二項式定理題型及解法(共7頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上二項式定理題型及解法1二項式定理：，2基本概念：二項式展開式：右邊的多項式叫做的二項展開式。二項式系數(shù):展開式中各項的系數(shù).項數(shù)：共項，是關(guān)于與的齊次多項式通項：展開式中的第項叫做二項式展開式的通項。用表示。3注意關(guān)鍵點：項數(shù)：展開式中總共有項。順序：注意正確選擇,其順序不能更改。與是不同的。指數(shù)：的指數(shù)從逐項減到，是降冪排列。的指數(shù)從逐項增到，是升冪排列。各項的次數(shù)和等于.系數(shù)：注意正確區(qū)分二項式系數(shù)與項的系數(shù)，二項式系數(shù)依次是項的系數(shù)是與的系數(shù)（包括二項式系數(shù)）。4常用的結(jié)論：令 令 5性質(zhì)：二項式系數(shù)的對稱性：與首末兩端“對距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即，

2、83;··二項式系數(shù)和：令,則二項式系數(shù)的和為， 變形式。奇數(shù)項的二項式系數(shù)和=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和：在二項式定理中，令，則，從而得到：奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和：二項式系數(shù)的最大項：如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)時，則中間一項的二項式系數(shù)取得最大值。 如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)時，則中間兩項的二項式系數(shù),同時取得最大值。系數(shù)的最大項：求展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法。設(shè)展開式中各項系數(shù)分別為，設(shè)第項系數(shù)最大，應(yīng)有，從而解出來。6二項式定理的十一種考題的解法：【題型一：二項式定理的逆用】【例1】：解：與已知的有一些差距， 【練1】：解：設(shè)，則【題型二：利用通項公式求的系數(shù)

3、】【例2】：在二項式的展開式中倒數(shù)第項的系數(shù)為，求含有的項的系數(shù)？解：由條件知，即，解得，由，由題意，則含有的項是第項,系數(shù)為?！揪?】：求展開式中的系數(shù)？解：，令,則故的系數(shù)為?！绢}型三：利用通項公式求常數(shù)項】【例3】：求二項式的展開式中的常數(shù)項？解：，令，得，所以【練3】：求二項式的展開式中的常數(shù)項？解：，令，得，所以【練4】：若的二項展開式中第項為常數(shù)項，則解：，令，得.【題型四：利用通項公式，再討論而確定有理數(shù)項】【例4】：求二項式展開式中的有理項？解：，令,()得，所以當(dāng)時，當(dāng)時，?！绢}型五：奇數(shù)項的二項式系數(shù)和=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和】【例5】：若展開式中偶數(shù)項系數(shù)和為，求.解：設(shè)展

4、開式中各項系數(shù)依次設(shè)為 ,則有，,則有 將-得： 有題意得，。【練5】：若的展開式中，所有的奇數(shù)項的系數(shù)和為，求它的中間項。解：，解得 所以中間兩個項分別為，【題型六：最大系數(shù)，最大項】【例6】：已知，若展開式中第項，第項與第項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最大項的系數(shù)是多少？解：解出，當(dāng)時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是，當(dāng)時，展開式中二項式系數(shù)最大的項是，。【練6】：在的展開式中，二項式系數(shù)最大的項是多少？解：二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項的二項式系數(shù)最大，即，也就是第項?！揪?】：在的展開式中，只有第項的二項式最大，則展開式中的常數(shù)項是多少？解：只有第項的二項式最大，則，即

5、,所以展開式中常數(shù)項為第七項等于【例7】：寫出在的展開式中，系數(shù)最大的項？系數(shù)最小的項？解：因為二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，所以中間兩項()的二項式系數(shù)相等，且同時取得最大值，從而有的系數(shù)最小，系數(shù)最大?！纠?】：若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于，求的展開式中系數(shù)最大的項？解：由解出,假設(shè)項最大，化簡得到，又，展開式中系數(shù)最大的項為,有【練8】：在的展開式中系數(shù)最大的項是多少？解：假設(shè)項最大，化簡得到，又，展開式中系數(shù)最大的項為【題型七：含有三項變兩項】【例9】：求當(dāng)?shù)恼归_式中的一次項的系數(shù)？解法：，當(dāng)且僅當(dāng)時，的展開式中才有x的一次項，此時，所以得一次項為它的系數(shù)為。解法： 故展開式中含的項為，故

6、展開式中的系數(shù)為240.【練9】：求式子的常數(shù)項？解：，設(shè)第項為常數(shù)項，則，得, .【題型八：兩個二項式相乘】【例10】：解： .【練10】：解：.【練11】：解：【題型九：奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和】【例11】：解：【題型十：賦值法】【例12】：設(shè)二項式的展開式的各項系數(shù)的和為，所有二項式系數(shù)的和為,若,則等于多少？解：若，有， 令得，又,即解得，.【練12】：若的展開式中各項系數(shù)之和為，則展開式的常數(shù)項為多少？解：令，則的展開式中各項系數(shù)之和為，所以，則展開式的常數(shù)項為.【例13】：解： 【練13】：解：【題型十一：整除性】【例14】：證明：能被64整除證：由于各項均能被64整除以上是

7、二項式定理應(yīng)用的十一種典型題型，可概括為三個方面的應(yīng)用：二項式的展開式及組合先項原理的應(yīng)用；通項公式的應(yīng)用（求指定項如第三項、倒數(shù)第二項、含有項、常數(shù)項、有理項、無理項等，還可求系數(shù)最大的項）；賦值法的應(yīng)用。另外，在題型上還可以與數(shù)列、函數(shù)等知識相結(jié)合。練習(xí)：1.已知(a+b)n展開式中各項的二項式系數(shù)之和為8 192, 則(a+b)n的展開式中項數(shù)共有 ( )A.14 B.13 C.12 D.15 2.ab<0,a+b=1,(a+b)9展開按a的降冪排列后第二項不大于第三項,則a的取值范圍是 ( ) A. B. C. D.(1,+)3.在的展開式中含常數(shù)項，則自然數(shù)n的最小值是 ( )

8、 A.2 B.3 C.4 D.54.設(shè)(+x)10=a0+a1x+a2x2+a10x10,則(a0+a2+a4+a10)2-(a1+a3+a9)2的值是 ( ) A.1 B.-1 C.0 D.(-1)105.設(shè)(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+an xn,當(dāng)a0+a1+a2+an=254時，n等于 ( ) .A.5 B.6 C.7 D.86.在(1x)4n+1展開式中系數(shù)最大的項是 ( ) A.第2n項 B.第2n+1項C.第2n項和第2n+1項 D.第2n+2項7.(1+x)3+(1+x)4+(1+x)9+(1+x)10展開式中x3項的系數(shù)是 ( ) A. B. C. D.8.的值為 ( ) A.3×210 B.310 C.(29-1) D.(310-1)9. 多項式(1-2x)6(1+x)4展開式中，x最高次項為 ，x3的系數(shù)為 .10的展開式中的系數(shù)為 （用數(shù)字作答）11 在(x2+3x+2)5的展開式中x的系數(shù)為 ( ) A.160 B.240 C.360 D.80012 求(1+x+x2)7(1-x)8展開式中x10的系數(shù). 13已知的展開式中的系數(shù)為，常數(shù)的值為 14.展開式中的常數(shù)項是 ( ) A.12 B.-12 C.20 D.-2015.展開式中