基于FPGA的四階IIR數(shù)字濾波器

1、基于FPGA的四階IIR數(shù)字濾波器    表1 三種濾波器的性能比較原 型階 數(shù)阻帶衰減/dB巴特沃斯615切比雪夫I型425橢圓函數(shù)327由表可見，橢圓濾波器給出的設(shè)計階數(shù)比前兩種低，而且頻率特性較好，過渡帶較窄，但是橢圓濾波器在通帶上的非線性相位響應最明顯。本系統(tǒng)選用橢圓函數(shù)濾波器進行設(shè)計。 原理分析數(shù)字濾波器實際上是一個采用有限精度算法實現(xiàn)的線性非時變離散系統(tǒng)，它的設(shè)計步驟為：首先根據(jù)實際需要確定其性能指標，再求得系統(tǒng)函數(shù)（），最后采用有限精度算法實現(xiàn)。根據(jù)需要，本系統(tǒng)的設(shè)計指標為：模擬信號采樣頻率為，每周期最少采樣點，即模擬信號的通帶邊緣頻率為，

2、阻帶邊緣頻率，通帶波動不大于（通帶誤差不大于），阻帶衰減不小于。換算為數(shù)字域指標為：，。系統(tǒng)函數(shù)（）的計算采用軟件比較方便，其中有兩個現(xiàn)成的函數(shù)可以使用：（，）函數(shù)用來計算數(shù)字橢圓濾波器的階次和截止頻率，而（，）函數(shù)可以求得直接型橢圓濾波器的各個系數(shù)。通過調(diào)用以上兩個函數(shù)計算得到的系統(tǒng)函數(shù)（）為：這是一個四階系統(tǒng)，計算出該系統(tǒng)的頻率響應如圖所示，可見滿足設(shè)計要求。如果采用直接型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)，需用的乘法器和延遲單元相對較多，而且分子和分母的系數(shù)相差較大，需要較多的二進制位數(shù)才能實現(xiàn)相應的精度要求。如果采用二階節(jié)級聯(lián)實現(xiàn)，一來各基本節(jié)的零點、極點可以很方便地單獨進行調(diào)整，二來可以降低對二進制數(shù)位數(shù)的要

3、求。給出了一個直接型結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)為級聯(lián)型結(jié)構(gòu)的文件，利用該函數(shù)求得系統(tǒng)函數(shù)的級聯(lián)表達形式為：（）（）×（）（0.11-0.1041z -1+0.11z -2）/(1-1.58z -1+0.6469z -2)×(0.2464-0.426z -1+0.2464z -2)/(1-1.7753z -1+0.892z -2)由上式可以看出，每個二階節(jié)的分子、分母系數(shù)差異減少了。值得注意的是，在分配二階節(jié)的增益時，要保證每個節(jié)不會發(fā)生運算溢出，可以先用軟件分析計算來合理安排各節(jié)的增益。經(jīng)過計算，本文采用第一級分配.，第二級分配.,可以保證在要求的輸入范圍，沒有數(shù)據(jù)溢出發(fā)生。 系統(tǒng)實現(xiàn)將第一個

4、二階節(jié)的系統(tǒng)函數(shù)表示為差分方程:()()()()()()().()().().()可以看出，一個二階節(jié)的實現(xiàn)需要五次乘法運算、四次加法運算（采用二進制補碼將減法運算變?yōu)榧臃ㄟ\算）。兩個二階節(jié)共需要十次乘法運算。雖然現(xiàn)在已有上千萬門的產(chǎn)品可供選用，但是一般應用時全部采用硬件陣列乘法器畢竟不太合適，而如果采用串行乘法器進行分時復用，其工作速度也不太理想。本文采用一個折中的方法實現(xiàn)，即乘加單元（）的乘法器采用陣列乘法器，而不使用串行乘法器，以提高運算速度。需要注意的是，的庫中乘法運算為無符號數(shù)的陣列乘法，所以使用時需要先將兩個補碼乘數(shù)轉(zhuǎn)換為無符號數(shù)相乘后，再將乘積轉(zhuǎn)換為補碼乘積輸出。每個二階節(jié)完成一

5、次運算共需要個時鐘周期，而且需采用各自獨立的實現(xiàn)兩級流水線結(jié)構(gòu)，即每個數(shù)據(jù)經(jīng)過兩個二階節(jié)輸出只需要個時鐘周期。 系統(tǒng)原理框圖系統(tǒng)原理框圖如圖所示，模擬信號經(jīng)過轉(zhuǎn)換為的二進制數(shù)后，送入四階低通濾波器，處理后輸出位二進制數(shù)送得到雙極性的模擬電壓輸出。圖3 四階IIR濾波器的頂層原理圖 頂層模塊頂層模塊如圖所示。主要由一個時序控制模塊、兩個二階節(jié)模塊（和）構(gòu)成。模塊設(shè)計為位二進制補碼輸入，最高位為補碼符號位，次高位用于防止運算時的溢出?？梢娫撃K實際可以輸入位二進制補碼數(shù)，但的輸出數(shù)據(jù)為位，輸入到模塊時，將和引腳均接地，即輸入為正極性電壓。輸入端為異步清零端，高電平有效。當輸入時鐘為時，模塊產(chǎn)生一個

6、頻率為的輸出時鐘提供給。輸出數(shù)據(jù)為位二進制補碼。和模塊構(gòu)成級聯(lián)結(jié)構(gòu)。 和模塊、模塊主要由兩個模塊構(gòu)成，一個是數(shù)據(jù)移位模塊，在時鐘作用下將差分方程的各、值延遲一個時鐘；另一個模塊是補碼乘加單元，用語言編寫，兩個乘數(shù)先取補后再進行陣列乘法，在時鐘控制下完成一次乘加運算，乘積取補后輸出，共需要個時鐘。差分方程的各系數(shù)如表所示，采用位定點純小數(shù)補碼表示。表2 二階差分方程的系數(shù)系 數(shù)a0a1a2b0b1IIR101CH3E6H01CH194H35BHIIR203FH393H03FH1C6H31CH另外?熏模塊中的五個系數(shù)定義為常數(shù)，以節(jié)省硬件資源，并且采用舍入法進行數(shù)據(jù)處理，盡量提高數(shù)據(jù)運算精度。程序

7、如下： (,: :,: ( );: ( ); ; ,:; : ( ); ,:( ); ,:( ); :( ); :, ); ,:( ); :( :“”（其余常數(shù)說明略） ;求補后送陣列乘法器 () ; () ; () ; (); ();( );( );();();*;() (“”) ; (,) “”;(); ( ) ; () () ( )( );()（）； （ ）（ ）；（）（）； ； ； ； ； ；模塊的輸出數(shù)據(jù)采用將補碼最高符號位直接取反轉(zhuǎn)換為移碼后，就可以送到實現(xiàn)雙極性信號輸出。 系統(tǒng)性能測試系統(tǒng)性能的測試采用單極性方波周期信號作為輸入信號。信號的頻率為，在采樣頻率為時，每個周期采樣個點

8、，換算成數(shù)字域頻率為，其二次諧波的數(shù)字頻率為。輸入到的信號電壓幅度為，則經(jīng)過轉(zhuǎn)換后的輸出為。由于低通濾波器的阻帶截止頻率選在，衰減，由信號理論分析可知，周期方波信號沒有二次諧波，所以對三次諧波的衰減經(jīng)過濾波器后輸出有直流分量的基波（頻率為）正弦信號。理論計算給出的方波周期信號基波幅度為：2E/(2×255)/輸入一個周期的數(shù)據(jù)，的計算值與的仿真值如表所示。表3 濾波后輸出的數(shù)據(jù)輸入數(shù)據(jù)255255255255255255255255255255計算值28.7-8.2-29.4-34.9-25.2-1.334.880.0130.5182.0仿真值32102099999310021368

9、0129179輸入數(shù)據(jù)0000000000計算值223.4260.2281.4286.9277.2253.2217.1172.0121.570.1仿真值21925527628227325021517112272由表可見，仿真輸出值為補碼，谷點輸出值換算成符號數(shù)為。軟件計算的滿度輸出值為，其基波幅度為.(.9).，與理論值的誤差為:(160.9-162.34)/162.34.四階濾波器實現(xiàn)的滿度輸出值為().，與理論值的誤差為：（156.5-162.34）/162.34.這是由于有限精度算法所引起的誤差，可以通過增加二進制位數(shù)來提高系統(tǒng)的運算精度。圖給出單極性方波信號的前三個周期經(jīng)過濾波后得到的含直流分量的輸出波形，其中實線為的