性定常系統(tǒng)；（2）線性時變系統(tǒng)；（3）非線性定常系統(tǒng)；（4）線性定常系統(tǒng)。題2-1-3圖2-1-4 根據題2-1-1圖所示的電動機速度控制系統(tǒng)工作原理圖：（1）將a，b與c，d用線連接成負反饋系統(tǒng)；（2）畫出系統(tǒng)方框圖。【解】：（1）a-d連接，b-c連接。（2）系統(tǒng)方框圖題2-1-4解圖題2-1-5圖2-1-5 下圖是水位控制系統(tǒng)的示意圖，圖中,分別為進水流量和出水流量?？刂频哪康氖潜３炙粸橐欢ǖ母叨?。試說明該系統(tǒng)的工作原理并畫出其方框圖?！窘狻浚寒斴斎肓髁颗c輸出流量相等時，水位的測量值和給定值相等，系統(tǒng)處于相對平衡狀態(tài)，電動機無

4、輸出，閥門位置不變。當輸出流量增加時，系統(tǒng)水位下降，通過浮子檢測后帶動電位器抽頭移動，電動機獲得一個正電壓，通過齒輪減速器傳遞，使閥門打開，從而增加入水流量使水位上升，當水位回到給定值時，電動機的輸入電壓又會回到零，系統(tǒng)重新達到平衡狀態(tài)。反之易然。題2-1-5解圖2-1-6 倉庫大門自動控制系統(tǒng)如圖所示，試分析系統(tǒng)的工作原理，繪制系統(tǒng)的方框圖，指出各實際元件的功能及輸入、輸出量?！窘狻浚寒斀o定電位器和測量電位器輸出相等時，放大器無輸出，門的位置不變。假設門的原始平衡位置在關狀態(tài)，門要打開時，“關門”開關打開，“開門”開關閉合。給定電位器與測量電位器輸出不相等，其電信號經放大器比較放大，再經伺服

5、電機和絞盤帶動門改變位置，直到門完全打開，其測量電位器輸出與給定電位器輸出相等，放大器無輸出，門的位置停止改變，系統(tǒng)處于新的平衡狀態(tài)。系統(tǒng)方框圖如解圖所示。題2-1-6解圖元件功能電位器組將給定“開”、“關”信號和門的位置信號變成電信號。為給定、測量元件。放大器、伺服電機將給定信號和測量信號進行比較、放大。為比較、放大元件。絞盤改變門的位置。為執(zhí)行元件。門被控對象。系統(tǒng)的輸入量為“開”、“關”信號；輸出量為門的位置。二 控制系統(tǒng)的數學模型題2-1-1圖2-2-1 試建立下圖所示各系統(tǒng)的微分方程并說明這些微分方程之間有什么特點，其中電壓和位移為輸入量；電壓和位移為輸出量；和為彈簧彈性系數；為阻尼

6、系數。【解】：方法一：設回路電流為，根據克希霍夫定律，可寫出下列方程組：削去中間變量，整理得：方法二：由于無質量，各受力點任何時刻均滿足，則有： 設阻尼器輸入位移為，根據牛頓運動定律，可寫出該系統(tǒng)運動方程結論：、互為相似系統(tǒng)，、互為相似系統(tǒng)。四個系統(tǒng)均為一階系統(tǒng)。2-2-2 試求題2-2-2圖所示各電路的傳遞函數。題2-2-2圖【解】：可利用復阻抗的概念及其分壓定理直接求傳遞函數。(a) (b) (c) (d) 2-2-3 工業(yè)上常用孔板和差壓變送器測量流體的流量。通過孔板的流量與孔板前后的差壓的平方根成正比，即，式中為常數，設系統(tǒng)在流量值附近作微小變化，試將流量方程線性化?！窘狻浚喝§o態(tài)工作

7、點，將函數在靜態(tài)工作點附近展開成泰勒級數，并近似取前兩項設（R為流動阻力），并簡化增量方程為2-2-4 系統(tǒng)的微分方程組為：式中均為正的常數，系統(tǒng)的輸入為，輸出為，試畫出動態(tài)結構圖，并求出傳遞函數。【解】：對微分方程組進行零初始條件下的Laplace變換得：繪制方框圖題2-2-4圖傳遞函數為 題2-2-5圖2-2-5 用運算放大器組成的有源電網絡如題2-2-5圖所示，試采用復阻抗法寫出它們的傳遞函數?！窘狻浚豪美硐脒\算放大器及其復阻抗的特性求解。2-2-6 系統(tǒng)方框圖如題2-2-6圖所示，試簡化方框圖，并求出它們的傳遞函數。 (a) (b)(c)(d)題2-2-6圖【解】：(1)(2)(3)

8、(4)（b）(1)(2)(3)(4)（c）(1)(2)(3)(4)(d) (1)(2)(3)(4)題2-2-7圖2-2-7 系統(tǒng)方框圖如題2-2-7圖所示，試用梅遜公式求出它們的傳遞函數。【解】：（a）（1）該圖有一個回路 （2）該圖有三條前向通路所有前向通路均與回路相接觸，故。（3）系統(tǒng)的傳遞函數為（b）（1）為簡化計算，先求局部傳遞函數。該局部沒有回路，即，有四條前向通路：所以 （2）題2-2-8圖2-2-8 設線性系統(tǒng)結構圖如題2-2-8圖所示，試（1） 畫出系統(tǒng)的信號流圖；（2） 求傳遞函數及?！窘狻浚海?） 系統(tǒng)信號流圖如圖：（2） 求傳遞函數。令。有三個回路：和互不接觸： 因此 有

9、三條前向通路： 求傳遞函數。令。求解過程同，不變。2-2-9 系統(tǒng)的動態(tài)結構圖如圖所示，試求題2-2-9圖（1）求傳遞函數和； （2）若要求消除干擾對輸出的影響，求【解】：（1）根據梅森增益公式得（2）根據題意2-2-10 某復合控制系統(tǒng)的結構圖如圖所示，試求系統(tǒng)的傳遞函數。題2-2-10圖【解】：根據梅森增益公式得：2-2-11 系統(tǒng)微分方程如下： 試求系統(tǒng)的傳遞函數及。其中r，n為輸入，c為輸出。均為常數。【解】：（1）對微分方程組進行零初始條件下的Laplace變換,并加以整理得 （2）畫出系統(tǒng)結構圖 題2-2-11解圖（3）求傳遞函數，令（4）求傳遞函數，令2-2-12 已知系統(tǒng)方框圖

10、如圖所示，試求各典型傳遞函數。題2-2-12圖【解】：（1）求。令（2）求。令（3）求。令三 時域分析法2-3-1 若某系統(tǒng)，當零初始條件下的單位階躍響應為試求系統(tǒng)的傳遞函數和脈沖響應?！窘狻?傳遞函數：單位脈沖響應： 2-3-2 二階系統(tǒng)單位階躍響應曲線如圖所示，試確定系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數。設系統(tǒng)為單位負反饋式。題2-3-2圖【解】 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為：2-2-3 已知系統(tǒng)的結構圖如圖所示（1）當時，求系統(tǒng)的阻尼比，無阻尼振蕩頻率和單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差；（2）確定以使，并求此時當輸入為單位斜坡函數時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。題2-3-3圖【解】（1）時 系統(tǒng)為型 （2）時型系統(tǒng)，3-4 若溫度計的特

11、性用傳遞函數描述，現用溫度計測量盛在容器內的水溫，發(fā)現需30s時間指出實際水溫的95%的數值。試求：（1）把容器的水溫加熱到100°C，溫度計的溫度指示誤差；（2）給容器加熱，使水溫依6°C/min的速度線性變化時，溫度計的穩(wěn)態(tài)指示誤差。【解】： 根據題意得 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳函數為（1） 階躍輸入時系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)無差。（2） 斜坡輸入時，輸入信號速率為（注：也可以用給定輸入下輸出響應的終值與給定值之間的偏差計算。）2-3-5 閉環(huán)傳遞函數，試在S平面繪出滿足下列要求的閉環(huán)特征方程根的區(qū)域：（1）（2）（3）【解】：根據阻尼比和無阻尼自然振蕩角頻率與特征根在平面上位置的關系可知

12、（1）。滿足要求的閉環(huán)特征根的區(qū)域如解圖（1）所示。（2）。滿足要求的閉環(huán)特征根的區(qū)域如解圖（2）所示。 （1） （2） （3）題2-3-5解圖（3）。滿足要求的閉環(huán)特征根的區(qū)域如解圖（3）所示。2-3-6 單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數，試求：（1）系統(tǒng)的單位階躍響應和單位斜坡響應；（2）峰值時間、調節(jié)時間和超調量?！窘狻浚海?） 典型二階系統(tǒng)欠阻尼情況，可以利用公式直接計算。單位階躍響應為：單位斜坡響應為：（2）系統(tǒng)性能指標為： 題2-3-7圖2-3-7 系統(tǒng)方框圖如題2-3-7圖所示，若系統(tǒng)的。試求：（1）、值；（2）時：調節(jié)時間、上升時間?！窘狻浚海?）利用方框圖等效變換化系統(tǒng)為單位反饋

13、的典型結構形式后得開環(huán)傳遞函數為 根據題意：（2）2-3-8 已知閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式如下，試用勞斯判據判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性及根的分布情況。（1） （2）（3） （4）【解】：（1）勞斯表為勞斯表第一列符號沒有改變，且特征方程各項系數均大于0，因此系統(tǒng)穩(wěn)定，該系統(tǒng)三個特征根均位于s的左半平面。（2）勞斯表為勞斯表第一列符號改變二次，該系統(tǒng)特征方程二個根位于右半平面，一個根位于左半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定。（3） 勞斯表為勞斯表第一列符號沒有改變，且特征方程各項系數均大于0，因此系統(tǒng)穩(wěn)定，該系統(tǒng)四個特征根均位于s的左半平面。（4） 勞斯表為勞斯表第一列符號沒有改變，且特征方程各項系數均大于0，因此系統(tǒng)穩(wěn)定，該

14、系統(tǒng)五個特征根均位于s的左半平面。2-3-9 已知閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式如下（1） （2）試確定參數K的取值范圍確保閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。【解】：（1）根據特征方程列寫出勞斯表為：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為（2）由三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件得2-3-10 具有速度反饋的電動控制系統(tǒng)如題2-3-10圖所示，試確定系統(tǒng)穩(wěn)定的的取值范圍。題2-3-10圖【解】：系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是。 題2-3-11圖2-3-11 已知系統(tǒng)的結構圖如圖所示，分別求該系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數、速度誤差系數和加速度誤差系數。當系統(tǒng)的輸入分別為（1），（2），（3）時，求每種情況下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差?！窘狻浚合到y(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為

15、為開環(huán)增益。在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提條件下有 （1） ；（2） ；（3） 2-3-12 已知系統(tǒng)的結構圖如圖所示。（1）確定和滿足閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件；（2）求當和時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差；（3）求當和時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。題2-3-12圖【解】：（1）系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)穩(wěn)定時（2）方法一系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為 為開環(huán)增益。型系統(tǒng)，根據題意方法二（3）方法一。由得方法二題2-3-13圖 2-3-13 控制系統(tǒng)如圖所示，輸入信號和擾動信號均為單位斜坡輸入。試計算時的穩(wěn)態(tài)誤差，并選擇適當的 使。（e=r-c）【解】：特征方程為 均大于0時系統(tǒng)穩(wěn)定。題2-3-14圖 2-3-14 具有擾動輸入的控制系統(tǒng)如圖所示，求：當

16、時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差?！窘狻浚合到y(tǒng)特征方程為該系統(tǒng)不穩(wěn)定，所以穩(wěn)態(tài)誤差沒有意義。題2-3-15圖 2-3-15 系統(tǒng)如圖所示，已知試求：（1）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。（2）要想減小擾動產生的誤差，應提高哪一個比例系數？（3）若將積分因子移到擾動作用點之前，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差如何變化？【解】：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是K1，K2>0。（1）方法一 開環(huán)傳遞函數為型系統(tǒng) 方法二 （2）由可知，若要減小則應增大K1。（3）擾動輸入時，系統(tǒng)型別為1，所以階躍擾動時靜態(tài)無差。2-3-16 單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為，若系統(tǒng)單位階躍響應的超調量； 若誤差，當輸入時其穩(wěn)態(tài)誤差。試求：（1）K值；（2）單位階躍響應的

17、調節(jié)時間；（3）當時的穩(wěn)態(tài)誤差。【解】：（1）又時符合題意（2） （3） 時題2-3-17圖2-3-17 已知系統(tǒng)結構如圖所示：（1）確定當和滿足什么條件時，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（2）求當時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。【解】：（1）系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是（2）方法一輸入時，型系統(tǒng)： 輸入時，方法二2-3-18 設控制系統(tǒng)結構圖如圖所示，要求：（1）計算當測速反饋校正（）時，系統(tǒng)的動態(tài)性能指標（）和單位斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差；題2-3-18圖（2）計算當比例-微分校正（）時，系統(tǒng)的動態(tài)性能指標（）和單位斜坡輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。 【解】：（1）（2）根據題意，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為 根據題意 2-3-19

18、系統(tǒng)結構如圖3-46所示，試求當同時作用下的穩(wěn)態(tài)誤差（）。 題2-3-19圖【解】： 單獨作用時，單獨作用時2-3-20 已知閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數為近似分析系統(tǒng)的動態(tài)響應性能指標：超調量和調節(jié)時間。【解】：零點和極點可視為一對偶極子，對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響可以抵消；極點遠離原點，其作用也可以忽略。為化簡后不改變系統(tǒng)的開環(huán)增益得四 根軌跡分析法2-4-1 設系統(tǒng)的開環(huán)零、極點分布如題2-4-1圖所示，試繪制相應的根軌跡草圖。 題2-4-1圖【解】： 題2-4-1解圖2-4-2 設負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數分別如下：（1） （2）（3） （4）試繪制由變化的閉環(huán)根軌跡圖?！窘狻浚海?）系統(tǒng)有三個開環(huán)極點

19、 。 ，有三條根軌跡，均趨于無窮遠。題2-4-2（1）解圖 實軸上的根軌跡在區(qū)間。 漸近線 分離點。方法一 由得不在根軌跡上，舍去。分離點為。分離點處K值為 方法二 特征方程為：重合點處特征方程：令各項系數對應相等求出重合點坐標和重合點處增益取值。 根軌跡與虛軸的交點。系統(tǒng)的特征方程為方法一 令，得方法二 將特征方程列勞斯表為令行等于0，得。代入行，得輔助方程 系統(tǒng)根軌跡如題2-4-2（1）解圖所示。題2-4-2（2）解圖（2） 根軌跡方程開環(huán)零點，開環(huán)極點。 實軸上的根軌跡區(qū)間。 分離會合點方法一 均在根軌跡上，為分離點，為會合點。方法二 系統(tǒng)特征方程：重合點處特征方程：聯(lián)立求解重合點坐標：

20、題2-4-2（3）解圖 可以證明復平面上的根軌跡是以為圓心，以為半徑的圓（教材已證明）。根軌跡如題2-4-1（2）解圖所示。（3） 開環(huán)零點開環(huán)極點。 實軸上的根軌跡區(qū)間為 分離點題2-4-2（3）解圖為分離點，不在根軌跡上，舍去。分離點K值 出射角 復平面上的根軌跡是圓心位于、半徑為的圓周的一部分，如題2-4-1（3）解圖所示。題2-4-2（4）解圖（4） 四個極點。 漸近線 實軸上的根軌跡區(qū)間為。 分離點得，均為分離點，。分離角正好與漸近線重合。 出射角 根軌跡與虛軸的交點 系統(tǒng)根軌跡如題2-4-1（4）解圖所示。2-4-3 已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 ：試繪制由變化的閉環(huán)根軌跡圖

21、，并求出使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的值范圍。【解】：系統(tǒng)有兩對重極點 。 漸近線 實軸上的根軌跡為兩點 ，也為分離點。分離角均為。題2-4-3解圖 根軌跡與虛軸的交點坐標系統(tǒng)特征方程即 令代入特征方程，得令上式實部虛部分別等于0，則有 該系統(tǒng)根軌跡如題2-4-3解圖所示。由圖可知，當時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。2-4-4 已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 （1）試繪制由變化的閉環(huán)根軌跡圖；（2）用根軌跡法確定使系統(tǒng)的階躍響應不出現超調時的值范圍；題2-4-4解圖（3）為使系統(tǒng)的根軌跡通過兩點，擬加入串聯(lián)微分校正裝置，試確定的取值?！窘狻浚海?），根據一般根軌跡繪制法則求得 漸近線與實軸的交點：漸近線傾角：。 實軸

22、上的根軌跡在區(qū)間。 分離點：。 根軌跡與虛軸的交點坐標：。 該系統(tǒng)根軌跡如題2-4-4解圖所示。（2）系統(tǒng)的階躍響應不出現超調的條件是特征根在左半平面的實軸上。根軌跡在實軸上的分離點的K值已由（1）求得，所以在時系統(tǒng)不產生超調。（3）串聯(lián)微分校正環(huán)節(jié)后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數變?yōu)橄到y(tǒng)特征方程為若是根軌跡上的點，則必滿足特征方程。代入特征方程，得： 2-4-5 已知單位負反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數為 （1）試繪制參數由變化的閉環(huán)根軌跡圖；（2）判斷點是否在根軌跡上；（3）由根軌跡求出使閉環(huán)系統(tǒng)阻尼比時a的值?！窘狻浚海?）系統(tǒng)的特征方程為等效開環(huán)傳遞函數為：，a由變化為一般根軌跡。題2-4-5解圖 開環(huán)零

23、點，開環(huán)極點。 實軸上的根軌跡在區(qū)間。 分離點由 得 解得為分離點，不在根軌跡上，舍去。 共軛復根的出射角 復平面的根軌跡是圓心位于、半徑為的圓周的一部分，如題2-4-5解圖所示。（2）把代入相角條件中，若滿足則是根軌跡上的點，反之則不是。點不在根軌跡上。（3）求等超調線與根軌跡的交點方法一 ，設等超調線與根軌跡交點坐標實部為，則，有 令等式兩邊s各次項系數分別相等，得方法二 由特征方程，按照典型二階系統(tǒng)近似計算得：另外，把代入特征方程也可求得同樣結果。2-4-6 已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 （1）試繪制參數由變化的閉環(huán)根軌跡圖；（2）求出臨界阻尼比時的閉環(huán)傳遞函數?！窘狻浚海?）系統(tǒng)

24、特征方程為等效開環(huán)傳遞函數為： 題2-4-6解圖a由變化為一般根軌跡。 開環(huán)極點。 漸近線與實軸的交點：，漸近線傾角：。 實軸上的根軌跡在區(qū)間。 分離點由 得 解得為起點，為分離點。 根軌跡與虛軸的交點令，代入特征方程得 該系統(tǒng)根軌跡如題2-4-6解圖所示。（2）時，對應實軸上根軌跡的分離點，。因為，可由開環(huán)極點之和等于閉環(huán)極點之和求得另一實軸上的極點坐標系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數為題2-4-7解圖2-4-7 已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 ：（1）試繪制由變化的閉環(huán)根軌跡圖；（2）求出使系統(tǒng)產生相重實根和純虛根時的值?！窘狻浚海?）根軌跡方程為由變化，為根軌跡。 開環(huán)零點，開環(huán)極點。 實軸上的根軌

25、跡在區(qū)間。 分離點和會合點解得為會合點，為分離點。 根軌跡與虛軸的交點特征方程為 令，代入特征方程得 該系統(tǒng)根軌跡如題2-4-7解圖所示。（2）實軸上根軌跡的分離點和會合點即為相重實根，其K值分別為 純虛根時的K值即為根軌跡與虛軸交點的K值，由（1）所求得之。 （1） （2）題2-4-8圖2-4-8 系統(tǒng)方框圖如題2-4-8圖所示，試繪制由變化的閉環(huán)根軌跡圖。 【解】：（1）根軌跡方程為由變化為零度根軌跡。 開環(huán)極點。 實軸上的根軌跡在區(qū)間。 該系統(tǒng)根軌跡如題2-4-8解（1）圖所示。（2）根軌跡方程為由變化為一般根軌跡。 開環(huán)極點。 漸近線與實軸的交點：，漸近線傾角：。 實軸上的根軌跡在區(qū)間

26、。題2-4-8解圖 分離點 （1） （2）題2-4-8解圖 復平面上的根軌跡與漸近線重合，如題2-4-8解圖（2）所示。2-4-9 單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為 ，繪制由變化的閉環(huán)根軌跡圖?！窘狻浚旱刃Ц壽E方程為當由時為零度根軌跡。 開環(huán)零點，開環(huán)極點。，有一個無窮遠的極點。 實軸上的根軌跡在區(qū)間。 分離點和會合點解得為分離點，為會合點。題2-4-9解圖 根軌跡與虛軸的交點特征方程為 令，代入特征方程得 復平面上的根軌跡是圓，如題2-4-9解圖所示。2-4-10 系統(tǒng)方框圖如題2-4-10圖所示，試求：（1）當閉環(huán)極點為時的值；（2）在上面所確定的值下，當由變化的閉環(huán)根軌跡圖。題2-4-10

27、圖【解】：（1）特征方程為 閉環(huán)極點為時的系統(tǒng)特征方程為 兩方程聯(lián)立求解得： 題2-4-10解圖 （2）系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為等效根軌跡方程為： 當由時為一般根軌跡。 開環(huán)零點，開環(huán)極點。 實軸上的根軌跡在區(qū)間。 會合點解得為起點，為會合點，。 復平面上的根軌跡是圓，如題2-4-10解圖所示。2-4-11 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程分別如下，試概略繪制由變化的閉環(huán)根軌跡圖。（1） （2）題2-4-11（1）解圖【解】：（1）由系統(tǒng)閉環(huán)特征方程得等效根軌跡方程為由變化為一般根軌跡。 開環(huán)零點，開環(huán)極點。 實軸上的根軌跡在區(qū)間。 分離點和會合點解得（起點），（分離點），（會合點），（舍去）。 根軌跡與虛軸的交點

28、根據特征方程列勞斯表令行等于零，得，代入行輔助方程，得 該系統(tǒng)根軌跡如題2-4-11（1）解圖所示。（2）由系統(tǒng)閉環(huán)特征方程得等效根軌跡方程為 由變化為一般根軌跡。 開環(huán)零點，開環(huán)極點。 漸近線與實軸的交點 漸近線傾角 實軸上的根軌跡在區(qū)間。 分離點解得（分離點），（舍去），（舍去）。 根軌跡與虛軸的交點根據特征方程列勞斯表題2-4-11（2）解圖令行等于零，得，代入行輔助方程，得 該系統(tǒng)根軌跡如題2-4-11（2）解圖所示。2-4-12 已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 （1）試概略繪制由和變化的閉環(huán)根軌跡圖；（2）求出其單位階躍響應為單調衰減、振蕩衰減、等幅振蕩、增幅振蕩、單調增幅時的值

29、?！窘狻浚海?）特征方程為，等效根軌跡方程為：（a）由變化時為一般根軌跡。 開環(huán)零點，開環(huán)極點 實軸上的根軌跡在區(qū)間。 會合點題2-4-12解圖解得（舍去），（會合點）。 出射角 復平面的根軌跡是圓心位于、半徑為的圓周的一部分，如題2-4-12解圖實線部分所示。（b）由變化為零度根軌跡。 實軸上的根軌跡在區(qū)間。 會合點計算同上。會合點為，。 復平面的根軌跡是圓心位于、半徑為的圓周的另一部分，如題2-4-12解圖虛線部分所示。（2）由根軌跡看出，根軌跡與虛軸的交點在原點，。根軌跡在實軸上重合時，。根軌跡在復平面上時。結論：系統(tǒng)無等幅和增幅振蕩。在取值時,為衰減振蕩；時為單調衰減；時為單調增幅。2

30、-4-13 系統(tǒng)方框圖如題2-3-13圖所示，繪制由的閉環(huán)根軌跡圖，并要求：（1）求無局部反饋時系統(tǒng)單位斜坡響應的穩(wěn)態(tài)誤差、阻尼比及調節(jié)時間；（2）討論時局部反饋對系統(tǒng)性能的影響；（3）求臨界阻尼時的值。題2-4-13圖【解】： 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為題2-4-13解圖系統(tǒng)特征方程為 等效根軌跡方程為 由變化為一般根軌跡。 開環(huán)零點，開環(huán)極點。 實軸上的根軌跡在區(qū)間。 會合點 解得（舍去），（會合點）。會合點時的a值 復平面的根軌跡是圓心位于、半徑為的圓周的一部分，如題2-4-13解圖所示。（1） 穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為，型系統(tǒng)，。阻尼比和調節(jié)時間方法一：根據題意，對應根軌跡起點方法二： 對應

31、開環(huán)傳遞函數有（2）由根軌跡看出，此時系統(tǒng)特征根為兩個不相等的實根，系統(tǒng)無超調，穩(wěn)定性變好。但由于其中一個實根更靠近虛軸，使調節(jié)時間增長。系統(tǒng)仍為型，開環(huán)增益減小，斜坡信號輸入時穩(wěn)態(tài)誤差增大。（3）系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡在實軸上出現會合點時為臨界阻尼情況，此時。從特征方程上也可以直接看出。2-4-14 設單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為 確定值，使根軌跡分別具有：0，1，2個分離點，畫出這三種情況的根軌跡。【解】：根軌跡分離點由下式確定，為原點處重極點的分離點，實軸上其他的分離點和匯合點。（1） 0個分離點只要原點處有兩個極點，無論何種情況，至少有一個分離點，所以令，則開環(huán)傳遞函數為當由變化，即零度根軌

32、跡時沒有分離點。其根軌跡如題2-2-14解圖（1）所示。（2） 1個分離點對于一般根軌跡，是一個分離點。所以當不存在，即，時，根軌跡具有一個分離點。設漸近線傾角和漸近線與實軸的交點分別為 實軸上的根軌跡在區(qū)間。其根軌跡如題2-2-14解圖（2）所示。（3） 2個分離點當或時，有兩個分離點。其中對應零度根軌跡的情況。設漸近線傾角和漸近線與實軸的交點分別為 實軸上的根軌跡在區(qū)間。分離點會合點 （1） （2） （3）題2-2-14解圖其根軌跡如題2-2-14解圖（3）所示。五 頻域分析法2-5-1 系統(tǒng)單位階躍輸入下的輸出,求系統(tǒng)的頻率特性表達式?！窘狻浚?閉環(huán)傳遞函數2-5-2 單位負反饋系統(tǒng)的開

33、環(huán)傳遞函數為,試求當下列輸入信號作用于閉環(huán)系統(tǒng)時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出（1）；（2）；（3）?！窘狻浚呵笙到y(tǒng)閉環(huán)傳遞函數根據頻率特性的定義，以及線性系統(tǒng)的迭加性求解如下：（1）（2）（3）2-5-3 試求圖2-5-3所示網絡的頻率特性，并繪制其幅相頻率特性曲線。題2-5-3圖【解】：（1）網絡的頻率特性（2）繪制頻率特性曲線題2-5-3解圖其中。起始段，。中間段，由于，減小，先減小后增加，即曲線先順時針變化，再逆時針變化。 終止段，。網絡幅相頻率特性曲線如題2-5-3解圖所示。2-5-4 已知某單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為，在正弦信號作用下，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應，試計算的值?！窘狻浚合到y(tǒng)閉環(huán)傳遞函數

34、為時系統(tǒng)頻率特性為由已知條件得，則有2-5-5 已知系統(tǒng)傳遞函數如下，試分別概略繪制各系統(tǒng)的幅相頻率特性曲線。（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）【解】：對于開環(huán)增益為K的系統(tǒng)，其幅相頻率特性曲線有兩種情況：和。下面只討論的情況。時，比例環(huán)節(jié)的相角恒為，故相應的幅相頻率特性曲線可由其的曲線繞原點順時針旋轉得到。（1）題2-5-5（1）解圖 時， ；時，。特性曲線與虛軸的交點：令 ，即 代入中，該系統(tǒng)幅相頻率特性曲線如題2-5-5（1）解圖所示。（2）題2-5-5（2）解圖時，；求漸近線時，。該系統(tǒng)幅相頻率特性曲線如題2-5-5（2）解圖所示。 （3）題2-5-5（3）解圖時

35、，；求漸近線時，。 該系統(tǒng)幅相頻率特性曲線如題2-5-5（3）解圖所示。題2-5-5（4）解圖（4）時，；（時，曲線始于負實軸之上；時，曲線始于負實軸之下。）時，。該系統(tǒng)幅相頻率特性曲線如題2-5-5（4）解圖所示。（5）題2-5-5（5）解圖時，。求漸近線時，曲線順時 針穿過負實軸。求曲線與負實軸的交點 令，得。 該系統(tǒng)幅相頻率特性曲線如題2-5-5（5）解圖所示。題2-5-5（6）解圖（6）時，；求漸近線 該系統(tǒng)傳遞函數分母上有一個振蕩環(huán)節(jié)，其，。所以當時有最大值。頻率特性的最大值 時，曲線順時針穿過負實軸。求曲線與負實軸的交點令，得。該系統(tǒng)幅相頻率特性曲線如題2-5-5（6）解圖所示。題

36、2-5-5（7）解圖（7）時，；求漸近線 時，傳遞函數分母上有一個不穩(wěn)定環(huán)節(jié)，曲線逆時針變化，不穿越負實軸。該系統(tǒng)幅相頻率特性曲線如題2-5-5（7）解圖所示。（8）時，；隨著的增加，分子上的不穩(wěn)定環(huán)節(jié)先起作用，幅值增大，相角減小。之后，分母上的穩(wěn)定環(huán)節(jié)再起作用，幅值增加速度減慢，相角繼續(xù)減小。 時，。特性曲線與虛軸的交點：令 ，即代入中 題2-5-5（8）解圖該系統(tǒng)幅相頻率特性曲線如題2-5-5（8）解圖所示。2-5-6 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數如下，試分別繪制各系統(tǒng)的對數幅頻特性的漸近線和對數相頻特性曲線。（1） （2） （3） （4）【解】：（1） ，。轉折頻率，一階慣性環(huán)節(jié)；，一階慣性環(huán)節(jié)。

37、，低頻漸近線斜率為0。 系統(tǒng)相頻特性按下式計算得w0.010.050.10.20.5110q(w)-5.7°-27.5°-50.0°-79.8°-121.0°-146.3°-176.4°系統(tǒng)的對數幅頻特性的漸近線和對數相頻特性曲線如題2-5-6解圖（1）所示。（2） ，。 轉折頻率，一階微分環(huán)節(jié)。 ，低頻漸近線斜率為，且過（1，20dB）點。 系統(tǒng)相頻特性按下式計算得w0.10.20.512510q(w)-174.3°-168.7°-153.4°-135°-116.6°-10

38、1.3°-95.7° （1） （2）題2-5-6（1）（2）解圖系統(tǒng)的對數幅頻特性的漸近線和對數相頻特性曲線如題2-5-6解圖（2）所示。（3） 典型環(huán)節(jié)的標準形式 ，。 轉折頻率，一階慣性環(huán)節(jié)；，一階微分環(huán)節(jié)。 ，低頻漸近線斜率為，且其延長線過（1，26dB）點。 系統(tǒng)相頻特性按下式計算得w0.010.050.10.1250.20.51q(w)-182.8°-192.5°-198.4°-199.3°-198.4°-190.5°-185.6°系統(tǒng)的對數幅頻特性的漸近線和對數相頻特性曲線如題2-5-6解圖（

39、3）所示。 （3） （4）題2-5-6（3）（4）解圖（4） 典型環(huán)節(jié)的標準形式 ，。 轉折頻率，一階慣性環(huán)節(jié)；，不穩(wěn)定的一階微分環(huán)節(jié)。 ，低頻漸近線斜率為，且過（1，34dB）點。 系統(tǒng)相頻特性按下式計算得w125102050100200q(w)83.1°76.4°57.7°33.7°4.8°-33.7°-57.7-73.1系統(tǒng)的對數幅頻特性的漸近線和對數相頻特性曲線如題2-5-6解圖（4）所示。2-5-7 試概略繪制下列傳遞函數相應的對數幅頻特性的漸近線。（1） （2）（3） （4）【解】：（1） 典型環(huán)節(jié)的標準形式 ，。 題2-

40、5-7（1）解圖 轉折頻率，一階微分環(huán)節(jié)；，二階振蕩環(huán)節(jié)；二階振蕩環(huán)節(jié)。 ，低頻漸近線斜率為，且過點。該傳遞函數相應的對數幅頻特性的漸近線如題2-5-7（1）解圖所示。題2-5-7（2）解圖（2） ，。 轉折頻率，不穩(wěn)定的一階慣性環(huán)節(jié)；，一階慣性環(huán)節(jié)。題2-5-7（3）解圖 ，低頻漸近線斜率為，且過點。該傳遞函數相應的對數幅頻特性的漸近線如題2-5-7（2）解圖所示。（3） ，。 轉折頻率，一階慣性環(huán)節(jié)；，一階慣性環(huán)節(jié)。 ，低頻漸近線斜率為，且其延長線過（1，46dB）點。該傳遞函數相應的對數幅頻特性的漸近線如題2-5-7（3）解圖所示。（4） 典型環(huán)節(jié)的標準形式 ，。 題2-5-7（4）解圖

41、 轉折頻率，一階微分環(huán)節(jié)；，二階振蕩環(huán)節(jié)。 ，低頻漸近線斜率為，且過（1，14dB）點。該傳遞函數相應的對數幅頻特性的漸近線如題2-5-7（4）解圖所示。2-5-8 已知系統(tǒng)的傳遞函數為試繪制系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性曲線并求閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界增益K值?！窘狻浚簳r，。求時的漸近線 時，曲線順時針穿過負實軸。 題2-5-8解圖求曲線與負實軸的交點令，得。該系統(tǒng)幅相頻率特性曲線如圖所示。當即時，閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。2-5-9 已知系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性如圖5-66所示，試根據奈氏判據判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性,并說明閉環(huán)右半平面的極點個數。其中為開環(huán)傳遞函數在s右半平面極點數，為開環(huán)積分環(huán)節(jié)的個數。題2-5-9解圖

42、（1）【解】：（a），系統(tǒng)不穩(wěn)定，s右半平面有2個閉環(huán)極點。（b）作輔助線如解圖（1）所示，曲線經過（-1，j0）點一次，虛軸上有2個閉環(huán)極點，s右半平面沒有閉環(huán)極點。系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。（c）作輔助線如解圖（2）所示，系統(tǒng)穩(wěn)定，s右半平面沒有閉環(huán)極點。 （2） （3） （4） （5）題2-5-9解圖（d）作輔助線如解圖（3）所示，系統(tǒng)不穩(wěn)定，s右半平面有2個閉環(huán)極點。（e）作輔助線如解圖（4）所示，系統(tǒng)穩(wěn)定，s右半平面沒有閉環(huán)極點。（f）作輔助線如解圖（5）所示，系統(tǒng)不穩(wěn)定，s右半平面有2個閉環(huán)極點。（g），系統(tǒng)穩(wěn)定，s右半平面沒有閉環(huán)極點。（h），系統(tǒng)穩(wěn)定，s右半平面沒有閉環(huán)極點。（i），系統(tǒng)穩(wěn)

43、定，s右半平面沒有閉環(huán)極點。2-5-10 設單位負反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數（1），試確定使相角裕量等于的a值。（2），試確定使相角裕量等于的K值。（3），試確定使幅值裕量等于20dB的K值。【解】：（1）令 由 （2）令由 （3）令 2-5-11 已知最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數幅頻特性漸近線如圖5-67所示，試求相應的開環(huán)傳遞函數?！窘狻浚海╝） ， （b） ， （c） （d） （e） (1)(2)題2-5-12解圖2-5-12 已知系統(tǒng)的傳遞函數為（1）繪制系統(tǒng)的伯德圖，并求系統(tǒng)的相位裕量；（2）在系統(tǒng)中串聯(lián)一個比例微分環(huán)節(jié)（s+1），繪制系統(tǒng)的伯德圖，并求系統(tǒng)的相位裕量；（3）說明比例微分環(huán)節(jié)對系

44、統(tǒng)穩(wěn)定性的影響；（4）說明相對穩(wěn)定性較好的系統(tǒng)，中頻段對數幅頻應具有的形狀。 【解】：（1） 其伯德圖如解圖（1）所示。剪切頻率相角裕量 系統(tǒng)不穩(wěn)定（特征方程漏項），相角裕量為負數。（2）系統(tǒng)傳遞函數為其伯德圖如解圖（2）所示。剪切頻率相角裕量系統(tǒng)穩(wěn)定。（3）一階微分環(huán)節(jié)的介入，增加了剪切頻率附近的相位，即增加了相位裕量，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（4）希望中頻段折線斜率為-20db/十倍頻程，且該斜線的頻寬越大越好。2-5-13 某系統(tǒng)，其結構圖和開環(huán)幅相曲線如圖（a）、（b）所示，圖中，K、T為給定正數試判定系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性，并求在復平面左半平面、右半平面、虛軸上的閉環(huán)極點數。題2-5-13圖【解】：方法一 二階系統(tǒng)，有一個右半平面的開環(huán)極點，。由開環(huán)幅相曲線可知。 系統(tǒng)穩(wěn)定，復平面左半平面有兩個閉環(huán)極點，右半平面、虛軸上均無閉環(huán)極點數。方法二利用