高中數(shù)學(xué)教案(帶答案)——1.1集合與常用邏輯用語(yǔ)

1、第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ)本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖互逆互為逆否互逆互否互否等價(jià)關(guān)系關(guān)系原命題：若p，則q逆命題：若q，則p否命題：若p,則q逆否命題：若,則集合集合元素的特征確定性、互異性、無(wú)序性集合的分類無(wú)限集有限集空集集合間的基本關(guān)系子集真子集相等集合間的基本運(yùn)算交集AB并集ABVenn圖、數(shù)軸充要條件充分不必要條件，必要不充分條件，充分必要條件，既不充分也不必要條件簡(jiǎn)易邏輯命題全稱命題與存在性命題全稱量詞：任意；存在量詞：存在復(fù)合命題且：pq或：pq非：p一假則假，兩真為真一真便真，兩假為假補(bǔ)集第一節(jié) 集 合考綱解讀1.集合的含義與表示了解集合的含義、元素與集合的關(guān)系；能用自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和集合

2、語(yǔ)言(列舉法或描述法)描述不同的具體問(wèn)題2.集合間的基本關(guān)系理解集合之間包含與相等的含義能識(shí)別給定集合的子集；在具體的情境中，了解全集與空集的含義3.集合的基本運(yùn)算理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集與交集；理解在給定集合中一個(gè)子集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集；能使用韋恩(Venn)圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算命題趨勢(shì)探究有關(guān)集合的高考試題，考查重點(diǎn)是集合與集合之間的關(guān)系與運(yùn)算，考試形式多以一道選擇題為主，分值5分近年來(lái)試題加強(qiáng)了對(duì)集合計(jì)算和化簡(jiǎn)能力的考查，并向無(wú)限集方向發(fā)展，考查學(xué)生的抽象思維能力，在解決這些問(wèn)題時(shí)，要注意運(yùn)用數(shù)軸法和特殊值法解題，應(yīng)加強(qiáng)集合表示方法的轉(zhuǎn)化和化簡(jiǎn)的訓(xùn)

3、練預(yù)測(cè)2020年以后的高考，將繼續(xù)體現(xiàn)本章知識(shí)的工具性作用，多以小題形式出現(xiàn)，也有可能會(huì)將其滲透在解答題的表達(dá)之中，相對(duì)獨(dú)立具體估計(jì)為：（1）以選擇題或填空題形式出現(xiàn)北京、重慶等地也可能以集合為基礎(chǔ)，綜合其他知識(shí)在最后一題的位置出現(xiàn)考查學(xué)生的綜合推理能力（2）熱點(diǎn)是集合間的基本運(yùn)算、數(shù)軸法的應(yīng)用和體現(xiàn)集合的語(yǔ)言工具作用知識(shí)點(diǎn)精講一、集合的有關(guān)概念1集合的含義與表示某些指定對(duì)象的部分或全體構(gòu)成一個(gè)集合構(gòu)成集合的元素除了常見的數(shù)、點(diǎn)等數(shù)學(xué)對(duì)象外，還可以是其他對(duì)象2集合元素的特征（1）確定性：集合中的元素必須是確定的，任何一個(gè)對(duì)象都能明確判斷出它是否為該集合中的元素（2）互異性：集合中任何兩個(gè)元素都

4、是互不相同的，即相同元素在同一個(gè)集合中不能重復(fù)出現(xiàn)（3）無(wú)序性：集合與其組成元素的順序無(wú)關(guān)如3集合的常用表示法集合的常用表示法有列舉法、描述法、圖示法(韋恩圖、數(shù)軸)和區(qū)間法4常用數(shù)集的表示R一實(shí)數(shù)集 Q一有理數(shù)集 Z一整數(shù)集 N一自然數(shù)集或一正整數(shù)集 C一復(fù)數(shù)集二、集合間的關(guān)系1元素與集合之間的關(guān)系元素與集合之間的關(guān)系包括屬于(記作)和不屬于(記作)兩種空集：不含有任何元素的集合，記作2集合與集合之間的關(guān)系（1）包含關(guān)系子集：如果對(duì)任意，則集合是集合的子集，記為或，顯然規(guī)定：（2）相等關(guān)系對(duì)于兩個(gè)集合與，如果，同時(shí)，那么集合與相等，記作（3）真子集關(guān)系對(duì)于兩個(gè)集合與，若，且存在，但，則集合是

5、集合的真子集，記作或空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集三、集合的基本運(yùn)算集合的基本運(yùn)算包括集合的交集、并集和補(bǔ)集運(yùn)算，如表所示表交集AB并集AB補(bǔ)集AI1交集由所有屬于集合且屬于集合的元素組成的集合，叫做與的交集，記作，即2并集由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合，叫做與的并集，記作，即3補(bǔ)集已知全集，集合，由中所有不屬于的元素組成的集合，叫做集合相對(duì)于全集的補(bǔ)集，記作，即四、集合運(yùn)算中常用的結(jié)論1集合中的邏輯關(guān)系（1）交集的運(yùn)算性質(zhì)， ，（2）并集的運(yùn)算性質(zhì)， ，（3）補(bǔ)集的運(yùn)算性質(zhì)， ，補(bǔ)充性質(zhì)：（4）結(jié)合律與分配律結(jié)合律： 分配律： （5）反演律（德摩根定律） 即“交的補(bǔ)補(bǔ)

6、的并”，“并的補(bǔ)補(bǔ)的交”2由個(gè)元素組成的集合的子集個(gè)數(shù)的子集有個(gè)，非空子集有個(gè)，真子集有個(gè)，非空真子集有個(gè)3容斥原理題型歸納及思路提示題型1 集合的基本概念思路提示：利用集合元素的特征：確定性、無(wú)序性、互異性例1.1 設(shè)，集合，則（ ）A B C D解析：由題意知，又，故，得，則集合，可得，故選C。變式1 （2012新課標(biāo)理1）已知集合，則中所含元素的個(gè)數(shù)為（ ）A B C D變式2 （2013山東理2）已知集合中元素的個(gè)數(shù)為（ ）A B C D變式3 若集合，則 ， 題型2 集合間的基本關(guān)系思路提示（1）判斷兩集合的關(guān)系常用兩種方法：一是邏輯分析法，即先化筒集合，再?gòu)谋磉_(dá)式中尋找兩集合的關(guān)系

7、；二是用列舉法表示各集合，從元素中尋找關(guān)系，這體現(xiàn)了合情推理的思維方法（2）已知兩集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系，解決這類問(wèn)題常利用數(shù)軸和韋恩圖輔助分析一、集合關(guān)系中的判斷問(wèn)題例1.2 若，則，之間的關(guān)系為（ ）A B C D解析：解法一：集合中元素，故集合，而集合中元素，故解法二：列舉，因此，故選C評(píng)注：解法一是數(shù)學(xué)中“求同比異”的思想，值得學(xué)習(xí)；解法二是列舉法，易于入手，也是做選擇題的常用方法變式1 設(shè)集合，則A B C D例1.3 設(shè).（1）若，試判斷集合與集合的關(guān)系；（2）若，求實(shí)數(shù)組成的集合.分析：（1）先求集合，再由求集合，確

8、定與的關(guān)系.（2）解方程，建立的關(guān)系式求，從而確定集合.解析：（1）由得或，所以.若，得，即，所以，故.（2）因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，則方程無(wú)解，則；當(dāng)時(shí)，則，由，得，所以或，即或故集合.評(píng)注：（1）研究集合的子集問(wèn)題時(shí)應(yīng)首先想到空集，因?yàn)榭占侨魏渭系淖蛹?（2）含參數(shù)的一元一次方程解的確定：當(dāng)時(shí)，方程有唯一實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，方程有無(wú)數(shù)多個(gè)解，可為為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)且時(shí)，方程無(wú)解.變式1 已知集合，集合，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.二、已知集合間的關(guān)系，求參數(shù)的取值范圍例1.4 （2012大綱全國(guó)理2）已知集合，則（ ）A或 B或 C或 D或解析：由，得，故或且，所以或.故選B.變式1 已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取

9、值范圍是 .變式2 已知集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .變式3 已知集合，若，則的取值范圍是（ ）A B C D三、集合關(guān)系中的子集個(gè)數(shù)問(wèn)題例1.5 已知集合，則集合的子集個(gè)數(shù)為 .分析：本題應(yīng)首先確定集合中元素的個(gè)數(shù)，再求其子集的個(gè)數(shù).解析：集合，共8個(gè)元素，則集合的子集的個(gè)數(shù)為.例1.6 已知集合，滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為（ ）A B C D解析：由且，得集合是集合與集合的任一子集的并集，即求集合的子集的個(gè)數(shù)為，故選D.變式1 已知集合滿足，求集合的個(gè)數(shù).題型3 集合的運(yùn)算思路分析凡是遇到集合的運(yùn)算（并、交、補(bǔ)）問(wèn)題，應(yīng)注意對(duì)集合元素屬性的理解，數(shù)軸和韋恩圖是集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算的有力工具，數(shù)

10、形結(jié)合是解集合運(yùn)算問(wèn)題的常用思想.一、集合元素屬性的理解例1.7 已知集合，則（ ）A B C D分析：在進(jìn)行集合運(yùn)算之前，首先要識(shí)別集合，即認(rèn)清集合中元素的屬性，判斷、是數(shù)集還是點(diǎn)集，是數(shù)集要化簡(jiǎn)集合，是點(diǎn)集要解方程組.在本題中，集合代表元素是因變量，故是函數(shù)的值域（數(shù)集）；集合的代表元素是自變量，故是函數(shù)的定義域（數(shù)集）.解析：，即，所以，故選C.評(píng)注：幾量遇到集合的運(yùn)算（交、并、補(bǔ)）問(wèn)題，應(yīng)注意對(duì)集合元素屬性的識(shí)別，如集合是函數(shù)的值域，是數(shù)集，求出值域可以使之簡(jiǎn)化；集合是點(diǎn)集，表示函數(shù)圖像上所有點(diǎn)的集合.再如集合，可以理解為單位圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值集合，表示的是數(shù)集；表示的是曲線，即拋的

11、線上所有點(diǎn)構(gòu)成的集合，它表示的是點(diǎn)集，故有.另如，則有，而易錯(cuò)為.變式1 集合，則（ ）.A B C D變式2 已知集合，則集合 .變式3 設(shè)全集，集合，那么（ ）A B C D變式4 已知集合，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.二、數(shù)軸在集合運(yùn)算中的應(yīng)用例1.8 設(shè)集合，則的取值范圍是（ ）A B C D分析：借助數(shù)軸表示集合和集合，根據(jù)集合的關(guān)系，求解參數(shù)的取值范圍.解析：因?yàn)椋?，在?shù)軸上的表示如圖1-1所示.因?yàn)?，所以，可?故選A. 圖11變式1 （2012天津理11）已知集合，集合，且，則 ， .變式2 已知全集，集合，那么集合（ ）. A. B. C. D.變式3 已知集合，則集合（ ）.

12、A B C D三、韋恩圖在集合運(yùn)算中的應(yīng)用例1.9 設(shè)為全集，是兩個(gè)非空集合，定義與的差集，則（ ）.A B C D分析：本題可利用題中所給定義表示從集合中去掉屬于集合的元素解題.解析：當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意利用韋恩圖解題，如圖1-2所示，.當(dāng)時(shí)，.綜上，.故選B.評(píng)注：凡是遇到抽象的集合運(yùn)算題嘗試?yán)庙f恩圖求解.本題也可用舉例法求解，比如，根據(jù)定義得出所求集合為空集.故選B.變式1 設(shè)全集，則（ ）.A B C D變式2 某班級(jí)共有30人，其中15人喜愛籃球，8人喜愛足球，兩項(xiàng)都不喜愛的有8人，則喜愛籃球但不喜愛足球的有 人例1.10 如圖1-3所示，是全集，是它的子集，則陰影部分所表示的集合是（

13、）A B C D分析：本題考查對(duì)利用韋恩圖表述集合關(guān)系的理解.解析：圖1-3中的陰影部分為與的公共部分，即中去掉屬于的那部分元素后剩余元素組成的集合，即，故選B.對(duì)于韋恩圖表述的集合應(yīng)做如下理解：陰影部分涉及到誰(shuí)就交誰(shuí)，涉及不到誰(shuí)就交其補(bǔ)集如圖1-4所示分別表示：（a）；（b）；(c) 或.變式1 已知為集合的非空子集，且不相等，若，則（ ）A B C D四、以集合為載體的創(chuàng)新題例1.11 設(shè)是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對(duì)于，如果且，那么稱是的一個(gè)孤立元，給定，由的3個(gè)元素組成的所有集合中，不含孤立元的集合共有 個(gè).解析：由孤立元的定義，若不是的孤立元，應(yīng)滿足或，即集合中元素連續(xù)，故滿足的3個(gè)元素

14、構(gòu)成的不含孤立元的集合分別為、和，共6個(gè).評(píng)注：由的3元素組成的集合中，含有一個(gè)孤立元的集合有30個(gè)，含有3個(gè)孤立元的集合有20個(gè).變式1 設(shè)是整數(shù)集的非空子集，如果，有，則稱關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的，若是的兩個(gè)不相交的非空子集，且，有，有，則下列結(jié)論恒成立的是（ ）A.中至少有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉 B.中至多有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉C.中有且只有一個(gè)關(guān)于乘法是封閉 D.中每一個(gè)關(guān)于乘法是封閉變式2 已知集合，其中，由中的元素構(gòu)成兩個(gè)相應(yīng)的集合，其中是有序數(shù)對(duì)，集合和中的元素個(gè)數(shù)分別為和.若對(duì)于任意的，總有，則稱集合具有性質(zhì).（1）檢驗(yàn)集合與是否具有性質(zhì)，并對(duì)具有性質(zhì)的集合，寫出相應(yīng)的集合和；（2）對(duì)任

15、何具有性質(zhì)的集合，證明：.變式3 （2012江蘇23）變式3設(shè)集合，記為同時(shí)滿足下列條件的集合的個(gè)數(shù).； 若，則； 若，則.(1)求；(2)求的解析式(用表示).最有效訓(xùn)練題1（限時(shí)45分鐘）1設(shè)集合，則等于（ ）A B C D2若，則（ ）A B C D3設(shè)全集.集合，那么如圖1-5所示的陰影部分表示的集合是（ ）A B C DA BU圖 154已知全集，集合，并且，那么的取值范圍是（ ）A B C D5設(shè)集合.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）A B C D6設(shè)全集,，那么的充要條件是（ ）A且 B且 C且 D且7設(shè)集合，則實(shí)數(shù) .8已知集合滿足條件：當(dāng)時(shí)，總有（且）.已知，則集合中所有元素的積

16、等于 .9已知集合滿足，且.若，則的取值范圍是 .10已知集合.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .11已知集合，若對(duì)任意的，求證：.12已知集合，對(duì)于中的一個(gè)子集，若存在不大于的正整數(shù)數(shù)，使得對(duì)中的任意一對(duì)元素，都有，則稱具有性質(zhì).（1）當(dāng)時(shí)，試判斷集合和是否具有性質(zhì)？請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）若集合具有性質(zhì)，那么集合是否一定具有性質(zhì)？請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ)例1.1變式1解析：利用集合的概念及其表示求解，注意元素的特性。因?yàn)锽=x,yxA,yA,x-yA,A=1,2,3,4,5 ,所以x=2,y=1;x=3,y=1,2;x=4,y=1,2,3;x=5,y=1,2,3,即B=2,1,3,

17、1,3,2,4,1,4,2,4,3,5,1,5,2,5,3,(5,4),B中所含元素的個(gè)數(shù)為10.故選D例1.1變式2解析：逐個(gè)列舉可得，x=0,y=0,1,2時(shí)，x-y=0,-1,-2;x=1,y=0,1,2時(shí)，x-y=1,0,-1;x=2,y=0,1,2時(shí)，x-y=2,1,0根據(jù)集合中元素的互異性可知集合B中元素為-2,-1,0,1,2,共5個(gè)，故選C例1.1變式3解析：依題意xy>0得x0,故lgxy=0,即xy=1，因此x,1,0=0,x,y若x=x,則x0,又x0,故x>0,y=1因此x=y=1與題意不符；若x=y,則x=1y=1或x=-1y=-1 ,顯然x=1且y=1與

18、題意不符,故x=y=-1，此時(shí)滿足題意。例1.2變式1解析 集合M中的元素x=k2+14=2k+14 ,kZ，分子為奇數(shù)；集合N中的元素x=k+24,kZ，分子為整數(shù)，則M N，故選B.例1.3變式1解析 由A=x|x2-3x-100，得A=x|-2x5，若BA則 （1）當(dāng)B=，即P+1>2P-1時(shí)，解得P<2 （2）當(dāng)B時(shí)，如圖1-9所示，由BA，得-2P+12P-15，得2P3綜上所述，實(shí)數(shù)P的取值范圍是(-,3評(píng)注：由BA，勿忘B=（空集是任何集合的子集）例1.4變式1解析 由AB,如圖1-10所示得a6，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是6,+)評(píng)注 端點(diǎn)值的判斷通常是初學(xué)者的難題，我們

19、可用假設(shè)法幫助判斷，即假設(shè)參數(shù)取端點(diǎn)后，與已知吻合，假設(shè)成立；若與已知不吻合，則假設(shè)不成立。例1.4變式2解析 如圖1-11所示，A為(-,1，B為a,+)，要使AB=R，只需a1，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-,1例1.4變式3解析 由PM=P，得MP，則a-1,1，故選C.例1.6變式1解析 由1,2Mx|x10,xN知，集合M是集合3,4,5,6,7,8,9,10的任一非空子集與集合1,2的并集，所以集合M的個(gè)數(shù)為28-1=255評(píng)注求有限集的子集個(gè)數(shù)問(wèn)題，有以下結(jié)論：結(jié)論1 ：含有n個(gè)元素的集合A=a1,a2,an的子集個(gè)數(shù)為2n,真子集個(gè)數(shù)為2n-1，非空子集個(gè)數(shù)為2n-1，非空真子集個(gè)數(shù)

20、為2n-2 (nN)結(jié)論2設(shè)m,nN , m<n ,B=a1,a2,an，則有，滿足a1,a2,amAa1,a2,an的集合A的個(gè)數(shù)是2n-m滿足a1,a2,amAa1,a2,an的集合A的個(gè)數(shù)是2n-m-1滿足a1,a2,amAa1,a2,an的集合A的個(gè)數(shù)是2n-m-1滿足a1,a2,amAa1,a2,an的集合A的個(gè)數(shù)是2n-m-2例1.7變式1分析 本題考查集合的概念與運(yùn)算。解析 先化簡(jiǎn)再求交集，由已知得P=0,1,2,M=x|-3x3，故PM=0,1,2x-3x3=0,1,2，故選B評(píng)注：本題若忽視集合P中元素的屬性，易誤將集合P等同于集合x|0x<3例1.7變式2解析

21、x+3+|x-4|9，利用零點(diǎn)分段法解絕對(duì)值不等式。當(dāng)x<-3時(shí)，-x-3-x-49即-4x<-3;當(dāng)-3x4時(shí),x+3-(x-4)9即79,恒成立；當(dāng)x>4時(shí),x+3+x-49,即4<x5,綜上所述,A=x|-4x5又因?yàn)閥=4x+1x-6, x(0,+)，由基本不等式得y24x1x-6=-2,當(dāng)x=12時(shí)取"="，所以B=y|y-2，故AB=x|-2x5例1.7變式3解析 解法一：M表示直線y=x+1上除去點(diǎn)（2,3）的部分，CIM表示點(diǎn)（2,3）和除去直線y=x+1的部分，CIN表示直線y=x+1上的點(diǎn)集，所以(CIM)(CIN)表示的點(diǎn)集中僅

22、有點(diǎn)（2,3），即（2,3）。解法二 ：CIMCIN=CIMN=2，3，故選B例1.7變式4分析本題的幾何背景是：拋物線y=x2+mx+2與線段y=x+1,(0x2)有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解析 解法一 ：?jiǎn)栴}等價(jià)于方程組y=x2+mx+2y=x+1 在0,2上有解，即x2+m-1x+1=0在0,2上有解，令fx=x2+m-1x+1，則由f0=1知，拋物線y=f(x)過(guò)點(diǎn)(0,1),所以拋物線y=f(x)在0,2上與x軸有交點(diǎn)等價(jià)于f2=22+2m-1+10 或4-m-1240 01-m22 f2=22+2m-1+10 由得m-32，由得 -32<m-1所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-,

23、-1解法二：同解法一，問(wèn)題等價(jià)于方程x2+m-1x+1=0在0,2上有解，故可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問(wèn)題。x2+m-1x+1=0等價(jià)轉(zhuǎn)化為1-mx=x2+1，當(dāng)x=0時(shí)，方程不成立；當(dāng)x0時(shí)，方程轉(zhuǎn)化為1-m=x2+1x；當(dāng)x(0,2時(shí)，函數(shù)fx=x2+1x=x+1x2,+)，即當(dāng)1-m2,+)時(shí)原方程有解，由1-m2m-1，即所求實(shí)數(shù)的取值范圍為(-,-1.例1.8變式1解析 先求出集合A，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算求解。 因?yàn)锳=x-5<x<1,B=xx-mx-2<0,，當(dāng)m2時(shí)，AB=不符合題意，所以m<2，即B=x|m<x<2，又AB=x|-1<x<

24、n，所以m=-1,n=1.例1.8變式2解析 CUB=x-1x4,ACUB=x|-1x3,故選D例1.8變式3解析 解法一：M=x-3<x<1,N=x|x-3,所以MN=x|x<1,得xx<1=CR(MN).解法二：M=x-3<x<1,CRM=xx1或x-3,N=xx-3,CRN=xx>-3,CRMCRN=xx1,根據(jù)反演律得CRMCRN=CR(MN). 故選D例1.9變式1解析 由MCUN=2,4可得集合N中不含元素2,4，由排除法可知選項(xiàng)B正確，故選B.例1.9變式2分析 本題中的集合關(guān)系比較抽象，可以考慮使用韋恩圖求解。解析作出韋恩圖，如圖1-1

25、2所示，設(shè)所求為x人，則喜愛籃球又喜愛足球的有15-x人，喜愛足球不喜愛籃球的有8-15-x=x-7人，故有x+15-x+x-7+8=30,即x=14.例1.10變式1解析 如圖1-13所示，因?yàn)镹CIM=，所以NM，所以MN=M，故選A 例1.11變式1解析 由于TV=Z，故整數(shù)1一定在T,V兩個(gè)集合中的一個(gè)中，不妨設(shè)1T，則a,bT，由于1,a,bT，則ab1T，即abT，從而T對(duì)乘法封閉；另一方面，當(dāng)T=非負(fù)整數(shù)，V=負(fù)整數(shù)時(shí)，T關(guān)于乘法封閉，V關(guān)于乘法不封閉，故D不對(duì)，當(dāng)T=奇數(shù)，V=偶數(shù)時(shí)，T,V顯然關(guān)于乘法都是封閉的，故B,C不對(duì)，故選A例1.11變式2解析 （1）因?yàn)?0,1,2

26、,3,-00,1,2,3，故集合0,1,2,3不具有性質(zhì)P，集合-1,2,3具有性質(zhì)P，其相應(yīng)的集合S和T是S=-1,3,3,-1, T=2,-1,2,3.（2）首先，由A中元素構(gòu)成的有序數(shù)對(duì)(ai ,aj) 共有k2個(gè)，因?yàn)?A，所以ai,aiT i=1,2,k,又因?yàn)閍A時(shí)，-aA ，所以當(dāng)ai,ajT時(shí)，aj,aiT (i,j=1,2,k,ij)，從而集合T中元素的個(gè)數(shù)最多為Ck2=k(k-1)2,即nk(k-1)2 .例1.11變式3解析（1）當(dāng)n=4時(shí)，Pn=1,2,3,4，滿足條件的集合A有1,4,1,3,4,2,2,3.。所以f4=4 .（2）解法一：任取偶數(shù)xPn，則必有奇數(shù)p

27、Pn，使得x=p22 ,qN。若pA，則2pA,4pA,8pA,，即xAq為偶數(shù)，xAq為奇數(shù)；若pA，則2pA,4pA,8pA，即xAq為奇數(shù)，xAq為偶數(shù)。所以，任意偶數(shù)xPn ,x=p2q,x是否屬于集合A，完全由奇數(shù)p(pPn) 確定。設(shè)集合Qn是由集合Pn中所有奇數(shù)組成的集合，則f(n)等于集合Qn的子集個(gè)數(shù)，即fn=2n+12 ,n為奇數(shù)2n2，n為偶數(shù) 。解法二：易得f1=2,f2=2 ,當(dāng)n2 且n為奇數(shù)時(shí)，集合Pn-1中滿足條件的集合A有f(n-1)個(gè),對(duì)于集合Pn，考慮元素n，因?yàn)閚為奇數(shù)，所以nA或nA均可，故fn=2f(n-1).即f3=2f1,f5=2f3,fn=2f

28、(n-1)，疊乘得fn=2n-12f1=2n+12 .當(dāng)n2且n為偶數(shù)時(shí)，集合Pn-1中滿足條件的集合A有f(n-1)個(gè)。對(duì)于集合Pn，考慮元素n，因?yàn)閚為偶數(shù)，所以nAn2A,nAn2A，即n是否屬于集合A,完全由n2確定。而集合Pn-1中，對(duì)于每一個(gè)滿足條件的集合A，元素n2是否屬于集合A均是確定的，故fn=fn-1,又n-1為奇數(shù)，所以fn=fn-1=2n-1+12=2n2綜上，fn=2n+12 ,n為奇數(shù)2n2 ,n為偶數(shù) .評(píng)注：數(shù)列的核心是遞推，先從特殊的幾個(gè)數(shù)（n=1,2,3，.）入手，關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)f(n)與f(n-1)的關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，再給予證明。遞推法是處理數(shù)列問(wèn)題（

29、乃至大學(xué)學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)等方面）的“殺手锏”，請(qǐng)讀者深思體會(huì)，并能靈活運(yùn)用。最有效訓(xùn)練題11.D 解析 因?yàn)镸=xx2+x-6<0=x-3<x<2,N=x|1x3，所以MN=x|1x<2，故選D.2.B 解析 因?yàn)锳=xy=4-x2=x-2x2 ,B=yy=x2+1=y|y1 ，所以AB=1,2，故選B3.A 解析 陰影部分所表示的集合為CU(AB)，而AB=1，2，4，5，7，8，故CUAB=3,6，故選A.4.C 解析 因?yàn)镸=xx<2=x-2<x<2,CIP=xxa,MCIP，如圖1-14所示，利用數(shù)軸可得a2.故選C.5. C 解析 由x-a<

30、1得-1<x-a<1，即a-1<x<a+1，如圖1-15所示，由圖可知a+11或a-15，所以a0或a6，故選C6. D 解析 因?yàn)镻A，所以m<-1，又CUB=x,yx+y-n<0,PCUB，所以n>5.故選D7. -1 解析 3B ，所以a+2=3或a2+2=3 .若a+2=3, 得a=1，此時(shí)a+2=a2+2，不滿足集合元素的互異性，故舍去.若a2+2=3 得a=1或a=-1，同樣a=1舍去，當(dāng)a=-1時(shí)，B=1,3,AB=3，滿足題意，所以a=-1.8.1 解析 依題意 2A ，所以-12+1=-13A,從而-1-13+1=-32A ,-1- 32+1=2A,故A中只有2，-13，-32三個(gè)元素，它們的積為2×-13×-32=1 .9.(2,4解析 由CUAB=,，得BA,又B，則m+1-2且2m-17 且2m-1>m+1，解得2<m4，所以m的取值范圍是(2,4 .