高中數(shù)學教案(帶答案)——1.1集合與常用邏輯用語

1、第一章 集合與常用邏輯用語本章知識結構圖互逆互為逆否互逆互否互否等價關系關系原命題：若p，則q逆命題：若q，則p否命題：若p,則q逆否命題：若,則集合集合元素的特征確定性、互異性、無序性集合的分類無限集有限集空集集合間的基本關系子集真子集相等集合間的基本運算交集AB并集ABVenn圖、數(shù)軸充要條件充分不必要條件，必要不充分條件，充分必要條件，既不充分也不必要條件簡易邏輯命題全稱命題與存在性命題全稱量詞：任意；存在量詞：存在復合命題且：pq或：pq非：p一假則假，兩真為真一真便真，兩假為假補集第一節(jié) 集 合考綱解讀1.集合的含義與表示了解集合的含義、元素與集合的關系；能用自然語言、圖形語言和集合

2、語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題2.集合間的基本關系理解集合之間包含與相等的含義能識別給定集合的子集；在具體的情境中，了解全集與空集的含義3.集合的基本運算理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集；理解在給定集合中一個子集的含義，會求給定子集的補集；能使用韋恩(Venn)圖表達集合的關系及運算命題趨勢探究有關集合的高考試題，考查重點是集合與集合之間的關系與運算，考試形式多以一道選擇題為主，分值5分近年來試題加強了對集合計算和化簡能力的考查，并向無限集方向發(fā)展，考查學生的抽象思維能力，在解決這些問題時，要注意運用數(shù)軸法和特殊值法解題，應加強集合表示方法的轉化和化簡的訓

3、練預測2020年以后的高考，將繼續(xù)體現(xiàn)本章知識的工具性作用，多以小題形式出現(xiàn)，也有可能會將其滲透在解答題的表達之中，相對獨立具體估計為：（1）以選擇題或填空題形式出現(xiàn)北京、重慶等地也可能以集合為基礎，綜合其他知識在最后一題的位置出現(xiàn)考查學生的綜合推理能力（2）熱點是集合間的基本運算、數(shù)軸法的應用和體現(xiàn)集合的語言工具作用知識點精講一、集合的有關概念1集合的含義與表示某些指定對象的部分或全體構成一個集合構成集合的元素除了常見的數(shù)、點等數(shù)學對象外，還可以是其他對象2集合元素的特征（1）確定性：集合中的元素必須是確定的，任何一個對象都能明確判斷出它是否為該集合中的元素（2）互異性：集合中任何兩個元素都

4、是互不相同的，即相同元素在同一個集合中不能重復出現(xiàn)（3）無序性：集合與其組成元素的順序無關如3集合的常用表示法集合的常用表示法有列舉法、描述法、圖示法(韋恩圖、數(shù)軸)和區(qū)間法4常用數(shù)集的表示R一實數(shù)集 Q一有理數(shù)集 Z一整數(shù)集 N一自然數(shù)集或一正整數(shù)集 C一復數(shù)集二、集合間的關系1元素與集合之間的關系元素與集合之間的關系包括屬于(記作)和不屬于(記作)兩種空集：不含有任何元素的集合，記作2集合與集合之間的關系（1）包含關系子集：如果對任意，則集合是集合的子集，記為或，顯然規(guī)定：（2）相等關系對于兩個集合與，如果，同時，那么集合與相等，記作（3）真子集關系對于兩個集合與，若，且存在，但，則集合是

5、集合的真子集，記作或空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集三、集合的基本運算集合的基本運算包括集合的交集、并集和補集運算，如表所示表交集AB并集AB補集AI1交集由所有屬于集合且屬于集合的元素組成的集合，叫做與的交集，記作，即2并集由所有屬于集合或屬于集合的元素組成的集合，叫做與的并集，記作，即3補集已知全集，集合，由中所有不屬于的元素組成的集合，叫做集合相對于全集的補集，記作，即四、集合運算中常用的結論1集合中的邏輯關系（1）交集的運算性質， ，（2）并集的運算性質， ，（3）補集的運算性質， ，補充性質：（4）結合律與分配律結合律： 分配律： （5）反演律（德摩根定律） 即“交的補補

6、的并”，“并的補補的交”2由個元素組成的集合的子集個數(shù)的子集有個，非空子集有個，真子集有個，非空真子集有個3容斥原理題型歸納及思路提示題型1 集合的基本概念思路提示：利用集合元素的特征：確定性、無序性、互異性例1.1 設，集合，則（ ）A B C D解析：由題意知，又，故，得，則集合，可得，故選C。變式1 （2012新課標理1）已知集合，則中所含元素的個數(shù)為（ ）A B C D變式2 （2013山東理2）已知集合中元素的個數(shù)為（ ）A B C D變式3 若集合，則 ， 題型2 集合間的基本關系思路提示（1）判斷兩集合的關系常用兩種方法：一是邏輯分析法，即先化筒集合，再從表達式中尋找兩集合的關系

7、；二是用列舉法表示各集合，從元素中尋找關系，這體現(xiàn)了合情推理的思維方法（2）已知兩集合間的關系求參數(shù)時，關鍵是將兩集合間的關系轉化為元素的關系，進而轉化為參數(shù)滿足的關系，解決這類問題常利用數(shù)軸和韋恩圖輔助分析一、集合關系中的判斷問題例1.2 若，則，之間的關系為（ ）A B C D解析：解法一：集合中元素，故集合，而集合中元素，故解法二：列舉，因此，故選C評注：解法一是數(shù)學中“求同比異”的思想，值得學習；解法二是列舉法，易于入手，也是做選擇題的常用方法變式1 設集合，則A B C D例1.3 設.（1）若，試判斷集合與集合的關系；（2）若，求實數(shù)組成的集合.分析：（1）先求集合，再由求集合，確

8、定與的關系.（2）解方程，建立的關系式求，從而確定集合.解析：（1）由得或，所以.若，得，即，所以，故.（2）因為，又.當時，則方程無解，則；當時，則，由，得，所以或，即或故集合.評注：（1）研究集合的子集問題時應首先想到空集，因為空集是任何集合的子集.（2）含參數(shù)的一元一次方程解的確定：當時，方程有唯一實數(shù)解；當時，方程有無數(shù)多個解，可為為任意實數(shù)；當且時，方程無解.變式1 已知集合，集合，若，求實數(shù)的取值范圍.二、已知集合間的關系，求參數(shù)的取值范圍例1.4 （2012大綱全國理2）已知集合，則（ ）A或 B或 C或 D或解析：由，得，故或且，所以或.故選B.變式1 已知集合，若，則實數(shù)的取

9、值范圍是 .變式2 已知集合，且，則實數(shù)的取值范圍是 .變式3 已知集合，若，則的取值范圍是（ ）A B C D三、集合關系中的子集個數(shù)問題例1.5 已知集合，則集合的子集個數(shù)為 .分析：本題應首先確定集合中元素的個數(shù)，再求其子集的個數(shù).解析：集合，共8個元素，則集合的子集的個數(shù)為.例1.6 已知集合，滿足條件的集合的個數(shù)為（ ）A B C D解析：由且，得集合是集合與集合的任一子集的并集，即求集合的子集的個數(shù)為，故選D.變式1 已知集合滿足，求集合的個數(shù).題型3 集合的運算思路分析凡是遇到集合的運算（并、交、補）問題，應注意對集合元素屬性的理解，數(shù)軸和韋恩圖是集合交、并、補運算的有力工具，數(shù)

10、形結合是解集合運算問題的常用思想.一、集合元素屬性的理解例1.7 已知集合，則（ ）A B C D分析：在進行集合運算之前，首先要識別集合，即認清集合中元素的屬性，判斷、是數(shù)集還是點集，是數(shù)集要化簡集合，是點集要解方程組.在本題中，集合代表元素是因變量，故是函數(shù)的值域（數(shù)集）；集合的代表元素是自變量，故是函數(shù)的定義域（數(shù)集）.解析：，即，所以，故選C.評注：幾量遇到集合的運算（交、并、補）問題，應注意對集合元素屬性的識別，如集合是函數(shù)的值域，是數(shù)集，求出值域可以使之簡化；集合是點集，表示函數(shù)圖像上所有點的集合.再如集合，可以理解為單位圓上點的縱坐標的取值集合，表示的是數(shù)集；表示的是曲線，即拋的

11、線上所有點構成的集合，它表示的是點集，故有.另如，則有，而易錯為.變式1 集合，則（ ）.A B C D變式2 已知集合，則集合 .變式3 設全集，集合，那么（ ）A B C D變式4 已知集合，若，求實數(shù)的取值范圍.二、數(shù)軸在集合運算中的應用例1.8 設集合，則的取值范圍是（ ）A B C D分析：借助數(shù)軸表示集合和集合，根據(jù)集合的關系，求解參數(shù)的取值范圍.解析：因為，集合，在數(shù)軸上的表示如圖1-1所示.因為，所以，可得.故選A. 圖11變式1 （2012天津理11）已知集合，集合，且，則 ， .變式2 已知全集，集合，那么集合（ ）. A. B. C. D.變式3 已知集合，則集合（ ）.

12、A B C D三、韋恩圖在集合運算中的應用例1.9 設為全集，是兩個非空集合，定義與的差集，則（ ）.A B C D分析：本題可利用題中所給定義表示從集合中去掉屬于集合的元素解題.解析：當時，根據(jù)題意利用韋恩圖解題，如圖1-2所示，.當時，.綜上，.故選B.評注：凡是遇到抽象的集合運算題嘗試利用韋恩圖求解.本題也可用舉例法求解，比如，根據(jù)定義得出所求集合為空集.故選B.變式1 設全集，則（ ）.A B C D變式2 某班級共有30人，其中15人喜愛籃球，8人喜愛足球，兩項都不喜愛的有8人，則喜愛籃球但不喜愛足球的有 人例1.10 如圖1-3所示，是全集，是它的子集，則陰影部分所表示的集合是（

13、）A B C D分析：本題考查對利用韋恩圖表述集合關系的理解.解析：圖1-3中的陰影部分為與的公共部分，即中去掉屬于的那部分元素后剩余元素組成的集合，即，故選B.對于韋恩圖表述的集合應做如下理解：陰影部分涉及到誰就交誰，涉及不到誰就交其補集如圖1-4所示分別表示：（a）；（b）；(c) 或.變式1 已知為集合的非空子集，且不相等，若，則（ ）A B C D四、以集合為載體的創(chuàng)新題例1.11 設是整數(shù)集的一個非空子集，對于，如果且，那么稱是的一個孤立元，給定，由的3個元素組成的所有集合中，不含孤立元的集合共有 個.解析：由孤立元的定義，若不是的孤立元，應滿足或，即集合中元素連續(xù)，故滿足的3個元素

14、構成的不含孤立元的集合分別為、和，共6個.評注：由的3元素組成的集合中，含有一個孤立元的集合有30個，含有3個孤立元的集合有20個.變式1 設是整數(shù)集的非空子集，如果，有，則稱關于數(shù)的乘法是封閉的，若是的兩個不相交的非空子集，且，有，有，則下列結論恒成立的是（ ）A.中至少有一個關于乘法是封閉 B.中至多有一個關于乘法是封閉C.中有且只有一個關于乘法是封閉 D.中每一個關于乘法是封閉變式2 已知集合，其中，由中的元素構成兩個相應的集合，其中是有序數(shù)對，集合和中的元素個數(shù)分別為和.若對于任意的，總有，則稱集合具有性質.（1）檢驗集合與是否具有性質，并對具有性質的集合，寫出相應的集合和；（2）對任

15、何具有性質的集合，證明：.變式3 （2012江蘇23）變式3設集合，記為同時滿足下列條件的集合的個數(shù).； 若，則； 若，則.(1)求；(2)求的解析式(用表示).最有效訓練題1（限時45分鐘）1設集合，則等于（ ）A B C D2若，則（ ）A B C D3設全集.集合，那么如圖1-5所示的陰影部分表示的集合是（ ）A B C DA BU圖 154已知全集，集合，并且，那么的取值范圍是（ ）A B C D5設集合.若，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A B C D6設全集,，那么的充要條件是（ ）A且 B且 C且 D且7設集合，則實數(shù) .8已知集合滿足條件：當時，總有（且）.已知，則集合中所有元素的積

16、等于 .9已知集合滿足，且.若，則的取值范圍是 .10已知集合.若，則實數(shù)的取值范圍是 .11已知集合，若對任意的，求證：.12已知集合，對于中的一個子集，若存在不大于的正整數(shù)數(shù)，使得對中的任意一對元素，都有，則稱具有性質.（1）當時，試判斷集合和是否具有性質？請說明理由.（2）若集合具有性質，那么集合是否一定具有性質？請說明理由.參考答案第一章 集合與常用邏輯用語例1.1變式1解析：利用集合的概念及其表示求解，注意元素的特性。因為B=x,yxA,yA,x-yA,A=1,2,3,4,5 ,所以x=2,y=1;x=3,y=1,2;x=4,y=1,2,3;x=5,y=1,2,3,即B=2,1,3,

17、1,3,2,4,1,4,2,4,3,5,1,5,2,5,3,(5,4),B中所含元素的個數(shù)為10.故選D例1.1變式2解析：逐個列舉可得，x=0,y=0,1,2時，x-y=0,-1,-2;x=1,y=0,1,2時，x-y=1,0,-1;x=2,y=0,1,2時，x-y=2,1,0根據(jù)集合中元素的互異性可知集合B中元素為-2,-1,0,1,2,共5個，故選C例1.1變式3解析：依題意xy>0得x0,故lgxy=0,即xy=1，因此x,1,0=0,x,y若x=x,則x0,又x0,故x>0,y=1因此x=y=1與題意不符；若x=y,則x=1y=1或x=-1y=-1 ,顯然x=1且y=1與

18、題意不符,故x=y=-1，此時滿足題意。例1.2變式1解析 集合M中的元素x=k2+14=2k+14 ,kZ，分子為奇數(shù)；集合N中的元素x=k+24,kZ，分子為整數(shù)，則M N，故選B.例1.3變式1解析 由A=x|x2-3x-100，得A=x|-2x5，若BA則 （1）當B=，即P+1>2P-1時，解得P<2 （2）當B時，如圖1-9所示，由BA，得-2P+12P-15，得2P3綜上所述，實數(shù)P的取值范圍是(-,3評注：由BA，勿忘B=（空集是任何集合的子集）例1.4變式1解析 由AB,如圖1-10所示得a6，故實數(shù)a的取值范圍是6,+)評注 端點值的判斷通常是初學者的難題，我們

19、可用假設法幫助判斷，即假設參數(shù)取端點后，與已知吻合，假設成立；若與已知不吻合，則假設不成立。例1.4變式2解析 如圖1-11所示，A為(-,1，B為a,+)，要使AB=R，只需a1，故實數(shù)a的取值范圍是(-,1例1.4變式3解析 由PM=P，得MP，則a-1,1，故選C.例1.6變式1解析 由1,2Mx|x10,xN知，集合M是集合3,4,5,6,7,8,9,10的任一非空子集與集合1,2的并集，所以集合M的個數(shù)為28-1=255評注求有限集的子集個數(shù)問題，有以下結論：結論1 ：含有n個元素的集合A=a1,a2,an的子集個數(shù)為2n,真子集個數(shù)為2n-1，非空子集個數(shù)為2n-1，非空真子集個數(shù)

20、為2n-2 (nN)結論2設m,nN , m<n ,B=a1,a2,an，則有，滿足a1,a2,amAa1,a2,an的集合A的個數(shù)是2n-m滿足a1,a2,amAa1,a2,an的集合A的個數(shù)是2n-m-1滿足a1,a2,amAa1,a2,an的集合A的個數(shù)是2n-m-1滿足a1,a2,amAa1,a2,an的集合A的個數(shù)是2n-m-2例1.7變式1分析 本題考查集合的概念與運算。解析 先化簡再求交集，由已知得P=0,1,2,M=x|-3x3，故PM=0,1,2x-3x3=0,1,2，故選B評注：本題若忽視集合P中元素的屬性，易誤將集合P等同于集合x|0x<3例1.7變式2解析

21、x+3+|x-4|9，利用零點分段法解絕對值不等式。當x<-3時，-x-3-x-49即-4x<-3;當-3x4時,x+3-(x-4)9即79,恒成立；當x>4時,x+3+x-49,即4<x5,綜上所述,A=x|-4x5又因為y=4x+1x-6, x(0,+)，由基本不等式得y24x1x-6=-2,當x=12時取"="，所以B=y|y-2，故AB=x|-2x5例1.7變式3解析 解法一：M表示直線y=x+1上除去點（2,3）的部分，CIM表示點（2,3）和除去直線y=x+1的部分，CIN表示直線y=x+1上的點集，所以(CIM)(CIN)表示的點集中僅

22、有點（2,3），即（2,3）。解法二 ：CIMCIN=CIMN=2，3，故選B例1.7變式4分析本題的幾何背景是：拋物線y=x2+mx+2與線段y=x+1,(0x2)有公共點，求實數(shù)m的取值范圍。解析 解法一 ：問題等價于方程組y=x2+mx+2y=x+1 在0,2上有解，即x2+m-1x+1=0在0,2上有解，令fx=x2+m-1x+1，則由f0=1知，拋物線y=f(x)過點(0,1),所以拋物線y=f(x)在0,2上與x軸有交點等價于f2=22+2m-1+10 或4-m-1240 01-m22 f2=22+2m-1+10 由得m-32，由得 -32<m-1所以實數(shù)m的取值范圍為(-,

23、-1解法二：同解法一，問題等價于方程x2+m-1x+1=0在0,2上有解，故可以轉化為函數(shù)值域問題。x2+m-1x+1=0等價轉化為1-mx=x2+1，當x=0時，方程不成立；當x0時，方程轉化為1-m=x2+1x；當x(0,2時，函數(shù)fx=x2+1x=x+1x2,+)，即當1-m2,+)時原方程有解，由1-m2m-1，即所求實數(shù)的取值范圍為(-,-1.例1.8變式1解析 先求出集合A，再根據(jù)集合的交集運算求解。 因為A=x-5<x<1,B=xx-mx-2<0,，當m2時，AB=不符合題意，所以m<2，即B=x|m<x<2，又AB=x|-1<x<

24、n，所以m=-1,n=1.例1.8變式2解析 CUB=x-1x4,ACUB=x|-1x3,故選D例1.8變式3解析 解法一：M=x-3<x<1,N=x|x-3,所以MN=x|x<1,得xx<1=CR(MN).解法二：M=x-3<x<1,CRM=xx1或x-3,N=xx-3,CRN=xx>-3,CRMCRN=xx1,根據(jù)反演律得CRMCRN=CR(MN). 故選D例1.9變式1解析 由MCUN=2,4可得集合N中不含元素2,4，由排除法可知選項B正確，故選B.例1.9變式2分析 本題中的集合關系比較抽象，可以考慮使用韋恩圖求解。解析作出韋恩圖，如圖1-1

25、2所示，設所求為x人，則喜愛籃球又喜愛足球的有15-x人，喜愛足球不喜愛籃球的有8-15-x=x-7人，故有x+15-x+x-7+8=30,即x=14.例1.10變式1解析 如圖1-13所示，因為NCIM=，所以NM，所以MN=M，故選A 例1.11變式1解析 由于TV=Z，故整數(shù)1一定在T,V兩個集合中的一個中，不妨設1T，則a,bT，由于1,a,bT，則ab1T，即abT，從而T對乘法封閉；另一方面，當T=非負整數(shù)，V=負整數(shù)時，T關于乘法封閉，V關于乘法不封閉，故D不對，當T=奇數(shù)，V=偶數(shù)時，T,V顯然關于乘法都是封閉的，故B,C不對，故選A例1.11變式2解析 （1）因為00,1,2

26、,3,-00,1,2,3，故集合0,1,2,3不具有性質P，集合-1,2,3具有性質P，其相應的集合S和T是S=-1,3,3,-1, T=2,-1,2,3.（2）首先，由A中元素構成的有序數(shù)對(ai ,aj) 共有k2個，因為0A，所以ai,aiT i=1,2,k,又因為aA時，-aA ，所以當ai,ajT時，aj,aiT (i,j=1,2,k,ij)，從而集合T中元素的個數(shù)最多為Ck2=k(k-1)2,即nk(k-1)2 .例1.11變式3解析（1）當n=4時，Pn=1,2,3,4，滿足條件的集合A有1,4,1,3,4,2,2,3.。所以f4=4 .（2）解法一：任取偶數(shù)xPn，則必有奇數(shù)p

27、Pn，使得x=p22 ,qN。若pA，則2pA,4pA,8pA,，即xAq為偶數(shù)，xAq為奇數(shù)；若pA，則2pA,4pA,8pA，即xAq為奇數(shù)，xAq為偶數(shù)。所以，任意偶數(shù)xPn ,x=p2q,x是否屬于集合A，完全由奇數(shù)p(pPn) 確定。設集合Qn是由集合Pn中所有奇數(shù)組成的集合，則f(n)等于集合Qn的子集個數(shù)，即fn=2n+12 ,n為奇數(shù)2n2，n為偶數(shù) 。解法二：易得f1=2,f2=2 ,當n2 且n為奇數(shù)時，集合Pn-1中滿足條件的集合A有f(n-1)個,對于集合Pn，考慮元素n，因為n為奇數(shù)，所以nA或nA均可，故fn=2f(n-1).即f3=2f1,f5=2f3,fn=2f

28、(n-1)，疊乘得fn=2n-12f1=2n+12 .當n2且n為偶數(shù)時，集合Pn-1中滿足條件的集合A有f(n-1)個。對于集合Pn，考慮元素n，因為n為偶數(shù)，所以nAn2A,nAn2A，即n是否屬于集合A,完全由n2確定。而集合Pn-1中，對于每一個滿足條件的集合A，元素n2是否屬于集合A均是確定的，故fn=fn-1,又n-1為奇數(shù)，所以fn=fn-1=2n-1+12=2n2綜上，fn=2n+12 ,n為奇數(shù)2n2 ,n為偶數(shù) .評注：數(shù)列的核心是遞推，先從特殊的幾個數(shù)（n=1,2,3，.）入手，關鍵在于發(fā)現(xiàn)f(n)與f(n-1)的關系，從而發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，再給予證明。遞推法是處理數(shù)列問題（

29、乃至大學學習計算機等方面）的“殺手锏”，請讀者深思體會，并能靈活運用。最有效訓練題11.D 解析 因為M=xx2+x-6<0=x-3<x<2,N=x|1x3，所以MN=x|1x<2，故選D.2.B 解析 因為A=xy=4-x2=x-2x2 ,B=yy=x2+1=y|y1 ，所以AB=1,2，故選B3.A 解析 陰影部分所表示的集合為CU(AB)，而AB=1，2，4，5，7，8，故CUAB=3,6，故選A.4.C 解析 因為M=xx<2=x-2<x<2,CIP=xxa,MCIP，如圖1-14所示，利用數(shù)軸可得a2.故選C.5. C 解析 由x-a<

30、1得-1<x-a<1，即a-1<x<a+1，如圖1-15所示，由圖可知a+11或a-15，所以a0或a6，故選C6. D 解析 因為PA，所以m<-1，又CUB=x,yx+y-n<0,PCUB，所以n>5.故選D7. -1 解析 3B ，所以a+2=3或a2+2=3 .若a+2=3, 得a=1，此時a+2=a2+2，不滿足集合元素的互異性，故舍去.若a2+2=3 得a=1或a=-1，同樣a=1舍去，當a=-1時，B=1,3,AB=3，滿足題意，所以a=-1.8.1 解析 依題意 2A ，所以-12+1=-13A,從而-1-13+1=-32A ,-1- 32+1=2A,故A中只有2，-13，-32三個元素，它們的積為2×-13×-32=1 .9.(2,4解析 由CUAB=,，得BA,又B，則m+1-2且2m-17 且2m-1>m+1，解得2<m4，所以m的取值范圍是(2,4 .