江蘇2014一輪復(fù)習(xí)試題選編-數(shù)學(xué)15：數(shù)列綜合問題（學(xué)生版）

1、江蘇省2014屆一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)試題選編15：數(shù)列綜合問題填空題 （江蘇省海門市四校2013屆高三11月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷 ）已知數(shù)列滿足,則該數(shù)列的前20項(xiàng)的和為_. （江蘇海門市2013屆高三上學(xué)期期中考試模擬數(shù)學(xué)試卷）如圖所示的螺旋線是用以下方法畫成的,是邊長(zhǎng)為1的正三角形,曲線分別是為圓心,為半徑畫的弧,曲線稱為螺旋線的第一圈;然后又以A為圓心,半徑畫弧,如此繼續(xù)下去,這樣畫到第圈.設(shè)所得螺旋線的總長(zhǎng)度為,則=_ （江蘇省蘇南四校2013屆高三12月月考試數(shù)學(xué)試題）數(shù)列的通項(xiàng),其前項(xiàng)和為,則為_. （江蘇省泰州、南通、揚(yáng)州、宿遷、淮安五市2013屆高三第三次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷）已知實(shí)數(shù)a1,a2,

2、a3,a4滿足a1a2a3,a1a42a2a4a2,且a1a2a3,則a4的取值范圍是_. （南京市四星級(jí)高級(jí)中學(xué)2013屆高三聯(lián)考調(diào)研考試（詳細(xì)解答）2013年3月 ）已知,則_. （江蘇省連云港市2013屆高三上學(xué)期摸底考試（數(shù)學(xué)）（選修物理）個(gè)正整數(shù)排列如下:1，2,3,4,n2，3,4,5,n+l3，4,5,6, n+2n,n+l,n+2,n+3,2n一1則這個(gè)正整數(shù)的和S=_. （江蘇省姜堰市20122013學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)期中調(diào)研(附答案) ）設(shè)等比數(shù)列的公比,表示數(shù)列的前n項(xiàng)的和,表示數(shù)列的前n項(xiàng)的乘積,表示的前n項(xiàng)中除去第k項(xiàng)后剩余的n-1項(xiàng)的乘積,即,則數(shù)列的前n項(xiàng)的和

3、是_(用和q表示) （江蘇省鹽城市2013屆高三10月摸底考試數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足,則其前99項(xiàng)和=_. （南京市、鹽城市2013屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷）已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=-n+p,數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn=2n-5.設(shè)cn=若在數(shù)列cn中,c8>cn(nN*,n8),則實(shí)數(shù)p的取值范圍是_.（江蘇省連云港市2013屆高三上學(xué)期摸底考試（數(shù)學(xué)）（選修歷史）已知,則第n個(gè)等式為_.（揚(yáng)州市2012-2013學(xué)年度第一學(xué)期期末檢測(cè)高三數(shù)學(xué)試題）如圖所示:矩形的一邊在軸上,另兩個(gè)頂點(diǎn)、在函數(shù)的圖像上,若點(diǎn)的坐標(biāo)為),矩形的周長(zhǎng)記為,則_.（揚(yáng)州市2012-2013學(xué)年度第一

4、學(xué)期期末檢測(cè)高三數(shù)學(xué)試題）數(shù)列滿足,且 =2,則的最小值為_. 解答題（江蘇省蘇南四校2013屆高三12月月考試數(shù)學(xué)試題）設(shè)數(shù)列滿足:是整數(shù),且是關(guān)于x的方程的根.(1)若且n2時(shí),求數(shù)列an的前100項(xiàng)和S100;(2)若且求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（南京市、淮安市2013屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷）已知數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù),且對(duì)任意,都有(k為常數(shù)).(1)若,求證:成等差數(shù)列;(2)若k=0,且成等差數(shù)列,求的值;(3)已知(為常數(shù)),是否存在常數(shù),使得對(duì)任意都成立?若存在.求出;若不存在,說明理由.（江蘇海門市2013屆高三上學(xué)期期中考試模擬數(shù)學(xué)試卷）已知數(shù)列an和bn滿足:,其中為實(shí)數(shù),n為

5、正整數(shù).()若數(shù)列an前三項(xiàng)成等差數(shù)列,求的值;()試判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列,并證明你的結(jié)論;()設(shè)0<a<b,Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和.是否存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意正整數(shù)n,都有a<Sn<b?若存在,求的取值范圍;若不存在,說明理由.（鎮(zhèn)江市2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若數(shù)列滿足,N* ,證明.（江蘇省揚(yáng)州市2013屆高三下學(xué)期5月考前適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列為階“期待數(shù)列”:;.(1)若等比數(shù)列為 ()階“期待數(shù)列”,求公比;(2)若一個(gè)等差數(shù)列既是 ()階“期待數(shù)列”又

6、是遞增數(shù)列,求該數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)記階“期待數(shù)列”的前項(xiàng)和為:()求證:;()若存在使,試問數(shù)列能否為階“期待數(shù)列”?若能,求出所有這樣的數(shù)列;若不能,請(qǐng)說明理由. （江蘇省2013屆高三高考模擬卷（二）（數(shù)學(xué)） ）已知數(shù)列滿足(nN*),且a2=6.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)(nN*,c為非零常數(shù)),若數(shù)列bn是等差數(shù)列,記cn=,Sn=c1+c2+cn,求Sn.（鎮(zhèn)江市2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）一位幼兒園老師給班上個(gè)小朋友分糖果.她發(fā)現(xiàn)糖果盒中原有糖果數(shù)為,就先從別處抓2塊糖加入盒中,然后把盒內(nèi)糖果的分給第一個(gè)小朋友;再從別處抓2塊糖加入盒中,然后把盒內(nèi)糖果的分給

7、第二個(gè)小朋友;,以后她總是在分給一個(gè)小朋友后,就從別處抓2塊糖放入盒中,然后把盒內(nèi)糖果的分給第個(gè)小朋友.如果設(shè)分給第個(gè)小朋友后(未加入2塊糖果前)盒內(nèi)剩下的糖果數(shù)為.(1)當(dāng),時(shí),分別求;(2)請(qǐng)用表示;令,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)是否存在正整數(shù)和非負(fù)整數(shù),使得數(shù)列成等差數(shù)列,如果存在,請(qǐng)求出所有的和,如果不存在,請(qǐng)說明理由.（江蘇省徐州市2013屆高三上學(xué)期模底考試數(shù)學(xué)試題）已知整數(shù)的所有3個(gè)元素的子集記為A1,A2,AC.(1)當(dāng)n=5時(shí),求集合A1,A2,AC中所有元素之和;(2)設(shè)mi為Ai中的最小元素,設(shè)（江蘇省鹽城市2013屆高三年級(jí)第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷）設(shè)是各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)的數(shù)

8、列的前項(xiàng)和,給出如下兩個(gè)命題上:命題:是等差數(shù)列;命題:等式對(duì)任意()恒成立,其中是常數(shù).若是的充分條件,求的值;對(duì)于中的與,問是否為的必要條件,請(qǐng)說明理由;若為真命題,對(duì)于給定的正整數(shù)()和正數(shù)M,數(shù)列滿足條件,試求的最大值.（江蘇省泰州市2012-2013學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高三數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列,其中(1)求滿足=的所有正整數(shù)n的集合(2)n16,求數(shù)列的最大值和最小值(3)記數(shù)列的前 n項(xiàng)和為,求所有滿足(m<n)的有序整數(shù)對(duì)(m,n)（南京市、鹽城市2013屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷）如圖，一顆棋子從三棱柱的一個(gè)頂點(diǎn)沿棱移到相鄰的另一個(gè)頂點(diǎn)的概率均為，剛開始時(shí)，棋

9、子在上底面點(diǎn)A處，若移了n次后，棋子落在上底面頂點(diǎn)的概率記為pn（1）求p1，p2的值；（2）求證：ABCDEF（第23題）（2012-2013學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（二）數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足,.(1)求,猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明;(2)設(shè),比較與的大小.（江蘇省泰州、南通、揚(yáng)州、宿遷、淮安五市2013屆高三第三次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷）已知數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為的等差數(shù)列,數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列.(1)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和;(2)若存在正整數(shù),使得.試比較與的大小,并說明理由.（江蘇省南通市、泰州市、揚(yáng)州市、宿遷市2013屆高三第二次調(diào)研（3月）測(cè)試數(shù)學(xué)試題）設(shè)

10、無窮數(shù)列滿足：，.記.（1）若，求證：=2，并求的值；（2）若是公差為1的等差數(shù)列，問是否為等差數(shù)列，證明你的結(jié)論（2011年高考（江蘇卷）設(shè)為部分正整數(shù)組成的集合,數(shù)列的首項(xiàng),前項(xiàng)和為,已知對(duì)任意的整數(shù),當(dāng)整數(shù)時(shí),都成立.(1)設(shè),求的值;(2)設(shè),求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（江蘇省連云港市2013屆高三上學(xué)期摸底考試（數(shù)學(xué)）（選修物理）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且,數(shù)列為等比數(shù)列,且=l,=64.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項(xiàng)和;(3)在(2)的條件下, 數(shù)列中是否存在三項(xiàng),使得這三項(xiàng)成等差數(shù)列?若存在,求出此三項(xiàng),若不存在,說明理由.（蘇北老四所縣中2013屆高三新學(xué)期調(diào)研考試

11、）已知，是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且，點(diǎn)共線，且 (1)求點(diǎn)坐標(biāo)(2)若 求（3）若，記為數(shù)列前n項(xiàng)的和，若時(shí)，對(duì)一切都成立，試求的取值范圍。（江蘇省海門市四校2013屆高三11月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷 ）已知數(shù)列 和滿足 ,的前項(xiàng)和為.()當(dāng)m=1時(shí),求證:對(duì)于任意的實(shí)數(shù)一定不是等差數(shù)列; () 當(dāng)時(shí),試判斷是否為等比數(shù)列;()在()條件下,若對(duì)任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的范圍. （蘇州市第一中學(xué)2013屆高三“三模”數(shù)學(xué)試卷及解答）已知數(shù)列,且滿足().(1)若,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,且.記,求證:數(shù)列為常數(shù)列;(3)若,且,.求數(shù)列的前項(xiàng)和.（蘇北三市（徐州、淮安、宿遷）2013屆高三第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)

12、試卷）已知數(shù)列滿足且(1)計(jì)算的值,由此猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式,并給出證明;(2)求證:當(dāng)時(shí),（2013江蘇高考數(shù)學(xué)）本小題滿分10分.設(shè)數(shù)列,即當(dāng)時(shí),記,對(duì)于,定義集合(1)求集合中元素的個(gè)數(shù); (2)求集合中元素的個(gè)數(shù).（江蘇省2013屆高三高考模擬卷（二）（數(shù)學(xué)） ）已知Sn=1+.(1)求S2,S4的值;(2)若Tn=,試比較與Tn的大小,并給出證明.（江蘇省無錫市2013屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷）已知數(shù)列an中,a1=2,nN+,an>0,數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn,且滿足.()求Sn的通項(xiàng)公式;()設(shè)bk是Sn)中的按從小到大順序組成的整數(shù)數(shù)列.(1)求b3;(2)存在N(NN+

13、),當(dāng)nN時(shí),使得在Sn中,數(shù)列bk有且只有20項(xiàng),求N的范圍.（江蘇省揚(yáng)州市2013屆高三上學(xué)期期中調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題）設(shè)數(shù)列,對(duì)任意都有,(其中、是常數(shù)).(1)當(dāng),時(shí),求;(2)當(dāng),時(shí),若,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)若數(shù)列中任意(不同)兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng),則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”.當(dāng),時(shí),設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和,試問:是否存在這樣的“封閉數(shù)列” ,使得對(duì)任意,都有,且.若存在,求數(shù)列的首項(xiàng)的所有取值;若不存在,說明理由.（江蘇省鹽城市2013屆高三年級(jí)第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷）已知數(shù)列滿足,.(1)證明:();(2)證明:.（江蘇省蘇州市五市三區(qū)2013屆高三期中考試數(shù)學(xué)試題 ）已知數(shù)列的相

14、鄰兩項(xiàng),是關(guān)于的方程的兩根,且.(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列;(2)設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和,問是否存在常數(shù),使得對(duì)任意都成立,若存在,求出的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.（蘇北三市（徐州、淮安、宿遷）2013屆高三第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷）已知且令且對(duì)任意正整數(shù),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若對(duì)任意的正整數(shù),恒成立,問是否存在使得為等比數(shù)列?若存在,求出滿足的條件;若不存在,說明理由;(3)若對(duì)任意的正整數(shù)且求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（江蘇省南京市2013屆高三9月學(xué)情調(diào)研試題（數(shù)學(xué)）WORD版）已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1=a,Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和,且滿足:S=3n2an+S,an0,n2,nN

15、*.(1)若數(shù)列an是等差數(shù)列,求a的值;(2)確定a的取值集合M,使aM時(shí),數(shù)列an是遞增數(shù)列.（南京市四星級(jí)高級(jí)中學(xué)2013屆高三聯(lián)考調(diào)研考試（詳細(xì)解答）2013年3月 ）已知為實(shí)數(shù),數(shù)列滿足,當(dāng)時(shí), ();()證明:對(duì)于數(shù)列,一定存在,使;()令,當(dāng)時(shí),求證:（徐州、宿遷市2013屆高三年級(jí)第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷）已知數(shù)列滿足:,.若,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,證明:.（南京市、鹽城市2013屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷）記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)若a1=1,且對(duì)任意正整數(shù)n,k(n>k),都有+=2成立,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(

16、3)記bn=a (a>0),求證:.（江蘇省徐州市2013屆高三期中模擬數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列中,且點(diǎn)在直線上.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (2)求函數(shù)的最小值;(3)設(shè)表示數(shù)列的前項(xiàng)和.試問:是否存在關(guān)于的整式,使得對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)恒成立? 若存在,寫出的解析式,并加以證明;若不存在,試說明理由.（南通市2013屆高三第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷）解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.已知數(shù)列an滿足:.(1)若,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)若,試證明:對(duì),an是4的倍數(shù).（2011年高考（江蘇卷）設(shè)整數(shù),是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn),其中(1)記為滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù),求;(2)記為滿足是整數(shù)的

17、點(diǎn)的個(gè)數(shù),求（南通市2013屆高三第一次調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷）已知數(shù)列an中,a2=1,前n項(xiàng)和為Sn,且.(1)求a1;(2)證明數(shù)列an為等差數(shù)列,并寫出其通項(xiàng)公式;(3)設(shè),試問是否存在正整數(shù)p,q(其中1<p<q),使b1,bp,bq成等比數(shù)列?若存在,求出所有滿足條件的數(shù)組(p,q);若不存在,說明理由.（江蘇省海門市四校2013屆高三11月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷 ）設(shè)函數(shù),數(shù)列滿足.(1)若,試比較與的大小;(2)若,求證:對(duì)任意恒成立.（江蘇省南通市、泰州市、揚(yáng)州市、宿遷市2013屆高三第二次調(diào)研（3月）測(cè)試數(shù)學(xué)試題）為穩(wěn)定房?jī)r(jià)，某地政府決定建造一批保障房供給社會(huì).計(jì)劃用1

18、0;600萬元購得一塊土地，在該土地上建造10幢樓房的住宅小區(qū)，每幢樓的樓層數(shù)相同，且每層建筑面積均為1 000平方米，每平方米的建筑費(fèi)用與樓層有關(guān)，第x層樓房每平方米的建筑費(fèi)用為(kx+800)元(其中k為常數(shù)) 經(jīng)測(cè)算，若每幢樓為5層，則該小區(qū)每平方米的平均綜合費(fèi)用為1 270元. (每平方米平均綜合費(fèi)用)（1）求k的值；（2）問要使該小區(qū)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最低，應(yīng)將這10幢樓房建成多少層？此時(shí)每平方米的平均綜合費(fèi)用為多少元？（連云港市2012-2013學(xué)年度第一學(xué)期高三期末考試數(shù)學(xué)試卷）已知數(shù)列an中,a2=a(a為非零常數(shù)),其前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn=(n&

19、#206;N*).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)若a=2,且,求m、n的值;(3)是否存在實(shí)數(shù)a、b,使得對(duì)任意正整數(shù)p,數(shù)列an中滿足的最大項(xiàng)恰為第3p-2項(xiàng)?若存在,分別求出a與b的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.江蘇省2014屆一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)試題選編15：數(shù)列綜合問題參考答案填空題 2101 . 470 9 (12,17) 216 解答題 ()證明:, 由條件可得,所以 ()解:因?yàn)閎n+1=(-1)n+1an+1-3(n-1)+9=(-1)n+1(an-2n+6) =(-1)n·(an-3n+9)=-bn 又b1=,所以 當(dāng)=-6時(shí),bn=0(nN+),此時(shí)bn不是等比數(shù)列

20、, 當(dāng)-6時(shí),b1=0,由上可知bn0,(nN+). 故當(dāng)-6時(shí),數(shù)列bn是以-(+6)為首項(xiàng),-為公比的等比數(shù)列. ()由()知,當(dāng)=-6,bn=0,Sn=0,不滿足題目要求. -6,故知bn= -(+6)·(-)n-1,于是可得 Sn= 要使a<Sn<b對(duì)任意正整數(shù)n成立, 即a<-(+6)·1-(-)n<b(nN+) 當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),1<f(n) f(n)的最大值為f(1)=,f(n)的最小值為f(2)= , 于是,由式得a<-(+6)< 當(dāng)a<b3a時(shí),由-b-6-3a-6,不存在實(shí)數(shù)滿足題目要求; 當(dāng)b>3a時(shí)

21、存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意正整數(shù)n,都有a<Sn<b, 且的取值范圍是(-b-6, -3a-6) 解:(1)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù). 在區(qū)間上恒成立, ,又在區(qū)間上是增函數(shù) 即實(shí)數(shù)的取值范圍為 (2)先用數(shù)學(xué)歸納法證明. 當(dāng)時(shí),成立, 假設(shè)時(shí),成立, 當(dāng)時(shí),由(1)知時(shí),函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù) , 即成立, 當(dāng)時(shí),成立 下證. . 綜上 解:(1)若,則由=0,得, 由得或. 若,由得,得,不可能. 綜上所述,. (2)設(shè)等差數(shù)列的公差為,>0. , , >0,由得, 由題中的、得, , 兩式相減得, , 又,得, . (3)記,中非負(fù)項(xiàng)和為,負(fù)項(xiàng)和為, 則,得, (),即. (

22、)若存在使,由前面的證明過程知: , 且. 記數(shù)列的前項(xiàng)和為, 則由()知, =,而, ,從而, 又, 則, , 與不能同時(shí)成立, 所以,對(duì)于有窮數(shù)列,若存在使,則數(shù)列和數(shù)列不能為階“期待數(shù)列”. 解:(1)由,得(n-1)an+1-(n+1)an=-(n+1),當(dāng)n2時(shí), 有-=-, 所以,-=-=-(-), 由疊加法,得 當(dāng)n3時(shí),an=n(2n-1) 把n=1,a2=6代入,得a1=1,經(jīng)驗(yàn)證:a1=1,a2=6均滿足an=n(2n-1). 綜上,an=n(2n-1),nN* (2)由(1)可知:bn=,于是b1=,b2=,b3=, 由數(shù)列bn是等差數(shù)列,得b1+b3=2 b2,即+=,

23、解得c=-(c=0舍去). 此時(shí),bn=2n,所以,數(shù)列bn是等差數(shù)列.所以c=-滿足題意 所以,cn=. 所以Sn=1+,由錯(cuò)位相減法,得Sn=4- 解:(1)當(dāng),時(shí), , , (2)由題意知: , 即, , 累加得, 又, (3)由,得, 若存在正整數(shù)和非負(fù)整數(shù),使得數(shù)列成等差數(shù)列, 則, 即, 當(dāng)時(shí), ,對(duì)任意正整數(shù),有成等差數(shù)列 注:如果驗(yàn)證不能成等差數(shù)列,不扣分 【說明】本題主要考查數(shù)列的定義、通項(xiàng)求法;考查反證法;考查遞推思想;考查推理論證能力;考查閱讀理解能力、建模能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題能力.本題還可以設(shè)計(jì):如果班上有5名小朋友,每個(gè)小朋友都分到糖果,求的最小值. (1)當(dāng)n=5

24、時(shí),含元素1的子集中,必有除1以外的兩個(gè)數(shù)字,兩個(gè)數(shù)字的選法有=6個(gè),所以含有數(shù)字1的幾何有6個(gè).同理含2,3,4,5的子集也各有6個(gè), 于是所求元素之和為(1+2+3+4+5)×=6×15=90 (2)證明:不難得到1min-2,miZ,并且以1為最小元素的子集有個(gè),以2為最小元素的子集有個(gè),以3為最小元素的子集有,以n-2為最小元素的子集有個(gè).則 解:(1)設(shè)的公差為,則原等式可化為 所以, 即對(duì)于恒成立,所以 (2)當(dāng)時(shí),假設(shè)是否為的必要條件,即“若對(duì)于任意的恒成立,則為等差數(shù)列”. 當(dāng)時(shí),顯然成立 當(dāng)時(shí),由-得, ,即. 當(dāng)時(shí),即、成等差數(shù)列, 當(dāng)時(shí),即.所以為等差

25、數(shù)列,即是否為的必要條件 (3)由,可設(shè),所以. 設(shè)的公差為,則,所以, 所以, ,所以的最大值為 (1)an+1=|bn|,n-15=|n-15|,當(dāng)n15時(shí),an+1=|bn|恒成立, 當(dāng)n<15時(shí),n-15=-(n-15) ,n=15 n的集合n|n15,nN* (2)= (i)當(dāng)n>16時(shí),n取偶數(shù)=1+ 當(dāng)n=18時(shí)()max=無最小值 n取奇數(shù)時(shí)=-1- n=17時(shí)()min=-2無最大值 (ii)當(dāng)n<16時(shí), = 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)=-1- n=14時(shí)()max=-()min=- 當(dāng)n奇數(shù) =1+ , n=1 , ()max=1-=, n=15,()min=0 綜上

26、,最大值為(n=18)最小值-2(n=17) (3)n15時(shí),bn=(-1)n-1(n-15),a2k-1b2k-1+a2kb2k=2 (16-2k)0 ,n>15時(shí),bn=(-1)n(n-15),a2k-1b2k-1+a2kb2k=2 (2k-16) >0,其中a15b15+a16b16=0 S16=S14 m=7, n=8 解（1）p1，p2××(1) 2分（2）因?yàn)橐屏薾次后棋子落在上底面頂點(diǎn)的概率為pn，故落在下底面頂點(diǎn)的概率為1pn于是移了n1次后棋子落在上底面頂點(diǎn)的概率為pn+1pn(1pn)pn 4分從而pn+1(pn)所以數(shù)列pn是等比數(shù)列，其首

27、項(xiàng)為，公比為所以pn×()n1即pn× 6分用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，左式，右式，因?yàn)?，所以不等式成立?dāng)n2時(shí)，左式，右式，因?yàn)?，所以不等式成立假設(shè)nk(k2)時(shí)，不等式成立，即則nk1時(shí)，左式要證，只要證只要證只要證只要證3k+12k26k2因?yàn)閗2，所以3k+13(12)k3(12k4C)6k232k26k22k(2k3)12k26k2，所以即nk1時(shí)，不等式也成立由可知，不等式對(duì)任意的nN*都成立 10分 解:(1)依題意, 故, 所以, 令, 則, 得, , 所以 (2)因?yàn)? 所以,即, 故, 又, 所以 ()當(dāng)時(shí),由知 , ()當(dāng)時(shí),由知 , 綜上所述,當(dāng)時(shí),

28、;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),. (注:僅給出“時(shí),;時(shí),”得2分.) 【解】（1）因?yàn)?，所以若，則矛盾，若，可得矛盾，所以 4分于是，從而 7分（2）是公差為1的等差數(shù)列，證明如下： 9分時(shí)，所以， ，13分即，由題設(shè)，又，所以，即是等差數(shù)列16分 【命題立意】本小題考查數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系、等差數(shù)列的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查考生分析探究及邏輯推理的能力. 【解析】(1)由題設(shè)知,當(dāng)時(shí),即,從而.又,故當(dāng)時(shí),.所以的值為8. (2)由題設(shè)知,當(dāng)且時(shí),且. 兩式相減得,即. 所以當(dāng)時(shí),成等差數(shù)列,且也成等差數(shù)列. 從而當(dāng)時(shí), (*) 且,所以當(dāng)時(shí),即,于是當(dāng)時(shí),成等差數(shù)列,從而,故由(*)式知,即.當(dāng)

29、時(shí),設(shè). 當(dāng)時(shí),從而由(*)式知,故. 從而,于是. 因此,對(duì)任意的都成立.又由可知.故,解得,.因此數(shù)列為等差數(shù)列.由. 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為. 解（1）共線且,又（2）（3）令 解:(1) (2) (3),不成立 當(dāng)時(shí) 當(dāng)為奇數(shù)時(shí),當(dāng)為偶數(shù) 從而求得 ,解:() ()先證,即, 然后 ,數(shù)列為常數(shù)列 () ,猜想: 當(dāng)時(shí),結(jié)論成立; 假設(shè)當(dāng)時(shí),結(jié)論成立,即, 則當(dāng)時(shí), 即當(dāng)時(shí),結(jié)論也成立,由得,數(shù)列的通項(xiàng)公式為 原不等式等價(jià)于. 證明:顯然,當(dāng)時(shí),等號(hào)成立; 當(dāng)時(shí), , 綜上所述,當(dāng)時(shí), 本題主要考察集合.數(shù)列的概念與運(yùn)算.計(jì)數(shù)原理等基礎(chǔ)知識(shí),考察探究能力及運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法分析解決問題能力及

30、推理論證能力. (1)解:由數(shù)列的定義得:, , , 集合中元素的個(gè)數(shù)為5 (2)證明:用數(shù)學(xué)歸納法先證 事實(shí)上, 當(dāng)時(shí), 故原式成立 假設(shè)當(dāng)時(shí),等式成立,即 故原式成立 則:,時(shí), 綜合得: 于是 由上可知:是的倍數(shù) 而,所以是 的倍數(shù) 又不是的倍數(shù), 而 所以不是的倍數(shù) 故當(dāng)時(shí),集合中元素的個(gè)數(shù)為 于是當(dāng)時(shí),集合中元素的個(gè)數(shù)為 又 故集合中元素的個(gè)數(shù)為 解:(1)S2=1+=,S4=1+= (2)當(dāng)n=1,2時(shí),T1=,T2=,所以,=Tn. 當(dāng)n=3時(shí),T3=,S8=1+=>=T3. 于是,猜想,當(dāng)n3時(shí),>Tn 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明: 當(dāng)n3,顯然成立; 假設(shè)n=k(k3)

31、時(shí),>Tk; 那么,當(dāng)n=k+1時(shí),=+ >+(+)+(+) >+×2k-1+×2k-1=+=, 這就是說,當(dāng)n=k+1時(shí),>Tn. 根據(jù)、可知,對(duì)任意不小于3的正整數(shù)n,都有>Tn. 綜上,當(dāng)n=1,2時(shí),>Tn;當(dāng)n3時(shí),>Tn 解:( 1)當(dāng),時(shí), , 用去代得, -得, 在中令得,則0, 數(shù)列是以首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列, = (2)當(dāng),時(shí), 用去代得, -得, , 用去代得, -得,即, 數(shù)列是等差數(shù)列. ,公差, (3)由(2)知數(shù)列是等差數(shù)列,. 又是“封閉數(shù)列”,得:對(duì)任意,必存在使 , 得,故是偶數(shù), 又由已知

32、,故. 一方面,當(dāng)時(shí), ,對(duì)任意,都有. 另一方面, 當(dāng)時(shí), 則, 取,則,不合題意 當(dāng)時(shí),則 , 當(dāng)時(shí), , 又,或或或 第二部分(加試部分) (總分40分,加試時(shí)間30分鐘) (1)因?yàn)樗?假設(shè)當(dāng)時(shí),因?yàn)? 所以,由數(shù)學(xué)歸納法知,當(dāng)時(shí) (2)由(1)知,得, 所以所以即 所以,以此類推,得,問題得證 解:(1) ,是關(guān)于的方程的兩根, . 由,得, 故數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列 . (2)由(1)得, 即. 又 . 要使對(duì)任意都成立有: 當(dāng)為正奇數(shù)時(shí),有: , 所以有: ,即,對(duì)任意正奇數(shù)都成立. 又因?yàn)閱握{(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),有最小值1. . 當(dāng)為正偶數(shù)時(shí),有: , 即: 即: ,又因

33、為 所以有: ,即對(duì)任意正偶數(shù)都成立. 單調(diào)遞增, 所以當(dāng)時(shí),有最小值. . 綜上所述,在常數(shù),使得對(duì)任意都成立,的取值范圍是 . 當(dāng)時(shí), 且, 所以, 又當(dāng)時(shí),且, , 因此,數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列, 所以, 因?yàn)?所以,所以, , 假設(shè)存在,使得能構(gòu)成等比數(shù)列,則, 故,化簡(jiǎn)得,與題中矛盾, 故不存在,使得為等比數(shù)列 因?yàn)榍?所以 所以 所以, 由知,所以 , , 所以, 解:(1)在S=3n2an+S中分別令n=2,n=3,及a1=a得(a+a2)2=12a2+a2,(a+a2+a3)2=27a3+(a+a2)2,因?yàn)閍n0,所以a2=12-2a,a3=3+2a 因?yàn)閿?shù)列an是

34、等差數(shù)列,所以a1+a3=2a2,即2(12-2a)=a+3+2a,解得a=3 經(jīng)檢驗(yàn)a=3時(shí),an=3n,Sn=,Sn-1=滿足S=3n2an+S.(2)由S=3n2an+S,得S-S=3n2an,即(Sn+Sn-1)(Sn-Sn-1)=3n2an,即(Sn+Sn-1)an=3n2an,因?yàn)閍n0,所以Sn+Sn-1=3n2,(n2), 所以Sn+1+Sn=3(n+1)2,-,得an+1+an=6n+3,(n2). 所以an+2+an+1=6n+9,-,得an+2-an=6,(n2)即數(shù)列a2,a4,a6,及數(shù)列a3,a5,a7,都是公差為6的等差數(shù)列, 因?yàn)閍2=12-2a,a3=3+2a

35、.所以an= 要使數(shù)列an是遞增數(shù)列,須有a1<a2,且當(dāng)n為大于或等于3的奇數(shù)時(shí),an<an+1,且當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an<an+1,即a<12-2a,3n+2a-6<3(n+1)-2a+6(n為大于或等于3的奇數(shù)),3n-2a+6<3(n+1)+2a-6(n為偶數(shù)),解得<a<.所以M=(,),當(dāng)aM時(shí),數(shù)列an是遞增數(shù)列 解:()由題意知數(shù)列的前34項(xiàng)成首項(xiàng)為100,公差為-3的等差數(shù)列,從第35項(xiàng)開始,奇數(shù)項(xiàng)均為3,偶數(shù)項(xiàng)均為1,從而= =. ()證明:若,則題意成立 若,此時(shí)數(shù)列的前若干項(xiàng)滿足,即. 設(shè),則當(dāng)時(shí),. 從而此時(shí)命題成立 若,由

36、題意得,則由的結(jié)論知此時(shí)命題也成立. 綜上所述,原命題成立 ()當(dāng)時(shí),因?yàn)? 所以= 因?yàn)?gt;0,所以只要證明當(dāng)時(shí)不等式成立即可. 而 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí),由于>0,所以< 綜上所述,原不等式成立 若時(shí),所以,且. 兩邊取對(duì)數(shù),得, 化為, 因?yàn)? 所以數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列 所以,所以 由,得, 當(dāng)時(shí), ,得, 由已知,所以與同號(hào) 因?yàn)?且,所以恒成立, 所以,所以 因?yàn)?所以, 所以 解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則Sn=na1+d,從而=a1+d. 所以當(dāng)n2時(shí),-=(a1+d)-(a1+d)=.即數(shù)列是等差數(shù)列 (2)因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)n,k(n>k),都有

37、+=2成立,所以+=2,即數(shù)列是等差數(shù)列 設(shè)數(shù)列的公差為d1,則=+(n-1)d1=1+(n-1)d1,所以Sn=1+(n-1)d12,所以當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=1+(n-1)d12-1+(n-2)d12=2dn-3d+2d1,因?yàn)閍n是等差數(shù)列,所以a2-a1=a3-a2,即(4d-3d+2d1)-1=(6d-3d+2d1)-(4d-3d+2d1),所以d1=1,即an=2n-1.又當(dāng)an=2n-1時(shí),Sn=n2,+=2對(duì)任意正整數(shù)n,k(n>k)都成立,因此an=2n-1 (3)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則an=a1+(n-1)d,bn=a,所以=a-=ad,即數(shù)列bn是公

38、比大于0,首項(xiàng)大于0的等比數(shù)列 記公比為q(q>0).以下證明:b1+bnbp+bk,其中p,k為正整數(shù),且p+k=1+n.因?yàn)?b1+bn)-(bp+bk)=b1+b1qn-1-b1qp-1-b1qk-1=b1(qp-1-1)( qk-1-1).當(dāng)q>1時(shí),因?yàn)閥=qx為增函數(shù),p-10,k-10,所以qp-1-10,qk-1-10,所以b1+bnbp+bk.當(dāng)q=1時(shí),b1+bn=bp+bk.當(dāng)0<q<1時(shí),因?yàn)閥=qx為減函數(shù),p-10,k-10,所以qp-1-10,qk-1-10,所以b1+bnbp+bk.綜上,b1+bnbp+bk,其中p,k為正整數(shù),且p+k

39、=1+n 所以n(b1+bn)=(b1+bn)+(b1+bn)+(b1+bn)(b1+bn)+(b2+bn-1)+(b3+bn-2)+(bn+b1)=(b1+b2+bn)+(bn+bn-1+b1),即 解:(1)由點(diǎn)P在直線上, 即, 且,數(shù)列是以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列 ,同樣滿足,所以 (2) 所以是單調(diào)遞增,故的最小值是 (3),可得, , ,n2 故存在關(guān)于n的整式g(x)=n,使得對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n恒成立 解:(1)當(dāng)時(shí),. 令,則. 因?yàn)槠鏀?shù),也是奇數(shù)且只能為, 所以,即 (2)當(dāng)時(shí), 下面利用數(shù)學(xué)歸納法來證明:an是4的倍數(shù). 當(dāng)時(shí),命題成立; 設(shè)當(dāng)時(shí),命題成立,則存

40、在N*,使得, , 其中, ,當(dāng)時(shí),命題成立. 由數(shù)學(xué)歸納法原理知命題對(duì)成立 【命題立意】本小題主要考查計(jì)數(shù)原理,考查探究能力和解決實(shí)際問題的能力. 【解析】(1)點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足條件:,所以. (2)設(shè)k為正整數(shù),記為滿足題設(shè)條件以及的點(diǎn)P的個(gè)數(shù),只要討論的情形.由知,且. 設(shè)其中,所以 . 將代入上式,化簡(jiǎn)得. 所以 解:(1)令n=1,則a1=S1=0 (2)由,即, 得 . -,得 . 于是,. +,得,即 又a1=0,a2=1,a2-a1=1, 所以,數(shù)列an是以0為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列. 所以,an=n-1 (3)假設(shè)存在正整數(shù)數(shù)組(p,q),使b1,bp,bq成等比數(shù)列,則lg

41、b1,lgbp,lgbq成等差數(shù)列, 于是, 所以,(). 易知(p,q)=(2,3)為方程()的一組解 當(dāng)p3,且pN*時(shí),<0,故數(shù)列(p3)為遞減數(shù)列, 于是<0,所以此時(shí)方程()無正整數(shù)解. 綜上,存在唯一正整數(shù)數(shù)對(duì)(p,q)=(2,3),使b1,bp,bq成等比數(shù)列 注 在得到式后,兩邊相除并利用累乘法,得通項(xiàng)公式并由此說明其為等差數(shù)列的,亦相應(yīng)評(píng)分.但在做除法過程中未對(duì)n2的情形予以說明的,扣1分. 本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)及基本運(yùn)算,考查創(chuàng)新能力.兩個(gè)基本數(shù)列屬C能要求,屬高考必考之內(nèi)容,屬各級(jí)各類考試之重點(diǎn). 第(3)問中,若數(shù)列an為等差數(shù)列,則數(shù)列(k>0且k1)為等比數(shù)列;反之若數(shù)列an為等比數(shù)列,則數(shù)列(a>0且a1)為等差數(shù)列. 第(3)問中,如果將問題改為