P波入射反射透射系數(shù)推導(dǎo)

1、這里我們通過和一維平面波函數(shù)類比,可以得出三維平面波函數(shù)的形式。我們知道，在一維P波入射Zoeppritz方程的推導(dǎo)根據(jù)彈性力學(xué)的假設(shè)，介質(zhì)是均勻各向同性的無限大介質(zhì)，平面波是一種最簡單的波動(dòng)形式，其以波面為平面的形式在介質(zhì)中傳播，即平面波在垂直于波傳播的任一平面上，各點(diǎn)的振動(dòng)是同相的，實(shí)際上并不存在激發(fā)平面波的震源，所以它是一個(gè)數(shù)學(xué)抽象了的波動(dòng)過程。點(diǎn)震源激發(fā)的球面波向四面八方傳播，當(dāng)其距震源足夠遠(yuǎn)時(shí)，在這個(gè)地方研究一個(gè)局部的等相位面，可以將其看成一個(gè)平面波。在理論上，任何類型的波都可以用平面波的合成形式來 表示，所以平面波是波動(dòng)現(xiàn)象中最基本的形式，也是理論研究和實(shí)際應(yīng)用的基礎(chǔ)。在地震勘探中

2、，討論在兩種不同的介質(zhì)分界面上的波的傳播現(xiàn)象是十分重要的。一般分為兩種情況進(jìn)行討論， 第一種，我們所研究的地球介質(zhì)按其物性變化是分層的，具有層裝結(jié)構(gòu)。因此，討論兩種彈性性質(zhì)不同的介質(zhì)分界面上波的傳播情況。第二種，地球表面是一個(gè)特殊的分界面，它將無限介質(zhì)劃分為兩個(gè)半空間。地面以上的空氣介質(zhì)， 其密度與地面以下的巖石或海平面以下的海水層及巖石層的密度相比可以忽略。因此，地球表面可以看成是一個(gè)彈性半空間表面，稱為自由面，其上的應(yīng)力作用為零。 根據(jù)本文所討論的地質(zhì)模型所涉及 到的地質(zhì)災(zāi)害，我們只討論波在第一種介質(zhì)分界面情況下波的傳播，即平面波在彈性分界面上的反射與透射。i.i波函數(shù)設(shè)有一平面諧縱波入射

3、到兩種半無限彈性介質(zhì)的分界面上。在這種情況下，波不僅會(huì)折回到入射介質(zhì)中傳播， 而且會(huì)透射到另一種介質(zhì)中傳播；即同時(shí)存在反射波和透射射波。反射波和透射波中都包含縱波和橫波兩種成份。p波在介質(zhì)分界面上的反射和透射情況如圖所示：4關(guān)于位函數(shù)我們首先看：沿任意方向傳播的平面波。設(shè)N是一個(gè)任意取定的單位方向矢量。N = li mj nk（ 1）下面來看沿N方向的平面波，或稱三維平面波的波函數(shù)形式。三維平面波的波函數(shù)f滿足三維波動(dòng)方程，即：(2)平面波的情況下，空間任意一點(diǎn)x,y,z上的波函數(shù)值只取決于 x。于是沿x正方向傳播的平面波的波函數(shù)為f (x,t)二fi(x -Vt)。其中的x實(shí)際上是從原點(diǎn)至x

4、, y, z點(diǎn)所在波面的垂直距離，即d = x 0y 0z (一維平面波的傳播方向的單位矢量為N =?。在三維平面波情況下，這一距離應(yīng)為d = lx my nz。因此，將一維平面波函數(shù)中的 x以lx my nz 代替應(yīng)該可以得到三維平面波的波函數(shù))即：f(x,y,z,t) = f|(lx my nz-Vt)(3)同一維平面波一樣，式中的t為波沿N方向的傳播時(shí)間。f1 (lx my nz -Vt)代表一個(gè)沿N的正方向傳播的平面波。同理，f ( x, y, z, 4)1 f ( l x m代表一個(gè)沿N的負(fù)方向傳播的平面波，在一般情況下，沿任意方向N傳播的平面波的波函數(shù)可寫成：f (x,y, z,t

5、)二 (lx my nz -Vt) f1(lx my nz Vt)(4)1.2平面簡諧波：平面簡諧波是是波函數(shù)為簡諧形式的平面波，也是數(shù)學(xué)上最容易處理的一種波。因此，在研究波的傳播問題時(shí)經(jīng)常使用簡諧波假定。沿x正方向傳播的平面簡諧波的波函數(shù)可寫成：f ( x, t> of cosk -(x Vt)( 5)或f(x,t)二 f°sink(x-Vt)( 6)上面兩式分別代表的是余弦形式和正弦形式的平面簡諧波。我們最常使用的是指數(shù)形式的平面簡諧波f(X,t)二f0ejk(xt)( 7)通過取上式的實(shí)部或虛部即可得到余弦形式或正弦形式的平面簡諧波的波函數(shù)。上面各波函數(shù)中的f°

6、稱為波的振幅，因?yàn)椴ê瘮?shù)值總是在-f。和 f。之間變化。下面討論波函數(shù)中其他各量的意義及它們之間的關(guān)系。為此，首先“固定”時(shí)間變量t以考查波剖面的情況。不難驗(yàn)證，2兀f (x ,t)二 f (x,t)( 8)k這表明，波剖面的值每隔距離重復(fù)一次。因此我們將這個(gè)量稱為波長，記為k同時(shí)，把稱為波數(shù)?？梢姴〝?shù)就是2二距離內(nèi)所含的波長個(gè)數(shù)。再“固定”空間變量x以考查振動(dòng)圖的情況。容易看出,f(x,燒f( x, t)(9)這說明，振動(dòng)圖的值每隔2 :時(shí)間重復(fù)一次。因此將這個(gè)量稱作周期，記為kV2 二 T 二kV V由此可見，周期即為波傳播一個(gè)波長距離所用的時(shí)間。另外,kZVT V V1其中和小=2二分別

7、為頻率和圓頻率。T利用上面得到的各量之間的關(guān)系，可將平面簡諧波的波函數(shù)寫成如下等價(jià)形式:j 絲(x_Vt)f(x,t) = f0ejWf0j()(10)沿任意方向N=link傳播的平面簡諧波的波函數(shù)可寫為jk (lx my nz _Vt)f(x, y,z,t)二 f°ej (kxx kyy z-Vt)(11)因此二維平面波的波函數(shù)可以寫成:jg 初一 t)(12)f (x,y, z,t)= Ae我們可以寫出入射 P波、反射波P波、反射SV波、透射P波和透射SV波的位函數(shù):：(1) _Aej(kxxkjzvt)(13): _ Aej(kx2) x 好旳(14),；(3) _ Aej(k

8、x3)x kz3)z_wt)(15):了._ Aej(kx4) x k!4) z _wt)(16). -I f (5) _ Aej(k'5) x kz5) z _wt)(17)上式中k：kx(W psi n，k：3= w/vs sin ：，kx4) x = w / Vp2 sina，kx5)=w/Vq sin 0(18)且有x(19)由此可得反射和透射定律(斯奈爾定律)如下：v/sin ：一 Vsi/Sin 1 二 v/sin :丄滄/sin 1'(20)另外，由圖可見：kZ1)=w/vpcos，k；2)=w/vpcos二,k：3)=w/vs cos ：,1 11kZ4) =

9、w/vp cos ， kZ5) =w/vscos：(21)在介質(zhì)I中，總的位函數(shù)為 =(1)fe曲"1亠旳 A2ej(kx2)x kz(2)wt)=A3ej(kx3)x：；kZ3)z_wt)(22)在介質(zhì)丨丨中，總的位函數(shù)為-2 =Aej(k)(4)x kr)zjwt)(23)1.3邊界條件_ Aej(kx5)x kZ5) z_wt)(24)我們知道，介質(zhì)分界面處的邊界條件為位移連續(xù)和應(yīng)力連續(xù)。因此，可寫出本問題的邊界條U1 = U2件如下：在Z=0處W1 -W2f zz)1 =(Jz)2(zx)1 = ( zx)2(1)位移連續(xù)：地震波在傳播過程中質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的位移度之和的形式，有：u

10、可以分解為其標(biāo)量位的梯度與與其矢量位的旋(25)H = grad 仁亠 rot'，(26)4 呻 耳 耳同時(shí) u = ui vj k設(shè)T'zk將式（26）按梯度和旋度公式展開，得到U的3個(gè)分量為:丹評(píng)z 評(píng)yu-cXdy沖、汀X Lz：z(27)(28)(29)wy xGZCX研究空間傳播的平面波時(shí)，一般情況下選擇直角坐標(biāo)系，可使得波前面與一個(gè)坐標(biāo)軸（如y軸）平行，此時(shí)方向余弦 cos ： = 0。這樣，波前面在 y軸方向上無限延伸，波函數(shù)與坐標(biāo)y無關(guān)，于是有-=0 y此時(shí)，式（29）中對(duì)y的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)變?yōu)?,則式（29）變?yōu)?刖評(píng)yU 二.X；z(30)嚴(yán)XZ.Z .X汐丄訓(xùn)yw

11、:Z:X這說明位移分量可以分為兩部分其中一部分時(shí)位于x-z平面內(nèi)的位移分量U和w，它們只與和y有關(guān)，含有P波和SV波成份；另一部分是垂直于 x - z平面的位移分量V，它只與-：x和有關(guān)。且只含有SH波成份。這一結(jié)果表明，可將P波和SV波作為一組與SH波分開來處理。我們?cè)谟懻揚(yáng)波和SV波時(shí)使用位函數(shù);：和 z然后由（30）式過渡到位移。為簡單起見，記'。(31)和t滿足下面的波動(dòng)方程:V；1Vs2?2 :(2)應(yīng)力連續(xù)首先由虎克定律有:ZX = 'Qx虎克定律闡述了應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系。再看應(yīng)變的定義式:wdx cz應(yīng)變的定義式闡述了應(yīng)變和位移的關(guān)系。再由位移和位移位的關(guān)系式:X.

12、Z.:x(32)(33)(34)(35)(36)(37)體應(yīng)變的關(guān)系式:(38)vp -2v；(39)(40)由以上各式可得到:ezZ將(37)式代入上式得到:(丹% = P(v：-2v；)rCX式中:(蘭)y. z； y z :x:x：y：z/亠 2匕2+廠+ 2叫故二 ZZ 二Vp -2VS2.z2宀丄二二2 2 2.X2鋼-ZT礦0所以zz = P(vp -2v；嚴(yán)那 +2PVs2I2敖' 2 + _ _ l czczcx 丿1 戸2（p而12 =,（波函數(shù)滿足波動(dòng)方程）故二ZZ2Vp.:t2.Z2(41)zx uezx,:w=u(一:X.x :z2 2:X:X：z :Z(42)

13、=訟"GXCz CX1.4反射系數(shù)和透射系數(shù)以下的工作是使波函數(shù)滿足上面的邊界條件,為此將（21）（ 24）式代入（25）式,并整理。首先代（25）式的第一式有:Aej(kX°x 必亠.乍(1) . Aej(kX2)x kzz-t.*(2) _ Aej(kX3)X 1乍(3)_ Aej(kX4) X kz4) z ；t)k _ Aej(kX5)x kz5) z ；：；t)k(5)由于 kXkX2) *x3)二 kX4)二 kX5)故上式變?yōu)椋簭臑硹l Aejkz2)zk 一 Aejkz3)zk=Aejk兒k- Aejkz5) zk(5)ix2x3z4x5z將kJ二 k：2)=

14、 /vp sin ：，k：4)=/vpsin ： '，k；3)= -/vscos k；5） /vs cos :'，并且z=0代入上式:.w. wjCOSQZj COSQZVpiVp.=A.e P1sin 二亠 A>eP1sin 二亠 "e上 cos|.”zVsi cos -VjO二 Aesin 二VP2j cos 典Vs2f A5e.z一COS：Vs?=_(A A2)丄cos ： A =VPiVsi1 ' 1sin： A -VP2V(43)VA代入(25)式的二式有：Ae j(kX°x kZ1* - t)k(1) . Aej(kX2)x kZ2

15、)z_ t)k(2) _ Aej(kX3)x kZ3)，t)k(3) 二 Aej(kx4)x kz4)z_. °k一 Aej(kx5)x kz5)- t)k(5)由于 kx1 kx2）二 kx3）二 kx4）二 kx5）故上式變?yōu)?Ae好k德尹詩-&宀kJk：3) = /vs sin ： , k：5) =/vs sin :,kJ(2)=/vpcos： , kz/vpcos：,kz3)-/vs1cos： , k；4) = /vP2cos：,kz5)F：/Vs2COS：，且 z=0 故:©©«fycos-： A?(cos： )-A sin-Vp1Vp

16、1Vs1二 A cos：Vp2*v;sin1 11Acosj A2cos：A sinVP1VP2乂 1人丄cos：VP2人丄si nVs?叱(A_A)+泄 A3 =丄 cos。VP2VP1(44)應(yīng)力連續(xù)故代入（25）式第三式有:p1 嚴(yán)牙 2vs12e-21Vp1t: z2p22Vsvf空2(空2-2 22Vs2 ( - 2p2 : t: z-2 2丄）；XZ z£2 2 p/p1 _2Vs1 (Aej(kxF1)z%2 + 民丿爐川日材 2) +Vp12V2(AeJ(ki1)xkZn t)k2(1). Aej(kJ2)x-kZ2)t)k2(2).4泌3.必3*，t)k(3)r(3

17、)2 2 =訂嚴(yán) 半(代ej(k'4) V2)2vs22(A4ej(k(4)x'kZ4)"t)k2Z4) +Vp2Aej（kX5）xkZ5）z-t）k（5）k（5）因?yàn)閗X1 kX2)二 kX3)kX3)F：/VqSin ：,kX5)IZd =()/vs2 sin P , kz =co/vPlcosa ,kZ2)/VpCOS：,kZ3)-/vs cos 1S1kZ4) = /Vp2cos：',k；5) = - /vs cos J ,z=0 ,故上式變?yōu)?2 2Vp1 - 2vs122222(A '宀 ) 2vs1 (A cos :-Vp12 2pl -

18、 2Vs12VP12A $ 2A2 cos :-vpi2Vs2sin : cos :)2 2p2 - 2Vs22Vp22(A 2) 2vs22(A4cos2 ：Vp22A sin :' cos :')Vs222v 2vpis2Vp1(A A)2p p (A AOcos2 : -sin2 I'A?=-2 2 2 、 2V2Vs1sin ：(A A2)s2I± 卩12Vp1-2v： sin2 av¥ A cos.篇 sin 2IAsVp2A psin 2 ： A (45)代入（25）式的四式:汕2二厶L、 J '、L、JZ:xz Xvp1(2Ae

19、j(kX1)x'kZ1)t)kX1)kZ1) PA2ej(kX2)x kZ2)t)kX2)kZ2)-AekXx kz- t)k2(3) _ AeHkX3' kZ3)Z-，t)k2(3) )_r v? (2Aej(kX4)x kZ4)zt)kk Aej(kX5)x kZ5)z-丄乍?® _ Aej(kX5)x席*-丄乍2(5) 由于 kX1 - kx ( 2 kx- 3k)x= k： kJ= kf=/vp sin ：, k：3)=/vs sin ：,kX4) x -/ vp sin ： ,-/ vs sin : , kJ-/ vp cos：, k；2 -/ vp cos

20、：,k；3- - /Vscos： , k；4) = /vppcos , k；5) - - /vsp cos :,且 z=0，故上式變?yōu)椋骸? - -2-'2* '2 2 - ''2 2 v (2A|p sin ： cos：-2APpsin: cos：A psin - A cos -)Vp1Vp1Vs1Vs1=*：(2人2sin ： cos：VppAr s in2Vsp:- A p cos :')VspHkA - A)丄Sin21 A2Vpi11sin2 ： - A 2 cos -)VslVs!2vS1(2A-2si n2：2Vp21 2 一A 2 sin

21、AsVs2-yCOS2 :)Vs2v：(AVP1sin2: -A2 2psin2工"Afe-ysir2ViV2 2 2 2P -人卑 c°s B)=v：(Asin2o( +A 罕siB -A第 c°sP )ViRVP2VVs222VPisin2：(幾 - A2) cos2 : Asin 2 二 A12；1cos 2 : A5(46)聯(lián)立(43) ( 44) ( 45) (46)有1 1 . sin ： (A A2)cos : A3VnV11.cos： (A -ADsin : APlVS12 2 . 2Vp - 2vs sin :-P1|(A A2) sin2 ：人

22、二VS11 cos : AVP2V.1 ' 1 -'cos： A sin AVP2V2P11 ' sin ： A42p2-Vsin2o(A| -A2) +cos2P 人=2 %VP1S22c 22丄 Vp2-2VqSin :2'鳥.'sin 2一：仏cos2： AVP2：?1(47)2VP2由斯奈爾定律可得：v： -2v： sin2 ：二 v： -2v； sin2 ： = v； cos2 :vp? -2v： sin2 ： ' = vp? -2vp2 sin2 ' = v： cos2 -代入（47）式中的第三式，并將其方程組的各項(xiàng)同除A，得sin：企 亞 cos-s in :匕込丁公二飛 in：A VqAVp2A1Vs2AA2VP1. r A +VP1丹代Vs甘A5cossincossincos -A1Vs,A Vp2A1Vs2A1cos2 ：仏 -sin 2 蟲-Wcos2 ： “ -Wsin 2 ：-cos2 -AA 叱A 叱 A2V； sin2G A2 +cos2 0 A> +VP1AA22VP2sin 2A121VP1sin 2此方程組