數(shù)值分析總復(fù)習(xí)提綱

1、數(shù)值分析總復(fù)習(xí)提綱數(shù)值分析課程學(xué)習(xí)的內(nèi)容看上去比較龐雜，不同的教程也給出了不同的概 括，但總的來說無非是誤差分析與算法分析、 基本計(jì)算與基本算法、數(shù)值計(jì)算與 數(shù)值分析三個(gè)基本內(nèi)容。在實(shí)際的分析計(jì)算中，所采用的方法也無非是遞推與迭 代、泰勒展開、待定系數(shù)法、基函數(shù)法等幾個(gè)基本方法。一、誤差分析與算法分析誤差分析與算法設(shè)計(jì)包括這樣幾個(gè)方面:(一) 誤差計(jì)算1截?cái)嗾`差的計(jì)算截?cái)嗾`差根據(jù)泰勒余項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算。"J X) n1X(01)，已知&求n。基本的冋題是(n 1)!例1. 1:計(jì)算e的近似值，使其誤差不超過10解：令 f(x)=ex,而 f (k)(x)=e2 x2!當(dāng)x=1時(shí),故

2、 Rn(1)(n 1)!nXn!12!3o(n 1)!(n-6I o(k)(0)=e 0=1o由麥克勞林公式，可知Xen 1X1)!丄n!(0 1)ek (01)當(dāng)n = 9時(shí)，R<1)v10 -6,符合要求。此時(shí)，e 2.718 285。2、絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差及誤差限計(jì)算絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和誤差限的計(jì)算直接利用公式即可。基本的計(jì)算公式是：/_、 * e(x) = x x = x = dx er(x)啤型魚dlnxx x x e( f (x) f (x)dx f (x)e(x) er( f (x) d(ln f (x)fx1 (X1,X2)e(x1)fx2 (x,X2)e(X2)e(f(

3、«X2) fx1 (%,X2)dx1 fx2 (花必皿2 x(f(X1,X2)( f (X1,X2)f (X1,X2)注意：求和差積商或函數(shù)的相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限一般不是根據(jù)誤差的關(guān)系 而是直接從定義計(jì)算，即求出絕對(duì)誤差或絕對(duì)誤差限， 求出近似值，直接套用定 義式e(x)或 ，xx這樣計(jì)算簡單。例1. 2:測得圓環(huán)的外徑di=10±).05(cm),內(nèi)徑d2=5±).1(cm)。求其面積的 近似值和相應(yīng)的絕對(duì)誤差限、相對(duì)誤差限。解：圓環(huán)的面積公式為：S (d1 dl)4所以，圓環(huán)面積的近似值為2 2 2S (105 )58.905(cm)4由上述討論，面積近似值的

4、絕對(duì)誤差限為(S)(2di (di) 2d2 (d2) -(d! (dj d? ©)-(10 0.05 5 0.1)21.57(cm )相對(duì)誤差為(S)(S)S1.5758.905100%2.7%相對(duì)誤差要化成百分?jǐn)?shù)3、絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差、有效數(shù)字的關(guān)系計(jì)算絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差、有效數(shù)字的關(guān)系依據(jù)如下結(jié)論討論:如果一個(gè)數(shù)x0.a1 玄2玄3 L an 1 anan 1L (a0)其近似值an 1 an是對(duì)x*的第n+1位進(jìn)行四舍五入后得到的，則x有n位有效數(shù)字，且其絕對(duì)誤差不超過10，即10x* x如果一個(gè)數(shù)*mx0.a-ia2a3 L an 1anan 1L 10 (a10)的近似值

5、0. ai a?a3 Lan 1 an10是對(duì)x*的第n+1位進(jìn)行四舍五入后得到的，則x有n位有效數(shù)字，且其絕 對(duì)誤差不超過，即1 m n-102x* x設(shè)x對(duì)誤差限為111 10m n。20.a1 a?a3 L a* Qn10m是x*的具有n位有效數(shù)字的近似值，則其相101 n反之，若x的相對(duì)誤差限2(a11) 101 n則x至少具有n位有效數(shù)字。例1.3 :求.3的近似值，使其絕對(duì)誤差不超過 1 10 3。2解：因?yàn)?-.32所以，化成 xO.azasL a“ 何 10m的形式，有 a1 1,m 1。1 10312 2由定理2，101 4，n=4，4位有效數(shù)字。所以，所以近似值應(yīng)保留則 3

6、1.732。例1. 4:要使、一 11的近似值的相對(duì)誤差不超過10 4，應(yīng)取幾位有效數(shù)字?(5%)解：設(shè)取n個(gè)有效數(shù)字可使相對(duì)誤差小于10 4，則12a1而31 n410 10 ，.1112a14，顯然a13，此時(shí)，1 n 11 n410 10 10 ，2 31 n10104，即16也即6 10n 所以，n=5。例1. 5:已知近似數(shù)x的相對(duì)誤差限為0.3 %，問x至少有幾個(gè)有效數(shù)字? 解：設(shè)x有n位有效數(shù)字，其第一位有效數(shù)字按最不利情況取為9,則0.3%1 101 n101 n - 10 n 10002(91)2 1022 10n由上可得6 10n 1000 ,n2.2 ,所以取n=2。指出

7、：也可以按首位為1 , 9分別計(jì)算，取較小者。4、計(jì)算方法的余項(xiàng)計(jì)算各種計(jì)算方法的余項(xiàng)的計(jì)算根據(jù)相應(yīng)的余項(xiàng)定理進(jìn)行。(二) 誤差分析精度水平的分析主要依據(jù)兩個(gè)結(jié)論：相對(duì)誤差越小，近似數(shù)的精確度越高。一個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字越多，它的相對(duì)誤差越小，也就越精確 反之亦然。例1.6 :測量一個(gè)長度a為400米，其絕對(duì)誤差不超過0.5米，測量另一 長度b為20米，其絕對(duì)誤差不超過0.05米。問，哪一個(gè)測量的更精確些？解：0.5a；70.125%a400b0.05bb0.25%20顯然，sa <S b所以測值a更準(zhǔn)確一些。答：測值a更準(zhǔn)確一些。指出：衡量測量工作的好壞用相對(duì)誤差解決這樣的題目就是三個(gè)步

8、驟:第一，求出兩個(gè)相對(duì)誤差第二，比較兩個(gè)相對(duì)誤差的大小第三，結(jié)論(三) 算法分析1穩(wěn)定性分析算法的穩(wěn)定性通過對(duì)計(jì)算的誤差的擴(kuò)縮情況進(jìn)行分析。例1. 7:設(shè)近似值To=S0=35.7O具有四位有效數(shù)字，計(jì)算中無舍入誤差，試 分析分別用遞推式1Ti i 5Ti 142.8和 Si i -Si 142.85計(jì)算T20和S20所得結(jié)果是否可靠。解：設(shè)計(jì)算T的絕對(duì)誤差為e(Ti)=Ti* Ti，其中計(jì)算To的誤差為那么 計(jì)算T20的誤差為e(T2o)=T20* T2o=( 5Ti9 142.8 ) ( 5Ti9 142.8 ) =5(T 19 Ti9) =5e(Ti9)=52e(Ti8)=520e(T。

9、)顯然誤差被放大，結(jié)果不可靠。20同理，e(S2o)1e(SO，誤差縮小，結(jié)果可靠。5指出：注意理論分析，因此初始近似值本身是不必要的。2、收斂性分析算法的收斂性分析主要是迭代法解方程的收斂性分析和迭代法解方程組的收斂性分析，其他計(jì)算方法的收斂性分析一般在具體計(jì)算過程中體現(xiàn)。(1) 迭代法收斂性判定的基本結(jié)論是：定理(迭代法基本定理)：對(duì)于任意的 f職n，和任意的初始向量X(0)職n, 迭代法x(k+1)=Bx(k)+f(k=0,1,2,)收斂的充分必要條件是迭代矩陣 B的譜半徑p(B) V 1。推論：若|B 1，則迭代格式x(k+1)=Bx(k)+f(k=0,1,2,)收斂。(2) 判定雅可

10、比迭代法、高斯一賽德爾迭代法收斂的基本依據(jù)是：定理：設(shè)線性方程組Ax=b，其系數(shù)矩陣為a11a12La1na21a22La2n何 0)AMMMan1an2Lann則雅可比迭代法迭代矩陣的特征值滿足如下條件:a11a12Lai na21a22La2n0;MMOMan1an2Lann高斯-賽德爾迭代法迭代矩陣的特征值滿足如下條件:an312La1na21a22L32n0。MMMan13n2Lann(3) 系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的方程組的迭代法收斂性：定理：系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的線性方程組，它的雅可比迭代和高斯- 賽德爾迭代都是收斂的。指出：迭代法基本定理是一般結(jié)論，對(duì)任意迭代法的收斂性都能分

11、析。限定雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法則不必應(yīng)用基本定理，以回避求迭代矩陣。例1. &已知線性方程組X! 2x2 2x3 1xiX2X32x-i 2x2 x31求解這個(gè)方程組的雅可比迭代法和高斯一賽德爾迭代法是否收斂? 解：1 2 2A 111,2 2 1令1 12 2則 301230 ,所以 p (Bj)=0<1所以雅可比迭代法收斂 而2 2210(2)010,232,2 2所以 p (Bg-s)=2>1所以高斯一賽德爾迭代法發(fā)散。-、基本計(jì)算與基本算法(一)秦九韶算法秦九韶算法是一種求多項(xiàng)式的值的計(jì)算方法。對(duì)任意給定的x，計(jì)算代數(shù)多項(xiàng)式 的值，可以利用下面的方法計(jì)算:

12、Pn(X) anXnn 1 Ian 1X La1xa0Pn(x) (L (anX an1)x an 2)x Lajx a。這種算法就是著名的秦九韶算法。是我國宋朝偉大的數(shù)學(xué)家秦九韶的偉大發(fā)現(xiàn)。 秦九韶算法可以寫成遞推的形式：snanSkxSk 1 ak(k n 1,L 2,1,0)Pn (x) S0具體計(jì)算式，遞推格式是采用如下表格形式進(jìn)行計(jì)算:akXSk ianan ian 2an 3LQia。xsnxsn 1xSn 2Lxs3xs，x$Skakxsk1Sn( an)sn1sn2sn3 LS2 S1 S0根據(jù)遞推規(guī)則，計(jì)算的過程是要把橫線上面每一豎列的兩個(gè)數(shù)相加得橫線下 的數(shù)。其中ak由多項(xiàng)

13、式給出，而每一個(gè)xsk+i則由前一列中的Sk+i與已知數(shù)x相 乘得出。所以可以由最前一列逐步遞推計(jì)算出最后結(jié)果。例2. 1 :用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式76432p（x） x 2x 3x 4x x 6x 1 在x=2處的值p（2）。解：將所給多項(xiàng)式的系數(shù)按降幕排列，缺項(xiàng)系數(shù)為012 03416122006410810032549計(jì)算過程如下： S7 = a7= 1 o x. S7= 2o ss=a6+xs7=-2+2=0 （豎向相加） 重復(fù)以上過程。S0= 一 1 一 8 一 9 o所以，p（2） 9o（二）有效的基本算法所謂有效的基本算法是指，根據(jù)算法設(shè)計(jì)的原則，設(shè)計(jì)出的一些求值計(jì)算的基本算法，

14、這些算法避免了兩個(gè)相近的數(shù)相減、較小的數(shù)作除數(shù)等使得計(jì)算誤差增大的問題，減少了計(jì)算次數(shù)，通過調(diào)整計(jì)算順序避免了大數(shù)吃小數(shù)例2. 2:指出下列各題的合理計(jì)算途徑（對(duì)給出具體數(shù)據(jù)的，請算出結(jié)果）1 1 cos1 ° （三角函數(shù)值取四位有效數(shù)字）2 ln（30302 1）（對(duì)數(shù)函數(shù)值取六位有效數(shù)字）3 1 cosx （其中x的絕對(duì)值很?。﹕in x45127x100 /1n 1 n(n 1)解：1 1 cosx 2sin2 ,sin 0.5° 0.00872330, 302 10.01667,30302 1ln(30.302 1)1 cosx sin xsin x 1 cosx1

15、2724816x = x X X X X由小到大依次相加。100d100亠 (!n 1 n(n 1) n 1 n4.09414-ta n23264X X丄)1 100n 1101101注意：能求出值來的求值。（三）數(shù)值分析的基礎(chǔ)計(jì)算1、矩陣分解主要包括LU分解和喬累斯基分解。矩陣的手算分解就是應(yīng)用矩陣乘法。注意1 注意分解式的格式。2 分解計(jì)算要認(rèn)真。3注意分解的順序。先求U的第一行，再求L的第一列。矩陣的LU分解中，L是單位下三角陣,U為上三角陣，即1Ll21Ml n11Mln2U12 LU22 LOU1nU2nMUnn注意L的對(duì)角線元素都是1喬累斯基分解的結(jié)構(gòu)是A=PTP。注意:1 矩陣A

16、是對(duì)稱正定矩陣，則分解前必須聲明“矩陣A是對(duì)稱正定矩陣，可以進(jìn)行喬累斯基分解”。2 P是上三角矩陣。例2. 3:設(shè)有矩陣作矩陣A的LU分解設(shè)4 310 UnU22解：對(duì)矩陣2 1 l2110先計(jì)算U的第一行，由矩陣乘法，有Q a114 1 u11+0 0u114Q a123=1 u12+° u22U123再計(jì)算L的第一列，由矩陣乘法，有Q a?12l21U1110/ 1a?1 / u12然后計(jì)算U的第2行Q a 221l21u121 u221c1u22a22l21u121-322所以1 043L1,U1-10222、求范數(shù)和條件數(shù)1常用的向量范數(shù)有n I x|1Xii 1n 2 1

17、|x2 ( X )2i 1 | X max Xji2 常用的矩陣范數(shù)有n 矩陣的1范數(shù)(列范數(shù))：| Ah max aj ;j i 11 矩陣的2 范數(shù)(譜范數(shù))：| A|2(AtA)2;其中(B) max j(B)稱為矩陣B的譜半徑。入(B)是矩陣B的特征值。in 矩陣的x 范數(shù)(行范數(shù))：| Amax aiji j imax為i3 矩陣A的條件數(shù)為con d(A)例2. 4:計(jì)算向量x (1, 2,4)t的各種范數(shù)解：X1 1 2 4 7,X2 一廠(2廠42 .21 ,x max1,2,4 4。例2. 5:給定矩陣求 A1，A2，A。解：因?yàn)?a11 a214, a12 a?26,所以A

18、i 6 ;因?yàn)?aii3123, a2ia227,所以A 7 ；因?yàn)锳 A10 1010 20所以AtA的特征多項(xiàng)式為：10 10 22 30100 ,10 20解 2 301000 得115 5 5, 2 15 5 5。所以 A 215 5.5。3、求差分和差商求差商和差分應(yīng)用差商表和差分表進(jìn)行差商表如下:Xkf(Xk )一階差商二階差商三階差商X0f(xo )fX 0 ,X1 X1f(X1 )fX 0 ,X1 ,X2 fX 1 ,X2 fX 0 ,X1 ,X2 ,X 3 X2f(X2 )fX 1 ,X2 ,X 3 fX 2 ,X 3 X3f(X 3)差分表如下:Xkyk一階差分二階差分三階

19、差分X0yo y0X1y1 2 y0 y1 3y0X2y2 2y1 y2X3y3三、數(shù)值計(jì)算與數(shù)值分析（一）插值與擬合方法包括拉格朗日插值、牛頓插值、等距節(jié)點(diǎn)插值、分段插值、保形插值（埃爾 米特插值）、樣條插值等插值方法和最小二乘法。1插值方法（1）拉格朗日插值多項(xiàng)式有兩種求法，第一種是待定系數(shù)法，第二種是直接 利用拉格朗日插值多項(xiàng)式的基函數(shù)法。建議應(yīng)用待定系數(shù)法。例3.1:已知函數(shù)f（x）在節(jié)點(diǎn)一1,0,1處的值分別是0.3679,1.000,2.7182,用待定系數(shù)法和插值基函數(shù)法兩種方法求出拉格朗日插值。解1:設(shè)所求的多項(xiàng)式為P2（X）a。a1X a?x2，把已知條件代入得a 4(1)

20、a2(1)20.3679a(0)a22(0) 1.000a 4(1) a2(1)22.7182解之得a0 1,a1 1.751, a20.5431所以p2(x)1 1.1751x 0.5431X2解2:由插值基函數(shù)公式n(x Xk)k 0li (x) ¥(x xk)k 0k i(X0)( x1)(10)( 11)X(1)(x1)0(1)(01)x(1)(x0)1(1)(10)I°(x)h(x)12(X)x(x 1)2(x 1)(x 1)x(x 1)2代入插值公式得p2(x)O.3679l0(x) 1.000l1(x)2.7182l2(x)2P2(x)1 1.1751x 0.

21、5431x 。(2) 牛頓插值和等距節(jié)點(diǎn)插值在求出差商或差分后直接套插值公式。(3) 構(gòu)造埃爾米特插值仍然采用待定系數(shù)法和基函數(shù)法。例3. 2:已知f(0)0, f(1) 1,f (0)3, f (1) 9，求三次的埃爾米特插值多2ax a2Xc23asX ,a3x3，則項(xiàng)式H(x)。解：設(shè) H(x) a。H (x) a1 2a2x由插值條件得3 H (0)a11 H(1) a。 a1a?a39 H (1) a 2a2 3a3解之得 a° 0,a 3,a212, a3 10 ,所以 H(x) 10x3 12x2 3x。例3. 3:設(shè)f(x)在-4,4有連續(xù)的4階導(dǎo)數(shù)，且f(0)2,

22、f (0)0, f (3)1,f (3)1試用兩種方法構(gòu)造三次埃爾米特插值多項(xiàng)式 H(x)，使其滿足P(0)f(0)2, p (0) f (0)解一(待定系數(shù)法)： 解：設(shè) H (x) a0H (x) a1 2a2x由插值條件得20, P(3) f (3)1,p(3) f (3)12a1x a2x3a3X2，a3X3 ，則H(0)H (0)H(1)H (1)a°a解之得a0所以H (x)a° a1a1 2a2 3a322,a1 0,a2-,a335322x x 2 o273a2a3527，解二(基函數(shù)法)：解：設(shè) H3(x)f(Xo)0(x)f(Xi)i(x) f(Xo)0

23、(x)f(xj!(x),因?yàn)榫€性拉格朗日插值基函數(shù)為l0(x)xx-1Xo xli(x)o(x)12(xXo)Xc11 X-lo(x)121 、Xx112(xXo)XoXXoX2c、1、3X12(x°)co33279x22x327同理22(xX1)iXX9x 2x1(X)1XoX1X1xo27xXoXiXo由得22由得o(x) (XXo)XX-IXoXii(x)(X Xi)2xXoXiXox33x2則H (x) x3 x2 2 o273指出:待定系數(shù)法是求插值多項(xiàng)式的基本方法，而埃爾米特插值的基函數(shù)法構(gòu)造方 法及其余項(xiàng)分析方法是非標(biāo)準(zhǔn)插值構(gòu)造及余項(xiàng)討論的一般方法。(4) 樣條插值根據(jù)

24、邊界條件不同求解不同的方程組解決。(5) 各種標(biāo)準(zhǔn)插值都有分段插值，分段插值的精度僅受局部數(shù)據(jù)影響。 非標(biāo)準(zhǔn)插值是重要的插值問題。非標(biāo)準(zhǔn)插值在一些論著中歸為埃爾米特插值。例3. 4:設(shè)f(x)在-4,4有連續(xù)的4階導(dǎo)數(shù)，且f( 1) 1,f(o)2,f(o)o, f (3) 1,f (3) 1(1)試構(gòu)造一個(gè)次數(shù)最低的插值多項(xiàng)式p(x)，使其滿足p( 1) f( 1)1,P(0)f(0)2,p(0)f(0)0,p(3)f(3) 1,p(3)f(3)1給出并證明余項(xiàng)f(x)-p(x) 解：(1)由例3. 3可以求出滿足 p(0)f(0)2, p (0) f (0)的三次埃爾米特插值多項(xiàng)式H (x

25、) x3 2x2 2 0273的表達(dá)式。0, P(3) f (3)1,p(3) f (3) 1設(shè) p(x) H (x) a(x3)2x2p(0) 由f( 27(所以f(0)2, p (0)1) 1得3 (1)23f (0)5 3 x270, p(3) f (3)a(x 3)2x2，則 p(x)滿足1,p(3) f (3) 1 ,p(x)1)3a(1 3)2( 1)21108，H(x) a(x3)2x2532 2x x2733)2x20413 3x x10854(2)余項(xiàng)具有如下結(jié)構(gòu) r(x) f(x) p(x) k(x)(x 作輔助函數(shù)2 2(t) f (t) p(t) k(x)(t 1)t

26、(t 3) 則顯然在點(diǎn)x,(x) 0,( 不妨假設(shè)x 由羅爾定理， 使得(1)1)x2(x 3)21) 0,(1,0)存在0,(1,0,3處有6個(gè)零點(diǎn)0, (3) 0,(3) 0，(其中0,3是二重零點(diǎn))，即(0)1(2)0,0, (0)1,x),(0 ,再注意到 (0)0, (3)再次由羅爾定理得，存在1 使得(1)0,( 2)0,(第三次應(yīng)用羅爾定理得，存在23)即(3 )使得(1)0,( 2) 0,(第四次應(yīng)用羅爾定理得，存在 使得(4)( 1)0, (4)( 2) 0，第五次應(yīng)用羅爾定理得，存在 使得(5)( ) 0 注意到(5) (t)13)(x,0), 3(0,3)，0，(t)有5

27、個(gè)互異的零點(diǎn)(4)2),1, 1), 20,(1,0，(1,2),(5)r(5)(t)5!k(x) f(5)(t)(1,2)5!k(x)2,0),02(2,2,1(0, 3),3),3(3)(r(t) f (t) p(t)中p(t)是4次函數(shù)，其5次導(dǎo)數(shù)為0)033(3,3)，4)所以()f(5)( ) 5!k(x)=0k(x)=丄5!，代入余項(xiàng)表達(dá)式，有f(5)( )22r(x) f (x) p(x)(x 1)x (x 3) o5!指出：本題是非標(biāo)準(zhǔn)插值問題，所謂非標(biāo)準(zhǔn)插值是指不同于拉格朗日插值等條件規(guī) 范、插值多項(xiàng)式已有現(xiàn)成結(jié)論的插值。比較簡單的求解方法有： 求插值問題的基本方法是待定系數(shù)

28、法。以本題來說，有 5個(gè)條件，可以確 定一個(gè)4次的插值多項(xiàng)式，設(shè)為y ao aix a?x2 asx3 asx3，將條件代入，建 立一個(gè)5元的線性方程組，求出各參數(shù)，就可以求出插值多項(xiàng)式。 求插值問題的第二種方法是基函數(shù)法，即根據(jù)給定條件設(shè)定插值多項(xiàng)式的 結(jié)構(gòu)和各基函數(shù)的結(jié)構(gòu)，根據(jù)條件確定基函數(shù)即可。具體方法與拉格朗日插值基 函數(shù)構(gòu)造和埃爾米特插值基函數(shù)構(gòu)造相似。 以標(biāo)準(zhǔn)插值為基礎(chǔ)的方法是一種更簡單的方法，本題中，首先利用 4個(gè)條 件構(gòu)造一個(gè)埃爾米特插值，在此基礎(chǔ)上設(shè)定所求插值多項(xiàng)式的一般形式， 保證其 滿足埃爾米特插值條件，代入未利用條件解方程(組)，求出其中的未知參數(shù)，即可求出插值多項(xiàng)式。

29、在構(gòu)造新的插值多項(xiàng)式中，要求新的插值多項(xiàng)式仍然以H(x)的插值節(jié)點(diǎn)為節(jié) 點(diǎn)，則可以寫成p(x) H (x) g(x)的形式，因?yàn)閜(0)H(0)2, p (0) H (0)0, p(3)H(3)1,p(3) H (3)1，所以必有 g(0) g (0)g(3) g (3)0因此0, 3是g(x)的兩個(gè)2次零點(diǎn)，貝U g(x)包含(x 3)2x2因子。又因?yàn)槎囗?xiàng)式p(x)是4次的，g(x)也應(yīng)該是4次的，所以可以設(shè)g(x)為2 2g(x) a(x 3) x o本題也可以先利用 p( 1) f ( 1) 1,p(0) f(0) 2, p(3) f(3) 1構(gòu)造一 個(gè)2次插值多項(xiàng)式P2(x)，以此為

30、基礎(chǔ)構(gòu)造4次插值多項(xiàng)式P4(x)， p4(x)的結(jié)構(gòu) 是P4(x)P2(x) (ax b)(x 1)x(x 3)，滿足P( 1) f( 1)1, P(0)f(0) 2, p(3)f(3) 1再根據(jù)P (0) f (0)0, P f (3)1列出兩個(gè)線性方程組成的方程組，求出a、b兩個(gè)參數(shù)，即可求出所求的插值多項(xiàng)式。求插值函數(shù)余項(xiàng)r(x)的常用方法是：r(x) f(x) p(x)應(yīng)具有如下形式(以本題為例)2 2r(x) f (x) p(x) k(x)(x 1)x (x 3)作輔助函數(shù)(t) f (t) p(t) k(x)(t 1)t2(t3)2則（t）在點(diǎn)x, 1,0,3處有6個(gè)零點(diǎn)（其中0,

31、 3是二重零點(diǎn)）。反復(fù)應(yīng)用羅爾定理，直到至少有一個(gè)（4,4），使得（）0。此時(shí)即有f ()5!k(x)=0k(x)=(5)()5!代入余項(xiàng)表達(dá)式即可求出這里，作輔助函數(shù)的方法和中值定理討論中作輔助函數(shù)方法一樣。指出：插值公式的構(gòu)造方法主要就是待定系數(shù)法和基函數(shù)法，埃爾米特插值這兩種方法的構(gòu)造與余項(xiàng)討論都非常充分，是重要內(nèi)容。不僅應(yīng)該能構(gòu)造典型的插值公式，還要能構(gòu)造一般的具有特定條件的插值公用待定系數(shù)法構(gòu)造埃爾米特插值等各種插值的方法也是必須掌握的。（7）推廣的牛頓插值法埃爾米特插值（廣泛意義上的）也可以用構(gòu)造差商表的方法求出，尤其是 插值條件中出現(xiàn)了高階導(dǎo)數(shù)的情況，利用構(gòu)造差商表的方法按牛頓插

32、值多項(xiàng)式求 埃爾米特插值很方便。具體做法如下：（1）把具有一階導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)看成2重節(jié)點(diǎn)（即2個(gè)數(shù)據(jù)節(jié)點(diǎn)），具有2階 導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)看作3重節(jié)點(diǎn)，以此類推。（2）用公式1f1*2L43xi nZ）（x）n 1計(jì)算（n+1）個(gè)相同節(jié)點(diǎn)的差商。（3）求出相同節(jié)點(diǎn)處的差商后按正常的差商表計(jì)算方法求差商表。（4）按牛頓插值多項(xiàng)式寫法求出埃爾米特插值。這種方法稱為推廣的牛頓插值法。例3.5 :已知函數(shù)y=f（x）的函數(shù)值、導(dǎo)數(shù)值如下表：Xiyiyiyi-100-4061-25利用所給條件構(gòu)造f（x）的埃爾米特插值多項(xiàng)式解：由公式f伯2L40i 9%)n 1得1f0,0 - f (0) 0 1!f0,0,01 f

33、 (0)-32! 21f1,1 -f (1) 51!得差商表為Xif (Xi)一階差商二階差商三階差商四階差商五階差商-10-40-440-10-4300-110-422211-2351-2所以，5次埃爾米特插值多項(xiàng)式為2 2H5(x)4(x 1) 4(x 1)x (x 1)x (x 1)x (x 1)。2、擬合方法最小二乘法是重要的數(shù)據(jù)擬合方法。其求解過程為：1 分析數(shù)據(jù)，將已知數(shù)據(jù)描畫在坐標(biāo)紙上，得到一個(gè)散點(diǎn)圖，從圖上可 以直觀地看出數(shù)據(jù)的變化趨勢。2 建立數(shù)學(xué)模型。根據(jù)上述分析，確定擬合函數(shù)的類型。3 應(yīng)用最小二乘法，確定擬合函數(shù)中的未知參數(shù)。4 寫出擬合函數(shù)。例3. 6:給定一組實(shí)驗(yàn)數(shù)

34、據(jù)如下表X2468y1.12.84.97.2求x、y的函數(shù)關(guān)系。解：先做出草圖，從圖上可以看出，這些點(diǎn)的分布接近于一條直線設(shè) y=a+bx，貝U42L (a bxi) yii 1對(duì)a、Lb分別求偏導(dǎo)，并令偏導(dǎo)數(shù)等于0,得42(a bXi) yi0i 1(ai 1bXi)yi o4Xii 142(ai 14a b4yi 0i 1bXi) yJXj0(ai 14aXii 1bXi)yix2XiXi yi0i 1將數(shù)據(jù)代入得4a ba (2化簡得a 5b(246 8)8) (1.1 2.8 4.9 7.2) 0b (22 42 62 82) (2 1.1 4 2.8 6 4.9 8 7.2) 020

35、a 120b 100.4 0解之得a 1.1b 1.02則x與y的函數(shù)關(guān)系是y=-1.1+1.02x。例3.7 :給定數(shù)據(jù)表X-21012y0. 10.10.40.91.6用兩種方法求其二次擬合曲線。解一：設(shè)所求的擬合函數(shù)為y a bx cx2，5則 L (a bxi cx2) yi2。對(duì)a、L2bXi cx ) yi0b、c分別求偏導(dǎo)，并令偏導(dǎo)數(shù)等于0,得52(a(a b<i 155a bXii 152(ai 12、cXi )bxiyj2Xi2、 cx )yi 0yXi(ai 15Xi152(ai 1yiXi2XibXi2、 cx )yi Xi2X%0(ai 152a Xii 1CX2

36、3Xiyi x24 Xi2Xi yi 0將各數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)值代入,5a 10c 2.9i 1得方程組為i 110b4.210a 34c7解之得 a=0.4086, b=0.42，c=0.0857，所以數(shù)據(jù)點(diǎn)所反映的函數(shù)的近似關(guān)系為2y 0.40860.42x 0.0857X解二：設(shè)所求的擬合函數(shù)為y a bx cx2， 將數(shù)據(jù)代入方程得a 2b 4c 0.1a b c 0.1a 0.4a b c 0.9a 2b 4c 1.6方程組的系數(shù)矩陣和右端向量為1240.11110.1A 100,B0.41110.91241.6因?yàn)? 241111 11 115010ata2101 21 000100410

37、1 41 11100341 240.11111 10.12.9atb2101 20.44.24101 40.971.6所以5010a2.90 1C1 0b4.210 034c7解之得a=0.4086,b=0。42, c=0.0857,所以數(shù)據(jù)點(diǎn)所反映的函數(shù)的近似關(guān)系為2例3. &已知試驗(yàn)數(shù)據(jù)x1925313844y19. 032. 349. 073. 397. 8y 0.40860.42x 0.0857x指出：解二依據(jù)的結(jié)論是：定理：x*是超定方程組Ax=b的最小二乘解的充分必要條件是 x*是方程組 A Ax ATb 的解。即 x (AtA) 1 ATb。用最小二乘法求形如y a bx

38、2的經(jīng)驗(yàn)公式，并計(jì)算均方誤差。 解：設(shè)y a bx2則5L (a bx2) y 2對(duì)a、b分別求偏導(dǎo)，并令偏導(dǎo)數(shù)等于0，得L 5yj 02(a bx2)a i i5(ai 15a b5yii 152Xii 152(a bx2) yi x20Lb i 15(ai 152axii 1將數(shù)據(jù)代入得2 25a b (1925a (192252 312312 49.0 382 73.3bx2)yjx24 Xi2Xii 1312382yi02 23844 ) (19.0 32.3 49.0 73.3 97.8) 0442) b (194 254 314 384 444) (192 19.0 252 32.

39、3442 97.8) 0化簡得5a 5327b 271.4 05327a 7277699b 369321.5 0第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程乘以1065進(jìn)一步化簡得5a 5327b 271.4 02a 1604444b 80279.5 0解之得a 1.01b 0.05則x與y的函數(shù)關(guān)系是丫=1.01+0.05/。此時(shí)，平方逼近誤差為52 2L (a bxj yi0.017i 1所以,均方誤差為00.13。指出：均方誤差實(shí)際上就是按最小二乘法則確定的殘差。例3. 9:用最小二乘法求方程組yj2x4y113x5y3X2y6X2y14的近似解。分析：這是方程個(gè)數(shù)多于未知數(shù)個(gè)數(shù)的超定方程組，是矛盾方程組，

40、用最小乘法求解。解：設(shè)方程組中各個(gè)方程的一般形式為42L(aiX biy) ci 1y分別求偏導(dǎo)，并令偏導(dǎo)數(shù)等于42(aiX by) Ckii 1ajX by Ci，則0,得gxi 142x ai 1L 44yaibii 14aiCii 12(aiX by)y i 14(aiXi 14x aibii 1Cbby)cbi 0b24biCi 1將數(shù)據(jù)代入得15x 3y 51 03x 49y 69 0解之得x 3.727 y 1.636指出：最小二乘法需要記住的是基本原理。n第一，殘差表達(dá)式L (Xi) y2i 1第二，對(duì)殘差求偏導(dǎo)數(shù)，使每一個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都等于0,列方程組第三，解方程組，求出a,b,第四

41、，寫出擬合函數(shù)。(二) 解非線性方程的方法非線性方程的數(shù)值求解問題包括如下基本問題： 判斷方程根的個(gè)數(shù)，求隔根區(qū)間判斷方程f(x)二0有幾個(gè)根并求隔根區(qū)間的方法過程是：(a) 求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y/ =f/(x)。(b) 令f/(x) = 0，用零點(diǎn)將函數(shù)定義域分成幾個(gè)不同的區(qū)間，確定函數(shù)在各區(qū)間上的單調(diào)性。(c) 求出函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)上的值，判斷函數(shù)值是否發(fā)生變號(hào)，排除不存在根的 區(qū)間。(d) 確定根的個(gè)數(shù)和隔根區(qū)間。例3. 10:判斷方程2x3-3x2-12x+25=0有幾個(gè)實(shí)根，并求出其隔根區(qū)間。 解：令 y=2x3-3x2-12x+25,y/=6x2-6x-12=6(x2-x-2

42、)=6(x+1)(x-2)當(dāng)=0時(shí)，有x=-1，x=2，而且函數(shù)沒有不可導(dǎo)點(diǎn)。顯然，當(dāng) xv-1 時(shí)，x+1v0，x-2v 0,所以，y/=6(x+1)(x-2) >0，同理可以 判斷出在其他幾個(gè)區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的符號(hào)。 進(jìn)一步可以得導(dǎo)函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間上的單 調(diào)性。列表如下：x(4 ,-1)-i(-1,2)2(2,+ m )/y+0一0+y5 - y(-1)=32 >0，y(2)=5>0，在區(qū)間(-1,2)上方程無根。又 y(2)=5>0,函數(shù)在(2,+ 上又是單調(diào)增的，函數(shù)值不可能再變號(hào), 在區(qū)間(2,+上方程也沒有根。函數(shù)在(一一1) 上單調(diào)， 方程在該區(qū)間上最多有一個(gè)根

43、。而 y( 2) = 21>0, y(-3)=-20v0,方程在區(qū)間(一3, 2)內(nèi)有一個(gè)根，區(qū)間(一3, 2)是方程的隔根區(qū)間。所以方程2x3-3x2-12x+25=0有一個(gè)根，隔根區(qū)間為(3， 2)。 用二分法求根的初始近似值 用二分法求根的初始近似值要注意兩個(gè)問題，第一是要進(jìn)行確定二分的次數(shù)。在二分法中，Xn乩衛(wèi)（1,2,3丄）。2如果bn務(wù) b an 22n這里&為預(yù)定的已知精確度，知道了&就可以求出n來。而第二個(gè)問題就是每一步都要進(jìn)行函數(shù)值符號(hào)的判定例3. 11:用二分法求方程f(x)=x3-x-仁0在區(qū)間(1，1.5)內(nèi)的實(shí)根，要求 誤差不超過0.005。解：

44、因?yàn)閒(1) V0, f(1.5) >0,所以，方程在區(qū)間(1，1.5) 上有根0.005bn an b a 1.5 10.51x* x 八八n小jj 12 2 2 2 2 有，2n+1 > 200, 2n > 100。又因?yàn)?27= 128> 100所以n = 7,即只需要二分7次即可列表討論如下:nanbnXnf(Xn)的符號(hào)11.01.51.25一21.251.51.375+31.251.3751.31341.3131.3751.344+51.3131.3441.329+61.3131.3291.321一71.3211.3291.325+x* 艮=1.325。 用

45、切線法(Newton法)解方程求解方程f(x)=O的切線法迭代格式為f (Xk)IXk 1 Xk-(k 0,1,2,L )f (Xk)例3. 12:用切線法求方程x=e-X在x=0.5附近的根。解：首先將方程X=e-X改寫為xeX 1= 0,于是有f(x)=xeX 1,相應(yīng)的迭代公式為兀 eXkXk 1 Xk 1 Xk取xo=O.5為迭代的初始近似值。迭代的結(jié)果列表如下：k0123Xk0.50.571020.567160.56714所以，方程的近似根為x* X30.56714。指出：一般地，當(dāng)滿足預(yù)定精度的有效數(shù)字全都相同時(shí)，就可以終止計(jì)算過程，輸 出結(jié)果。 用切線法求算術(shù)根 對(duì)于給定的正數(shù)C,應(yīng)用切線法解二次方程x2-c = 0可以導(dǎo)出求開方值.C的計(jì)算程序Xk 1Xk可以證明，這種迭代公式對(duì)于任意的初值都是收斂的 例3. 13:計(jì)算115的算術(shù)平方根。解：取初值X0=10,對(duì)于c=115利用迭代3次，得k01234Xk1010.