實驗一數值定積分求面積

1、實驗一：數值定積分求面積200820401015 代云雅一問題敘述用數值積分法求由y=-x2+115,y=0,x=0與x=10圍成的圖形面積，并討論步長和積分方法對精度的影響。二問題分析用矩形法和梯形法分別求數值積分并作比較，步長的變化用循環(huán)語句實現。設x向量的長度為n，即將積分區(qū)間分為n-1段，各段長度為（i=1,2n-1）。算出各點的（i=1,2n+1），則矩形法數值積分公式為梯形法的公式為比較兩個公式，它們之間的差別只是0.5（）。三實驗程序及注釋clf,for dx=2,1,0.5,0.1 %設不同步長x=0:.1:10;y=-x.*x+115; %取較密的函數樣本plot(x,y),

2、hold on %畫出被積曲線，并保持x1=0:dx:10;y1=-x1.*x1+115; %求取樣點上的y1n=length(x1);s=sum(y1(1:n-1)*dx; %用歐拉法求積分，末尾要去掉一點q=trapz(y1)*dx; %用梯形法求積分stairs(x1,y1),plot(x1,y1) %畫出歐拉法及梯形法的積分區(qū)域dx,s,q,pause(10),hold off %顯示步長及兩種積分方法所得的面積rsums('115-x.2',0,10) %矩形法積分end四實驗數據結果及分析ans =2 910 810ans =1 865 815ans =0.5000

3、 841.2500 816.2500ans =0.1000 821.6500 816.6500 步長dx矩形法解s梯形法解q29108101865815.5841.25816.25.1821.65816.65圖1矩形法和梯形法的積分面積圖2 矩形法積分的幾何演示五實驗結論 用解析法求得的精確解為2450/3=816.6666。dx=2時矩形法和梯形法的積分面積如圖1。在曲線的切線斜率為負的情況下，矩形法的積分結果一定偏大，梯形法是由各采樣點的連線包圍的面積，在曲線曲率為負（上凸）時，其積分結果一定偏小，因此精確解在這兩者之間。矩陣法積分的演示結果如圖2。由此結果也能看出，步長相同時，梯形法的精

4、度比矩形法高。實驗二：傅里葉級數200820401015 代云雅一問題敘述編寫計算以x=-,為周期的任意函數的傅里葉系數的程序。二問題分析任何周期為2的滿足狄利克雷條件的函數f(x)，都可以用歐冠傅里葉級數表示為（-）其中：三實驗程序及注釋x=linspace(-pi,pi,1001);dx=2*pi/1000; %-pi,pi內長為1001的x數組及步長f=input('輸入f=（長度為1001點的數組）'); %用戶輸入長為1001的f數組n=input('傅里葉系數的階數n='); %用戶給出所需要的階數a0=trapz(f)/pi*dx %計算傅里葉系數

5、a0for k=1:n a(k)=trapz(f.*cos(k*x)/pi*dx; %計算傅里葉系數a（k） b(k)=trapz(f.*sin(k*x)/pi*dx; %計算傅里葉系數b（k） disp(k,a(k),b(k) %顯示系數endpause,f1=a0/2*ones(size(x); %以a0為基礎，構造傅里葉級數for k=1:n f1=f1+a(k)*cos(k*x)+b(k)*sin(k*x); %累加各項傅里葉級數endsubplot(1,2,1),plot(x,f),subplot(1,2,2),plot(x,f1) %在兩個分圖上畫出四實驗數據結果及分析 在輸入f=

6、 x(1:501),zeros(1,500), 階數n=9后，結果如下：a0 = -1.5708 1.0000 0.6366 1.0000 2.0000 -0.0000 -0.5000 3.0000 0.0707 0.3333 4.0000 -0.0000 -0.2500 5.0000 0.0255 0.2000 6.0000 0.0000 -0.1666 7.0000 0.0130 0.1428 8.0000 0.0000 -0.12509.0000 0.0079 0.1111f= x(1:501),zeros(1,500)ka(k)b(k)0-1.570810.63661.00002-0.0000-0.500030.07070.33334-0.0000-0.250050.02550.200060.0000-0.166670.01300.142880.0000-0.125090.00790.1111表1 函數所對應的傅里葉系數圖1 信號的傅里葉變換前