第3章 積分學(xué)

1、 第3章 積分學(xué)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】積分學(xué)部分介紹的是在理論和實踐中都極為重要的另一個數(shù)學(xué)工具-積分，積分學(xué)和上一章我們學(xué)習(xí)的微分學(xué)有著密切的關(guān)系，它們被統(tǒng)稱為微積分，是高等數(shù)學(xué)的基本也是核心內(nèi)容. 通過對積分學(xué)的學(xué)習(xí)，能使我們學(xué)會定積分的重要思想方法-微元法，初步了解到積分的意義和計算，為積分應(yīng)用打下扎實基礎(chǔ).【基本要求】要求通過學(xué)習(xí)，掌握定積分的概念和性質(zhì)，理解原函數(shù)和不定積分的概念，掌握微積分基本定理和定積分的計算公式，熟練掌握不定積分的直接積分法和湊微分法，熟練掌握定積分的換元積分法和分部積分法，掌握廣義積分的計算，了解定積分的簡單應(yīng)用. 3.1 定積分的概念 3.1.1 曲邊梯形的面積 我們

2、在高中已經(jīng)學(xué)習(xí)了較為規(guī)則形狀的平面圖形的面積，如矩形、三角形、梯形、圓的面積等，那么一般的平面圖形面積如何計算呢？比如有一塊如下形狀的湖泊水域面積需要幫著計算一下，你將如何考慮呢？ 圖3.1如圖3.1所示，我們可以先用水平方向和豎直方向上的幾條直線將其分割若干塊面積之和，發(fā)現(xiàn)其中除了我們熟悉的矩形外，其它都是如下形狀的曲邊形：圖3.2 圖3.2中左邊的圖形叫曲邊三角形，右邊的圖形就是所謂曲邊梯形，顯然，曲邊三角形也只是曲邊梯形的特例（即曲邊梯形的其中一條平行邊退化成一個點）. 事實上，矩形也可以看成是曲邊梯形的特例（想想為什么？）. 于是，一般平面圖形的面積計算問題就歸結(jié)為如何計算曲邊梯形的面

3、積了.1. 曲邊梯形的概念所謂曲邊梯形就是由三條直邊和一條曲邊所圍成的平面圖形，其中有兩條直邊相互平行，且與第三條直邊（也稱曲邊梯形的底邊）垂直.2. 一個特殊曲邊梯形面積的算例例1 求由曲線及軸所圍成的曲邊三角形的面積.求法：采取“分割”、“近似”、“求和”和“取極限”四個步驟.1) “分割”如圖3.3所示，在區(qū)間0，1內(nèi)插入個分點：，將區(qū)間0，1等分成個小區(qū)間，如果令，則這個小區(qū)間分別為：，我們把第i個小區(qū)間記為,且還表示相應(yīng)的小區(qū)間的長度，于是有.這樣一來，這個長度相等的小區(qū)間就都有各自的小曲邊梯形與之對應(yīng)了. 如果將這些小曲邊梯形的面積依次記為，那么，所求曲邊三角形的面積A就被分割成了

4、個小曲邊梯形面積之和了，即. y = x2 圖3.32) “近似”當(dāng)然，這樣還是沒法求出面積，因為那些小曲邊梯形面積的計算問題依然沒能解決. 但我們可以考慮去求出它們的近似值：以每個小區(qū)間的長度作底，區(qū)間的右端點的函數(shù)值作高，就可得到個小矩形，如果把它們的面積分別記作，用來近似小曲邊梯形的面積，則有：.3) “求和”把個小矩形的面積加起來，當(dāng)然也就近似等于所求曲邊三角形面積，即4) “取極限”上一步驟僅求出了所求曲邊三角形面積的近似值，當(dāng)然兩者之間存在誤差. 但我們通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，這個誤差與等份數(shù)的取值有關(guān). 顯然，在區(qū)間0，1內(nèi)插入的分點越多，分割就越密，上述的誤差也就隨之越小. 如果當(dāng)?shù)?/p>

5、份數(shù)趨于正無窮大時，所有小區(qū)間長度會趨于0，這時，曲邊三角形面積就被分割成無數(shù)個小矩形面積之和了，也就是說，當(dāng)時，就精確等于個小矩形面積和的極限，即有：這個算例中的四個步驟體現(xiàn)的就是一種無限求和的思想，也稱無限累加或有限和的極限.3.1.2 定積分的定義如果把無限求和的思想，一般地用于定義在上的連續(xù)函數(shù)時，就是定積分的定義了.定義3.1設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)(如圖3.4)，我們在內(nèi)均勻地插入個分點，如果記，這樣就把區(qū)間等份成個小區(qū)間. 將每個小區(qū)間的長度記為，顯然所有，又在每個小區(qū)間內(nèi)任取一點，作有限和，如果存在且為，并且與的取法無關(guān)，則稱函數(shù)在上是可積的，并稱極限值為在區(qū)間上的定積分，記為：其中

6、稱為積分符號，稱為積分函數(shù)，稱為積分變量，稱為積分表達(dá)式，稱為積分區(qū)間，稱為積分下限，稱為積分上限. y = f (x)圖3.4根據(jù)定積分的定義，例1中的面積就可表示為：. 實際上，區(qū)間上的定積分的幾何意義就是：當(dāng)時，定積分的數(shù)值表示由曲線，直線及軸所圍成的曲邊梯形的面積；當(dāng)時，定積分的數(shù)值表示由曲線，直線及軸所圍成的曲邊梯形面積的負(fù)值；而在一般情況下，在上既有大于零又有小于零時，定積分的數(shù)值表示由曲線，直線及軸所圍成的若干個曲把邊梯形面積的代數(shù)和.用定積分的幾何意義，很容易得到，其幾何解釋為：因，它在區(qū)間上的定積分就是一個寬為，高為1的矩形面積.注：1. 定積分的本質(zhì)是無限求和，即有限和的極

7、限，因而定積分的結(jié)果是一數(shù)值.2. 當(dāng)積分函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)時，定積分必定存在. 3. 定積分的結(jié)果是一個數(shù)值，它僅與積分函數(shù)與有關(guān)，與積分變量用什么字母無關(guān)，即.4. 為了方便定積分的計算，我們規(guī)定：.3.1.3 定積分的性質(zhì)下面介紹定積分幾個常用性質(zhì)，它們在定積分的計算中是很有用的.性質(zhì)1 （為常數(shù)）性質(zhì)2 以上兩個性質(zhì)可以較容易地由定積分定義推出. 根據(jù)這兩個性質(zhì)立即可得：并能推廣到如下任意有限個積分函數(shù)的情形：例2 計算解：由例1知，得：性質(zhì)3 （為任意實數(shù)）當(dāng)，為區(qū)間內(nèi)分點時，用定積分的幾何意義很容易得到解釋. 而當(dāng)為外分點，比如時，因為此時為的內(nèi)分點，應(yīng)有，這時，我們通過移項容易

8、得成立.性質(zhì)3被稱為定積分的區(qū)間可加性.例3 求的值，其中解：因為積分函數(shù)是一分段函數(shù)，根據(jù)定積分的區(qū)間可加性得性質(zhì)4 在區(qū)間中至少存在一點，有如下關(guān)系成立或該性質(zhì)的幾何意義是：當(dāng)時，定積分所對應(yīng)的曲邊梯形面積必定與某個以為高，區(qū)間長為寬的矩形面積相等. 而則被稱為函數(shù)在區(qū)間上的平均值，它的幾何解釋是曲邊梯形的平均高度，實際上它是有限個數(shù)的平均值概念的推廣，反映的是區(qū)間上連續(xù)函數(shù)所取一切值的平均值. 如后面積分應(yīng)用中所例舉的交流電平均值和有效值就是這一概念的實際應(yīng)用. 3.2 微積分基本定理 定積分在工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用,但如果每次都用定積分的定義來計算定積分的值，顯然是很麻煩的一件事情.

9、 在十七世紀(jì)，英國科學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲發(fā)現(xiàn)了一種簡單的定積分計算方法，只要求出積分函數(shù)的原函數(shù)在積分上下限處函數(shù)值的差即可. 那么什么是原函數(shù)呢？原函數(shù)又是怎樣求出的呢？3.2.1 不定積分的概念1. 原函數(shù)和不定積分的定義先看一個例子，我們知道：，顯然是的導(dǎo)函數(shù)，那么我們就把稱為的一個原函數(shù). 很容易想到，的原函數(shù)并不唯一，因為，也是的一個原函數(shù)，事實上，都是的原函數(shù)，且為的一切原函數(shù)，其中為任意常數(shù).定義3.2 若，則稱是的一個原函數(shù).定義3.3 的一切原函數(shù)稱為的不定積分，記為，其中稱為積分符號，是積分函數(shù)，稱為積分變量，而被稱為積分表達(dá)式.如果是的一個原函數(shù)，那么例如：，可見

10、，原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)是兩個相對的概念，而原函數(shù)和不定積分又有著密切的聯(lián)系，它們僅相差一個任意常數(shù). 我們一般將求原函數(shù)的問題歸結(jié)為求不定積分的問題. 如果把求不定積分稱為積分運算的話，那么易得積分運算與求導(dǎo)、求微分運算是互逆的. 并且有如下關(guān)系：， ， 如果仔細(xì)觀察上面四個式子，我們就會發(fā)現(xiàn)，積分運算的結(jié)果是可以用求導(dǎo)的方法來檢驗其正確與否的. 因而大家對求導(dǎo)公式要掌握得非常熟練.例如：2. 不定積分公式和性質(zhì)根據(jù)不定積分的定義以及不定積分與求導(dǎo)運算的互逆關(guān)系，那么前面我們學(xué)習(xí)過的求導(dǎo)公式反過來也就是不定積分公式了.(1)(2)(3)(4)，特別地(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(1

11、2)注意，這12個積分公式中的積分變量如果換成另一個字母，比如也是成立的，例，另外它們在求不定積分運算中經(jīng)常要用到，因此務(wù)必記熟.不定積分作為一種積分運算，它的性質(zhì)很簡單，只有如下兩個：(1)(2)（為常數(shù)）根據(jù)這兩個性質(zhì)，很容易推出：并能推廣到一般不定積分的線性性質(zhì)（也稱逐項積分）：我們有了以上積分公式和積分性質(zhì)，就能求出一些初等函數(shù)的不定積分來.例4 求出下列不定積分（1）（2）解：（1）（2）注意，上面兩例中對任意常數(shù)的處理方法是：依此求出每項積分的一個原函數(shù)，再在最后加上一個任意常數(shù)即可. 3.2.2 微積分基本定理現(xiàn)在我們已經(jīng)知道如何求不定積分，也就是如何求出原函數(shù)了. 這時，定積分

12、就可基于如下定理進(jìn)行計算了.定理3.1（微積分基本定理） 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是的一個原函數(shù)，則有如下公式： （3-1）定理結(jié)論中的公式（3-1）就是著名的牛頓-萊布尼茲公式，也稱為微積分基本公式，它以一個簡單的等式表示了定積分與不定積分（積分函數(shù)的原函數(shù)）之間的密切關(guān)系，也就是表示了微分與積分之間的基本關(guān)系，因而該定理被人們稱為微積分基本定理.牛頓-萊布尼茲公式實際上給出了計算連續(xù)函數(shù)的定積分的一種簡單方法，為了方便，公式也常被簡寫為如下形式： （3-2）下面我們用公式（3-2）再來計算一下例1中的面積就會覺得非常簡便了：.例5 計算下列定積分（1） （2） （3）解：先運用相應(yīng)的積分公式

13、求出原函數(shù)，再利用牛-萊公式計算它在上、下限處函數(shù)值的差.（1） （2） （3） 3.3 定積分的計算在上一節(jié)里，我們學(xué)習(xí)了定積分計算的基本公式，已經(jīng)可以計算出許多簡單的定積分了. 但由于積分函數(shù)的復(fù)雜性，實際上定積分的計算還是較為繁瑣的，在這節(jié)中我們將介紹一些基本的積分方法.3.3.1 不定積分的積分法由牛頓-萊布尼茲公式可知，定積分的計算關(guān)鍵在于計算積分函數(shù)的原函數(shù)，即求出積分函數(shù)的不定積分. 我們先學(xué)習(xí)一種求不定積分的方法-直接積分法.1. 不定積分的直接積分法所謂不定積分的直接積分法是指最多對積分函數(shù)進(jìn)行一定的整理變形就直接利用積分的線性性質(zhì)和積分公式計算不定積分的一種方法.例6 求不

14、定積分解：先把積分函數(shù)整理為指數(shù)函數(shù)，再利用積分公式得：例7 求不定積分解：因積分函數(shù)是一個分式，可先將它拆成幾個分式之和，在逐項積分.例8 求不定積分解：因積分函數(shù)并沒有積分公式，但與之有三角函數(shù)平方關(guān)系的卻有積分公式，于是可以將原積分轉(zhuǎn)化為的積分得試用類似方法，求出不定積分例9 求不定積分解：利用三角函數(shù)的二倍角公式對積分函數(shù)進(jìn)行整理變形試用類似方法，求出不定積分2. 不定積分的湊微分法對于積分函數(shù)是復(fù)合函數(shù)情形的不定積分，僅用直接積分法是不行的. 例如. 根據(jù)積分運算與導(dǎo)數(shù)運算互為逆運算的關(guān)系，我們從復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法推出求不定積分的另一種重要而有效的方法-湊微分法.因為，所以是函數(shù)的一個原

15、函數(shù)，由不定積分的定義知：. 如果記其中，則,于是有 （3-3）公式（3-3）告訴我們，可以對積分表達(dá)式作適當(dāng)變形，將不定積分湊成某一個積分公式的形式，從而套用積分公式得到積分結(jié)果，至于過程中的和并不是問題的本質(zhì)，只需將視為一個整體變量同樣可以套用積分公式. 因而公式（3-3）也可改寫為如下形式： （3-4）公式（3-4）則反映了這種求解不定積分方法的核心思想，即如何對積分表達(dá)式進(jìn)行變形，湊成，而使之成為某積分公式的形式. 這既是湊微分法名稱的由來，又是該積分方法的難點，需通過大量練習(xí)才能較好地掌握. 例10 求不定積分解：因為可以湊成，于是我們不妨對積分結(jié)果進(jìn)行求導(dǎo)來檢驗一下，例11 求不定

16、積分解：因為可以湊成，所以有例12 求不定積分解：因為，所以有從上面幾個例子可知，湊微分法為解決復(fù)合函數(shù)積分提供了一個很好的思路，實際上，這種思路也適合其它簡單函數(shù)的不定積分. 我們再看看下面幾個例子.例13 求不定積分解：同理可得：例14 求不定積分解：同理可得：3.3.2 定積分的積分法上面我們已經(jīng)學(xué)會了兩種求不定積分的方法：直接積分法和湊微分法. 在用上述求不定積分的方法求出原函數(shù)后，只要運用牛-萊公式就可以計算定積分了. 然而，由于定積分自身的特點，我們還需學(xué)習(xí)兩種定積分的積分法，將定積分先作一定的處理再進(jìn)行計算可使其簡便一些.1. 定積分的換元積分法所謂定積分的換元積分法，就是通過變

17、量換元，將一個較難計算的定積分轉(zhuǎn)化為另一個數(shù)值相等的較簡單定積分的計算. 其原理如下： （3-5）公式（3-5）被稱為定積分的換元公式，其中通過換元轉(zhuǎn)化后的新定積分上、下限由式子確定，通俗地講即上限對上限，下限對下限，同時轉(zhuǎn)化后的定積分的積分變量也就由原來的代換為新的變量了.換元積分法一般是用于積分函數(shù)中含有根式的定積分計算問題，我們的目的是想通過換元去掉根號從而轉(zhuǎn)化為一個簡單的定積分計算問題. 根據(jù)換元函數(shù)是冪函數(shù)或三角函數(shù)又分為代數(shù)換元或三角換元.下面先看一個例子，比較其中兩種不同的解法，供大家了解定積分換元積分法的意義和用法.例15 計算解法1：先用不定積分的湊微分法求出原函數(shù)，再利用牛

18、-萊公式計算出定積分的值解法2：用定積分的換元法，設(shè)代數(shù)換元，則，且當(dāng)時，；當(dāng)時，. 于是有例16 計算解：設(shè)代數(shù)換元，則，且當(dāng)時，；當(dāng)時，. 于是有例17 計算解：設(shè)三角代換，則，且當(dāng)時，；當(dāng)時，. 于是有利用定積分換元積分法還可以推出一個對稱區(qū)間上定積分的重要結(jié)論，即至于推導(dǎo)過程，有興趣的同學(xué)不妨一試，這里略去. 有了這個結(jié)論，如果遇到奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分，其結(jié)果即為零. 例如2. 定積分的分部積分法在化簡定積分計算時，除了可以用前面介紹的換元法將其轉(zhuǎn)化為另一個較簡單的定積分進(jìn)行計算，還可以用分部積分法實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化.所謂分部積分法就是依照下面一個可由乘法求導(dǎo)法則出發(fā)推出的公式來簡化定

19、積分計算的一種方法. （3-6）公式（3-6）被稱為定積分的分部積分公式. 分部積分法一般用于解決積分函數(shù)為冪函數(shù)與其它基本初等函數(shù)乘積、三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積形式的定積分計算問題. 其關(guān)鍵在于如何湊成一個函數(shù)的微分，才能使公式右邊的定積分比公式左邊的定積分容易求出.例18 計算解：將積分表達(dá)式中的湊成，再利用分部積分公式有例19 計算解：將積分表達(dá)式中的湊成，再利用分部積分公式有例20 計算解：這里要將積分表達(dá)式中的湊成，然后再利用分部積分公式有例21 計算解：直接利用分部積分公式，得 至此，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了四種積分方法：求不定積分的直接積分法和湊微分法，求定積分的換元積分法和分部積分法. 在

20、具體求定積分時，如何選擇合適的方法，有時還可能需要同時用到多種積分方法才能求解，這都需要一定量的練習(xí)逐步去熟練掌握它們. 最后要說明的是，上述定積分計算的基礎(chǔ)是牛-萊公式，然而在利用定積分解決實際問題時，人們發(fā)現(xiàn)由于有時積分函數(shù)可能不能用解析式表達(dá)，有時積分函數(shù)的原函數(shù)很難求出或是原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，這時候牛-萊公式無法用得上. 怎么辦呢？考慮到許多工程問題中實際上只要求具有一定精確度的近似值，人們根據(jù)不同的近似方式又找到許多計算定積分的數(shù)值解法，比如矩形法、梯形法和拋物線法等，這里就不再贅述了，有興趣的同學(xué)可參看相關(guān)的其它書籍. 3.4 廣義積分和定積分應(yīng)用3.3.1 無窮區(qū)間上的廣義

21、積分在電子電工技術(shù)里，經(jīng)常會遇到形如的積分式子，如后面要講到的拉氏變換，它與我們前面學(xué)習(xí)的定積分的不同之處在于積分區(qū)間不再是一個有限區(qū)間，而是一個與時間有關(guān)的無限區(qū)間. 事實上，無限區(qū)間還有和兩種形式，我們把函數(shù)在這樣一些無窮區(qū)間上的積分稱為廣義積分. 其幾何意義是當(dāng)時，廣義積分的值是一“開口曲邊梯形”的面積，下面我們先看一個例子.例22 求由曲線、軸和軸所圍成的“開口曲邊三角形”的面積.o1圖3.5解：設(shè)所求面積為. 如圖3.5所示，先任取實數(shù)，那么對應(yīng)于有限區(qū)間上的部分是一曲邊梯形，因為，根據(jù)定積分的幾何意義，其面積為定積分顯然該面積是“開口曲邊三角形”面積的一部分，且與實數(shù)有關(guān)，記為.

22、越大，就越接近所求面積. 如果考慮時，那么的極限也就是了，即很自然，我們將記為，這就是無窮區(qū)間上的廣義積分.類似地，也可以用極限來定義如下一般的廣義積分：定義3.4 ，為任意實數(shù)其中，若上述極限存在，則稱相應(yīng)的廣義積分收斂，否則，稱廣義積分發(fā)散.例23 判別下列廣義積分的斂散性，如果收斂，則計算廣義積分的值（1） （2）解：（1）此廣義積分發(fā)散. （2）例24 設(shè)有信號函數(shù)，試計算廣義積分解： 3.3.2 微元法及積分應(yīng)用1. 微元法定積分的思想是十七世紀(jì)人類最偉大的成果之一，它對于解決那些不規(guī)則、非均勻、非恒定的整體量計算問題非常有用，下面我們先將定積分的思想歸納為一種方法-微元法，再介紹用

23、微元法去解決一些應(yīng)用問題.回憶一下本章例1求面積時所采用的無限累加思想的四個步驟：“分割”、“近似”、“求和”、“取極限”，然后將它們概括簡化為如下兩個步驟.（1）有限分割并近似得面積微元：將區(qū)間任意分成許多個小區(qū)間，每個小區(qū)間對應(yīng)的曲邊梯形面積用其左端點處函數(shù)值為高，區(qū)間長度為寬的矩形面積（即微元）來近似替代，即（2）將有限和變?yōu)闊o限累加：先將上式求和得，再取區(qū)間長度趨于零的極限，這時將無限多個矩形面積微元從到累加也就成了所求面積了，即有定積分的微元法是一種實用的變量分析方法，它在生活和工程技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用價值，只要所求的整體量具有如下兩個特征：一是在區(qū)間上的分布是不規(guī)則、非均勻、非恒

24、定的；二是具有可加性. 我們就可以用“以直代曲”、“以常代變”等方法找到部分量的近似值也就是微元，最后求其在上的定積分即可.2. 積分應(yīng)用下面舉出一些用定積分微元法求解的簡單應(yīng)用問題，供大家學(xué)習(xí)和熟悉.例25 求由曲線與所圍成的平面圖形面積. O1 圖3.6解：先畫出所求平面圖形的草圖3.6，并求出兩曲線的交點即解方程組，得平面圖形在軸上的投影區(qū)間即為定積分的積分區(qū)間，按微元法“以直代曲”的思想，在區(qū)間內(nèi)任取一個很小區(qū)間,其對應(yīng)的面積可以選用高為，寬為的窄條狀矩形面積微元近似，即然后，在上求定積分就可得該平面圖形面積例26 設(shè)導(dǎo)線在時刻（單位:s）的電流強度為，試用定積分表示在時間間隔s內(nèi)流過

25、導(dǎo)線橫截面的電量(單位：A).解：在時間內(nèi)任取一很小的時間區(qū)間，“以常代變”，用時刻的電流近似為該小時間區(qū)間內(nèi)的恒定電流，由電量與電流關(guān)系易得其電量微元為，然后對微元求整個時間區(qū)間的定積分就可求出電量(A)例27 在電力需求的電涌期間，假設(shè)電能的消耗速率為，試求前2個單位時間內(nèi)消耗的總電能.解：在時間段內(nèi)任取一很小區(qū)間，將小區(qū)間內(nèi)的電能變化率近似為恒定，可得電能微元，于是總電能為它在上的定積分：例28 在交流電機、電器上常標(biāo)有功率、電流、電壓等數(shù)值，如果不加特別說明，通常指的是有功功率及電流、電壓的有效值. 所謂有功功率就是功率在一個周期內(nèi)的平均值，而電流、電壓的有效值則是一個周期內(nèi)均方根電流、電壓的平均值. 設(shè)電流為，電壓為，電阻為，則它們的定積分表達(dá)式分別為：，如變壓器電流經(jīng)單項半波整流后為，其副邊電流的有效值為例29 在原點有一個帶電量為的點電荷，它所產(chǎn)生的電場對周圍電荷有作用力