122第2課時(shí)分段函數(shù)及映射學(xué)案（人教A版必修1）

1、第2課時(shí)分段函數(shù)及映射【課標(biāo)要求】1通過具體實(shí)例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用2了解映射的概念【核心掃描】1分段函數(shù)的圖象及求值(重點(diǎn))2對(duì)映射概念的理解(難點(diǎn))3通過分段函數(shù)的學(xué)習(xí)體會(huì)分類討論的思想.新知導(dǎo)學(xué)1分段函數(shù)如果函數(shù)yf(x)，xA，根據(jù)自變量x在A中不同的取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，則稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù)溫馨提示：分段函數(shù)的定義域是各段上“定義域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集2映射設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射互動(dòng)探究探

2、究點(diǎn)1 “分段函數(shù)是幾個(gè)函數(shù)”這句話正確嗎？提示不正確，分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而非幾個(gè)函數(shù)，只不過在定義域的不同子集上其解析式不同而已探究點(diǎn)2 映射一定是函數(shù)嗎？提示映射是函數(shù)的推廣，而函數(shù)是映射的特殊情況，函數(shù)是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射，對(duì)映射而言，A，B不一定是非空數(shù)集，所以映射不一定是函數(shù)，函數(shù)一定是映射. 類型一分段函數(shù)的求值【例1】 (1)設(shè)函數(shù)f(x)則f(f(3)()A. B3 C. D.(2)(2013·成都高一檢測)已知函數(shù)f(x)若f(x)10，則x_.思路探索 解析(1)當(dāng)x31時(shí)，f(3)1，f(f(3)f21.(2)當(dāng)x0時(shí)，f(x)x2110，x3(舍去

3、3)；當(dāng)x0時(shí)，f(x)2x10，x5.綜上知，x的值為5或3.答案(1)D(2)5或3規(guī)律方法1.分段函數(shù)求值，一定要注意所給自變量的值所在的范圍，代入相應(yīng)的解析式求得若題目含有多層“f”，應(yīng)按“由里到外”的順序?qū)訉犹幚?如果所給變量范圍不明確，計(jì)算時(shí)要采用分類討論的思想【活學(xué)活用1】 (1)已知函數(shù)f(x)則f_；(2)已知函數(shù)f(x)若f(x)2，則x_.解析(1)由于1，所以f2，ff12.(2)若x0，由x12，得x1；若x0，由2，得x±，舍去x，x.綜上可知，x1或x.答案(1)(2)1或類型二分段函數(shù)的圖象與解析式【例2】 (1)(2013·汕頭高一檢測)作

4、f(x)x的圖象(2)如圖，根據(jù)函數(shù)yf(x)的圖象，寫出它的解析式思路探索(1)去絕對(duì)值號(hào)，化簡f(x)的解析式并寫出分段函數(shù)，再逐段畫出圖象(2)根據(jù)圖象列出每一段的解析式，合在一起形成f(x)的解析式解(1)f(x)圖象如圖(2)當(dāng)0x1時(shí)，f(x)2x；當(dāng)1x2時(shí)，f(x)2；當(dāng)x2時(shí)，f(x)3.故f(x)規(guī)律方法1.對(duì)含有絕對(duì)值的函數(shù)，要作出其圖象，首先應(yīng)根據(jù)絕對(duì)值的定義脫去絕對(duì)值符號(hào)，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后分段作出函數(shù)的圖象2由于分段函數(shù)在定義域的不同區(qū)間內(nèi)解析式不同，因此畫圖時(shí)要注意區(qū)間端點(diǎn)處對(duì)應(yīng)點(diǎn)的實(shí)虛問題3根據(jù)分段函數(shù)的圖象求解析式時(shí)，首先求出每一段的解析式，然后寫成分

5、段函數(shù)的形式【活學(xué)活用2】 已知f(x)(1)畫出f(x)的圖象；(2)求f(x)的定義域和值域解(1)利用描點(diǎn)法，作出f(x)的圖象，如圖所示(2)由條件知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.由圖象知，當(dāng)1x1時(shí)，f(x)x2的值域?yàn)?,1，當(dāng)x1或x1時(shí)，f(x)1，所以f(x)的值域?yàn)?,1類型三映射的概念【例3】 判斷下列對(duì)應(yīng)是不是從集合A到集合B的映射：(1)AN*，BN*，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：x|x3|；(2)A平面內(nèi)的圓，B平面內(nèi)的矩形，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：“作圓的內(nèi)接矩形”；(3)A高一(1)班的男生，BR，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：每個(gè)男生對(duì)應(yīng)自己的身高；(4)Ax|0x2，By|0y6，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：xyx.思路

6、探索根據(jù)映射的定義，只要檢驗(yàn)對(duì)A中的任何元素，按對(duì)應(yīng)關(guān)系f，是否在B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)解(1)A中元素3在對(duì)應(yīng)關(guān)系f的作用下與3的差的絕對(duì)值為0，而0B，故不是映射(2)因?yàn)橐粋€(gè)圓有無數(shù)個(gè)內(nèi)接矩形，即集合A中任何一個(gè)元素在集合B中有無數(shù)個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，故不是映射(3)對(duì)A中任何一個(gè)元素，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，符合映射定義，是映射(4)是映射，因?yàn)锳中每一個(gè)元素在f：xyx作用下對(duì)應(yīng)的元素構(gòu)成的集合Cy|0y1B，符合映射定義規(guī)律方法判斷對(duì)應(yīng)f：AB是否是A到B的映射，必須做到幾點(diǎn)：(1)明確集合A，B中的元素(2)根據(jù)映射定義判斷A中每個(gè)元素是否在B中能找到唯一確

7、定的對(duì)應(yīng)元素，可以“一對(duì)一”，也可以“多對(duì)一”，但“一對(duì)多”不是映射【活學(xué)活用3】 判斷下列對(duì)應(yīng)關(guān)系哪些是從集合A到集合B的映射，哪些不是，為什么？(1)AR，B0,1，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：xy(2)AZ，BQ，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：xy；(3)設(shè)A矩形，B實(shí)數(shù)，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：矩形和它的面積對(duì)應(yīng)解(1)對(duì)于集合A中任意一個(gè)非負(fù)數(shù)在集合B中都有唯一元素1與之對(duì)應(yīng)，對(duì)于A中任意一個(gè)負(fù)數(shù)在集合B中都有唯一元素0與之對(duì)應(yīng)，所以這個(gè)對(duì)應(yīng)是映射(2)集合A中的元素0在集合B中沒有元素與之對(duì)應(yīng)，故不是映射(3)對(duì)于每一個(gè)矩形，它的面積是唯一確定的，所以f是從集合A到集合B的映射易錯(cuò)辨析忽略分段函數(shù)各區(qū)間上的范圍致誤【示例】 已

8、知函數(shù)f(x)若f(x)3，求x的值錯(cuò)解由x213，得x±2；由2x13，得x1，故x的值為2，2或1.錯(cuò)因分析要緊扣“分段”的特征，即函數(shù)在定義域的不同部分，有不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系，求值時(shí)不能忽視x的取值范圍正解當(dāng)x0時(shí)，由x213，得x2或x2(舍去)；當(dāng)x<0時(shí)，由2x13，得x1(舍去)，故x2.防范措施(1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)而不是幾個(gè)函數(shù)，處理分段函數(shù)體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的分類討論思想，“分段求解”是解決分段函數(shù)問題的基本原則(2)“對(duì)號(hào)入座”，根據(jù)自變量取值的范圍，準(zhǔn)確確定相應(yīng)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，轉(zhuǎn)化為一般函數(shù)在指定區(qū)間上的問題不能準(zhǔn)確理解分段函數(shù)的概念是導(dǎo)致出錯(cuò)的主要原因課堂達(dá)標(biāo)1下列

9、對(duì)應(yīng)不是映射的是()解析結(jié)合映射的定義可知A、B、C均滿足M中任意一個(gè)數(shù)x，在N中有唯一確定的y與之對(duì)應(yīng)，而D中元素1在N中有a，b兩個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，故不是映射答案D2函數(shù)y|x|的圖象是()解析y|x|B選項(xiàng)正確答案B3函數(shù)f(x)的值域是_解析當(dāng)x0時(shí)，f(x)1，當(dāng)2x0時(shí)，2f(x)4，f(x)1或2f(x)4，即f(x)的值域?yàn)?，)答案1，)4已知從集合A到集合B的映射是f1：x2x1，從B到C的映射是f2：y，則從AC的映射為_解析依題設(shè)，AC的映射為x.答案x5已知函數(shù)f(x)(1)求f(2)，ff(2)的值；(2)若f(x0)8，求x0的值解(1)0x2時(shí)，f(x)x24，f(2)2240，ff(2)f(0)0244.(2)當(dāng)0x02時(shí)，由x48，得x0±2(舍去)；當(dāng)x02時(shí)，由2x08，得x04.x04.課堂小結(jié)1對(duì)映射的定義，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)集合A和B必須是非空集合，它們可以是數(shù)集、點(diǎn)集，也可以是其他集合(2)映射是一種特殊的對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用圖示或文字描述的方法來表達(dá)2理解分段函數(shù)應(yīng)注意的問題：(1)分段