章建躍——追求數(shù)學(xué)教育的本來(lái)面目

1、追求數(shù)學(xué)教育的本來(lái)面目追求數(shù)學(xué)教育的本來(lái)面目人教社中數(shù)室人教社中數(shù)室 章建躍章建躍感悟數(shù)學(xué)的感悟數(shù)學(xué)的“本來(lái)面目本來(lái)面目” 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派：宇宙的實(shí)體有兩個(gè)，一畢達(dá)哥拉斯學(xué)派：宇宙的實(shí)體有兩個(gè)，一個(gè)是數(shù)字，萬(wàn)物皆數(shù)，數(shù)的存在是有限方個(gè)是數(shù)字，萬(wàn)物皆數(shù)，數(shù)的存在是有限方面的實(shí)體；一個(gè)是無(wú)限的空間，空間的存面的實(shí)體；一個(gè)是無(wú)限的空間，空間的存在是無(wú)限方面的實(shí)體。數(shù)字跟空間結(jié)合在在是無(wú)限方面的實(shí)體。數(shù)字跟空間結(jié)合在一起就產(chǎn)生出宇宙萬(wàn)象。一起就產(chǎn)生出宇宙萬(wàn)象。 1919世紀(jì)偉大的法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉說(shuō)，數(shù)學(xué)世紀(jì)偉大的法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉說(shuō)，數(shù)學(xué)可以用來(lái)決定最一般的規(guī)律，同時(shí)也可以可以用來(lái)決定最一般的規(guī)律，同時(shí)

2、也可以量度時(shí)間、空間、溫度，所以數(shù)學(xué)跟大自量度時(shí)間、空間、溫度，所以數(shù)學(xué)跟大自然一樣廣泛、豐富，和大自然走的是相同然一樣廣泛、豐富，和大自然走的是相同的軌道，也共同見(jiàn)證著宇宙的包容、簡(jiǎn)潔的軌道，也共同見(jiàn)證著宇宙的包容、簡(jiǎn)潔、穩(wěn)定。、穩(wěn)定。 丘成桐先生說(shuō)，調(diào)和的思想也可說(shuō)貫穿了丘成桐先生說(shuō)，調(diào)和的思想也可說(shuō)貫穿了古代數(shù)學(xué)直到近代數(shù)學(xué)的發(fā)展。數(shù)學(xué)的美古代數(shù)學(xué)直到近代數(shù)學(xué)的發(fā)展。數(shù)學(xué)的美，使我們與大自然更為接近，大自然的美，使我們與大自然更為接近，大自然的美開(kāi)闊了我們的胸襟，加深了我們的視野開(kāi)闊了我們的胸襟，加深了我們的視野很幸運(yùn)的是，自然界的真理往往是極很幸運(yùn)的是，自然界的真理往往是極為美妙的。所

3、以從數(shù)學(xué)的美選擇出來(lái)的方為美妙的。所以從數(shù)學(xué)的美選擇出來(lái)的方程、選擇出來(lái)的圖形，往往能夠解釋大自程、選擇出來(lái)的圖形，往往能夠解釋大自然里的真理。然里的真理。我的粗淺領(lǐng)悟我的粗淺領(lǐng)悟 數(shù)學(xué)與大自然同構(gòu)，數(shù)學(xué)與哲學(xué)相通，數(shù)數(shù)學(xué)與大自然同構(gòu)，數(shù)學(xué)與哲學(xué)相通，數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)因而數(shù)學(xué)又是一門(mén)學(xué)是思維的科學(xué)因而數(shù)學(xué)又是一門(mén)“內(nèi)心內(nèi)心科學(xué)科學(xué)”。 數(shù)學(xué)不僅能證明大自然的真理，而且能解數(shù)學(xué)不僅能證明大自然的真理，而且能解釋人的內(nèi)心世界，這就是數(shù)學(xué)的本來(lái)面目釋人的內(nèi)心世界，這就是數(shù)學(xué)的本來(lái)面目，也是數(shù)學(xué)內(nèi)在力量之所在。，也是數(shù)學(xué)內(nèi)在力量之所在。 我們要不斷地問(wèn)自己，數(shù)學(xué)的本來(lái)面目是我們要不斷地問(wèn)自己，數(shù)學(xué)的本

4、來(lái)面目是什么？數(shù)學(xué)教育的本來(lái)面目是什么？什么？數(shù)學(xué)教育的本來(lái)面目是什么？ 我們要不斷求索的是數(shù)學(xué)教育內(nèi)在的本質(zhì)我們要不斷求索的是數(shù)學(xué)教育內(nèi)在的本質(zhì)在哪里，永恒不變的究竟是什么，萬(wàn)變不在哪里，永恒不變的究竟是什么，萬(wàn)變不離其宗的離其宗的“宗宗”在哪里？在哪里？ 舊典時(shí)式舊典時(shí)式將永恒不變的本真用符合時(shí)將永恒不變的本真用符合時(shí)代精神的方式表達(dá)出來(lái)，這就是不斷接近代精神的方式表達(dá)出來(lái)，這就是不斷接近本來(lái)面目的過(guò)程，也就是改革的過(guò)程！本來(lái)面目的過(guò)程，也就是改革的過(guò)程！一、一、“三個(gè)理解三個(gè)理解”是基石是基石 理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)。理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)。 “三個(gè)理解三個(gè)理解”的內(nèi)涵：掌握

5、豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)；的內(nèi)涵：掌握豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)；中小學(xué)數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)體系、教學(xué)重點(diǎn)的知識(shí)；學(xué)中小學(xué)數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)體系、教學(xué)重點(diǎn)的知識(shí)；學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難點(diǎn)的知識(shí)；關(guān)于重點(diǎn)知識(shí)的教學(xué)解生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難點(diǎn)的知識(shí)；關(guān)于重點(diǎn)知識(shí)的教學(xué)解釋的知識(shí)；關(guān)于評(píng)估學(xué)生的知識(shí)理解水平的知識(shí)；釋的知識(shí)；關(guān)于評(píng)估學(xué)生的知識(shí)理解水平的知識(shí)；等。特別是，等。特別是，“內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法”的的理解水平?jīng)Q定了教學(xué)所能達(dá)到的水平和效果。理解水平?jīng)Q定了教學(xué)所能達(dá)到的水平和效果。 例：為什么說(shuō)例：為什么說(shuō)在有理數(shù)乘法在有理數(shù)乘法法則的教材設(shè)法則的教材設(shè)計(jì)中，滲透了計(jì)中，滲透了數(shù)系擴(kuò)充的基數(shù)系擴(kuò)充的基本思想本思

6、想原原有數(shù)系的運(yùn)算有數(shù)系的運(yùn)算和運(yùn)算律保持和運(yùn)算律保持不變？不變？ 例：理解有理數(shù)的意義，重點(diǎn)是理解負(fù)有理數(shù)的例：理解有理數(shù)的意義，重點(diǎn)是理解負(fù)有理數(shù)的意義。那么，難點(diǎn)在哪里？意義。那么，難點(diǎn)在哪里？ 難點(diǎn)是用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量時(shí)，難點(diǎn)是用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量時(shí)，描述向指定方向變化的情況，即：向指定方向變描述向指定方向變化的情況，即：向指定方向變化用正數(shù)表示，向指定方向的相反方向變化用負(fù)化用正數(shù)表示，向指定方向的相反方向變化用負(fù)數(shù)表示這與學(xué)生的日常經(jīng)驗(yàn)有一定的矛盾，需數(shù)表示這與學(xué)生的日常經(jīng)驗(yàn)有一定的矛盾，需要一個(gè)要一個(gè)“心理轉(zhuǎn)換心理轉(zhuǎn)換”：把：把“體重減少體重減少1kg”

7、轉(zhuǎn)換為轉(zhuǎn)換為“體重增長(zhǎng)體重增長(zhǎng)1kg”，需要對(duì)，需要對(duì)“負(fù)負(fù)”與與“正正”的相的相對(duì)性有較好的理解。對(duì)性有較好的理解。 例例 在在“二元一次方程組二元一次方程組”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生的學(xué)習(xí)中，學(xué)生在認(rèn)知上會(huì)有哪些問(wèn)題？應(yīng)如何在認(rèn)知上會(huì)有哪些問(wèn)題？應(yīng)如何化解化解？二、高度重視教學(xué)目標(biāo)的制定二、高度重視教學(xué)目標(biāo)的制定當(dāng)前，教學(xué)目標(biāo)的表達(dá)比較混亂。五花八當(dāng)前，教學(xué)目標(biāo)的表達(dá)比較混亂。五花八門(mén)，門(mén)，“三維目標(biāo)三維目標(biāo)”成為時(shí)髦；也有按成為時(shí)髦；也有按“知知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問(wèn)題解決、情感態(tài)度識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問(wèn)題解決、情感態(tài)度”的；也有按的；也有按“知識(shí)、技能、能力、價(jià)值觀知識(shí)、技能、能力、價(jià)值觀”的；等等

8、。的；等等?！叭S目標(biāo)三維目標(biāo)”的理解的理解 “三維目標(biāo)三維目標(biāo)”是課程目標(biāo)的設(shè)計(jì)思路，是是課程目標(biāo)的設(shè)計(jì)思路，是同一學(xué)習(xí)過(guò)程中的三個(gè)心理維度，不是教同一學(xué)習(xí)過(guò)程中的三個(gè)心理維度，不是教學(xué)目標(biāo)的維度。學(xué)目標(biāo)的維度。 教學(xué)目標(biāo)取決于教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，要在教學(xué)目標(biāo)取決于教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，要在“三個(gè)維度三個(gè)維度”的指導(dǎo)下，綜合考慮學(xué)段目的指導(dǎo)下，綜合考慮學(xué)段目標(biāo)、內(nèi)容特點(diǎn)和學(xué)情來(lái)確定；課堂教學(xué)不標(biāo)、內(nèi)容特點(diǎn)和學(xué)情來(lái)確定；課堂教學(xué)不是為了體現(xiàn)課程目標(biāo)的是為了體現(xiàn)課程目標(biāo)的“三個(gè)維度三個(gè)維度”而存而存在，而是要具體而扎實(shí)地把課程內(nèi)容傳遞在，而是要具體而扎實(shí)地把課程內(nèi)容傳遞給學(xué)生，促進(jìn)學(xué)生健康發(fā)展。給學(xué)生，促

9、進(jìn)學(xué)生健康發(fā)展。數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)系統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)系統(tǒng) 教育方針：學(xué)校一切學(xué)科的目標(biāo)。教育方針：學(xué)校一切學(xué)科的目標(biāo)。 課程目標(biāo)：課程目標(biāo)： 宏觀目標(biāo)，要付出大量時(shí)間和精力，宏觀目標(biāo)，要付出大量時(shí)間和精力，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期努力才能實(shí)現(xiàn)的學(xué)習(xí)結(jié)果；包含經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期努力才能實(shí)現(xiàn)的學(xué)習(xí)結(jié)果；包含多方面的、更為具體的目標(biāo)。多方面的、更為具體的目標(biāo)。 由課程專家制定。由課程專家制定。 用用“總體目標(biāo)總體目標(biāo)+學(xué)段目標(biāo)學(xué)段目標(biāo)”的方式呈現(xiàn)的方式呈現(xiàn)。 單元目標(biāo)：?jiǎn)卧繕?biāo)： 中觀目標(biāo)，用于計(jì)劃需要幾周或幾個(gè)中觀目標(biāo)，用于計(jì)劃需要幾周或幾個(gè)月的時(shí)間學(xué)習(xí)的單元，是課程目標(biāo)的具體月的時(shí)間學(xué)習(xí)的單元，是課程目標(biāo)的具體化。例如，化。例如

10、，“理解有理數(shù)加法法則理解有理數(shù)加法法則”就就是是一個(gè)單元目標(biāo)。一個(gè)單元目標(biāo)。 由課程專家制定。由課程專家制定。 課標(biāo)中課標(biāo)中“內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)”中所列的都是單中所列的都是單元目標(biāo)。元目標(biāo)。 課堂教學(xué)目標(biāo)：課堂教學(xué)目標(biāo)： 微觀目標(biāo)，專注于具體內(nèi)容的學(xué)習(xí)，只處理細(xì)節(jié)微觀目標(biāo)，專注于具體內(nèi)容的學(xué)習(xí)，只處理細(xì)節(jié)，它們?cè)谟?jì)劃日常教學(xué)中發(fā)揮作用。，它們?cè)谟?jì)劃日常教學(xué)中發(fā)揮作用。 例如，例如，“理解理解有理數(shù)的加法法則有理數(shù)的加法法則”這一單元目標(biāo)要具體化為：這一單元目標(biāo)要具體化為：（1 1）能借助實(shí)際事例解釋有理數(shù)加法法則；）能借助實(shí)際事例解釋有理數(shù)加法法則；（2 2）會(huì)根據(jù)有理數(shù)加法法則計(jì)算兩個(gè)有理數(shù)

11、和）會(huì)根據(jù)有理數(shù)加法法則計(jì)算兩個(gè)有理數(shù)和 由教師根據(jù)課標(biāo)要求和本班學(xué)生實(shí)際制定。由教師根據(jù)課標(biāo)要求和本班學(xué)生實(shí)際制定。三、大力提高概念教學(xué)水平三、大力提高概念教學(xué)水平（1 1）當(dāng)前概念教學(xué)的問(wèn)題）當(dāng)前概念教學(xué)的問(wèn)題 概念教學(xué)走過(guò)場(chǎng)，常常采用概念教學(xué)走過(guò)場(chǎng)，常常采用“一個(gè)定義，一個(gè)定義，三項(xiàng)注意三項(xiàng)注意”的方式，在概念的背景引入上的方式，在概念的背景引入上著墨不夠，沒(méi)有給學(xué)生提供充分的概括本著墨不夠，沒(méi)有給學(xué)生提供充分的概括本質(zhì)特征的機(jī)會(huì)。質(zhì)特征的機(jī)會(huì)。 以解題教學(xué)代替概念教學(xué)，學(xué)生在數(shù)學(xué)上以解題教學(xué)代替概念教學(xué)，學(xué)生在數(shù)學(xué)上耗費(fèi)大量時(shí)間、精力，結(jié)果可能是對(duì)數(shù)學(xué)耗費(fèi)大量時(shí)間、精力，結(jié)果可能是對(duì)數(shù)

12、學(xué)的內(nèi)容、方法和意義知之甚少的內(nèi)容、方法和意義知之甚少 有些老師不知如何教概念有些老師不知如何教概念（2 2）教概念的意義）教概念的意義 李邦河院士：數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不李邦河院士：數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧技巧不足道也！是玩技巧技巧不足道也！ 數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，概念是思維的細(xì)胞數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，概念是思維的細(xì)胞 概念不理解，其他一切都免談。因概念不理解，其他一切都免談。因此，概念教學(xué)是最基本也是最重要的。此，概念教學(xué)是最基本也是最重要的。（3 3）概念教學(xué)的核心）概念教學(xué)的核心 概念教學(xué)的核心是概括：將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概概念教學(xué)的核心是概括：將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思維打開(kāi)，以典型豐

13、富的念中的數(shù)學(xué)家的思維打開(kāi)，以典型豐富的實(shí)例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)觀察、分析各實(shí)例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)觀察、分析各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性，歸事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學(xué)概念。納得出數(shù)學(xué)概念。（4 4）概念教學(xué)的基本環(huán)節(jié)）概念教學(xué)的基本環(huán)節(jié) 概念的引入概念的引入借助具體事例，借助具體事例，從數(shù)學(xué)概念體系從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過(guò)程或解決實(shí)際問(wèn)題的需要引入概念；的發(fā)展過(guò)程或解決實(shí)際問(wèn)題的需要引入概念； 內(nèi)涵的概括內(nèi)涵的概括提供提供典型豐富的具體例證，進(jìn)行典型豐富的具體例證，進(jìn)行屬性的分析、比較、綜合，概括不同例證的共同屬性的分析、比較、綜合，概括不同例證的共同特征；特征； 概

14、念的明確概念的明確下定義，給出準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描下定義，給出準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述（文字的、符號(hào)的）；述（文字的、符號(hào)的）； 概念的辨析概念的辨析以實(shí)例為載體分析關(guān)鍵詞的含義以實(shí)例為載體分析關(guān)鍵詞的含義（恰當(dāng)使用反例）；（恰當(dāng)使用反例）； 概念的鞏固概念的鞏固用概念作判斷的具體事例，形成用概念作判斷的具體事例，形成用概念作判斷的具體步驟；用概念作判斷的具體步驟； 概念的應(yīng)用概念的應(yīng)用納入概念系統(tǒng)，建立與相關(guān)概念納入概念系統(tǒng)，建立與相關(guān)概念的聯(lián)系。的聯(lián)系。例例 數(shù)軸概念的教學(xué)設(shè)計(jì)數(shù)軸概念的教學(xué)設(shè)計(jì)（一）內(nèi)容和內(nèi)容分析（一）內(nèi)容和內(nèi)容分析 內(nèi)容：數(shù)軸的概念，用數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)內(nèi)容：數(shù)軸的概念，用數(shù)軸上的

15、點(diǎn)表示數(shù)（點(diǎn)與數(shù)的一一對(duì)應(yīng)）。（點(diǎn)與數(shù)的一一對(duì)應(yīng)）。 內(nèi)容分析：數(shù)形結(jié)合思想的產(chǎn)物。由此，內(nèi)容分析：數(shù)形結(jié)合思想的產(chǎn)物。由此，數(shù)的概念和運(yùn)算與位置、方向、距離相統(tǒng)數(shù)的概念和運(yùn)算與位置、方向、距離相統(tǒng)一，使數(shù)的語(yǔ)言得到了幾何解釋，數(shù)有了一，使數(shù)的語(yǔ)言得到了幾何解釋，數(shù)有了直觀意義，有助于數(shù)的概念的理解，還可直觀意義，有助于數(shù)的概念的理解，還可以從中得到啟發(fā)而提出新的問(wèn)題或結(jié)論，以從中得到啟發(fā)而提出新的問(wèn)題或結(jié)論，如相反數(shù)、絕對(duì)值等。如相反數(shù)、絕對(duì)值等。 數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)的本質(zhì)：實(shí)數(shù)與數(shù)軸數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)的本質(zhì)：實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)（存在性、唯一性）。上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)（存在性、唯一性）。 這

16、樣要求的意義：等價(jià)性，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化后這樣要求的意義：等價(jià)性，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化后所得到的結(jié)論就是原問(wèn)題的結(jié)過(guò)所得到的結(jié)論就是原問(wèn)題的結(jié)過(guò)需要需要學(xué)生逐漸體會(huì)。學(xué)生逐漸體會(huì)。 在這樣的要求下，明確規(guī)定原點(diǎn)、方向和在這樣的要求下，明確規(guī)定原點(diǎn)、方向和單位長(zhǎng)度單位長(zhǎng)度“三要素三要素”是必須而且自然的。是必須而且自然的。數(shù)軸的數(shù)軸的“三要素三要素”與實(shí)數(shù)集的與實(shí)數(shù)集的“三要素三要素” 原點(diǎn)原點(diǎn) 0（原點(diǎn)和（原點(diǎn)和0的的“基準(zhǔn)基準(zhǔn)”作用）作用） 單位長(zhǎng)度單位長(zhǎng)度 1（“單位單位”的的“標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)”作用作用） 方向方向 符號(hào)（符號(hào)（“方向方向”、“長(zhǎng)度長(zhǎng)度”是標(biāo)記是標(biāo)記“空間位置差別空間位置差別”的兩個(gè)要素。數(shù)軸的方

17、的兩個(gè)要素。數(shù)軸的方向向“左左”“”“右右”，具有，具有“相反意義相反意義”，對(duì)，對(duì)應(yīng)于負(fù)數(shù)、正數(shù)。應(yīng)于負(fù)數(shù)、正數(shù)。 教學(xué)重點(diǎn)是：體會(huì)數(shù)軸的三要素；體會(huì)用教學(xué)重點(diǎn)是：體會(huì)數(shù)軸的三要素；體會(huì)用數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)的合理性。數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)的合理性。（二）目標(biāo)和目標(biāo)解析（二）目標(biāo)和目標(biāo)解析 目標(biāo)目標(biāo)（1 1）能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)；）能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)；（2 2）能借助具體實(shí)例，解釋數(shù)軸三要素的作）能借助具體實(shí)例，解釋數(shù)軸三要素的作用。用。 目標(biāo)解析：目標(biāo)解析： 目標(biāo)（目標(biāo)（1 1）屬于）屬于“理解理解”層次，是指學(xué)生能畫(huà)出數(shù)軸層次，是指學(xué)生能畫(huà)出數(shù)軸并找到表示給定數(shù)的點(diǎn)；并找到表示給定數(shù)的點(diǎn)

18、； 目標(biāo)（目標(biāo)（2 2）也屬）也屬“理解理解”層次，是指學(xué)生能判斷一種層次，是指學(xué)生能判斷一種情境是否適合用數(shù)軸表示，并將情境中的事物與三要情境是否適合用數(shù)軸表示，并將情境中的事物與三要素分別對(duì)應(yīng)起來(lái)。素分別對(duì)應(yīng)起來(lái)。 從發(fā)展的角度看，學(xué)生還應(yīng)體會(huì)到，從發(fā)展的角度看，學(xué)生還應(yīng)體會(huì)到，“用點(diǎn)表示數(shù)用點(diǎn)表示數(shù)”時(shí)，數(shù)軸時(shí)，數(shù)軸“三要素三要素”保證了點(diǎn)與數(shù)的保證了點(diǎn)與數(shù)的“一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)”，即任意一個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上的唯一一個(gè)點(diǎn)；反之，數(shù)即任意一個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上的唯一一個(gè)點(diǎn)；反之，數(shù)軸上任意一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于唯一一個(gè)數(shù)。這里，概念所反軸上任意一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于唯一一個(gè)數(shù)。這里，概念所反映的基本思想需要逐步體會(huì)，

19、還要逐步積累借助數(shù)軸映的基本思想需要逐步體會(huì)，還要逐步積累借助數(shù)軸的直觀研究問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。的直觀研究問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。（三）教學(xué)問(wèn)題診斷分析（三）教學(xué)問(wèn)題診斷分析 學(xué)生第一次遇到用形表示數(shù)的問(wèn)題，領(lǐng)會(huì)學(xué)生第一次遇到用形表示數(shù)的問(wèn)題，領(lǐng)會(huì)其中蘊(yùn)含的思想、體驗(yàn)這一方法的意義，其中蘊(yùn)含的思想、體驗(yàn)這一方法的意義，尚待時(shí)日。可以借鑒引入負(fù)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)和生尚待時(shí)日?？梢越梃b引入負(fù)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)。在基本思想上，還是要借助于具活經(jīng)驗(yàn)。在基本思想上，還是要借助于具體情境，教師先講解，學(xué)生獲得體驗(yàn)后進(jìn)體情境，教師先講解，學(xué)生獲得體驗(yàn)后進(jìn)行模仿式舉例。行模仿式舉例。 教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)軸教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)軸“三要素三要素”與數(shù)集中與

20、數(shù)集中0 0，1 1以及數(shù)的符號(hào)的對(duì)應(yīng)性。以及數(shù)的符號(hào)的對(duì)應(yīng)性。( (四四) )教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 1 1問(wèn)題情境下的三次概括問(wèn)題情境下的三次概括 問(wèn)題問(wèn)題1 1 在一條東西向的馬路上，有一個(gè)汽在一條東西向的馬路上，有一個(gè)汽車站牌，汽車站牌往東車站牌，汽車站牌往東3 3和和7.5m7.5m處分別有處分別有一棵柳樹(shù)和一棵楊樹(shù)，汽車站牌往西一棵柳樹(shù)和一棵楊樹(shù)，汽車站牌往西3m3m和和4.8m4.8m處分別有一棵槐樹(shù)和一根電線桿，試處分別有一棵槐樹(shù)和一根電線桿，試畫(huà)圖表示這一情境畫(huà)圖表示這一情境 師生活動(dòng)：師生活動(dòng)： 學(xué)生小組討論解決問(wèn)題的方法，學(xué)生小組討論解決問(wèn)題的方法，學(xué)生板演學(xué)生板演 學(xué)

21、生畫(huà)圖后提問(wèn)：學(xué)生畫(huà)圖后提問(wèn)： （1 1）馬路可以用什么幾何圖形代表？（直線）馬路可以用什么幾何圖形代表？（直線） （2 2）你認(rèn)為站牌起什么作用？（基準(zhǔn)點(diǎn)）你認(rèn)為站牌起什么作用？（基準(zhǔn)點(diǎn)） （3 3）你是怎么確定問(wèn)題中各物體的位置的？）你是怎么確定問(wèn)題中各物體的位置的？（方向，與站牌的距離）（方向，與站牌的距離） 設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)意圖：“三要素三要素”為定向，用直線、點(diǎn)、方為定向，用直線、點(diǎn)、方向、距離等幾何符號(hào)表示實(shí)際問(wèn)題這是實(shí)際問(wèn)向、距離等幾何符號(hào)表示實(shí)際問(wèn)題這是實(shí)際問(wèn)題的第一次數(shù)學(xué)抽象題的第一次數(shù)學(xué)抽象 說(shuō)明：學(xué)生也可能只用與站牌的距離來(lái)表示有說(shuō)明：學(xué)生也可能只用與站牌的距離來(lái)表示有不同

22、表示最好，可以與下面的方法做比較，看哪不同表示最好，可以與下面的方法做比較，看哪個(gè)更方便個(gè)更方便 問(wèn)題問(wèn)題2 上面的問(wèn)題中，上面的問(wèn)題中，“東東”與與“西西”、“左左”與與“右右”都具有相反意義我們知道，正數(shù)和負(fù)都具有相反意義我們知道，正數(shù)和負(fù)數(shù)可以表示兩種具有相反意義的量，那么如何用數(shù)可以表示兩種具有相反意義的量，那么如何用數(shù)表示這些樹(shù)、電線桿與汽車站牌的相對(duì)位置呢？數(shù)表示這些樹(shù)、電線桿與汽車站牌的相對(duì)位置呢？ 學(xué)生畫(huà)圖表示后提問(wèn)：學(xué)生畫(huà)圖表示后提問(wèn)： （1）0代表什么？（基準(zhǔn)點(diǎn)）代表什么？（基準(zhǔn)點(diǎn)） （2）數(shù)的符號(hào)的實(shí)際意義是什么？（方向）數(shù)的符號(hào)的實(shí)際意義是什么？（方向） （3）如圖，在

23、一條直線上，）如圖，在一條直線上，A，B的距離等于的距離等于B，C的距離，的距離，B點(diǎn)用點(diǎn)用3表示，表示，C點(diǎn)用點(diǎn)用7.5表示，行嗎？表示，行嗎？為什么？（不行，單位不一致，與實(shí)際情境不符）為什么？（不行，單位不一致，與實(shí)際情境不符） O A B C 0 1 3 7.5 （4）上述方法表示了這些樹(shù)、電線桿與）上述方法表示了這些樹(shù)、電線桿與汽車站牌的相對(duì)位置關(guān)系例如，汽車站牌的相對(duì)位置關(guān)系例如，4.8表表示位于汽車站牌西側(cè)示位于汽車站牌西側(cè)4.8 m處的電線桿你處的電線桿你能自己再舉個(gè)例子嗎？能自己再舉個(gè)例子嗎？設(shè)計(jì)意圖：繼續(xù)以設(shè)計(jì)意圖：繼續(xù)以“三要素三要素”為定向，將為定向，將點(diǎn)用數(shù)表示，實(shí)現(xiàn)

24、第二次抽象，為定義數(shù)點(diǎn)用數(shù)表示，實(shí)現(xiàn)第二次抽象，為定義數(shù)軸概念提供直觀基礎(chǔ)軸概念提供直觀基礎(chǔ) 問(wèn)題問(wèn)題3 3 大家都見(jiàn)過(guò)溫度計(jì)吧？你能描述一下溫度大家都見(jiàn)過(guò)溫度計(jì)吧？你能描述一下溫度計(jì)的結(jié)構(gòu)嗎？比較上面的問(wèn)題，你認(rèn)為它用了什計(jì)的結(jié)構(gòu)嗎？比較上面的問(wèn)題，你認(rèn)為它用了什么數(shù)學(xué)知識(shí)？么數(shù)學(xué)知識(shí)？ 教師可以先解釋教師可以先解釋0 0度的含義（冰水混合物的溫度規(guī)度的含義（冰水混合物的溫度規(guī)定為定為0 0度度溫度的基準(zhǔn)點(diǎn)）溫度的基準(zhǔn)點(diǎn)） 設(shè)計(jì)意圖：借用生活中的常用工具，說(shuō)明正數(shù)、設(shè)計(jì)意圖：借用生活中的常用工具，說(shuō)明正數(shù)、負(fù)數(shù)的作用引導(dǎo)學(xué)生用負(fù)數(shù)的作用引導(dǎo)學(xué)生用“三要素三要素”表達(dá)，為定表達(dá)，為定義數(shù)軸概念

25、提供又一個(gè)直觀基礎(chǔ)義數(shù)軸概念提供又一個(gè)直觀基礎(chǔ) 問(wèn)題問(wèn)題4 4 你能說(shuō)說(shuō)上述兩個(gè)實(shí)例的共同點(diǎn)嗎？你能說(shuō)說(shuō)上述兩個(gè)實(shí)例的共同點(diǎn)嗎？ 設(shè)計(jì)意圖：完成第三次概括，即進(jìn)一步明設(shè)計(jì)意圖：完成第三次概括，即進(jìn)一步明確確“三要素三要素”的意義，體會(huì)的意義，體會(huì)“用點(diǎn)表示數(shù)用點(diǎn)表示數(shù)”和和“用數(shù)表示點(diǎn)用數(shù)表示點(diǎn)”的思想方法，為定義數(shù)的思想方法，為定義數(shù)軸概念提供進(jìn)一步的直觀基礎(chǔ)軸概念提供進(jìn)一步的直觀基礎(chǔ) 2 2定義、辨析數(shù)軸概念定義、辨析數(shù)軸概念 請(qǐng)你帶著下列問(wèn)題閱讀教科書(shū)：請(qǐng)你帶著下列問(wèn)題閱讀教科書(shū)： （1 1）畫(huà)數(shù)軸的步驟是什么？）畫(huà)數(shù)軸的步驟是什么？ （2 2）根據(jù)上述實(shí)例的經(jīng)驗(yàn)，）根據(jù)上述實(shí)例的經(jīng)驗(yàn)，

26、“原點(diǎn)原點(diǎn)”起什么起什么作用？（作用？（“原點(diǎn)原點(diǎn)”是數(shù)軸的是數(shù)軸的“基準(zhǔn)基準(zhǔn)”，表示，表示0 0，是表示正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)）是表示正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)） （3 3）你是怎么理解）你是怎么理解“選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為單選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度位長(zhǎng)度”的？（與問(wèn)題的需要相關(guān)，表示的？（與問(wèn)題的需要相關(guān)，表示較大的數(shù)，單位長(zhǎng)度取小一些等）較大的數(shù)，單位長(zhǎng)度取小一些等） （4 4）數(shù)軸上，在原點(diǎn)的右邊，離原點(diǎn)越遠(yuǎn)）數(shù)軸上，在原點(diǎn)的右邊，離原點(diǎn)越遠(yuǎn)的點(diǎn)所表示的數(shù)的點(diǎn)所表示的數(shù) ；在原點(diǎn)的左邊，離；在原點(diǎn)的左邊，離原點(diǎn)越遠(yuǎn)的點(diǎn)所表示的數(shù)原點(diǎn)越遠(yuǎn)的點(diǎn)所表示的數(shù) （宏觀看（宏觀看大?。┐笮。?設(shè)計(jì)意圖：明晰概念，加

27、深對(duì)數(shù)軸設(shè)計(jì)意圖：明晰概念，加深對(duì)數(shù)軸“三要三要素素”的理解的理解 3練習(xí)、鞏固概念練習(xí)、鞏固概念 （1）課本練習(xí)）課本練習(xí)1，2； （2）數(shù)軸上表示）數(shù)軸上表示3的點(diǎn)在原點(diǎn)的哪一側(cè)？與原點(diǎn)的距離是多的點(diǎn)在原點(diǎn)的哪一側(cè)？與原點(diǎn)的距離是多少個(gè)單位長(zhǎng)度？表示數(shù)少個(gè)單位長(zhǎng)度？表示數(shù) 2的點(diǎn)在原點(diǎn)的哪一側(cè)？與原點(diǎn)的點(diǎn)在原點(diǎn)的哪一側(cè)？與原點(diǎn)的距離是多少個(gè)單位長(zhǎng)度？設(shè)的距離是多少個(gè)單位長(zhǎng)度？設(shè)a是一個(gè)正數(shù)，對(duì)表示是一個(gè)正數(shù)，對(duì)表示a的點(diǎn)的點(diǎn)和表示和表示a的點(diǎn)進(jìn)行同樣的討論的點(diǎn)進(jìn)行同樣的討論 設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)意圖： 練習(xí)（練習(xí)（1）包括畫(huà)數(shù)軸表示有理數(shù)和指出數(shù)軸上的點(diǎn)表示的）包括畫(huà)數(shù)軸表示有理數(shù)和指出數(shù)軸上的

28、點(diǎn)表示的有理數(shù)，使學(xué)生進(jìn)一步鞏固數(shù)軸的概念，并使學(xué)生了解所有理數(shù)，使學(xué)生進(jìn)一步鞏固數(shù)軸的概念，并使學(xué)生了解所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示 練習(xí)（練習(xí)（2）通過(guò)從特殊到一般的方法歸納出數(shù)軸上不同位）通過(guò)從特殊到一般的方法歸納出數(shù)軸上不同位置（原點(diǎn)左右）點(diǎn)的特點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括（由具體置（原點(diǎn)左右）點(diǎn)的特點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括（由具體的數(shù)到字母表示的數(shù)）能力的數(shù)到字母表示的數(shù)）能力 4 4小結(jié)、布置作業(yè)小結(jié)、布置作業(yè) 教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問(wèn)題：學(xué)生回答以下問(wèn)題： （1 1）本節(jié)課學(xué)了哪些

29、主要內(nèi)容？）本節(jié)課學(xué)了哪些主要內(nèi)容？ （2 2）數(shù)軸的）數(shù)軸的“三要素三要素”各指什么？它們各起什么各指什么？它們各起什么作用？作用？ （3 3）你能舉出引進(jìn)數(shù)軸概念的一個(gè)好處嗎？）你能舉出引進(jìn)數(shù)軸概念的一個(gè)好處嗎？ 設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小結(jié)，使學(xué)生梳理本節(jié)課所學(xué)內(nèi)設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)小結(jié)，使學(xué)生梳理本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，掌握本節(jié)課的核心容，掌握本節(jié)課的核心數(shù)軸數(shù)軸“三要素三要素”，感，感受通過(guò)數(shù)軸把數(shù)與形結(jié)合起來(lái)的好處受通過(guò)數(shù)軸把數(shù)與形結(jié)合起來(lái)的好處 布置作業(yè)：布置作業(yè)： 教科書(shū)練習(xí)第教科書(shū)練習(xí)第3 3題，習(xí)題題，習(xí)題1.21.2第第2 2題題四、課堂教學(xué)的高立意與低起點(diǎn)四、課堂教學(xué)的高立意與低起點(diǎn) 立意不高

30、立意不高許多教師的許多教師的“匠氣匠氣”太濃，太濃，“題型題型+ +技巧技巧”的教學(xué)，彌漫著的教學(xué)，彌漫著“功利功利”，缺少思想、精，缺少思想、精神的追求。神的追求。 提高課堂教學(xué)立意的關(guān)鍵是提高思想性。提高課堂教學(xué)立意的關(guān)鍵是提高思想性。 具體做法上，要注意具體做法上，要注意“先行組織者先行組織者”的使用，要的使用，要加強(qiáng)思想方法的引導(dǎo)加強(qiáng)思想方法的引導(dǎo)構(gòu)建研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的框構(gòu)建研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的框架，以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺(jué)性、主動(dòng)性，使學(xué)生架，以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺(jué)性、主動(dòng)性，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思考更有目的性、有序性和有效性，培養(yǎng)的數(shù)學(xué)思考更有目的性、有序性和有效性，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。良好的數(shù)學(xué)思維

31、習(xí)慣。例例 四邊形的四邊形的“先行組織者先行組織者” 概括三角形中研究的問(wèn)題、線索和基本方法：定概括三角形中研究的問(wèn)題、線索和基本方法：定義（組成元素、分類）義（組成元素、分類）三角形的性質(zhì)（變化中三角形的性質(zhì)（變化中的不變性、規(guī)律性，從度量關(guān)系和位置關(guān)系入的不變性、規(guī)律性，從度量關(guān)系和位置關(guān)系入手）手）三角形的全等（確定三角形的條件）三角形的全等（確定三角形的條件）特特殊三角形的研究（角特殊殊三角形的研究（角特殊直角三角形、邊特直角三角形、邊特殊殊等腰三角形，性質(zhì)、判定）等腰三角形，性質(zhì)、判定）相似三角形相似三角形（性質(zhì)、判定）（性質(zhì)、判定） 目的：給學(xué)生一個(gè)類比對(duì)象，使他們知道研究的目的：

32、給學(xué)生一個(gè)類比對(duì)象，使他們知道研究的“基本套路基本套路”。 引導(dǎo)學(xué)生類比，思考引導(dǎo)學(xué)生類比，思考“四邊形四邊形”研究的問(wèn)題、線研究的問(wèn)題、線索和方法等：索和方法等： 一般四邊形：組成元素、度量（內(nèi)角和、外角一般四邊形：組成元素、度量（內(nèi)角和、外角和）；和）； 特殊四邊形：從邊的特殊性和角的特殊性入手；特殊四邊形：從邊的特殊性和角的特殊性入手； 邊的特殊性邊的特殊性平行四邊形：性質(zhì)和判定；平行四邊形：性質(zhì)和判定；“性性質(zhì)質(zhì)”研究的是在研究的是在“平行四邊形平行四邊形”的條件下，它的的條件下，它的組成元素有什么普遍規(guī)律，如邊的大小關(guān)系、內(nèi)組成元素有什么普遍規(guī)律，如邊的大小關(guān)系、內(nèi)角的關(guān)系、對(duì)角線的

33、關(guān)系等；角的關(guān)系、對(duì)角線的關(guān)系等；“判定判定”研究的是研究的是具備什么條件的四邊形才是平行四邊形；其他度具備什么條件的四邊形才是平行四邊形；其他度量問(wèn)題；量問(wèn)題； 特殊的平行四邊形：角的特殊特殊的平行四邊形：角的特殊矩形，矩形，邊的特殊邊的特殊菱形，邊角都特殊菱形，邊角都特殊正方正方形，都要研究性質(zhì)和判定。形，都要研究性質(zhì)和判定。 研究的方法：化歸為三角形、平行線的性研究的方法：化歸為三角形、平行線的性質(zhì)等已有知識(shí)；質(zhì)等已有知識(shí)； 特殊的平行四邊形的研究要注意特殊的三特殊的平行四邊形的研究要注意特殊的三角形的知識(shí)：矩形角形的知識(shí)：矩形直角三角形；菱形直角三角形；菱形等腰三角形；等腰三角形； 五

34、、如何進(jìn)行五、如何進(jìn)行“思維的教學(xué)思維的教學(xué)”（1 1）樹(shù)立正確的學(xué)生觀）樹(shù)立正確的學(xué)生觀學(xué)生的主動(dòng)參與學(xué)生的主動(dòng)參與是根本保證。是根本保證。（2 2）讓學(xué)生真正）讓學(xué)生真正“動(dòng)起來(lái)動(dòng)起來(lái)”書(shū)上得來(lái)終書(shū)上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事須躬行。覺(jué)淺，絕知此事須躬行。（3 3）精心選擇和使用例子）精心選擇和使用例子一個(gè)好例子勝一個(gè)好例子勝過(guò)一千次說(shuō)教。過(guò)一千次說(shuō)教。（4 4）關(guān)注課堂中生成的教學(xué)資源）關(guān)注課堂中生成的教學(xué)資源從學(xué)生從學(xué)生的切身體驗(yàn)中引發(fā)更深層次的思考。的切身體驗(yàn)中引發(fā)更深層次的思考。（5 5）把概括的機(jī)會(huì)讓給學(xué)生。）把概括的機(jī)會(huì)讓給學(xué)生。例例 銳角三角函數(shù)概念概括過(guò)程的設(shè)計(jì)銳角三角函數(shù)概念概括過(guò)程的設(shè)計(jì)目的：解直角三角形目的：解直角三角形 課題的引入：從實(shí)際需要看（如比薩斜塔課題的引入：從實(shí)際需要看（如比薩斜塔的傾斜問(wèn)題）；從數(shù)學(xué)內(nèi)部看（以往討論的傾斜問(wèn)題）；從數(shù)學(xué)內(nèi)部看（以往討論了直角三角形邊與邊的關(guān)系、角與角的關(guān)了直角三角形邊與邊的關(guān)系、角與角的關(guān)系，邊與角有沒(méi)有確定的關(guān)系？）。系，邊與角有沒(méi)有確定的關(guān)系？）。 定性考察：從直角三角形全等的判定可知，定性考察：從直角三角形全等的判定可知，RtRt中，除直角外，任意給兩個(gè)條件（至中，除直角外，任意給兩個(gè)條件（至少一個(gè)是邊），其余唯一確定。少一個(gè)是邊），其余唯一確定?！岸炕?/p>