數(shù)學(xué)：2.1《參數(shù)方程的概念-曲線的參數(shù)方程》教案（1）（新人教選修4-4）

1、曲線的參數(shù)方程教學(xué)目標(biāo)1通過圓及彈道曲線的參數(shù)方程的建立，使學(xué)生理解參數(shù)方程的概念，初步掌握求曲線的參數(shù)方程的思路2通過彈道曲線的參數(shù)方程的建立及選取不同參數(shù)建立圓的參數(shù)方程，培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)能力以及解決實(shí)際問題的能力3從彈道曲線的方程的建立,對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)的返璞歸真教育,使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)踐的真諦,幫助學(xué)生樹立空間和時(shí)間是運(yùn)動(dòng)物體的形式這一辯證唯物主義觀點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)曲線參數(shù)方程的探求及其有關(guān)概念是本節(jié)課的重點(diǎn);難點(diǎn)是彈道曲線參數(shù)方程的建立教學(xué)過程師:滿足什么條件時(shí),一個(gè)方程才能稱作曲線的方程,而這條曲線才能夠稱作方程的曲線?生:1.必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件：（）曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)

2、方程的解；（）同時(shí)以這個(gè)方程的第一組解作為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上那么，這個(gè)方程就稱作曲線的方程，而這條曲線就稱作這個(gè)方程的曲線師：請(qǐng)寫出圓心在原點(diǎn)，半徑為r的圓的方程，并說明求解方法(師板書O:)師：求圓的方程事實(shí)上是探求圓上任一點(diǎn)（x,y）的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系式.能用別的方法來(lái)探x、y之間的關(guān)系嗎？生：師：（誘導(dǎo)一下）不用剛才的方法給我們直接求x、y的關(guān)系帶來(lái)了困難，能否考慮用間接的方法來(lái)求？即在x、y之間是否能建立一座橋梁，使之聯(lián)系起來(lái)？（計(jì)算機(jī)演示動(dòng)畫，如圖）師：驅(qū)使運(yùn)動(dòng)的因素是什么？生：旋轉(zhuǎn)角.師：當(dāng)我們把x軸作為角始邊，并使繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)考慮在什么范圍內(nèi)取值就可以形成整個(gè)圓了？生：

3、師：至此x、y之間的關(guān)系已通過聯(lián)系起來(lái)了，誰(shuí)能具體地說說它們之間的關(guān)系？生3：    （c0,2,為變量，r為常數(shù)）（生敘述，師板書）師：式是的方程嗎？生：式是的方程.師：請(qǐng)說明理由.生：（生敘述，師板書）（）任取上一點(diǎn)，總存在 ，由三角函數(shù)定義知 ，顯然滿足方程；（）任取,由得即M（）所以所以在上.由（）、（）知是的方程.師：既然是的方程，那么它應(yīng)該和是一致的，兩者能統(tǒng)一起來(lái)嗎？生：能，消去即可師：這里，我們從另一個(gè)角度重新審視了圓，通過第三個(gè)變量把圓上任意一點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)x、y聯(lián)系了起來(lái)，獲得了圓的方程的另一種形式.通過間接的方法把某兩個(gè)變量聯(lián)系起來(lái)的例子不僅

4、幾何中有，在生產(chǎn)實(shí)踐、軍事技術(shù)、工程建設(shè)中也有.特別在兩個(gè)變量之間的直接關(guān)系不易建立時(shí)，常用間接的方法將它們聯(lián)系起來(lái).請(qǐng)同學(xué)們?cè)倏匆粋€(gè)例子.炮兵在射擊目標(biāo)時(shí)，需要考慮炮彈的飛行軌跡、射程等等.現(xiàn)在，我們假設(shè)一個(gè)炮兵射擊目標(biāo)，炮彈的發(fā)射角為，發(fā)射的初速度為.請(qǐng)同學(xué)們幫他求出彈道曲線的方程。（不計(jì)空氣阻力）師：同學(xué)們是否知道炮彈飛行軌跡的形狀？請(qǐng)同學(xué)們大概地畫一下.（師從同學(xué)們畫出的圖形中，選出一種畫在黑板上，如圖.）師：一般同學(xué)們都知道是軌物線的一段.現(xiàn)在的問題就是怎樣求彈道曲線的方程（即點(diǎn)的軌跡方程），請(qǐng)思考求點(diǎn)的軌跡方程的首要工作是什么？生：建系.師：怎樣建系？（請(qǐng)同學(xué)們自行建系）（師將同學(xué)

5、們種不同的建系方式依樣畫在黑板上或用投影儀直接打出。如圖（）、（）、（）、（）師：怎樣建系由我們自己決定，然而我們總希望建立的坐標(biāo)系較合乎常理，且使問題的求解方便一些，方程簡(jiǎn)單一些.現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們從上述種建系方式中選擇較恰當(dāng)?shù)囊环N.生：（較一致地否定了（）、（），對(duì)（）、（）眾說紛紜.）師：（引導(dǎo)學(xué)生作常規(guī)分析）炮彈飛行與時(shí)間t有關(guān)，當(dāng)t=0時(shí)，炮彈還在炮口位置，它是炮彈飛行的初始位置（起始點(diǎn)），這個(gè)起始點(diǎn)放在坐標(biāo)系的什么位置才較好地合乎常理呢？生：放在原點(diǎn)位置，即取炮口為原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸，建立直角坐標(biāo)系，因此選圖（）.師：坐標(biāo)系建立起來(lái)了，接著該做什么了呢？生：設(shè)標(biāo)，設(shè)炮彈發(fā)射后的位置為（

6、x，y）.師：下面該進(jìn)行哪一步了？生：列式.師：怎么列？x與y之間的直接關(guān)系明顯嗎？生：不明顯.師：那么怎樣把x、y之間的關(guān)系聯(lián)系起來(lái)呢？生：像剛才用第三變量表示圓上任一點(diǎn)的坐標(biāo)x、y之間的關(guān)系一樣，通過間接的辦法把x、y聯(lián)系起來(lái).師：很好！那么這里的第三變量是什么呢？它又能怎樣把x、y聯(lián)系起來(lái)呢？生：剛才圓上點(diǎn)是依賴于角的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)的，第三變量就選擇了，我想這里要把x、y之間的關(guān)系建立起來(lái)，也要分析一下炮彈的運(yùn)動(dòng)方式，看看炮彈的位置是依賴于哪個(gè)量的變化而變化的.師：非常好！讓我們一起來(lái)分析炮彈的運(yùn)動(dòng)方式.這里，炮彈的運(yùn)動(dòng)實(shí)際上是物理學(xué)中的斜拋運(yùn)動(dòng).炮彈在水平方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上作

7、豎直上拋運(yùn)動(dòng)（由于受重力作用，炮彈作初速度不為零的勻速直線運(yùn)動(dòng)）. 顯然在x、y分別是炮彈飛行過程中的水平位移和豎直位移（豎直高度），因此“怎樣列式”事實(shí)上是解決如何刻畫水平位移和豎直位移的問題.故應(yīng)考慮運(yùn)動(dòng)物體的位移與哪些量有關(guān).生：和速度、時(shí)間有關(guān).師：這里既有水平位移，又有豎直位移，那么在水平方向的初速度和豎直方向的初速度分別是多少？生：（如圖）在水平方向的初速度是0cos,在豎直方向的初速度是0cos.（生口述，師標(biāo)在圖上）師：時(shí)間有嗎？生：沒有.師：怎么辦？生：設(shè)出來(lái)，設(shè)為t.師：現(xiàn)在能分別求x和y了嗎？生：能！師：能對(duì)豎直方向上的位移作一解釋嗎？生：在豎直方向上，炮彈作豎直上拋運(yùn)動(dòng)

8、，即炮彈受重力的作用作初速度不為零的勻減速直線運(yùn)動(dòng).所以師：這里我們把水平位移和豎直位移都用時(shí)間t表示出來(lái)了，即把x、y都表示成了t的函數(shù)，t是否應(yīng)該有一個(gè)確定的范圍？生：有，令y=0，故0t師：當(dāng)時(shí)，炮彈運(yùn)動(dòng)到什么位置了？生：剛落地.師：不錯(cuò)！是炮彈的落地時(shí)刻，為書寫方便，我們記,則： (0tT)  師：（挑戰(zhàn)性的）這個(gè)方程組表示的是彈道曲線的方程嗎？生：是.師：誰(shuí)能簡(jiǎn)要地作一下說明？生：顯然，任給軌跡上一點(diǎn),由方程組的建立過程知其坐標(biāo)x0、y適合方程組；反之當(dāng)t在內(nèi)任取某一個(gè)值時(shí)，由方程組就可確定當(dāng)時(shí)炮彈所在位置（即表示炮彈的點(diǎn)在曲線上）.故就是炮彈飛行的軌跡方程.師：很好！前面

9、我們舉了兩個(gè)例子，這兩個(gè)方程組有一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系不是直接的，而是通過第三個(gè)變量間接地聯(lián)系起來(lái)的.例1中旋轉(zhuǎn)角參與了方程組的建立，且x、y都是的函數(shù)；例2中時(shí)間t參與了方程組的建立，且x、y都是t的函數(shù).這些特點(diǎn)是以前建立的直接反映x、y關(guān)系的方程所不具備的，它和我們以前所熟悉的曲線的方程表達(dá)形式是不一樣的，誰(shuí)能給這樣的曲線方程起個(gè)名字嗎？生：參數(shù)方程.（師隨即寫出課題參數(shù)方程，指出聯(lián)系x、y之間關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù).）師：例中我們看到圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x、y，都是參數(shù)的函數(shù)，且對(duì)于內(nèi)的任意一個(gè)值，由所確定的點(diǎn)（x、y）都在圓上；例中，我們看到炮彈的任意一

10、個(gè)位置，即軌跡上任一點(diǎn)的坐標(biāo)x、y都是t的函數(shù)，且對(duì)于任一個(gè)t的允許值，由確定的點(diǎn)（x、y）都在軌跡上.這樣的方程我們剛才稱它為參數(shù)方程，誰(shuí)能通過剛才的例子，歸納出一般曲線的參數(shù)方程的定義？生：（定義）在給定的坐標(biāo)系中，如果曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)x、y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)且對(duì)于t的每一個(gè)允許值，由所確定的點(diǎn)（x、y）都在這條曲線上，則就叫做這條曲線的參數(shù)方程，t稱作參變數(shù)，簡(jiǎn)稱參數(shù).（生途述，師板書）師：相對(duì)于參數(shù)方程來(lái)說，以前的方程是有所不同的（顯得那樣的普通）.為了區(qū)別起見，我們把以前學(xué)過的方程稱作曲線的普遍方程.師：從上面兩個(gè)例子看出，參數(shù)可以有明確的幾何意義（例子中的旋轉(zhuǎn)角，主何的也可以有

11、顯的物理意義（例中的時(shí)間t物理的.）事實(shí)上，除此之外，還可以是沒有明顯意義的變數(shù)，即使是同一條曲線，也可以用不同的變數(shù)作參數(shù).請(qǐng)同學(xué)們考慮，在例中還可以用什么變數(shù)作參數(shù)？生：設(shè)弧長(zhǎng)l為參數(shù)，由于l=r，故=lr，所以(l是參數(shù)，0l2r)（生敘述，師板書）師：還可以用別的變數(shù)作參數(shù)嗎？生：師：（點(diǎn)撥一下）前面我們用旋轉(zhuǎn)角作為參數(shù)，可以用什么表示？生：明白了，可設(shè)的角速度為，運(yùn)動(dòng)所用時(shí)間為t，旋轉(zhuǎn)角為，則=t.所以(t為參數(shù)，t.（生敘述，師板書）師：曲線參數(shù)方程的建立，不但能使曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)較容易通過參數(shù)聯(lián)系起來(lái)，同時(shí)某些情況下還可較好地反映變數(shù)的實(shí)際意義，如例中，x 表示炮彈飛行的

12、水平位移，y表示炮彈飛行的豎直高度.能求出炮彈的最大水平射程和相應(yīng)的最大豎直高度嗎？生：能！師：請(qǐng)一位同學(xué)具體說說.生：上面曾求得炮彈落地時(shí)刻t=20sin g,當(dāng)t=20sin g時(shí)，x=v0cos·g 2v02sin g=v02sin2 g,當(dāng)= 2,即= 時(shí)，x最大=02  g.此時(shí)，即當(dāng)= 4,t=0sin g時(shí)，y最大=0sin·0sin g-12gv02sin2 g2= v02sin2 2g=v02(2 2)2 2g=v02  4g.（生敘述，師板書）師：今天這節(jié)課上，通過兩個(gè)具體問題的研究，我們自行給出了參數(shù)方程的定義（口述），并且明確了參

13、數(shù)的意義（結(jié)合例題口述），初步掌握了求曲線參數(shù)方程的思路.通過彈道曲線參數(shù)方程的探求，使我們體會(huì)到了數(shù)學(xué)源于實(shí)踐，又服務(wù)于實(shí)踐的真諦，培養(yǎng)了我們善于思考，勇于探索的精神.今天的作業(yè)第頁(yè)第題.設(shè)計(jì)說明未來(lái)社會(huì)對(duì)人才素質(zhì)的要求越來(lái)越高.高素質(zhì)人才的培養(yǎng)對(duì)學(xué)校教育提出了更高的要求.由于人的素質(zhì)是多方面的，因此課堂教學(xué)的目的不但要向?qū)W生傳授科學(xué)知識(shí)，而且還要努力發(fā)展學(xué)生的思維，提高學(xué)生的能力，培養(yǎng)學(xué)生的個(gè)性品質(zhì).顯然這種多元化的教學(xué)目標(biāo)對(duì)于全面提高學(xué)生的素質(zhì)有著重要的作用.本節(jié)課的3個(gè)教學(xué)目標(biāo)正是據(jù)于這樣的思考而制定的.這節(jié)課按如下個(gè)步驟逐漸展開：（）圓的參數(shù)方程；（）彈道曲線的參數(shù)方程；請(qǐng)學(xué)生幫助炮

14、兵求彈道曲線的方程；讓學(xué)生由熟悉的感知事實(shí)得抽象的幾何圖形；選擇原點(diǎn)，恰當(dāng)建系；分析炮彈運(yùn)動(dòng)方式，恰當(dāng)選擇參數(shù)；建立方程，檢驗(yàn)二性（純粹性，完備性）；（3）參數(shù)方程的一般定義；（）兩個(gè)例子的進(jìn)一步研究（兼作例題）；（）課堂小結(jié)；（）布置作業(yè).主要據(jù)于如下理由：相對(duì)于彈道曲線來(lái)說，學(xué)生對(duì)圓感到既熟悉，又簡(jiǎn)單.從簡(jiǎn)單而又熟悉的圓開始研究，符合循序漸進(jìn)的原則，縮短了學(xué)生思維的“跨度/加快了學(xué)生思維的步伐，為學(xué)生利用類比的方法，進(jìn)一步研究彈道曲線的方程（參數(shù)方程），提供了可參照的“樣本”.這對(duì)于發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力都是十分有益的.在探求彈道曲線的參數(shù)方程中，如果按教材中直接取炮口

15、為原點(diǎn)，水平方向?yàn)閤軸，建立直角坐標(biāo)系，并直接由物理學(xué)中的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直上拋運(yùn)動(dòng)的位移公式得參數(shù)方程（t為參數(shù)），那么，（）中的、步均可省略.這種直接地把知識(shí)和盤托出的教法（其實(shí)是“奉送”）確能使課堂上節(jié)約不少時(shí)間，然而對(duì)于激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)的應(yīng)用意義，發(fā)揮學(xué)生的主體參與，揭示知識(shí)的形成過程，誘發(fā)學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)新知識(shí)都起不到任何作用.這里插入步驟、，則充分調(diào)動(dòng)了主體的積極性，各類學(xué)生都情不自禁地加入到探索、求知的行列.整個(gè)知識(shí)的形成過程，猶如“歷史在戲劇中的重演”，而學(xué)生正是這一“歷史劇”中的演員，教師則是導(dǎo)演.同時(shí)，學(xué)生還能從中品味發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的樂趣，體會(huì)知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值.常此以往，堅(jiān)持不懈，學(xué)生的素質(zhì)必將得到極大的提高.通過圓及彈道曲線的參數(shù)方程的特點(diǎn)分析，讓學(xué)生自行給分類方程命名，這種把命名權(quán)交給學(xué)生的做法極大地尊重了學(xué)生的主體地位，強(qiáng)化了學(xué)生的主體意識(shí).在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生給出曲線參數(shù)方程的一般定義.旨在培養(yǎng)學(xué)生由具體到抽象的推理能力.第（）步中，將兩個(gè)例子作了進(jìn)一步研究.通過對(duì)圓的參數(shù)方程的不